圖46
接著，作者自然地提出一個更一般的問題，就是命題十 七，如何得到一個正方形，它的面積等於另外兩個（不一定相 同的）正方形的面積之和。通過圖形的指示，作者借用命題十 六的思想解釋了如何做。（「延續命題十六的想法，我們試圖 找到 DF 上的一個點 H：滿足（i）當 ADH，EFH 分別繞 A，E 旋轉到Adh，Efh 時，它們交於點 h，（ii）AH，HE，Eh，hA 均 相等而且互相垂直。取 DF 上的一個點 H，使 DH = CF = EF。」）(見圖 47)
圖47
從命題十七的構作來看，命題十八（「畢氏定理」）成為 順手拈來的副產品！
在古代東方的數學也有類似的案例，譬如之前幾位講者論 及的「出入相補原理」便是 (見圖 48)。
圖48
比較一下古代東西方計算圓的面積的思想方式，對課堂教 學甚有意思。我們已經見過阿基米德在公元前三世紀的著述
《圓的量度（Measurement of a Circle）》如何證明圓的面積 A 等 於勾和股分別是圓的半徑與周長的直角三角形的面積 K，運用 的是窮竭法與雙重歸謬法，即是若 A > K，導致矛盾，但若 A <
K，亦導致矛盾，故 A = K （等於圓的半徑乘圓周的一半）。固 然，於邏輯推理而言，這個證明乃無懈可擊，但證明卻必須借 助於一個已知的結果。如果我們以為 A 是圓的半徑乘圓周的三 份一，證明便無法通過！要獲得那已知的結果，必須通過另外 的聰明方法。反觀劉徽的「割圓術」（公元三世紀中葉），雖 然不如阿基米德的演繹推理證明如許嚴謹，卻也言之成理，而 且通過算法步驟得出正確答案。
劉徽注《九章算術》卷九時提及「出入相補原理」，注卷 一時稱作「以盈補虛」，注卷五時又稱作「損廣補狹」，都是 運用同一的思想和方法。利用這種思想，劉徽建立了面積理論 和體積理論，在卷一作了矩形面積的定義：「凡廣從相乘謂之 冪」，在卷五作了標準六面體體積的定義：「以廣袤相乘，以 高乘之，得此積。」以矩形面積為起點，利用「出入相補原
理」得到三角形的面積，再推廣至其他直線形的面積，還運用 無窮小分割處理曲線形的面積，蘊含了微積分的精神。在三維 的情況，中國古代數學家運用「出入相補原理」及「棊驗術」
（立方、塹堵、陽馬），加上無窮小分割及「等高處截面積原 理」處理眾多體積問題。後一個原理，在西方稱作卡瓦列里原 理 （ Cavalieri’s Principle ） ， 是 意 大 利 數 學 家 卡 瓦 列 里
（Bonaventura Cavalieri，1598-1647）在十七世紀提出來的，成 為西方微積分的先驅。值得一提的，是劉徽提出來的「陽馬居 二，鼈臑居一，不易之率也。」這句話，相隔一千六百多年後 與著名的希爾伯特第三問題（Hilbert’s Third Problem）的內容極 有關連，古今成果唱和，成為數學史的佳話。
回頭重看《原本》卷十二命題二：「兩圓面積之比等於它 們直徑平方之比。」古代希臘數學不用公式表達面積的計算，
卻習慣上把這個重要的定理寫成如此形式，以今天的公式表 達，即是 A kd 2 ，A 是圓的面積，d 是直徑，k 是個常數。由 於 Cd， C 是圓周， 是圓周率，便得到 A 2k Cr
，r 是 圓的半徑 。我們 也知 道 1
A2Cr，就 是說 k 其 實 是 1 4 。 1
A 2Cr 這回事，在古代數學多處出現，較著名的是公元前三 世紀阿基米德的《圓的量度（Measurement of a Circle）》，公 元三世紀劉徽的《九章算術註》和公元十二世紀 Abraham bar Hiyya ha-Nasi 的《量度論（Treatise on Mensuration）》，各自給 出精彩的解說 (見圖 49)。這條公式比較一般在中小學課本上見 到的 Ar2 有更豐富和更深刻的數學意義，因為它顯示了一 個非常重要的結果，即是圓面積（二維情況）與周長（一維情 況）有關。更一般地，有界閉域的面積與其周界上某一數量有 聯 繫 ， 就 是 「 微 積 分 基 本 定 理 」 （ Fundamental Theorem of Calculus）的內容。
圖49
看來，面積和體積的概念毫不簡單，雖然自小學以來，面 積和體積已經是課堂上討論的課題。面積和體積的概念在歷史 上也是由來已久，基本思想就是一個可加的量度，而且在剛體 運動底下是不變更的。然而，這個基本概念卻有待四千多年以
降一代又一代數學家的努力，才於二十世紀初把它提煉成精確 且易於運用的形式。勒貝格（Henri Lesbesque, 1875-1941）在他 的 1902 年博士論文《積分、長度、面積（Intégrale, longueur, aire ） 》 奠 下 面 積 理 論 的 基 礎 ， 其 後 由 卡 拉 西 奧 多 里
（Constantin Carathéodory, 1873-1950）在其著述《實函數論教程
（Vorlesungen Ü ber Reele Funktionen ， 第二版，1927）》作出 闡明。
在1982 年和 1983 年我分別給了兩個普及數學講座，與面積 和體積有關，一個題為「微積分的故事」，另一個題為「不用 微積分能計算體積嗎？」，文本刊載於其後出版的一本書的第 二章及第三章（蕭文強，《1，2，3，…以外》，1990 年初版；
1993，1994 年（修訂版））。主要思想是從面積和體積的直觀 概念提煉它的精髓，捕捉其要義，得到如下對面積的定義（類 似地可作體積的定義）。
每個（可測度）圖形 S 有一個相應的數 m S( ) ，滿足以下的 屬性：
[A1] m S( )是非負數。
[A2] 若 S1 和 S2不重疊地組成S，則
1 2
( ) ( ) ( ) m S m S m S 。
[A3] 若 S' 是 S 的平移，則 m S( )m S( ')。 [A4] 若 S 是單位正方形，則 m S ( ) 1。
漂亮的事情是：對每個（可測度）圖形 S，有辦法賦予滿足 [A1] 至 [A4] 的 m S( )，而且得到的 m S( )是唯一決定了。[A4] 只 為求標準化而已，取得一個基準以資比較。至於 [A2] 和 [A3] 的 作用，在「出入相補原理」中我們已經多次領教過了。反而毫 不起眼的 [A1] 卻起關鍵作用，運用它即是運用了微積分！（欲 知詳情，有興趣的讀者可以參考《1，2，3，…以外》和另外兩 本英文著作：A. Beck, M.N. Bleicher, D.W. Crowe, Excursions Into Mathematics, 1978, Chapter3; V.G. Boltianskii, Hilbert’s Third Problem, 1978, Chapter 1.）
如果你仍然認為面積和體積乃簡單不過的概念，讓我再提 出兩個有關的問題。第一個在課堂上可能是耳熟能詳，甚至有 些人以為理所當然，第二個引領我們至高等數學的範疇。
《原本》卷六命題十九說：「兩相似三角形面積之比等於 相應的邊平方之比。」命題二十把結果推廣至相似多邊形的情 況，由此（加上極限思想）可以再推廣至任意相似圖形的情 況。容許我在這兒賣個關子，不展示《原本》的解釋，那是頗 為巧妙的。大家可能想到，上面的結果涉及相應邊的平方，與 面積是二維的概念有關，如果是相似物體的體積，是三維的概 念 ， 便 涉 及 相 應 邊 的 立 方 了 。 但 大 家 有 沒 有 想 過 ， 維 數
（dimension）是什麼？對維數的討論，可追溯至二十世紀初數 學家對何謂幾何圖形（geometric figure）的探討，或者舉一個更 具體的特例，何謂曲線（curve）？何謂曲面（surface）？在二 十世紀 的 二十 年代 蘇聯 數學 家葉 戈 洛夫 （Dimitri Fedorovich Egorov, 1869-1931）把這個題目交給他的博士生，年青的烏雷松
（Pavel Samullovich Urysohn, 1898-1924），後者花了整個夏天 專攻這個難題。根據烏雷松的好友兼同窗亞歷山德羅夫（Pavel
Sergeevich Aleksandrov, 1896-1982）後來敘述：「1921 年的整個 夏季，P.S. [烏雷松]都在設法尋找一個“最新”的維數定義；他把 注意力從一個想法轉移至另一個，時常設法構作例子以說明為 何這個想法應該取代那個想法。…終於，將近八月尾的一個早 上 ，P.S. 醒 來 時 頓 悟 了 他 創 建 的 「 歸 納 維 數 （ inductive dimension）」的完滿形式。」在二十世紀前期，在眾多頗富盛 名的數學家的共同努力下，維數理論取得長足的進展。我們在 中學（甚至大學）的數學課程裏對維數的理解是確定物體中某 一點所需要的獨立參數（座標）的數目，但在維數理論的發展 過程中，出現了好幾種對維數的定義，甚至有些維數並不是整 數。那是十分有趣的一段故事，從瑞典數學家科克（Helge von Koch, 1870-1924）和波蘭數學家謝爾品斯基（Wacław Sierpiński, 1882-1969） 發 現 的奇怪 “曲 線 ”和 “曲 面 ”引 領 數 學家 對分 形
（fractal）的研究，在這兒就不贅了。
以上我們經常提到數學歷史素材，幾位講者亦運用了不少
《九章算術》或《原本》書中的事例以增進對數學內容的理 解，那都是數學歷史學習小組共同研讀這兩本經典名著的一些 心得。讓我以下面一首打油詩作結，以誌小組在學習過程當中 獲致的樂趣及其間的心路歷程：
「言必《原本》非崇洋，
心懷《九章》亦平常，
中西卷帙相輝映，
異曲同工意深長。」