梁子傑
劉徽是我國數學史上一位非常偉大的數學家。他的傑作
《九章算術注》和《海島算經》可算是我國最寶貴的數學遺產 之一。遺憾的是，關於這位偉大數學家的籍貫、履歷和生卒年 代，我們所知甚少，只知道他是魏晉時代的人，即大約生存於 公元三世紀。
在《九章算術》第四卷「少廣」中，記述了一個由球體體 積計算直徑長度的方法。這方法等同於算式 V =
16
9 d 3。要知
道，古人以為圓周率 = 3，所以上式其實亦即是說 V = 2
3 r 3。 劉徽在他的注疏中批評了此算式，並以牟合方蓋的體積來解釋 他的觀點。
所謂「牟合方蓋」，就是指由兩個同樣大小但軸心互相垂 直的圓柱體相交而成的立體。由於這立體的外形好像兩把上下 對稱的正方形雨傘，所以就稱它為「牟合方蓋」。
劉徽指出，一個正方形和它的內切圓，它們面積之比為 4 :
。因此，一個正立方體和它的內切圓柱體，它們的體積之比亦 會是 4 : 。同時，一個球體可以內切於一個牟合方蓋之內，因 此 一 個 牟 合 方 蓋 與 它 的 內 切 球 體 體 積 之 比 亦 為 4 : ， 即
4
牟 球 正
柱
V V V
V 。由此，V球 <
正 球
牟
柱 V V
V
V
2
4 =
16
2 d3 ，亦
即是說，球體體積比 16
9 d 3為小！可惜的是，劉徽並未能成功 地求出牟合方蓋的體積，因此亦未能提出計算球體體積的正確 算式。
200 年後，劉徽的工作終於由祖沖之的兒子祖暅所完成。雖 然祖氏父子的著作《綴術》經已失傳，但是祖暅計算球體體積 的方法卻由李淳風記錄了下來。
祖暅的方法是將原本的牟合方蓋分為 1
8 ，如圖38a。設 OP
= h，過 P 作平面 PQRS 平行於 OABC。又設內切球體的半徑為 r，則 OS = OQ = r。故此，PS = PQ = r2 h2 ，正方形PQRS 的面積是r 2 h2。
r 2r 2r
圖37c 正方形與它的 內切圓之比 圖37a 兩圓柱體相交 圖37b 牟合方蓋
圖38b 牟合方蓋與 正立方體之 間
圖38a 八分之一 牟合方蓋
圖38c 倒立正方錐體
如果將八分之一個牟合方蓋如圖38b 般放在一個邊長為 r 的 正立方體之內，那麼圖中陰影部分的面積便等於r 2 (r 2 h2) = h2。而這個面積亦相等於圖38c 中一個倒立的正立方錐體的橫切 面面積！
於是，將圖中八分之一個牟合方蓋的體積，加上倒立錐體 的體積，就應該等於正立方體體積了。即八分之一個牟合方蓋 的 體 積 = r3 1 r3
3 = 2 3
r3。 所 以 整 個 牟 合 方 蓋 的 體 積 為 8 2
3
16 3
3 3
r r 。 最 後 ， 根 據 劉 徽 的 想 法 ， 球 體 體 積 =
4 16
3
4 3
3 3
r r 。
D
O A
C B
r h
P Q
S R
r r r
r
h r
圖39
牟合方蓋？
可能大家會對牟合方蓋感到非常陌生，難以想像。因此，
以下就為大家介紹一個製作牟合方蓋立體模型的方法，一起來 揭開它的神秘面紗。
圖 39 是一個八分之一的牟合方蓋。OABC 為一正方形，
OCD 和 OAD 為兩個四分之一圓，並設 OA 為 r。要成功地製作 出這立體，就要知道曲面ABD 和 CBD 的形狀。
留意，將曲面ABD 攤平後，BAD 為一直角。如果 AOQ=
，則 AQ
長 r。又，從 OPQ 可知 PQ = rcos。因為 PQRS 為一正方形，所以 QR 亦等於 rcos。利用 AQ 和 QR 的關係，就可以繪畫出曲面 ABD 和 CBD 的圖形（見圖 40）。由此，便 可製作出牟合方蓋的模型。
製作步驟
1. 在方格紙中繪上一個正方形。建議使用一邊長為 5 個單
C B
A r r cos
r cos
r r
R
O S
P Q D
表7 位的正方形。
2. 在正方形的兩旁畫上兩個四分一圓。
3. 再在正方形的另外兩旁繪上 ABD 的形狀。大家可參考 下表中的數據來點出曲線上的點，然後用直尺將各線段 連結。
4. 在適當的邊上加上「紙口」。
5. 將圖形剪出，然後用膠水將模型黏合。
6. 只要重複製作多七個模型，就可以得到一個完整的牟合 方蓋。
5 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5cos 5cos
5
x 5 4.90 4.61 4.13 3.48 2.70 1.81 0.85 0.15
圖40
r cos
O r D
D A Q D
R
C B
D
圖41a 未黏合的牟合方蓋模型 圖 41b 半個牟合方蓋
圖42 香港地鐵車箱內的 扶手
圖43 華盛頓地鐵站內兩圓形 隧道的交匯點
無處不在的牟合方蓋
雖說我們不熟悉牟合方蓋的形狀，但是它卻無處不在的，
只要我們細心觀察，便會留意到它的踪影。
參考書目
1. 白尚恕（1990）。《九章算術今譯》。濟南：山東教育出版 社。
2. 梁宗巨（1995）。《數學歷史典故》。台灣：九章出版社
（原書由瀋陽：遼寧教育出版社於1992 年出版）。
圖44 香港數學教育學會的 會徽
圖45 菜巿場中一個近似牟合 方蓋的工具