平行層波導模
之前導論中，在複雜的特殊函數裡找根，而這個方法在其它論文
[18],[19]中也有提到，但在這些論文之中考慮的模態過少，只利用第 一階的逸漏型模態(Leaky mode)和第一階的導波模態(guide mode)去 展解彎曲波導模態。而我們知道光在介電質波導中傳遞時，存在著許 多特徵模態，只用少許的模態去分析，對於整體的場型描述及能量耗 損的計算是不夠的。在此我們將方程式再重新推導並且考慮更多的平 行層波導模態去做展解，使這個方法用來分析及計算彎曲介電質波導 場型會更加精確，使這個問題會做得更好。
如圖 2.1-1 所示，我們考慮一個圓柱座標
，而其輸入端和輸出端分別接上卡氏座標下直線形的波導結構，
我們在上下邊界分別加上電牆，假如我們已經知道平行層波導完整的 特徵模態函數φn( )x ，其特徵模態函數彼此互相正交，那我們可以利 用已知直角座標平行層波導模態φn( )x 來展解圓柱座標的彎曲波導特 徵模態ψ ρn( )。
圖 2.1-1 極小角度彎曲波導結構
個經過小角度彎曲波導傳播至 平行層
經過小角度彎曲波導的傳播矩陣P( θ)
假設我們在θ =0時的輸入場型是彎曲波導的第 i 個特徵模態
1
X。而傳播矩陣P(Δθ)的特徵值為彎曲波導特徵模態的傳播相位
，而因
ji
e−ν θΔ 為Δ ⋅θ ν λ，所以e−jν θiΔ 可以近似成1−jνiΔθ，再從傳播 矩陣P(Δθ)來看，我們不難發現因為P(Δθ)= − ΔI j θ(r0B A+ 0B)，所以彎 曲波導特徵模態的傳播常數剛好也是矩陣(r B0 ⋅ A B0 )的特徵值，由此
(
+
可知，我們只要解矩陣 r B0 ⋅+A B0 )的特徵值和特徵向量就可以得到彎
的特徵模 播常數， 就可以利用 模態展開法
(FEM 聯立橫向耦合積分方程( 的彎曲波
導做場型的分析。
曲波導 全特徵
ET)和 CTMIE)對不同的半徑
態和傳 我們
首先我們要對以平行層波導模態展解彎曲波導所得到的 TE wave 特徵模態做分析，因為我們必須確定利用上述方法得到的彎曲波導特
模態是否正確，確定其正確性我們才能進而利用 FEMET 及 CTMIE 分析。而檢驗的方法是利用彎 徵
對各種不同參數的彎曲波導做場型傳播 曲波導特徵模態的正交積分式：
( ) ( ) ( ) [ ( )]
n m n m d nm
ψ ρ ρ ψ ρ ≡
∫
ψ ρ ρ ψ ρ ρ δ∝ (2.2-1) 因為此積分式並不是任意結構的波導態特徵模態能滿足，假如我們求 得的特徵模態利用此積分式做計算，能有不錯的正交特性，則我們可 以利用其特徵模態對彎曲波導場型或單模態的彎曲波導結構做 傳播做分析。接下來，我們會對不 同的彎曲半徑、不同折射率對比，多模態
求解。
Case 1 首先我們先考慮折射率高對比、單一導波模態的彎曲波導結構
入射波長 1.55 mμ
Core 折射率 3.5
Cladding 折射率 1
模態數 300
μm
Core 寬度 0.2
Cladding 寛度 10 mμ
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.05 0 0.05 0.1 0.15
X in micron
Nomalized intensity,a.
圖 2.2-1 0
u.
2000
r = μm前 20 個彎曲波導特徵模態
圖 2.2-1 是利用平行層波導模態對彎曲半徑為 2000 mμ 的彎曲波導，
展解出來的前 20 個彎曲波導特徵模態，我們可以很清楚的看到前幾 個模態，除了導波模態態量集中在 core 之外，其它的 cladding mode
能量都其中在 而且前面 ode 能量其
， cladding， 幾個較低階的 cladding m
中在較外圍的 cladding，代表著輻射現象較強的模態 而且導波模態 比較容易會耦合到這幾個模態。
50 100 150 200 250 300 100
150
200
250
300
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
圖 2.2-2 r0 =2000μm 模態正交積分結果
圖 2.2-2 是利用彎曲波模特徵模態正交積分的式子對r0 =2000μm所得 到的結果，我們可以很清楚發現上圖只有主對角線有值，且值為1而 其它地方都是零，代表所以得到彎曲波導特徵模態的正交特性非常 好。接著我們將秀出對相同參數的波導、不同的彎曲半徑的彎曲波導 做一系列的數值分析結果，包括模態場型及正交積分式的結果。其中 我們把模態正交積分結果之主對角線的值扣掉，這樣更能看出正交的 情形。
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
圖 2.2-7 r0 =300μm 前 20 個彎曲波導特徵模態
50 100 150 200 250 300
50
100
150
200
250
300
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
圖 2.2-8 r0 =300μm 模態正交積分結果
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
Case 2考慮折射率低對比、單一導波模態的彎曲波導結構
入射波長 1.55μm
Core折射率 1.5
Cladding 折射率 1.4
模態數 300
Core寬度 1.4μm
Cladding寛度 40μm
10 20 30 40 50 60 70 80
10 20 30 40 50 60 70 80 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
圖 2.2-15 r0 =500μm 前 50 個彎曲波導特徵模態
50 100 150 200 250 300
50
100
150
200
250
300
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
圖 2.2-16 r0 =500μm 模態正交積分結果
10 20 30 40 50 60 70 80
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
10 20 30 40 50 60 70 80 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
圖 2.2-19 r0 =100μm 前 50 個彎曲波導特徵模態
50 100 150 200 250 300
50
100
150
200
250
300
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0 100 m 模態正交積分結果 r = μ
圖 2.2-20
10 20 30 40 50 60 70 80
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
Case 3考慮折射率高對比、多模態導波模態的彎曲波導結構
入射波長 1.55μm
Core折射率 3.5
Cladding 折射率 1
模態數 300
導波模態數 5
Core寬度 1μm
Cladding寛度 10μm
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized iny,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
Case 4考慮折射率低對比、多模態導波模態的彎曲波導結構
入射波長 1.55μm
Core折射率 1.5
Cladding 折射率 1.4
模態數 300
導波模態數 5
Core寬度 7μm
Cladding寛度 20μm
5 10 15 20 25 30 35 40 45 0
0.05 0.1 0.15 0.2
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
-31 r0 =500μm
圖 2.2 前 50 個彎曲波導特徵模態
50 100 150 200 250 300
50
100
150
200
250
300
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
圖 2.2-32 r0 =500μm 模態正交積分結果
5 10 15 20 25 30 35 40 45
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
5 10 15 20 25 30 35 40 45
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
5 10 15 20 25 30 35 40 45
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
以平行層波導模態展解TE wave的彎曲波導模態，優點在於避免對於 在一個複雜的函數下找模態，如Bessel function。而我們在絕大部分 的參數下，找出的模態都有不錯的正交特性，但對於彎曲半徑都較小 時，正交特性就變得比較差。在Case 2 中我們發現在低折射率對比
、cladding 厚度較大(40 的參數中，當r0 =50μm
(Δ =n 0.1) μm) 及
0 100
r = μm，其彎曲波導模態的正交特性變差如圖2.2-20 及2.2-22。 其原因為原本彎曲波導結構的正交基底為Bessel function，而我們用
的平行層波導模態為類似像sin 解，當彎曲
半徑小到某一個程度，其彎曲波導的特徵模態基底不能只用這些模態 去做，需要更多的平層波導模態去做展解。而我們知道利正交特性不 好的特徵模態去配合FEMET或者是CTMIE 做場型分析，會影響其 分析場型精確度。為求更精確的特徵模態，我們試著利用更多的衰減 波模態去減少truncation error，礙於電腦的記憶體，我們最多取至1000 個模態，但我們發現其效果並不好。所以我們進而換一種方式將
cladding的厚度減少，使平行層波導的特徵模態能有非常大的比例的 衰減波模態，如此一來更能減少truncation error，改善其彎曲波導模 態的正交特性如圖(2.2-40)及(2.2-42)。
和cos函數的弦波去做展
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
X in micron
alizensiu.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.2 0.4 0.6 0.8
X in micron
Nomalized intensity,a.u.
0 50 m
r = μ
圖 2.2-41 cladding 厚度10 mμ 前 50 個彎曲波導特徵模態
50 100 150 200 250 300
50
100
150
200
250
300
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
圖 2.2-42 r0 =50μm cladding 厚度10 mμ 模態正交積分結果