熱傳導係數受薄膜厚度影響的情況

我們在表四與表五所得到的逆運算結果中的熱傳導係數相對於薄膜厚度與在室溫 300K 下，電子的自由平均路徑來做一個比較，我們估算其值如下：

0 材料的熱傳導係數這一不合理的情況發生。Kumar 等人[26]研究受表面散射(Surface Scattering)影響的尺寸效應(Size Effect)但是並未考慮顆粒邊界散射(Grain Boundary Scattering)；而 Qiu 和 Tien[27]則同時考慮正表面與背表面兩面的表面散射與顆粒邊界散射。

度差隨著薄厚的增加而增大，且並非為線性關係衰減，所以我們合理懷疑我們所得到的電子溫度會因為薄膜內部電子溫度的不均勻分佈而導致反映出來的電子溫度會有所偏差；也就是說我們得到的電子溫度在正表面與背表面的電子溫度達平衡後時應為正確值，但在剛剛開始所得到的電子溫度並非正確。

為了探究其上述原因影響程度，卻又不清楚金屬薄膜內電子溫度影響的真正情況，故我們首先假設在穿透厚度內的電子溫度變化才會影響到得到的電子溫度誤差(金薄膜的穿透厚度為 153

A

⁰ )，取穿透厚度內電子溫度的平均，重新去對先前從 Brorson 等人[19]所得到的正規化反射率實驗值估測其變化，並繪出成圖廿九到圖卅四表示。觀察其結果，在正表面所得到的電子溫度因為受更深層的電子溫度影響，

得到的電子溫度會比實際的正表面的電子溫度低，即我們可能低估了其真正電子溫度，導致在繪出正規化的電子溫度變化時，在達到電子溫度平衡之前為低估值，應較原先的電子溫度較高，然而平衡後得到的電子溫度應為正確值，但在做正規化的運算之後，電子溫度平衡後的正規化電子溫度變化將會下降；相對的，背表面的電子溫度在達到電子溫度平衡之前為過高值，應較原先低，而在平衡之後電子溫度變化值在經過正規化運算後得到的值將比原先的要高，我們藉由這一結果利用逆運算再次去估算得到值如表八(針對

l e

AT BT

K T

K =

₂

+

模型，

考慮一倍穿透厚度會影響)和表九(針對

l e

AT BT

K T

K =

₂

+

模型，考慮兩倍穿透厚度會影響)所呈現，並和之前結果比較如圖卅五與圖卅六，

得到電子熱傳導係數與連結因子都會因此而改變，電子熱傳導係數降低而連結因子提高，有助於消除不合理的結果；由於在剛開始的時間區段當中，正表面與背表面的最大溫度差隨著薄厚的增加而增大，也

就是說在溫差大的時間區段裡得到的電子溫度變化隨著薄膜厚度愈大，差異愈多，故造成的逆運算值誤差將會越大，也可以得知若電子溫度變化量愈小，則修正前後正規化電子溫度改變值則變大，所以倘若我們可以清楚瞭解金屬薄膜內電子溫度影響的真正情況，對其加熱變化情形會更加明確。

第五章結論

本文針對快速雷射脈衝加熱金屬薄膜的過程，探討電子熱傳導率與電子溫度之間的關係，並且利用 Huang[20]對於此非平衡過程所建立的逆運算程式，以及 Brorson 等人[19]的實驗數據，估算不同厚度 情況下之金薄膜的熱傳導係數 Keq 以及電子-聲子連結因子 G。由於 雷射加熱時間極為短暫而造成直接量測電子溫度變化的困難，以往研究都以量測薄膜的光學反射率變化來取代之，亦即光學反射率與電子溫度呈線性關係。本文中，加入考慮薄膜厚度與量測反射率 probe beam 的入射角度影響，修正光學反射率與電子溫度的關係，取代原先利用正規化光學反射率變化估算正規化電子溫度變化的線性關係，並重新帶入逆運算量測分析，再次觀察對金屬薄膜熱傳導係數與電子-聲子連結因子之影響。光學反射率部份，結果顯示在薄膜厚度愈薄，光學反射率對電子溫度變化愈敏感，入射輻射的入射角度越大，其光學反射率對電子溫度變化也會愈敏感；另ㄧ方面，逆運算結果顯示，當金屬薄膜愈薄，所得到的熱傳導係數與連結因子和原先的結果相差愈大；顯示出把光學反射率與電子溫度當成線性關係在電子溫度變化量愈大，適用性愈低；並且會低估電子的熱傳導係數及高估電子聲子連結因子。結果顯示，唯對於薄膜厚度為 2000

A

⁰ 的情況下，

逆運算所得的熱傳導係數 Keq 仍與 Huang 所得結果遇到同樣大於金 的塊狀熱傳導係數(Bulk thermal Conductivity)不合理之處。探究其原因可能是在薄膜正表面與背表面電子溫度未達到平衡時，會有一溫差，並非均溫，故得到的電子溫度會有所誤差，有其所必須修正的必要；正表面中，在達到電子溫度平衡之前電子溫度為低估值，而背表面的電子溫度在達到電子溫度平衡之前為高估值，本文針對此一關係

式，建議更為精確的修正方式。

參考文獻

1. Knapp, J. A., Borgesen, P. and Zuhr, R. A., “Beam-Solid Interactions Physical Phenomena ： Materials Research Society Symposium Proceedings”, Pittsburgh, 1990.

2. Elliott, D. J. and Piwczyk, B. P., “Single and Multiple Pulse Ablation of Polymeric and High Density Materials with Ex-Cimer Laser Radiation at 193 nm and 248 nm”, Mater. Res. Soc. Symp. Proc., Vol.129, pp.627, 1989.

3. Casimir, H. B. G., “Note on the conduction of Heat in Crystals”, Physical, Vol.5, pp.495-500, 1938.

4. Kaganov, M. I. Lifshitz, I. M. and Tanatarov, M. V., “Relaxation Between Electron and Crystalline Lattices”, Soviet Physics JETP, Vol.4, pp.173-178, 1957.

5. Eesley, G. L., “Observation of Nonequilibrium Electron Heating in Copper”, Physical Review Letters, Vol.51, pp.2140-2143, 1983.

6. Elsayed-Ali, H. E., Norris, T.B., Pessot, M.A., and Mourou, G.

“Time-Resolved Observation of Electron-Phonon Relaxation in Copper”, Physical Review Letters, Vol. 58, pp. 1212- 1215, 1987.

7. Elsayed-Ali, H. E., Juhasz, T., Smith, G. O., and Bron, W. E.,

“Femtosecond Thermo-reflectivity and Thermo-transmissivity of Polycrystalline and Single-Crystalline Gold Films”, Physical Review B, Vol.43, pp.4488-4491, 1991.

8. Qiu, T. Q. and Tien, C. L., “Heat Transfer Mechanisms during Short-pulse Laser Heating of Metals”, ASME Journal of Heat

Transfer, Vol.115, pp.835-841, 1993.

9. Orlande, H. R. B., Ozisik, M. N., and Tzou, D. Y., “Inverse Analysis for Estimating the Electron-Phonon Coupling Factor In Thin Metal Films”, Journal of Applied Physics, Vol.78, pp.1843-1849, 1995.

10. Qiu, T. Q. and Tien, C. L., “Size Effects on Non-equilibrium Laser Heating of Metal Films”, ASME Journal of Heat Transfer, Vol.115,pp.842-847,1993.

11. Smith, A. N. and Norris, P. M., “Numerical Solution for the Diffusion of High Intensity, Ultrashort Laser Pulses Within Metal Films”, Proceedings of the 1998 International Heat Transfer Conference, Vol.5, pp.241-246, 1998.

12. Bennemann, K. H., “Nonlinear Optics in Metals”, Oxford Science Publications, Oxford, 1998.

13. Ashcroft, N. W. and Mermin, N. D., “Solid State Physics”, Saunders College Publishing, Philadelphia, 1976.

14. Vadim, K., Markus, N., Jurgen, J., Wolfgang. S., Ernst, W. and Reinhart P., “Heat And Mass Transfer Induced by Picosecond Laser Pulses” Proc. High Power Lasers and Laser Machining, SPIE, Santa Fe, SPIE Proceedings, Vol.3343, pp.971-982, 1998.

15. Bernd, H., “On the Temperature Dependence of the Electronic Thermal Conductivity In Metals When the Electron and Phonon Subsystems Are Not in Local Equilibrium”, Journal of Physics:

Condensed Matter, Vol.10, pp.6121-6126, 1998.

16. Rosei, R. and Lynch, D. W., “Thermodulation Spectra of Al, Au, and Cu”, Physical Review B, Vol.5, pp.3883-3893, 1972.

Edge in Au,” Physical Review B, Vol.12 pp.557-563, 1975.

18. Juhasz, T., Elsayed-Ali, H. E., Hu, X. H. and Bron, W. E.,

“Time-Resolved Thermoreflectivity of Thin Gold Films and Its Dependence On the Ambient temperature”, Physical Review B, Vol.45, pp.13819-13822, 1992.

19. Brorson, S. D., Fujimoto, J. G. and Ippen, E. P., “Femtosecond Electronic Heat Transport Dynamic in Thin Gold Films”, Physical Review Letters, Vol.59, pp.1962-1965, 1987.

20. Huang, Y. C. “Analysis on Heat Transport Characteristics of Thin Metallic Films Subjected to Non-equilibrium Pulse Laser Heating(快速雷射脈衝加熱之金屬薄膜熱傳特性研究 )” M. S. Thesis, National Chiao Tung University, Department of Mechanical Engineering, 2001.

21. Sheu, L. J. “Thermophysical characteristics of Microscale System and Inverse Estimation of Thermophysical Parameters” Ph.D.

Dissertation, National Chiao Tung University, Department of Mechanical Engineering, 2000.

22. Heavens, O.S., “OPTICAL PROPERTIES OF THIN SOLID FILMS”, Butterworths, London, 1995.

23. Andrew N. Smith and Pamela M. Norris “Influence of intraband transitions on the electron thermoreflectance response of metals”, Applied Physics Letters, Vol.78, pp. 1240-1242, 2001.

24. Qiu, T. Q. and Tien, C. L., “Short-Pulse Laser Heating On Metals”, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol.35, pp.719-726, 1992.

25. Rolf E. Hummel “Electronic Properties of Materials”, 1985.

26. Kumar, S., and Vradis, G. C., “Thermal Conduction by Electrons Along Thin Films: Effects of Thickness According to Boltzmann Transport Theory”, Micromechanical Sensors, Actuators, and Systems, D. Cho et al., eds., ASME DSC-Vol.32, pp. 89-101, 1991.

27. Qiu, T. Q. and Tien, C. L., “Femtosecond Laser Heating of Multilayer Metals-I. Analysis”, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol.37,pp.2789-2797,1994.

表一雷射加熱模型之間的關係(Qiu and Tien[27])

Hyperbolic Two-Step

Hyperbolic One-Step

Parabolic Two-Step

Parabolic One-Step (Fourier Conduction)

Heating Time >>

Relaxtion Time Heating Time>>

Thermalization Time

Heating Time>>

Thermalization Time Heating Time>>

Relaxation Time

τ

th>> and tc

表二金的物理常數(Qiu and Tien[8])

Lattice heat capacity (

C

_l)

2 . 5 × 10

⁶

( J / m

K )

Constant for electron heat capacity (

γ

)

)

Constant (

ψ

)

1 . 0

表三常見金屬在溫度 273K 下之光學常數(Rolf E. Hummel[25])

金屬名稱 n k

金(Gold) 0.21 3.24 銀(Silver) 0.05 4.09 銅(Copper) 0.14 3.35 鋁(Aluminum) 0.97 6.0

表四針對不同厚度情況，以 PTS 逆運算得到的 Keq，G [

l e eq

T K T

K =

model]

Huang’s Results [20]

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 76.991 2.9586

1000

A

⁰ 187.329 2.8382

2000

A

⁰ 363.638 1.8898

Present Study

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 125.897 2.3202

1000

A

⁰ 237.011 2.0249

2000

A

⁰ 385.856 1.5092

表五針對不同厚度情況，以 PTS 逆運算得到的 Keq，G [

l e

AT BT

K T

K =

₂

+

model]

Huang’s Results [20]

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 86.740 2.9044

1000

A

⁰ 203.313 2.8158

2000

A

⁰ 386.533 1.9075

Present Study

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

)

2000 A

⁰

5.464746661

385.856 1.205800 363.638 1.136368

表七金薄膜的熱傳導係數受薄膜厚度影響的情況

mean-free-path during electrical conduction in bulk

materials

Present Study

) / 320 :

( K

_eq_,_bulk

W mK

Huang’s Results [20]

)

2000 A

⁰

5.464746661

409.810 1.280656 386.533 1.207915

表八以 PTS 逆運算得到的 Keq，G [

l e

AT BT

K T

K =

₂

+

model]

(a)不考慮薄膜內部電子溫度之影響效應(b) 考慮薄膜內部電子溫度之影響效應(一倍穿透厚度)

(a)

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 143.41385 2.283988

1000

A

⁰ 258.83646 2.022583

2000

A

⁰ 409.81078 1.531445

(b)

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 131.38106 2.324756

1000

A

⁰ 255.32367 2.058429

2000

A

⁰ 408.515137 1.552013

表九以 PTS 逆運算得到的 Keq，G [

l e

AT BT

K T

K =

₂

+

model]

(a)不考慮薄膜內部電子溫度之影響效應(b) 考慮薄膜內部電子溫度之影響效應(兩倍穿透厚度)

(a)

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 143.41385 2.283988

1000

A

⁰ 258.83646 2.022583

2000

A

⁰ 409.81078 1.531445

(b)

以正表面及背表面之電子溫度變化來同時估算 Keq，G Case

厚度 Keq G/10¹⁶

500

A

⁰ 111.1414 2.423499

1000

A

⁰ 246.56833 2.143367

2000

A

⁰ 407.68943 1.535847

probe

pump

Heat flow

Au

sample thickness

(front) (front)

φ 0

φ

L

(b)

圖二對於薄膜入射角與折射角之示意圖(a)無考慮基底(b)考慮基底

electron temperature(K)

200 400 600 800 1000 1200

-0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00

no consider substrate

consider substrate(n=1.77,front surface) consider substrate(n=1.77,rear surface) consider substrate(n=3,front surface) consider substrate(n=3,rear surface)

) 10 (× ²

∆ R

K

圖三考慮基底與否，金薄膜之光學反射率與電子溫度之比較圖 (1000

A

⁰ ,

φ

₀=pi/4)

electron tem perature(K)

200 300 400 500 600 700 800

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00

Present study Linear

) 10 (× ²

∆ R

(a)

electron tem perature(K)

200 300 400 500 600 700 800

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00

Present study Linear

) 10 (× ²

∆ R

(b)

圖四針對電子溫度在室溫到 700K 下正規化光學反射率示意圖 (a)500

A

⁰ ,

φ

₀=0pi (b)1000

A

⁰ ,

φ

₀=0pi

electron temperature(K)

200 300 400 500 600 700 800

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00

Present study Linear

) 10 (× ²

∆ R

圖五針對電子溫度在室溫到 700K 下正規化光學反射率示意圖 (2000

A

⁰ ,

φ

₀=0pi)

Thickness( )

0 500 1000 1500 2000 2500

R e fl e c tance

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

=300nm =600nm =900nm

λ λ λ

A

圖六不同入射光子波長對反射率與薄膜厚度關係之影響關係圖 (

φ

₀=0pi)

T h ic k n e s s ( )

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0

Reflectance

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0

n = 0 .2 1 ; k = 1 .0 n = 0 .2 1 ; k = 2 .0 n = 0 .2 1 ; k = 3 .0

(a)

T h ick n e s s( )

0 5 0 0 1 0 0 0 1 50 0 2 0 0 0 2 50 0

Reflectance

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2

n= 0 .1 ; k = 3 .2 4 n= 0 .3 ; k = 3 .2 4 n= 0 .5 ; k = 3 .2 4

(b)

圖七不同 n 和 k 值對光學反射率與薄膜厚度關係比較圖(a)n 相同 k

Thickness( )

0 500 1000 1500 2000 2500

R e fl e c tance

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Au Ag Cu Al

A

圖八關於不同金屬之反射率與薄膜厚度比較關係圖(

φ

₀=0pi)

electron temperature(K)

200 400 600 800 1000 1200

-0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00

500埃 700埃 2000埃 Hohfeld[12]

) 10 ( ×

∆ R

R

圖九不同薄膜厚度正規化光學反射率變化與電子溫度關係圖 (

φ

₀=0pi)

electron temperature(K)

200 400 600 800 1000 1200

-0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00

0 pi pi / 6 pi / 4 pi / 3

) 10 (× ²

∆ R

圖十薄膜厚度 1000

A

⁰ 在不同入射角度正規化光學反射率變化與電子溫度關係圖

incident angle(degree)

0 20 40 60 80 100

reflectance

0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 1.02

⁰ 、正表面的情況，比較電子溫度變

在文檔中快速雷射脈衝加熱金屬薄膜之光學特性及其對熱傳特性逆算影響之研究 (頁 45-99)

A

AT BT

K T

K =

+

AT BT

K T

K =

+

第五章 結論

A

參考文獻

Hyperbolic Two-Step

Hyperbolic One-Step

Parabolic Two-Step

Parabolic One-Step (Fourier Conduction)

τ

C

2 . 5 × 10

( J / m

K )

γ

70 ( J / m

K )

ρ

0 . 927

α

6 . 54 × 10

( m

)

t

96 ( fs )

q &

1 . 04 × 10

( W / m

)

ψ

1 . 0

T K T

K =

Huang’s Results [20]

A

A

A

Present Study

A

A

A

AT BT

K T

K =

+

Huang’s Results [20]

A

A

A

Present Study

A

A

A

mean-free-path during electrical conduction in bulk

materials

) / 320 :

( K

W mK

)

125.897 0.393428 76.991 0.240596

K

K

/ K

K

K

/ K

1000

A 2.732373331

237.011 0.740659 187.329 0.585403

K

K

/ K

第五章結論