在 Huang[20]當中，由於其把電子溫度變化與反射率變化當作線性關 係，故把 Brorson 等人[19]實驗中得到的反射率變化值帶入並求解 之，而在本文當中，我們重新代換線性關係，用更明確的關係式來得 困難時，我們將用 Levenberg-Marquardt 法來修正高斯法。
3.2 逆運算程式求解流程
在進行逆運算之前，我們先給定一個假設 K 和 G 值，經由直接
解 PTS 模型估測薄膜正表面與表面電子溫度的最高溫值，再利用我 們先由前章節得到的電子溫度與反射率關係式，得到一個新的明確實 驗所得到的電子溫度分佈情形，代入式(3.4)並進行逆運算，得到一 個新的 K 與 G 值，再度進行先前的步驟，直到收斂為止，流程圖如 下。
初始預測K,G值
直接解得最高溫的電子溫度
利用反射率與電子溫度關係 重新得到正規化的電子溫度
分佈實驗值
帶入逆運算得到K,G值
(重覆直到收斂為止)
第四章 結果與討論
秒(9.6x10-14sec.)；並根據 Ashcroft[13]，估算電子的弛豫時間如下：14
金的電子弛豫時間(sec) 12E-14 3E-14 2.1E-14
由此可知，隨著雷射脈衝加熱所造成的金薄膜電子溫度上升的影
並由第二章所建立的物理模式與數學模式，本文主要利用推導出 的新的光學反射率與電子溫度的關係式，重新代入以 PTS 模型為主 的逆運算程式，來進ㄧ步分析其熱傳導係數與連結因子。
4.1 光學反射率的變化與電子溫度及其他影響因子之關係分析
在進行逆運算分析之前，我們先對光學反射率與電子溫度關係及 其他的影響因子來做討論，在附圖中，我們定義的光學反射率變化表 示如下：
300
)
300( R
R T R R
R
e−
∆ =
(4.1) 上式當中，R300 為室溫下的反射率，R(Te)為在當時電子溫度下 所代表的反射率。
首先，我們先以文獻 19 為例子，我們探討關於基底為藍寶石的 時候與考慮薄膜兩側皆為空氣，兩者對於光學反射率與電子溫度的關 係是否有影響，由於藍寶石吸收性我們不計，我們可以知道若是量測 光學反射率的探針光束為垂直入射，則是否有基底藍寶石(630nm 下 折射率為 1.77)並不造成影響，但當考慮有一入射角的時候(我們以 45 度為例)，我們可以估算得到，若從介質
n
3入射所得到的反射率和 只考慮一薄膜的結果為相同，以 1000A
0 為例，反射率皆為 0.92517；而從介質
n
0入射所得到的反射率卻有所不同，反射率較大一些為 0.92549。但是我們從圖三得知，若觀察光學反射率與電子溫度關係 的時候，結果是完全相同的，也就是說若我們想去藉由觀察光學反射 率變化去得知暫態電子溫度的變化時，若基底沒有吸收性，重要性幾 乎不用在乎，不用去考慮其存在與否，且即使我們改變其他不同大小 的折射率(如在 630nm 下紅寶石折射率為 1.71)之後我們從圖中依舊得到相同不變的反射率與電子溫度關係圖，故接下來我們不去考慮基 底藍寶石的效應影響。
接著，因為由於直接測量電子溫度的變化有其困難性，再加上一 般認為電子溫度變化直接正比於光學反射率的變化。於是對於快速雷 射脈衝加熱金屬薄膜的實驗，一般是以量測光學反射率的變化值來取 代電子溫度的變化値，一般是以如下型式表示：
( )
max( )
e max eT T R
R
∆
≈ ∆
∆
∆
(4.2)通常式(4.2)此關係式被認為電子溫度在室溫至 700K 之間成 立，我們利用新推導出的關係示所得到的結果來看此一關係是否適 用。由圖四與圖五中，與線性關係做比較，我們可知在金薄膜厚度不 管是在 500
A
0 、1000A
0 ，甚至在 2000A
0 之下，式(4.2)皆不適用，故不 可以把正規化的光學反射率變化值直接來當作正規化電子溫度的變 化値；倘若我們若是使用式(4.2)直接去推算電子溫度，則會低估其 電子溫度的正確値。再者，我們發現在附圖當中，當考慮為電子溫度與反射率之間的 關係時，當電子溫度升高時，正規化的光學反射率變化皆為負值，這 現象是由於當入射電磁波若是低於其能帶間過渡能量(對金來說 2.45eV)時，因電子溫度的增加，費米能階的電子佔據狀態會有所變 動，位在費米層之下的電子數量會減少，導致入射的電磁波能量被吸 收的能量變多，也因此吸收率變大，進而的光學反射率會降低，故我 們得到的光學反射率變化結果為負值；相對的，位在費米層上的電子 數目會增多，入射的電磁波能量吸收減少，吸收率的減少進而影響到 光學反射率的增加，而在我們探討的情況當中，入射輻射的能量約為 1.969eV，低於金的能帶間過渡能量 2.45eV，故附圖當中所得到的光 學反射率變化為負値。
由我們推導出的光學反射率與電子溫度的關係式，當其不考慮電 磁波入射的角度與薄膜厚度所造成的介面多重反射影響，可演化成 Hohlfeld 等人[12]所推導出的模型，所以我們將以 Hohlfeld 等人所推 導出的模型和之前重新推導出所得到的關係式作比較。
圖六為考慮不同入射光子波長下，對反射率與薄膜厚度關係之影 響關係圖，我們可以知道當入射光子波長若是越長時，也就是能量越 低時，反射率要達到不再受其薄膜厚度影響的厚度將會愈厚；圖七為 考慮不同 n 和 k 值對光學反射率與薄膜厚度關係比較圖，觀察可以得 知複數折射率的實數部分與虛數部分皆會影響到反射率的大小，實數 部分愈大或虛數部分愈小皆會使得反射率降低，而虛數部分卻除了影 響其反射率高低以外，對需不需要考慮受薄膜厚度的影響也造成影 響，即當虛數部分愈大的時候，也就是吸引係數愈大時，其需要考慮 到薄膜界面的多重反射效應的厚度愈薄，圖八為關於不同金屬之反射 率與薄膜厚度比較關係圖，依表三數值所得，而其反射率結果與圖七 預測的相同。
圖九為考慮不同厚度，電磁波垂直入射(
φ
0= 0
)時的光學反射率 變化與電子溫度之間的關係圖，我們可以觀察得知在金薄膜厚度大於 2000A
0 以上之後，其結果曲線與 Hohlfeld 等人[12]所推導出的模型完 全重合，我們並不用再考慮多重反射的效應，原因我們可以歸咎於能 量在多次反射後，被金薄膜吸收到能量小到可以忽略不計，也就是說 不必再考慮到薄膜厚度尺寸對反射率與電子溫度之間關係的影響，在 此圖當中我們也可以得知在金薄膜愈薄的時候光學反射率變化對電 子溫度的變化愈敏感，有較大的變化，所以我們也可以得知在相同的 光學反射率變化範圍中，薄膜愈薄的情況下所得到的電子溫度將會比 薄膜較厚的結果來的要小。而圖十中，由於不管金薄膜厚度為多少，趨勢皆相同，所以在此 我們以金薄膜厚度為 1000
A
0 為例，我們可由圖中得知，當入射的電磁 波入射角度越大的時候，光學反射率變化對電子溫度的改變會越敏 感，故式(4.2)中的線性比例關係也會因探針光束入射角度的不同而 有不同的差異大小，所以之前 Hohlfeld 等人[12]所推導出的光學反射 率與電子溫度關係式沒有考慮到入射角度也是有待商確的，所以我們 一併的考慮進去並應用於逆算分析是更加完善的。圖十一中，我們觀 察光學反射率和入射電磁波的入射角度、金薄膜厚度之間的關係，此 圖中，我們是取用金在 273K 下的數據(n=0.21；k=3.24)[25]所得到 的關係圖，我們觀察到，隨著電磁波入射的角度改變，其光學反射率 的變化在 45 度之前沒什麼變動，67 度為最低值，隨後急速升高直到 90 度，反射率為 1，且在 2000A
0 左右與平常我們不考慮薄膜厚度但有 考慮入射角度的關係式完全重合相同，而此趨勢也與 Palik Edward 等 人[26]所呈現的結果相符合，但反射率的數值變動則不大。也可以更 進ㄧ步得知在考慮ㄧ薄膜時，其兩側外界介質皆為空氣時，反射與吸 收、穿透之間互相作用之下，反射率隨著厚度增大而增大，這一個趨 勢也和 Heavens 等人[22]所呈現的結果相符合，且約在 1500A
0 以上反 射率即不再受其薄膜厚度的影響，但若要連帶的將電子溫度的影響考 慮進去的話，則大約在金薄膜厚度 2000A
0 以上才可以不再考慮薄膜厚 度的影響。4.2 光學反射率與電子溫度變化關係對熱傳導係數與電子-聲子 連結因子的影響
在圖十二、圖十三中，是在金薄膜厚度為 500
A
0 、K = K
eq⋅ T
e/ T
l模型情況下，我們重新利用新得到的光學反射率與電子溫度關係式替換 之前把正規化的光學反射率變化當做正規化的電子溫度變化後所得 到新的數據，重新帶入逆運算程式所得到 Keq 與 G 值，之後再帶回 直接解程式當中得到該情況下的正規化電子溫度變化情形，然後再與 之前 Huang [20]所得到的正規化的電子溫度變化結果圖與 Brorson 等人[19]的實驗數據所做的比較圖。同理，圖十四與圖十五、圖十六 與圖十七分別為金薄膜厚度為 1000
A
0 ，2000A
0 、K = K
eq⋅ T
e/ T
l模型情 況下，與 Huang 所得到的正規化的電子溫度變化結果圖與 Brorson 等 人實驗數據做的比較圖。相對的；圖十八與圖十九、圖廿與圖廿一、圖廿二與圖廿三分別為金薄膜厚度為 500
A
0 ，1000A
0 ，及 2000A
0 的正 表面與背表面、電子熱傳導率模型為K = K
eq⋅ T
e/[( A / B ) T
e2+ T
l]
的情況之 下，再與 Huang[20]所得到的正規化的電子溫度變化結果圖與 Brorson 等人[19]實驗數據所做的比較圖。反觀 Brorson 等人在金薄膜厚度為 1000A
0，2000A
0 的正表面情況，在θ=0.2 以下的實驗數據會有些為振 盪的情況，我們歸咎於其原因為實驗所造成的誤差。在逆運算的過程當中，對於薄膜的背表面，在薄膜厚度 2000
A
0 的 情況下，若將實驗數據全取所逆運算得到的熱傳導係數與只取背表面 上升部分的實驗數據來逆運算的熱傳導係數相比較，Keq 會大上接近在逆運算的過程當中，對於薄膜的背表面，在薄膜厚度 2000