以平行層波導模態展解柱座標彎曲波導模態

全文

(1)⊕ 國立中山大學光電工程研究所碩士論文. 以平行層波導模態展解柱座標彎曲波導模態 Expansion of Cylindrical layered modes from planar layered modes of equivalent structure. 研究生：楊易錚撰指導教授：張弘文博士. 中華民國九十六年六月.

(2)

(3)

(4)

(5) 誌. 謝. 對於本篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授張弘文博士，在他教導下，使我在電磁理論及光波導理論上有很好的基礎，讓我在研究所這段期間內，學到如何去做研究，及如何分析並解決研究上的困難，在光電域領上，有更深層的了解。並且也要感謝在實驗室中的兩位博士班學長劉先墉、程偉麒，和己畢業的碩士班學長黎聯群、碩士班同學王建銘、楊昇默、李宗桂、楊仁光及學弟盧世敏、賴聲州、施健華。在研究所兩年來的生活裡，給我很多的照顧及支持，讓我過得很愉快，並在互相討論的過程之中，了解到很多自己不知道的事及想法。最重要的是感謝長期辛苦栽培我的父母，以及姐姐的熱切指導、學業上的鼓勵、建議，有他們的支持我才能順利完成碩士學業以及論文研究。本論文感謝國立中山大學發展國際一流大學及頂尖研究中心計畫和國科會-特殊數值方法在積體光學圓柱座標的分析及應用(NSC 94-2215-E-110-012)的贊助。. 楊易錚 2007. 06 于西子灣. I.

(6) 以平行層波導模態展解柱座標彎曲波導模態中文摘要目前光波導積體元件有許多部分是連續彎曲(continuously bending) 形式的波導，所以彎曲形式的波導場型分析顯得格外重要。光在傳統上彎曲波導的計算大部分是光束傳播法(BPM)，雖然光束傳播法計算快速，但使用單向傳播與近光軸的近似，在大角度彎曲波導元件的分析算出來的場型不夠精確。一般目前最常用時域有限差分法(FD-TD)來分析光波導元件光場的傳播，雖然時域有限差分法是個有效的方法，但是分析尺寸較大的元件時，需要大量記憶體和運算時間。假如光在連續彎曲波導元件傳播沒有什麼反射情形產生，為求加快運算速度，保持精確，我們提出以圓柱波導模態(circular modes)配合全特徵模態展開法(Full eigen-mode expansion technique, FEMET), 圓柱坐標聯立橫模耦合積分方程(cylindrical couple transverse-mode integral-equation, C-CTMIE)來對不同彎曲程度的彎曲波導做分析與精算。利用 FEMET 及 CTMIE 來分析彎曲波導需要用到圓柱座標基底模態 (circular mode basis)，但圓柱座標基底模態涉及 Bessel functions，其模態並不好找，所以我們提出一個利用直角座標平行層的特徵模態來展解圓柱座標彎曲波導特徵態的方法。透過圓柱座標重新歸化(renormalization) 直角座標平行層的特徵模態、得到一個矩陣特徵值、特徵向量的方程式。此方法可以較快速、簡單地找出圓柱座標基底模態。最後我們提出以 whisper gallery modes 的設計，可以減少彎曲波導的輻射耗損(radiation loss) 。 II.

(7) Expansion of cylindrical layered modes from planar layered modes of an equivalent structure Abstract Present day optical integrated circuits contain many continuously bending waveguides making it important to study EM field profiles of bending waveguides.. The mostly widely used numerical method for. analyzing bending waveguides is the beam propagation method (BPM). Although it can calculate very fast, BPM results are not accurate enough in many wide-angle applications due to BPM’s intrinsic paraxial approximation. Recently, full-wave based finite-difference time-domain technique has become quite popular and has been used to study many optical devices. Unfortunately it can not be used to study smoothly bending waveguides due to huge computational resource requirements needed for these large optical devices.. In the absence of reflection in a bending waveguide, other one. way, wide-angle methods can be applied. In this thesis we propose two such methods to analyze different kinds of bending waveguides.. We use. full eigen-mode expansion technique (FEMET) when reflection is negligible. In cases where reflection is strong, we propose a cylindrical couple transverse-mode integral-equation (C-CTMIE) to do the job. Both FEMET and CTMIE methods are built on complete sets of circular layered modes of the underlying structure.. These modes are not easy to. solve because the standard cylindrical mode solver requires extensive references to Bessel functions of complex arguments and orders.. Here in. this thesis, we proposed to expand cylindrical layered modes from planar layered modes of an equivalent structure.. In essence, we renormalize the. existing planar layered waveguide modes and turn them into desired circular layered modes.. We show that using a matrix eigenvector formulation, this. relatively simple technique is not only quite fast but also produces very accurate results.. Finally using these circular modes various S-bend. waveguides are analyzed.. We also present a design to minimize the. radiation loss of a circular waveguide using whisper gallery modes. III.

(8) 目錄第一章導論. 1. 1.1. 簡介.............................................................................1. 1.2. 彎曲波導特徵模態.....................................................4. 1.3. 保角轉換.....................................................................8. 第二章平行層波導模態展解彎曲波導特徵模態. 12. 2.1. 理論推導...................................................................12. 2.2. 彎曲波導模態數值模擬結果...................................19. 2.3. 分析與討論...............................................................43. 第三章全特徵模態展開法分析彎曲波導. 46. 3.1. TE 入射 FEMET 理論架構推導..............................46. 3.2. FEMET 模擬分析結果................................... ......... 52. 3.3. 分析與討論...............................................................76. 第四章 CTMIE 理論分析彎曲波導. 77. 4.1-1 CTMIE(TE wave)方程式推導 .................................77 4.1-2 PQRS 聯立積分方程式............................................84 4.1-3 重疊積分...................................................................88 4.2. CTMIE 模擬分析結果 .............................................96. 第五章結論與未來研究. 104 IV.

(9) 參考文獻. 106. 中英文對照表. 109. V.

(10) 第一章導論 1. 1 簡介在光波導積體元件當中，有許多元件為了要有濾波的功能或者是需要在相位上的補償，可能會需要彎曲形式的波導，因此彎曲形式的波導在光積體波導元件中扮演了一個很重要的角色。但光在彎曲波導裡傳播的過程中，由於光的行徑方向是直線，可能會因為彎曲波導場型的侷限能力不夠而產生輻射耗損(radiation loss)，加上隨著不同結構的波導連接，會造成轉換耗損(transition loss)[1],[2]，而這些在光波導積體元件設計上，都應該極力去避免的。所以在場型分析上，彎曲波導的場型分析顯得格外重要，在傳統上波導的計算大部分是利用光束傳播法(Beam Propagation Method, BPM)，但是因為 BPM，只考慮單方向傳播，加上大量近光軸的近似，所以針對彎曲波導元件的分析而言，算出來的場型會不夠精確，所以接著衍生出各種不同系統的光束傳播法 [4],[5],[6]來做場型計算，但還是要加上其它的合理的傳播近似[7],[8]，否則和實際場型有很大的差距。另一個分析光波導元件最常見的方法是時域有限差分法 (Finite Difference-Time Domain, FDTD)，雖然 FDTD 是個有用的方法，但是往往為了使彎曲波導的輻射耗損小，彎曲波導的半徑都會用較大的尺寸。而 FDTD 分析尺寸較. 1.

(11) 大的元件時，需要大量記憶體和運算時間，所以 FDTD 對大尺寸彎曲半徑的波導元件分析顯得並不是那麼的容易，而且在運算上也需要較多的時間，所以也有許多論文分析波導是將有限差分和光束傳播法做結合,產生所謂的 FD-BPM[9]。目前保角轉換[10]是最常見到用來分析彎曲波導場型的一個技巧，它能將一個直角座標的彎曲波導對應到一個極座標的波導結構，再配合各種不同的 BPM[11] 或者 Airy function[12]-[16]做分析。為求快速和精確，在本論文利用全特徵模態展開法(Full eigen mode expension technique FEMET)、及考慮雙向傳播的聯立耦合的積分方程(Couple transverse mode integral equation , CTMIE)，來對各種不同彎曲半徑及不同結構的彎曲波導分析。其中重要的是牽涉到要如何找彎曲波導的特徵模態，在傳統上，因為圓柱座標的波方程式，其特徵模態牽涉在貝索函數上求解[17]，而在貝索函數上求解是一件困難的事，所以經過論文的探討[18],[19]，本論文提出用直角座標的特徵模態來展解圓柱座標的彎曲波導特徵模態，這個方法可以較快速的找出小角度彎曲波導的傳播矩陣並且找出彎曲波導的特徵模態。有了這些彎曲波導的特徵模態函數，我們可以經由 FEMET 和 CTMIE[20],[21]配合彎曲波導的特徵模態，就可快速地得到精確的場. 2.

(12) 型分析，及找出降低其損耗的設計，並從其特徵模態函數找出其彎曲波導的物理機制。. 3.

(13) 1. 2 彎曲波導特徵模態 x. ΙΙΙ. EW. E2. ΙΙ. ρˆ. E1 EW. Ι φˆ. φ. n1. n2. n3 y. r1 r2. r3 r4 圖 1.2-1 彎曲波導結構圖. 在傳統上，我們考慮 TE 入射的情形，其分量為 {Ez , H ρ , H φ } ，彎曲波導的結構如上圖(1.2-1)， n1 , n2 , n3 分別為 Ι1 區， ΙΙ 2 區， ΙΙΙ3 區的折射率， r1 , r2 , r3 , r4 分為介面及邊界的位置，接著我們在內徑和外徑加上電牆，目的是為了將模態不連續化，使此問題可以在電腦上求解矩陣的反衍。而我們知道，解此彎曲結構的波導，必需滿足波動方程式. 4.

(14) (∇2 + k 2 ) Ez = 0. (1.2-1). 而我們考慮波動方程式在圓柱座標下，可改寫成 ⎡1 ∂ ⎤ ∂2 1 ∂2 + + + k 2 ⎥ Ez ( ρ , φ ) = 0 ⎢ ∂ 2 2 2 ⎣ ρ ρ ∂ ρ ρ ∂φ ⎦. (1.2-2). 再利用分離變數法 ⇒ Ez ( ρ , φ ) = Ez ( ρ ) Ez (φ ) 將 Ez ( ρ , φ ) 代入波動方程式可以整理為兩個不同變數的微分方程 φ 變數的微分方程為： ⎡ ∂2 ⎤ ⇒ ⎢ν 2 + 2 ⎥ Ez (φ ) = 0 ∂φ ⎦ ⎣. (1.2-3). 其特徵函數為 Ez (φ ) = {e− jνφ , e jνφ } ρ 變數的微分方程為： ⎡1 ∂ ∂2 ν2 ⎤ 2 + + − k E (ρ ) = 0 ⎢ ∂ 2 ρ 2 ⎥⎦ z ⎣ρ ρ ∂ ρ. (1.2-4). 上式為貝索函數(Bessel function)，其特徵函數為 Ez ( ρ ) = { Jν ( ρ ) , Yν ( ρ )} 接著我們將每一區的場型用每一區的特徵函數來表示，並只考慮單一方向傳播：第Ι區 Ez = AJ ν (k1ρ )e− jνφ + BYν (k1ρ )e− jνφ. (1.2-5). 第 ΙΙ 區 Ez = CJ ν (k2 ρ )e− jνφ + DYν (k2 ρ )e− jνφ. 第 ΙΙΙ 區. 5. (1.2-6).

(15) Ez = EJ ν (k3ρ )e− jνφ + FYν (k3ρ )e− jνφ. (1.2-7). 其中磁場分量為 Hφ =. ∂E 1 1 ∂E z (− z ) = ( ) jwu ∂ρ − jwu ∂ρ. (1.2-8). Hρ =. 1 1 ∂E z ( ) − jwu ρ ∂φ. (1.2-9). 由電牆邊界條件電場為零，及介面上電場連續、磁場連續，我們可以得到下列六個方程式： Ez = 0. ρ = r1. ⇒ AJ ν (k1r1 )e− jνφ + BYν (k1r1 )e− jνφ = 0. Ez cont.. (1.2-10). ρ = r2. ⇒ AJ ν (k1r2 )e− jνφ + BYν (k1r2 )e− jνφ − CJ ν (k2 r2 )e− jνφ − DYν (k2 r2 )e− jνφ = 0. H φ cont.. (1.2-11). ρ = r2. ⇒ An1 J ν′ (k1r2 )e− jνφ + Bn1Yν′(k1r2 )e− jνφ − Cn2 J ν′ (k2 r2 )e− jνφ − Dn2Yν′(k2 r2 )e− jνφ = 0. (1.2-12). Ez cont.. ρ = r3. ⇒ CJ ν (k2 r3 )e− jνφ + DYν (k2 r3 )e− jνφ − EJ ν (k3 r3 )e− jνφ − FYν (k3 r3 )e− jνφ = 0. H φ cont.. ρ = r3. 6. (1.2-13).

(16) ⇒ Cn2 J ν′ (k2 r3 )e− jνφ + Dn2Yν′(k2 r3 )e− jνφ − En3 J ν′ (k3r3 )e− jνφ − Fn3Yν′(k3r3 )e− jνφ = 0. (1.2-14) Ez = 0. ρ = r4. ⇒ EJ ν (k3 r4 )e− jνφ + FYν (k3 r4 )e− jνφ = 0. (1.2-15). 可以得到依邊界條件電場連續、磁場連續所寫成的六個聯立方程式改寫成矩陣的型式 ⎡ J ν (k1r1 ) ⎤ ⎡ A⎤ 0 Yν (k1r1 ) 0 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ J ν (k1r2 ) ⎥ ⎢ B⎥ 0 − − ( ) ( ) J k r Y k r ( ) 0 Y k r ν 2 2 ν 2 2 ν 1 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ n J ′ (k r ) n Y ′(k r ) −n J ′ (k r ) −n Y ′(k r ) ⎥ ⎢C ⎥ 0 0 1 ν 1 2 2 ν 2 2 2 ν 2 2 ⎥⎢ ⎥=0 ⇒ ⎢⎢ 1 ν 1 2 ⎥⎢ ⎥ − ( ) Y k r − 0 0 ( ) ( ) ( ) J k r Y k r J k r ν 3 3 ⎥ ⎢ D⎥ ν 2 3 ν 2 3 ν 3 3 ⎢ ⎢ 0 0 n2 J ν′ (k 2 r3 ) n2Yν′(k2 r3 ) −n3 J ν′ (k3r3 ) −n3Yν′(k3r3 )⎥⎥ ⎢⎢ E ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 J ν (k3r4 ) Yν (k3r4 ) ⎦⎥ ⎣⎢ F ⎦⎥ ⎣⎢. ⇒ P6×6. ⎡ A⎤ ⎢ ⎥ ⎢ B⎥ ⎢ ⎥ ⎢C ⎥ i ⎢⎢ ⎥⎥ = 0 ⎢ D⎥ ⎢E ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ F ⎦⎥. (1.2-16). 經過上述整理，假如我們要求得 ABCDEF 係數的非明顯解(non-trivial solution)，可以令 det P = 0 ，就可以求得圓柱座標彎曲波導的傳播常數 ν 和特徵模態，但 A 過於復雜，是個 6× 6 的矩陣，加上此問題牽涉在貝索函數裡找根，所以用此方法找彎曲波導的特徵模態函數是一個非常困難的問題。 7.

(17) 1. 3 保角轉換(Conformal. Mapping). 保角轉換[10]是目前最常見到用來分析彎曲波導場型的一個技巧，它是利用卡氏座標和極座標之間的轉換，將一個直角座標的彎曲波導對應到一個極座標的波導結構。而經過保角轉換會讓直角座標下彎曲波導的折射率重新分佈，會得到在極座標下一個新的折射率分佈形式的直線波導。所以利用此方法去求解彎曲波導的特徵模態，就必須要能在極座標下解這個新折射率分佈的直線波導，避免去在特殊函數下去求解彎曲波導的模態函數和得到逸漏型模態函數 (leaky mode)，而解出來其極座標下的模態函數，再經過座標轉換就能得到在卡氏座標下的彎曲波導的特徵模態函數。方法如下：首先考慮一個 TE 模態入射，卡座標下的彎曲波導，滿足的是二維純量的波動方程式 ⇒ ⎡⎣∇ 2x , y + k 2 ( x, y ) ⎤⎦ψ = 0. (1.3-1). 而卡氏座標轉轉換至極座標的定義 W = u + iv = f ( Z ) = f ( x + iy ) 接著依照定義將原本直角座標下的波方程式改寫 ⎡⎣∇. 2 x, y. 2 ⎡ 2 ⎤ dZ k 2 ( x(u , v), y (u, v)) ⎥ψ = 0 + k ( x, y ) ⎤⎦ψ = 0 ⇒ ⎢∇ u ,v + dW ⎣⎢ ⎦⎥ 2. 其中 dW / dZ = (∂u / ∂x)2 + (∂v / ∂x) 2 2. 8. (1.3-3).

(18) 然後再利用 W = R2 ln( Z / R2 ) ，將 Z 平面下的結構轉換至 W 平面。在卡氏座標下的彎曲波導經過保角轉換映射至複數平面上，我們可以得到一個直線形的波導結構，其寛度為從 u = 0 到 u = − R1 ln( R2 / R1 ) ，而其折射率分佈也從步階式的函數，變成較復雜的指數函數 ns = n(u )eu / R 。 2. iv W plane. Z plane. n3. R2. n2. θ. n1. 1. 3. 3. 2. 2. u. 1. θ R2. R1. u = R2 ln(. ρ R2. ). 圖 1.3-1 彎曲波導結構變化圖. n( ρ ). ns (u ). Z plane. n2 n1 n3. n2 n1 n3. ρ. n2eu / R2. ρ O. 圖 1.3-2 折射率分佈變化圖. 而我們不難發現，這個經過座標平面轉換，彎曲波導的結構變成一個 9. W plane. n1eu / R2. R − R2 ln( 2 ) R1. R1 R2. n3eu / R2.

(19) 在極座標下等效平行層波導結構(圖 1.3-1)，但其經過轉換後的折射率分佈變得非常複雜(圖 1.3-2)，要求這樣結構完整的特徵模態函數，是一件困難的事。而大部份人在分析上的作法是依照此結構，假設欲分析彎曲波導半徑遠大於 core 的寛度，可以利用泰勒展開式將其復雜折射率分佈，變成單純的線性函數，再配合 BPM[11]的方法或者利用 Airy Function[12]-[16]，將場型求解出來。但因為 BPM 在傳播的過程只考慮單方向傳播並且使用大量近光軸傳播的近似，並不考慮與光軸夾角角度較大的光場，其分析的輻射場型並不精確。而我們也從其它論文的探討之中，了解大部分的論文都只針對於較彎曲半徑大、光場侷限能力較差的彎曲波導做分析，其原因是因為如此才能利用泰勒展開式將保角轉換出來的複雜折射率函數，近似成片段線性的函數，避開去分析一個複雜折射率函數的直線波導結構，且光場侷限能力較差的彎曲波導，對場型的收斂上也有較大的幫助，所以保角轉換在分析上也有限制存在。從以上的種種理由，我們經過論文的探討[18]，找到一個利用平行層波導特徵模態來展解彎曲波導特徵模態的方法，此方法是直接在傳播相位上做修正，再利用特徵值和特徵向量的問題，去求解彎曲波導的特徵模態。假如對我們而言要找完整的平行層波導模態，是個可. 10.

(20) 以解決的問題而且快速的話，那就可以利用此方法來求解彎曲波導的場型。在本論文中，我們要重新推導以平行層波導模態展解彎曲波導模態的方法，並且驗證求解出來彎曲波導模態的正確性，並且對各種不同結構的彎曲波導分析。. 11.

(21) 第二章平行層波導模態展解彎曲波導特徵模態 2.1 理論推導平行層波導模態展解彎曲波導特徵模態，這個方法的優點在於避免像之前導論中，在複雜的特殊函數裡找根，而這個方法在其它論文 [18],[19]中也有提到，但在這些論文之中考慮的模態過少，只利用第一階的逸漏型模態(Leaky mode)和第一階的導波模態(guide mode)去展解彎曲波導模態。而我們知道光在介電質波導中傳遞時，存在著許多特徵模態，只用少許的模態去分析，對於整體的場型描述及能量耗損的計算是不夠的。在此我們將方程式再重新推導並且考慮更多的平行層波導模態去做展解，使這個方法用來分析及計算彎曲介電質波導場型會更加精確，使這個問題會做得更好。如圖 2.1-1 所示，我們考慮一個圓柱座標下極小角度彎曲的波導結構，而其輸入端和輸出端分別接上卡氏座標下直線形的波導結構，我們在上下邊界分別加上電牆，假如我們已經知道平行層波導完整的特徵模態函數 φ n ( x ) ，其特徵模態函數彼此互相正交，那我們可以利用已知直角座標平行層波導模態 φ n ( x ) 來展解圓柱座標的彎曲波導特徵模態ψ n ( ρ ) 。. 12.

(22) rˆ θˆ. φn. n3. Δz. n2. ψn. n1. r0. EW. Δθ. xˆ. EW. xˆ. zˆ • (0, 0). zˆ. 圖 2.1-1 極小角度彎曲波導結構. 首先我們令入射波為 ui ( x, z ) = φi ( x)e− jβ z ，當在第一個介面時 z = 0 ， i. ui ( x, z ) |z = 0 = φi ( x )e − j βi z |z = 0 = φi ( x) 。假如 Δθ ⋅ r. λ ，在這個極小角度的彎曲. 之下，此小角度的彎曲波導相當於一個直線的波導，其傳播的距離相當為 z = Δz = x ⋅Δθ ，由此可知其相位上的傳播會隨著距離原點的位置不同而不同，和弧長成正比。所以我們直接在相位上做調整，傳播至第二個介面上其場型的改變為 ui (r ,θ ) |θ =Δθ ≅ φi ( x)e− jβ Δz = φi ( x)e− jβ x Δθ ，而這 i. 13. i.

(23) 個經過小角度彎曲波導傳播至 θ = Δθ 介面的單一模態，可以用平行層介電質波導的特徵模態做線性組合表示 ui (r , θ ) |θ =Δθ = φi ( x)e − j βi x Δθ N. = ∑ pijφ j ( x) j =1. (for θ = 0, φ j ( x) = φ j (r )). (2.1-1). N. = ∑ pijφ j (r ) j =1. 其中 pij 為平行層波導模態線性組合的係數，此係數我們可以利用其平行層波導模態的正交特性求出 pij = φi | u (r , Δθ ) = φi (r ) | e. 而對於 e. − j β j r Δθ. − j β j r Δθ. (2.1-2). | φ j (r ). ，因為我們假設是小角度彎曲 Δθ ⋅ r. λ ，所以我們可以. 將此項用泰勒式做展開求至第一項 − j β j r∇θ. e. ≈ 1− jβ j rΔθ. (2.1-3). 所以其線性組合係數 pij 為 pij = φi (r ) |1 − j β j r Δθ | φ j (r ) = φi | φ j − j β j Δθ φi (r ) | r | φ j (r ). (2.1-4). = δ ij − j β j Δθ φi (r ) | r | φ j (r ) = δ ij − j β j Δθ aij aij = φi (r ) | r | φ j (r ). 上式是針對其中一個平行層模態入射的情形，同理假如現在入射場型 N. 是平行層波導模態的線性組合 ∑ ciφi ( x) ，利用矩陣的形式表示， i=1. ui (r , θ = 0) = φ(r ) ⋅ C. (2.1-5) 14.

(24) 其中 CT = [c1 , , cN ] 、 φ(r ) ≅ [φ1 (r ), , φN (r )] 接著我們定義一個經過小角度彎曲波導的傳播矩陣 P(Δθ ) ，同理根據先前的推導傳播矩陣為 ⎡ β1 P(Δθ ) = I − jΔθ ⎡⎣ φi (r ) | r | φ j (r ) ⎤⎦ ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0. β1. 0 0. 0⎤ 0 ⎥⎥ β N ⎥⎦. (2.1-6). β N 為平行層波導的傳播常數. ⎡ a11 令 A = ⎢⎢ ⎢⎣ aN 1. a1N ⎤ ⎥ ⎥ aNN ⎥⎦ N × N. aij = φi (r ) | r | φ j (r ). Β. ⎡ β1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0. 0 0. 0⎤ 0 ⎥⎥ β N ⎥⎦. 得到傳播矩陣 P(Δθ ) = I − jΔθ AΒ 我們再讓 x = r − r0 ，經整理 P(Δθ ) = I − jr0 Δθ I B − j Δθ A B = I − jr0 B ⋅ Δθ − j A 0 B ⋅ Δθ. (2.1-7). = I − jΔθ (r0 B + A 0 B). ⎡ β1 其中 B = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0. 0 0. 0⎤ 0 ⎥⎥ , A 0 = ⎡⎣ φi ( x ) | x | φ j ( x ) ⎤⎦ β N ⎥⎦. 在此我們得到了一個小角度彎曲波導的傳播矩陣 P(Δθ ) ，只要我們知道輸入場型是平行層波導的線性組合，則其輸出場型為 u (r , θ ) |θ=Δθ = φ(r ) ⋅ P(Δθ ) ⋅ C. 然後假設彎曲波導中的第 i 個特徵模態為ψ i (r ) ，將它利用平行層波導 N. 模態做線性組合表示ψ i (r ) = ∑ dij φ j (r ) 。 j =1. 15.

(25) 假設我們在 θ = 0 時的輸入場型是彎曲波導的第 i 個特徵模態 ui (r , 0) = ψi (r ) ⇒ ui (r , θ ) = φ(r ) ⋅ d. (2.1-8). 其中 d = ⎡⎣ di ,1 , , di , N ⎤⎦ φ(r ) ≅ [φ1 (r ), , φN (r )] (平行層特徵模態) 則經過一個小角度的彎曲波導，我們知道輸出場型為 u (r , θ ) |θ=Δθ = φ(r ) ⋅ P(Δθ ) ⋅ d. 而在圓柱座標系統下，利用彎曲波導的特徵模態表示輸出場型，剛好是 u (r , θ ) |θ=Δθ = ψi (r ) ⋅ e− jνΔθ 在此我們不難發現利用傳播矩陣 P(Δθ ) 表示小角度彎曲波的輸出場型和在圓柱座標系統下利用彎曲波導的模態表示輸出場型，自成一個特徵值、特徵向量的問題。 φ(r ) ⋅ P(Δθ ) ⋅ d = ψi (r ) ⋅ e− jνΔθ. ⇒ φ(r )P(Δθ ) ⋅ d = φ(r )e− jνiΔθ ⋅ d. (特徵值、特徵向量的問題). (2.1-9). 相同地，我們假如入射場型是彎曲波導模態的線性組合，再用平行層介電質波導模態做展開 N. u (r , θ ) |θ=0 = ∑ d j ψ j (r ) j =1. = φ( r ) ⋅ D. ⎡ d11 D = ⎢⎢ ⎢⎣ d N 1. d1N ⎤ ⎥ ⎥ d NN ⎥⎦ N × N. φ(r ) ≅ [φ1 (r ),. 則輸出場型為 16. , φN (r ) ]. (2.1-10).

(26) u (r , θ ) |θ=Δθ = φ(r ) ∗ P(Δθ ) ∗ D ⎡ e− jν1Δθ ⎢ = φ(r ) ∗ D ∗ ⎢⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣. 0 0. ⎡ e− jν1Δθ ⎢ ⇒ P(Δθ ) ∗ D = D ⎢⎢ 0 ⎢ 0 ⎣⎢. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ e− jν N Δθ ⎥⎥⎦ 0 0. 0 0. (2.1-11). ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ e− jν N Δθ ⎥⎦⎥ 0 0. 經由上面的式子我們不難發現此問題為求解傳播矩陣 P(Δθ ) 的特徵值及特徵向量，其特徵向量為用彎曲波導特徵模態用平行層波導模態線性組合的係數，而 P(Δθ ) 和矩陣 (r0B ⋅+A 0B) 的特徵向量相同，所以我們只要解 (r0B ⋅+A 0B) 的特徵向量，就可以得到 P(Δθ ) 的特徵向量，但因為. (r0B ⋅+A 0B) 並不是一個對稱的矩陣、所以直接解 P(Δθ ) 的特徵向量並不滿足正交特性。所以我們換個方式，在矩陣上做處理，利用矩陣相似轉換的觀念，先得到一個對稱化的矩陣，求得其對稱化矩陣彼此正交的特徵向量，再轉回原本的矩陣空間的特徵向量過程如下：令 A = ( r0 B ⋅ + A 0 B ) ，而其相似矩陣為 S = B ⇒. (S. −1. 1 (− ) 2. ，將 AX = λ X 相似化. ). AS Y = λ Y. (. ). 其中 S −1AS 為複數對稱的矩陣，其特徵向量 Y 滿足正交特性 Y iY T = δ nm 1 ( ). 我們再將特徵向量 Y 乘上 B 2 就能得到原矩陣 A 彼此正交的特徵向量 17.

(27) X 。而傳播矩陣 P(Δθ ) 的特徵值為彎曲波導特徵模態的傳播相位. e− jνiΔθ ，而因為 Δθ ⋅ ν. λ ，所以 e− jνiΔθ 可以近似成 1− jν i Δθ ，再從傳播. 矩陣 P(Δθ ) 來看，我們不難發現因為 P(Δθ ) = I − j Δθ (r0 B + A 0 B) ，所以彎曲波導特徵模態的傳播常數剛好也是矩陣 (r0B ⋅ +A 0B) 的特徵值，由此可知，我們只要解矩陣 (r0B ⋅+A 0B) 的特徵值和特徵向量就可以得到彎曲波導的特徵模態和傳播常數，我們就可以利用全特徵模態展開法. (FEMET) 和聯立橫向耦合積分方程 (CTMIE) 對不同的半徑的彎曲波導做場型的分析。. 18.

(28) 2.2 彎曲波導模態數值模擬結果首先我們要對以平行層波導模態展解彎曲波導所得到的 TE wave 特徵模態做分析，因為我們必須確定利用上述方法得到的彎曲波導特徵模態是否正確，確定其正確性我們才能進而利用 FEMET 及 CTMIE 對各種不同參數的彎曲波導做場型傳播分析。而檢驗的方法是利用彎曲波導特徵模態的正交積分式： ψ n ( ρ ) ρ ψ m ( ρ ) ≡ ∫ψ n ( ρ ) ρ [ψ m ( ρ )]d ρ ∝ δ nm. (2.2-1). 因為此積分式並不是任意結構的波導態特徵模態能滿足，假如我們求得的特徵模態利用此積分式做計算，能有不錯的正交特性，則我們可以利用其特徵模態對彎曲波導場型傳播做分析。接下來，我們會對不同的彎曲半徑、不同折射率對比，多模態或單模態的彎曲波導結構做求解。. Case 1 首先我們先考慮折射率高對比、單一導波模態的彎曲波導結構 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 3.5. Cladding 折射率. 1. 模態數. 300 0.2 μ m. Core 寬度 19.

(29) 10 μ m. Cladding 寛度. Nomalized intensity,a.u.. 0.15. 0.1. 0.05. 0. -0.05. 2. 4. 圖 2.2-1. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 2000 μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態. 圖 2.2-1 是利用平行層波導模態對彎曲半徑為 2000 μ m 的彎曲波導，展解出來的前 20 個彎曲波導特徵模態，我們可以很清楚的看到前幾個模態，除了導波模態態量集中在 core 之外，其它的 cladding mode 能量都其中在 cladding，而且前面幾個較低階的 cladding mode 能量其中在較外圍的 cladding，代表著輻射現象較強的模態，而且導波模態比較容易會耦合到這幾個模態。. 20.

(30) 0.9 50. 0.8 0.7. 100. 0.6 150. 0.5 0.4. 200. 0.3 0.2. 250. 0.1 300. 50. 圖 2.2-2. 100. 150. 200. 250. 300. r0 = 2000μ m 模態正交積分結果. 圖 2.2-2 是利用彎曲波模特徵模態正交積分的式子對 r0 = 2000 μ m 所得到的結果，我們可以很清楚發現上圖只有主對角線有值，且值為 1 而其它地方都是零，代表所以得到彎曲波導特徵模態的正交特性非常好。接著我們將秀出對相同參數的波導、不同的彎曲半徑的彎曲波導做一系列的數值分析結果，包括模態場型及正交積分式的結果。其中我們把模態正交積分結果之主對角線的值扣掉，這樣更能看出正交的情形。. 21.

(31) 0.25. Nomalized intensity,a.u.. 0.2. 0.15. 0.1. 0.05. 0. -0.05 2. 4. 圖 2.2-3. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 1000μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態 -3. x 10 9 8. 50. 7 100. 6 5. 150. 4 200. 3 2. 250 1 300. 50. 圖 2.2-4. 100. 150. 200. 250. r0 = 1000μ m 模態正交積分結果 22. 300.

(32) 0.4 0.35. Nomalized intensity,a.u.. 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1. 2. 4. 圖 2.2-5. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 500μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態 -3. x 10 18 16 50 14 100. 12 10. 150 8 200. 6 4. 250 2 300. 50. 100. 圖 2.2-6. 150. 200. 250. r0 = 500μ m 模態正交積分結果 23. 300.

(33) 0.5. Nomalized intensity,a.u.. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. -0.1 2. 4. 圖 2.2-7. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 300μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態. 0.03. 50. 0.025. 100. 0.02. 150. 0.015. 200. 0.01. 250. 0.005. 300. 50. 100. 圖 2.2-8. 150. 200. 250. r0 = 300μ m 模態正交積分結果 24. 300.

(34) 0.8 0.7. Nomalized intensity,a.u.. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 2. 4. 圖 2.2-9. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 100μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態. 0.09 0.08 50 0.07 100. 0.06 0.05. 150 0.04 200. 0.03 0.02. 250 0.01 300. 50. 100. 圖 2.2-10. 150. 200. 250. r0 = 100μ m 模態正交積分結果 25. 300.

(35) 1.2. Nomalized intensity,a.u.. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 2. 4. 圖 2.2-11. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 50μ m 前 20 個彎曲波導特徵模態. 0.18 50. 0.16 0.14. 100 0.12 0.1. 150. 0.08 200. 0.06 0.04. 250. 0.02 300. 50. 100. 圖 2.2-12. 150. 200. 250. r0 = 50μ m 模態正交積分結果 26. 300.

(36) Case 2 考慮折射率低對比、單一導波模態的彎曲波導結構. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 1.5. Cladding 折射率. 1.4. 模態數. 300. Core 寬度. 1.4 μ m. Cladding 寛度. 40 μ m. 27.

(37) 0.25. Nomalized intensity,a.u.. 0.2. 0.15. 0.1. 0.05. 0 10. 圖 2.2-13. 20. 30. 40 50 X in micron. 60. 70. 80. r0 = 1000μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.035. 50. 0.03. 0.025. 100. 0.02 150 0.015 200 0.01 250. 300. 0.005. 50. 100. 圖 2.2-14. 150. 200. 250. r0 = 1000μ m 模態正交積分結果 28. 300.

(38) 0.4 0.35. Nomalized intensity,a.u.. 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10. 圖 2.2-15. 20. 30. 40 50 X in micron. 60. 70. 80. r0 = 500 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.07 50. 0.06. 100. 0.05. 0.04 150 0.03 200 0.02 250. 300. 0.01. 50. 100. 圖 2.2-16. 150. 200. 250. r0 = 500μ m 模態正交積分結果 29. 300.

(39) 0.5 0.45. Nomalized intensity,a.u.. 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10. 圖 2.2-17. 20. 30. 40 50 X in micron. 60. 70. 80. r0 = 300 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.11 0.1. 50. 0.09 0.08. 100. 0.07 0.06. 150. 0.05 200. 0.04 0.03. 250. 0.02 0.01. 300. 50. 100. 圖 2.2-18. 150. 200. 250. r0 = 300μ m 模態正交積分結果 30. 300.

(40) 0.8. Nomalized intensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10. 圖 2.2-19. 20. 30. 40 50 X in micron. 60. 70. 80. r0 = 100 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.3. 50. 0.25 100 0.2 150 0.15 200 0.1 250. 300. 0.05. 50. 100. 圖 2.2-20. 150. 200. 250. r0 = 100μ m 模態正交積分結果 31. 300.

(41) Nomalized intensity,a.u.. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 10. 圖 2.2-21. 20. 30. 40 50 X in micron. 60. 70. 80. r0 = 50μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.7 50 0.6 100. 0.5 0.4. 150. 0.3 200 0.2 250 0.1 300. 50. 100. 圖 2.2-22. 150. 200. 250. r0 = 50μ m 模態正交積分結果 32. 300.

(42) Case 3 考慮折射率高對比、多模態導波模態的彎曲波導結構. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 3.5. Cladding 折射率. 1. 模態數. 300. 導波模態數. 5. Core 寬度. 1 μm. Cladding 寛度. 10 μ m. 33.

(43) Nomalized intensity,a.u.. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0 2. 4. 圖 2.2-23. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 500μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.02 0.018. 50. 0.016 100. 0.014 0.012. 150. 0.01 0.008. 200. 0.006 0.004. 250. 0.002 300. 50. 100. 圖 2.2-24. 150. 200. 250. r0 = 500μ m 模態正交積分結果 34. 300.

(44) 0.7. Nomalized intensity,a.u.. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2. 4. 圖 2.2-25. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 300 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.035. 0.03. 50. 0.025. 100. 0.02 150 0.015 200 0.01 250. 300. 0.005. 50. 100. 圖 2.2-26. 150. 200. 250. r0 = 300μ m 模態正交積分結果 35. 300.

(45) 1.2. Nomalized intensity,a.u.. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2. 4. 圖 2.2-27. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 100 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.1 0.09. 50. 0.08 100. 0.07 0.06. 150. 0.05 0.04. 200. 0.03 0.02. 250. 0.01 300. 50. 100. 圖 2.2-28. 150. 200. 250. r0 = 100μ m 模態正交積分結果 36. 300.

(46) 1.8 1.6. Nomalized intensity,a.u.. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2. 4. 圖 2.2-29. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. r0 = 50μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.2 0.18. 50. 0.16 0.14. 100. 0.12 150. 0.1 0.08. 200 0.06 0.04. 250. 0.02 300. 50. 100. 圖 2.2-30. 150. 200. 250. r0 = 50μ m 模態正交積分結果 37. 300.

(47) Case 4 考慮折射率低對比、多模態導波模態的彎曲波導結構. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 1.5. Cladding 折射率. 1.4. 模態數. 300. 導波模態數. 5. Core 寬度. 7 μm. Cladding 寛度. 20 μ m. 38.

(48) 0.25. Nomalized intensity,a.u.. 0.2. 0.15. 0.1. 0.05. 0 5. 10. 圖 2.2-31. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 45. r0 = 500μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.04 50. 0.035 0.03. 100. 0.025 150. 0.02 0.015. 200. 0.01 250 0.005 300. 50. 100. 圖 2.2-32. 150. 200. 250. r0 = 500μ m 模態正交積分結果 39. 300.

(49) 0.35 0.3. Nomalized intensity,a.u.. 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 5. 10. 圖 2.2-33. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 45. r0 = 300 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.06. 50. 0.05 100 0.04 150 0.03 200 0.02 250. 300. 0.01. 50. 100. 圖 2.2-34. 150. 200. 250. r0 = 300μ m 模態正交積分結果 40. 300.

(50) 0.7. Nomalized intensity,a.u.. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 5. 10. 圖 2.2-35. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 45. r0 = 100 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.2 0.18 50 0.16 0.14. 100. 0.12 150. 0.1 0.08. 200 0.06 0.04. 250. 0.02 300. 50. 100. 圖 2.2-36. 150. 200. 250. r0 = 100μ m 模態正交積分結果 41. 300.

(51) 1. Nomalized intensity,a.u.. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 5. 10. 圖 2.2-37. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 45. r0 = 50μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.4 0.35. 50. 0.3 100 0.25 150. 0.2 0.15. 200. 0.1 250 0.05 300. 50. 100. 圖 2.2-38. 150. 200. 250. r0 = 50μ m 模態正交積分結果 42. 300.

(52) 2.3 分析與討論以平行層波導模態展解 TE wave 的彎曲波導模態，優點在於避免對於在一個複雜的函數下找模態，如 Bessel function。而我們在絕大部分的參數下，找出的模態都有不錯的正交特性，但對於彎曲半徑都較小時，正交特性就變得比較差。在 Case 2 中我們發現在低折射率對比 ( Δn = 0.1 )、cladding 厚度較大(40 μ m )的參數中，當 r0. = 50μ m 及. r0 = 100μ m ，其彎曲波導模態的正交特性變差如圖 2.2-20 及 2.2-22。其原因為原本彎曲波導結構的正交基底為 Bessel function，而我們用的平行層波導模態為類似像 sin 和 cos 函數的弦波去做展解，當彎曲半徑小到某一個程度，其彎曲波導的特徵模態基底不能只用這些模態去做，需要更多的平層波導模態去做展解。而我們知道利正交特性不好的特徵模態去配合 FEMET 或者是 CTMIE 做場型分析，會影響其分析場型精確度。為求更精確的特徵模態，我們試著利用更多的衰減波模態去減少 truncation error，礙於電腦的記憶體，我們最多取至 1000 個模態，但我們發現其效果並不好。所以我們進而換一種方式將. cladding 的厚度減少，使平行層波導的特徵模態能有非常大的比例的衰減波模態，如此一來更能減少 truncation error，改善其彎曲波導模態的正交特性如圖(2.2-40)及(2.2-42)。. 43.

(53) 0.8. Nomaliz ed int ensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2. 圖 2.2-39. 4. r0 = 100μ m. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. cladding 厚度 10 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.09 0.08 50 0.07 100. 0.06 0.05. 150 0.04 200. 0.03 0.02. 250 0.01 300. 圖 2.2-40. 50. 100. 150. 200. 250. 300. r0 = 100 μ m cladding 厚度 10 μ m 模態正交積分結果 44.

(54) 1.2. Nomalized intensity,a.u.. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 2. 圖 2.2-41. 4. r0 = 50μ m. 6. 8. 10 12 X in micron. 14. 16. 18. 20. cladding 厚度 10 μ m 前 50 個彎曲波導特徵模態. 0.16 50 0.14 0.12. 100. 0.1 150 0.08 200. 0.06 0.04. 250 0.02 300. 圖 2.2-42. 50. 100. 150. 200. 250. 300. r0 = 50 μ m cladding 厚度 10 μ m 模態正交積分結果 45.

(55) 第三章全特徵模態展開法(Full eigen-mode expansion technique , FEMET) 3.1 TE 入射 FEMET 理論架構與推導. n2. (1). (N+1). n1 n2 n2 n1 n2 z1 z2 圖 3.1-1. zN 2 × 2 S-bend 分區示意圖. (1). (m). z1. 圖 3.1-2. (N+1). zm. zm −1. zN. 階梯近似示意圖 46.

(56) 全特徵模態展開法 [21](full eigen-mode expansion technique,. FEMET)是不考慮反射情況下所發展出來的近似理論，因為我們分析彎曲波導結構是連續變化，不會有反射的情形，所以我們可以用. FEMET 來分析彎曲波導。如圖 3.1-1 我們在結構上下邊界導入 electric wall(EW)、magnetic wall(MW)的觀念，一方面簡化問題，另一方面可將連續的空間頻率離散化，再利用階梯近似如圖 3.1-2，便可進而定義出分別在 S-bend 內部及外部的 x 方向歸化基底函數的形式 φn( m ) ( x) ， m = 1 ~ N + 1 。接著分別定義第 1 ~ N + 1 區的 TE 極化場量形式，. 第 1 區：假設最初為單一模態入射形式， E (1) ( x, z ) = ∑ ai(1)φi(1) ( x)e − j βi. (1). z. = a1(1)φ1(1) ( x)e − j β1. (1). z. (3.1-1). i. 第 m 區，m=2 ~ N：形成多模態干涉形式， E ( m ) ( x, z ) = ∑ a (jm )φ (j m ) ( x)e. − j β (j m ) ( z − zm−1 ). (3.1-2). j. 第 N+1 區：穿透行進波形式 E ( N +1) ( x, z ) = ∑ a (pN +1)φ p( N +1) ( x)e. − j β p( N +1) ( z − z N ). (3.1-3). p. FEMET 理論在界面上僅做場量連續的探討，省略了切線場量連. 47.

(57) 續的部份，以 TE 極化入射分析，在界面上僅做電場連續即可，而不考慮磁場連續第 1 界面： E (1) ( x, z1 ) = E (2) ( x, z1 ) ⎧ E (1) ( x, z1 ) = a1(1)φ1(1) ( x)e − j β1 ⎪ ⎨ (2) (2) (2) ⎪ E ( x, z1 ) = ∑ a j φ j ( x) j ⎩. (1). z1. ⇒ a1(1)φ1(1) ( x)e − j β1. (1). z1. (2) = ∑ a (2) j φ j ( x). (3.1-4). j. 透過電場連續及模態的積分，我們可以得到其係數為. a. (2) j. (1) (1) − j β1 z1 1. =a e. φ1(1) ( x) φ j(2) ( x) *. (3.1-5). φ j(2) ( x) φ j(2) ( x) *. 一般的情況會將 z1 定位在 z = 0 的位置上，所以式(3.1-5)可改寫成， a. (2) j. =a. (1) 1. φ1(1) ( x) φ (2) j ( x) *. (3.1-6). φ j(2) ( x) φ (2) j ( x) *. 這裡使用了模態函數內積的正交特性， ⎧1 for j = j ′ ⎩0 for j ≠ j ′. (2) (2) (2) φ (2) j ( x ) φ j ′ ( x ) * ≡ ∫ φ j ( x )φ j ′ ( x ) * dx = ⎨. (3.1-7). 式(3.1-6)可改寫成 a (2) = T1,(1)j →(2) ⋅ a1(1) ， j. 其中 T1,(1)j →(2) ≡ ∫ φ1(1) ( x)φ j(2) ( x) * dx. (3.1-8). 同理，在其他的界面上做電場連續，亦可推導出各區之間的模態轉換係數 T j(,mk )→( m+1) ，第 m 界面，m=2 ~ N-1： E ( m ) ( x, zm ) = E ( m+1) ( x, zm ). 48.

(58) ⎧ (m) − j β (j m ) Δzm−1 (m) (m) = E ( x , z ) a φ ( x ) e ∑ m j j ⎪ ⎪ j ⎨ ⎪ E ( m +1) ( x, z ) = a ( m +1)φ ( m +1) ( x) ∑k k k m ⎪⎩ ⇒. ∑a. φ j( m ) ( x)e. (m) j. − j β (j m ) Δzm−1. j. (3.1-8). = ∑ ak( m +1)φk( m +1) ( x) k. ak( m +1) = T j(,mk )→( m +1) ⋅ ∑ a (jm ) e. − j β (j m ) Δzm−1. ，. j. 其中 T j(,mk )→( m+1) ≡ ∫ φ (j m ) ( x)φk( m+1) ( x) * dx. (3.1-9). 第 N 界面： E ( N ) ( x, z N ) = E ( N +1) ( x, z N ) ⎧ (N ) − j β o( N ) Δz N −1 (N ) (N ) ⎪ E ( x, z N ) = ∑ ao φo ( x)e ⎪ o ⎨ ⎪ E ( N +1) ( x, z ) = ∑ a ( N +1)φ ( N +1) ( x) N p p ⎪⎩ p ⇒. ∑a. φ. (N ) (N ) o o. ( x )e − j β o. (N). o. Δz N −1. = ∑ a (pN +1)φ p( N +1) ( x) p. a (pN +1) = To(,Np )→( N +1) ⋅ ∑ ao( N ) e − jβo. (N ). Δz N −1. ，. o. 其中 To(,Np )→( N +1) ≡ ∫ φo( N ) ( x)φ p( N +1) ( x) * dx. (3.1-10). 對於一個連續變化的波導結構，假如我們只知道平行層波導的模態，我們可以將此結構分成很多區，利用階梯近似，將連續變化的結構近似成許多平行層波導結構串接，這樣的話就可以用平行層波導的模態去做分析。雖然這樣的方法存在許多介面不連續的問題，可能會造成反射的現象產生，但是只要分區分得夠細，就能減少反射及結構不連續的問題。如今，我們有了圓柱座標彎曲波導的特徵模態，在彎曲波導的部分就可以換個方式，不用階梯近似的方式，可以將問題簡. 49.

(59) 化如圖 3.1-3，只有四個區域。 n2. n1 n2. (1). (2). Δθ. Δθ. (3). (4). 圖 3.1-3 分區定義結構圖. 同樣地，在第一區和第四區，這樣的直線波導結構中，我們假設其基底模態為 φn(1) ( x) 、φn(4) ( x) ，而第二區和第三區為彎曲波導結構，其基底為ψ n(2) ( x) 、ψ n(3) ( x) 。接著分別定義第 1 ~ 4 區的 TE 極化場量形式， 50.

(60) 第 1 區：假設為最初的單一模態入射形式， E (1) ( x, z ) = ∑ ai(1)φi(1) ( x)e − j βi. (1). ( z − l1 ). = a1(1)φ1(1) ( x)e − j β1. (1). ( z − l1 ). (3.1-11). i. 第 2 區：形成彎曲波導干涉多模態形式， (2) E (2) ( ρ ,θ ) = ∑ a (2) j ψ j ( ρ )e. − jν (j 2 ) (θ ). (3.1-12). j. 在 z = l1 或者 θ = 0 ，由電場連續的條件，和模態正交的特性我們可以得到係數 a = a (2) j. (1) 1. (2) φ (2) j ( x) ρ ψ j ( ρ ) * (2) ψ (2) j (ρ ) ρ ψ j (ρ ) *. x=ρ. (3.1-13). 第 3 區：形成彎曲波導干涉多模態形式， (3) E (3) ( ρ ,θ ) = ∑ a (3) j ψ j ( ρ )e. − jν (j 3) (θ −Δθ ). (3.1-14). j. 在 θ = Δθ ，由電場連續的條件，和模態正交的特性 (2) a (3) j = aj. (3) ψ (2) j (ρ ) ρ ψ j (ρ ) *. (3.1-15). (3) ψ (3) j (ρ ) ρ ψ j (ρ ) *. 第 4 區：能量穿透形式， (4) E (4) ( x, z ) = ∑ a (4) p φ p ( x )e. − j β p( 4) ( z ′ ). (3.1-16). p. 在 θ = 2Δθ 或 z′ = 0 ，由電場連續的條件，和模態正交的特性. a. (4) p. ( 3) (3) − jν j ( Δθ ) j. =a e. (4) ψ (3) j ( ρ ) φ j ( x) *. 其中 x = ρ. φ j(4) ( x) φ j(4) ( x) *. 這樣就能完整的利用 FEMET 將 S-bend 的場型完整描述。 51. (3.1-17).

(61) 3.2 FEMET 模擬分析結果接著我們對 200μ m 、150 μ m 、100 μ m 折射率低對比、TE wave 單模態導波模態的彎曲波導結構如圖 3.2-1，參數如表 3.2-1. Case 1. (2). z = z1. z = z2. ψ (2) ( ρ ). EW (1). (3). φ (3) ( x). φ (1) ( x) xˆ. xˆ. Δθ. zˆ. EW. (0,0) zˆ. 圖 3.2-1 彎曲波導結構圖. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 1.5. Cladding 折射率. 1.4. 模態數. 300. 導波模態數. 1 1.4 μ m. Core 寬度. 20 μ m 、5 μ m. 外側、內側 Cladding 寛度彎曲角度 Δθ. 15° 表 3.2-1 波導參數. 52.

(62) 0.05 50. 0.045 0.04. 100. 0.035 0.03. 150. 0.025 0.02. 200. 0.015 0.01. 250. 0.005 300. 50. 100. 圖 3.2-2. 150. 200. 250. 300. r0 = 200μ m 模態正交積分結果. 0.8. 200. 0.7 0.6. Y position(μm). 150. 0.5 0.4. 100. 0.3 50. 0.2 0.1. 0 -200. -150. -100. 圖 3.2-3. -50 0 50 X position(μm). 100. 150. r0 = 200μ m 彎曲波導整体能量圖 53. 200.

(63) 0.8. input real part output real part. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 5. 圖 3.2-4. r0 = 200 μ m. 10. 15 X in micron. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. input imag part output imag part. 0.01. Nomalized intensity,a.u.. 20. 0.005. 0. -0.005. -0.01. 5. 圖 3.2-5. r0 = 200 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 54.

(64) input power output power. 0.8. Nomalized intensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1. 5. 10. r0 = 200 μ m. 圖 3.2-6. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30 40 X in mode. 50. 60. 圖 3.2-7 r0 = 200 μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 55. 0.9933. 70.

(65) 0.07. 0.06. 50. 0.05. 100. 0.04 150 0.03 200 0.02 250. 300. 0.01. 50. 100. 200. 250. 300. r0 = 150μ m 模態正交積分結果. 圖 3.2-8. Y position(μm). 150. 160. 0.8. 140. 0.7. 120. 0.6. 100. 0.5. 80. 0.4. 60. 0.3. 40. 0.2. 20. 0.1. -150. -100. 圖 3.2-9. -50. 0 X position(μm). 50. 100. r0 = 150μ m 彎曲波導整体能量圖 56. 150.

(66) 0.8. input real part output real part. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 5. 圖 3.2-10. r0 = 150 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. input imag part output imag part. 0.015. Nomalized intensity,a.u.. 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 5. 圖 3.2-11. r0 = 150 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 57.

(67) input power output power. 0.8. Nomalized intensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1. 5. 圖 3.2-12. 10. 15 X in micron. 20. 25. r0 = 150μ m 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30 40 X in mode. 50. 60. 圖 3.2-13 r0 = 150μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 58. 0.9899. 70.

(68) 0.1 0.09. 50. 0.08 100. 0.07 0.06. 150. 0.05 0.04. 200. 0.03 0.02. 250. 0.01 300. 50. 100. 圖 3.2-14. 150. 200. 250. 300. r0 = 100μ m 模態正交積分結果. 120 0.8 100. 0.7. Y position(μm). 0.6 80 0.5 60. 0.4 0.3. 40. 0.2 20 0.1 0 -100. -50. 圖 3.2-15. 0 X position(μm). 50. r0 = 100μ m 彎曲波導整体能量圖 59. 100.

(69) 0.8. input real part output real part. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 5. 圖 3.2-16. r0 = 100 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. 0.03. input imag part output imag part. 0.02. Nomalized intensity,a.u.. 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 5. 圖 3.2-17. r0 = 100 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 60.

(70) input power output power. 0.8. Nomalized intensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1. 5. 圖 3.2-18. 10. 15 X in micron. 20. 25. r0 = 100μ m 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30. 40 50 X in mode. 60. 70. 80. 圖 3.2-19 r0 = 100μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 61. 0.9720. 90.

(71) Case 2 我們對 200 μ m 、 150 μ m 、 100 μ m 折射率低對比、多模態導波模態的彎曲波導結構，參數如表 3.2-2. (2). z = z1. z = z2. ψ (2) ( ρ ). EW (1). (3). φ (3) ( x). φ (1) ( x) xˆ. xˆ. Δθ. zˆ. EW. (0,0) zˆ. 圖 3.2-20 彎曲波導結構圖. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 1.5. Cladding 折射率. 1.4. 模態數. 300. 導波模態數. 3 3.5 μ m. Core 寬度. 20 μ m 、5 μ m. 外側、內側 Cladding 寛度彎曲角度 Δθ. 15° 表 3.2-2 波導參數 62.

(72) 0.055 0.05. 50. 0.045 0.04. 100. 0.035 0.03. 150. 0.025 0.02. 200. 0.015 250. 0.01 0.005. 300. 50. 100. 圖 3.2-21. 150. 200. 250. 300. r0 = 200μ m 模態正交積分結果. 0.7 200 0.6 0.5. Y pos ition(μm). 150. 0.4 100. 0.3. 0.2 50 0.1 0 -200. -150. -100. 圖 3.2-22. -50 0 50 X position(μm). 100. 150. r0 = 200μ m 彎曲波導整体能量圖 63. 200.

(73) 0.6. input real part output real part. Nomalized intensity,a.u.. 0.4. 0.2. 0. -0.2. -0.4. -0.6 5. 圖 3.2-23. 10. r0 = 200 μ m. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. 0.03. input imag part output imag part. 0.02. Nomalized intensity,a.u.. 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 5. 圖 3.2-24. r0 = 200 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 64.

(74) input power output power. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 5. 圖 3.2-25. 10. 15 X in micron. 20. 25. r0 = 200μ m 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30 X in mode. 40. 50. 圖 3.2-26 r0 = 200 μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 65. 0.9940. 60.

(75) 0.07 50 0.06 100. 0.05 0.04. 150. 0.03. 200. 0.02 250 0.01 300. 50. 100. 圖 3.2-27. 150. 200. 250. 300. r0 = 150μ m 模態正交積分結果. 160. 0.7. 140. 0.6. Y position(μm). 120. 0.5. 100 0.4 80 0.3 60 0.2. 40. 0.1. 20 0 -150. -100. -50. 圖 3.2-28. 0 X position(μm). 50. 100. r0 = 150μ m 彎曲波導整体能量圖 66. 150.

(76) 0.6. input real part output real part. Nomalized intensity,a.u.. 0.4. 0.2. 0. -0.2. -0.4. -0.6 5. 圖 3.2-29. 10. r0 = 200 μ m. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. input imag part output imag part. 0.1. Nomalized intensity,a.u.. 0.05. 0. -0.05. -0.1. -0.15 5. 圖 3.2-30. r0 = 200 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 67.

(77) input power output power. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 5. 圖 3.2-31. 10. 15 X in micron. 20. 25. r0 = 150μ m 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30. 40 X in mode. 50. 60. 70. 圖 3.2-32 r0 = 150μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 68. 0.9908. 80.

(78) 0.09 50. 0.08 0.07. 100. 0.06 150. 0.05 0.04. 200. 0.03 0.02. 250. 0.01 300. 50. 100. 圖 3.2-33. 150. 200. 250. 300. r0 = 100μ m 模態正交積分結果. 0.8 120 0.7 100. Y position(μm). 0.6 80. 0.5 0.4. 60. 0.3 40 0.2 20. 0 -100. 0.1. -50. 圖 3.2-34. 0 X position(μm). 50. r0 = 100μ m 彎曲波導整体能量圖 69. 100.

(79) input real part output real part. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.4. 0.2. 0. -0.2 -0.4. -0.6 5. 圖 3.2-35. 10. r0 = 100 μ m. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. 0.04. input imag part output imag part. 0.02. Nomalized intensity,a.u.. 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 5. 圖 3.2-36. r0 = 100 μ m. 10. 15 X in micron. 20. 25. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型虛部. 70.

(80) input power output power. 0.7. Nomalized intensity,a.u.. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1. 5. 圖 3.2-37. 10. 15 X in micron. 20. 25. r0 = 100μ m 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )能量. 0. 10. transmission coefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 10. 20. 30. 40 50 X in mode. 60. 70. 80. 圖 3.2-38 r0 = 100μ m 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 71. 0.9805. 90.

(81) Case 3 最後我們對單一波導模態 S-bend 彎曲波導分析，S-bend 彎曲波導結構如圖 3.2-39，參數如表 3.2-3. (1). (2). Δθ. Δθ. (3). 圖 3.2-39. (4). S-bend 彎曲波導結構. 1.55 μ m. 入射波長. Core 折射率. 1.5. Cladding 折射率. 1.4. 模態數. 300. 導波模態數. 1. Core 寬度. 1.4 μ m. Cladding 寛度. 20 μ m. 彎曲角度 Δθ. 15°. 彎曲半徑. 100 表 3.2-3 波導參數 72.

(82) 0.16 50. 0.14 0.12. 100. 0.1 150. 0.08 0.06. 200. 0.04 250 0.02 300. 50. 圖 3.2-40. 100. 150. 200. 250. 300. r0 = 100μ m 模態正交積分結果. 0.8. 200. 0.7. 0.6. Y position(μm). 150. 0.5. 100. 0.4. 0.3. 50. 0.2. 0.1. 0 -60. -40. -20. 圖 3.2-41. 0 X position(μm). 20. 40. r0 = 100 μ m S-bend 彎曲波導整体能量圖 73. 60.

(83) 0.8. input real part output real part. 0.6. Nomalized intensity,a.u.. 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 5. 圖 3.2-42. 10. 15. r0 = 100 μ m. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部. input imag part output imag part. 0.06. Nomalized intensity,a.u.. 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 5. 圖 3.2-43. 10. r0 = 100 μ m. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. 輸入( θ = 0 )及輸出( θ = Δθ )場型實部 74.

(84) input power output power. 0.8. Nomalized intensity,a.u.. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1. 5. 圖 3.2-44. 10. 15. 20 25 X in micron. 30. 35. 40. r0 = 100 μ m S-bend 彎曲波導輸入( θ = 0 )及輸出( θ = 2Δθ )能量. 0. 10. transmission c oefficient -1. 10. -2. 10. -3. 10. -4. 10. -5. 10. -6. 10. 0. 50. 100. 150. 200. 250. X in mode. 圖 3.2-45 r0 = 100μ m 輸出場型( θ = 2Δθ ) 大於 10−6 的模態穿透係數. Guide mode 能量. 75. 0.9199.

(85) 3.3 分析與討論在此我們利用 FEMET 分析彎曲波導，因為我們希望所選擇的參數能較容易看得出有輻射現象，所以選擇的參數都針對半徑較小的彎曲波導分析。而彎曲半徑較小的彎曲波導特徵模態，其模態正交特性較差，所以必需取較小的 Cladding 厚度，改善其正交特性，並且希望其輸出場型不會因為 Cladding 厚度，使輻射出去的場型打到牆，對輸出場型產生干涉的現象，所以我們選擇比較小的彎曲角度做分析。在能量上，因為在數值上模態計算的關係，邊界條件必須是電牆，所以只能得到純實數或純虛數的傳播常數，並不能算出真正的 radiation. loss。所以我們在能量的計算上，我們只考慮 guiding mode 能量是還在 core 裡面的能量，而其它模態當作都輻射出去。在上述的參數分析上面，單一導波模態和多導波模態的波導，在同樣彎曲半徑之下，單一導波模態的彎曲波導較易輻射能量，而多導波模態的波導會因為經過彎曲波導而產生導波模態干涉的現象。雖然我們利用平行層波導模態展解彎曲波導模態，在低折射率對比、彎曲半徑較小的部分，模態的正交特性較差，但對其它較大尺寸的彎曲波導而言，分析速度比有限差分快，分析精確度高，而且有了模態的資訊，在元件的設計上也有很大的幫助。. 76.

(86) 第四章 CTMIE 理論分析彎曲波導 4.1-1 CTMIE (TE wave)方程式推導聯立耦合橫模積分方程式 CTMIE[20]-[21](couple transverse mode. integral equation)，是考慮反射所推導出來的精確理論，主要是先將每一區的場型定義好，利用界面上的切線電場及磁場連續，將每個區域寫成聯立耦合的積分方程，再利用界面上未知場量和重疊積分的觀念，將積分方程式矩陣化，以方便在電腦上做計算。接下來將 CTMIE 對彎曲波導進行 TE wave 的場型解析的理論推導一次：. (2). z = z1. z = z2. ψ (2) ( ρ ). EW (1). (3). φ (3) ( x). φ (1) ( x) xˆ. xˆ. Δθ. zˆ. EW. (0,0) zˆ. 圖 4-1-1.1: 彎曲波導結構圖. 如圖 4-1.1 首先我們先將此結構分成三個區域. (1) 在第 1 區. 77.

(87) 入射區場量用平行層波導模態 φn(1) ( x) 表示 E y(1) ( x, z ) = φi(1) ( x)e− j βi. (1). ( z − z1 ). + ∑ rn′φn(1) ( x)e j βn. (1). ( z − z1 ). (4-1-1.1). n. 我們把其中一項提出來，變成 E y(1) ( x, z ) = φi(1) ( x)e− j βi. (1). ( z − z1 ). + φi(1) ( x)e j βi. (1). ( z − z1 ). + ∑ rnφn(1) ( x)e j βn. (1). ( z − z1 ). n. (4-1-1.2) 可以把前兩項合併變成三角函數 E y(1) ( x, z ) = −2 jφi(1) ( x)sin( βi(1) ( z − z1 )) + ∑ rnφn(1) ( x)e j βi. (1). ( z − z1 ). (4-1-1.3). n. 其中： rn ' = rn if n≠i rn ' = rn − 1 if n=i. (2) 在第 2 區第 2 區的場量是由彎曲波導的特徵模態ψ n(2) ( ρ ) 做表示，有入射波和反射波，同樣的我們把他寫成駐波的形式： E y(2) ( ρ ,θ ) = ∑ {anψ n(2) ( ρ ) n. sin[ν n(2) (Δθ − θ )] sin[ν n(2) (θ )] (2) ( ) } b ψ + ρ n n sin[ν n(2) Δθ ] sin[ν n(2) Δθ ]. (4-1-1.4) E y(2) ( ρ ,θ ) = ∑ anψ n(2) ( ρ ). 即為 θ = 0 處的場量. E y(2) ( ρ , Δθ ) = ∑ bnψ n(2 ) ( ρ ). 即為 θ = Δθ 處的場量. n. n. (3) 在第 3 區. 78.

(88) 第 3 區就只有單純的穿透波，場量形式用 φn(3) ( x) 表示： E y(3) ( x, z ) = ∑ tnφn(3) ( x) e− j βn. (3). ( z − z2 ). (4-1-1.5). n. 到目前為止，我們已經把所有區域內的場量形式定義出來了，而且也把電場連續條件做好了，接著來看磁場的狀況。無源的情況下： ∇× E = − jωμ H. (4-1-1.6). 在第一區和第三區直角座標下 x 方向的磁場： H x(1,3) = −. ∂E y ∂Ez ) − jωμ ∂z ∂y 1. (4-1-1.7). (. 而因為 Ez = 0 ，所以電場跟磁場的關係就變為： H x(1,3) = −. 1 ∂E y jωμ ∂z. (4-1-1.8). 在第二區圓柱座標下的切線方向， ρ 方向磁場 H ρ(2) = −. 1 1 ∂E z ( ) jwu ρ ∂θ. 則每一區的磁場形式如下：. (1) 第 1 區 H x(1) ( x, z ) =. 1. ωμ. {2βi(1)φi(1) ( x) cos[ βi(1) ( z − z1 )] − ∑ β n(1) rnφn(1) ( x)e j βn. (1). ( z − z1 ). }. n. (4-1-1.9) (2) 第 2 區 H ρ(2) ( ρ ,θ ) =. j. ωμρ. ∑{−ν n(2) anψ n(2) ( ρ ) n. cos[ν n(2) (Δθ − θ )] (2) (2) cos[ν n(2) (θ )] ψ b + ν ( ρ ) } n n n sin(ν n(2) Δθ ) sin(ν n(2) Δθ ) 79.

(89) (4-1-1.10) (3) 第 3 區 H x(3) ( x, z ) =. 1. β n(3)tnφn(3) ( x)e− jβ ∑ ωμ n. (3) n ( z − z3 ). (4-1-1.11). 現在我們把彎曲波導三個區域的磁場形式都表示出來，再來我們假設 E1 ( x) , E2 ( x) 為界面上的電場未知場量，即可以把每一區的係數用界面上電場的未知場量來表示，就可以將每一區的係數，利用電場場量連續和模態的正交特性表示，進而所有的方程式變成都是以未知場量的形式存在著。. (2). z = z1 EW. E1 ( x′). z = z2 E2 ( x′). (1). xˆ. (3). xˆ. Δθ. zˆ. EW. (0,0) zˆ. 圖 4-1-1.2: 介面上的未知場量函數. 利用電場連續及模態的正交性，我們可知道每一區的反射係數、穿透係數為：. 80.

(90) φn(i ) | φm(i ) ≡ ∫ φn(i ) ( x)[φm(i ) ( x)]* dx ∝ δ nm. (4-1-1.12). 平行層波導模態正交積分式 ψ n(2) ( ρ ) ρ ψ m(2) ( ρ ) ≡ ∫ψ n(2) ( ρ ) ρ [ψ m(2) ( ρ )]* d ρ ∝ δ nm. (4-1-1.13). 彎曲波導模態正交積分式 E1 ( x′)[φn ( x′)] dx′ rn = ∫ (1) (1) * ∫ φn ( x′)[φn ( x′)] dx′. (4-1-1.14). E ( ρ ′) ρ ′ [ψ an = ∫ ∫ ψ ( ρ ′) ρ ′ [ψ. (4-1-1.15). (1). *. (2) n. 1. (2) n. ( ρ ′)]* d ρ ′. (2) n. ( ρ ′)]* d ρ ′. E 2 ( ρ ′) ρ ′ [ψ n ( ρ ′)] d ρ ′ bn = ∫ (2) (2) * ∫ψ n ( ρ ′) ρ ′ [ψ n ( ρ ′)] d ρ ′. (4-1-1.16). E 2 ( x′)[φn ( x′)] dx′ tn = ∫ (3) (3) * ∫ φn ( x′)[φn ( x′)] dx′. (4-1-1.17). (2). (3). *. *. 現在我們有了反射係數、穿透係數利用未知場量的表示方法，就可以將反射係數、穿透係數代入原先的磁場和電場表示式中：. (1) 第一區 E y(1) ( x, z ) = −2 jφi(1) ( x)sin( βi(1) ( z − z1 )) + ∑ ( ∫ E1 ( x ')[φn(1) ( x ')]* dx ')φn(1) ( x)e j βi. (1). (4-1-1.18). ( z − z1 ). n. H x(1) ( x, z ) =. 1. ωμ. {2βi(1)φi(1) ( x) cos[ βi(1) ( z − z1 )] − ∑ β n(1) ( ∫ E1 ( x ')[φn(1) ( x ')]* dx ')φn(1) ( x)e j βn. (1). ( z − z1 ). }. n. (4-1-1.19) 81.

(91) (2) 第 2 區 E. (2) y. ( ρ ,θ ) = ∑ {( ∫ E1 ( ρ ') ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ')]* d ρ ')ψ n(2) ( ρ ) n. sin[ν n(2) (Δθ − θ )] sin[ν n(2) Δθ ]. + ( ∫ E 2 ( ρ ') ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ')]* d ρ ')ψ n(2) ( ρ ). sin[ν n(2) (θ )] } sin[ν n(2) Δθ ]. (4-1-1.20). H y(2). ( ρ ,θ ) =. j. ωμρ ∑ n. {−ν. (2) n. ( ∫ E1 ( ρ ') ρ ′ [ψ. (2) n. ( ρ ')] d ρ ')ψ *. (2) n. +ν n(2) ( ∫ E 2 ( ρ ') ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ')]* d ρ ')ψ n(2) ( ρ ). cos[ν n(2) (Δθ − θ )] (ρ ) sin[ν n(2) Δθ ]. cos[ν n(2) (θ )] } sin[ν n(2) Δθ ]. (4-1-1.21) (3) 第 3 區 E y(3) ( x, z ) = ∑ ( ∫ E 2 ( x ')[φn(3) ( x ')]* dx ')φn(3) ( x)e− jβn. (3). ( z − z2 ). n. (4-1-1.22) H x(3) ( x, z ) =. 1. β n(3) ( ∫ E N ( x ')[φn(3) ( x ')]* dx ')φn(3) ( x)e− jβ ∑ ωμ n. (3) n ( z − z2 ). (4-1-1.23). 接下來我們要做積分因子的定義，我們先定義一個阻抗η n(l ) 來簡化表示式： ηn(l ) =. β n(l ) ωμ. ηn(2) =. l = 1,3. 82. ν n(2). ωμ.

(92) 再來將方程式作進一步的整理第 1 區及第 3 區的情況比較簡單我們先處理：. (1) 第 1 區 H x(1) ( x, z ) = 2ηi(1)φi(1) ( x) cos[ βi(1) ( z − z1 )] − ∫ G (1) ( x, x′, z )E1 ( x′)dx′. (4-1-1.24). G (1) ( x, x′, z ) = ∑ηn(1)φn(1) ( x)[φn(1) ( x′)]* e j βn. (4-1-1.25). (1). ( z − z1 ). G (1) ( x, x′, z ) 是第一區定義的積分因子. (2) 第 3 區 H x(3) ( x, z ) = ∫ G (3) ( x, x′, z )E N ( x′)dx′. (4-1-1.26). G (3) ( x, x′, z ) = ∑ηn(3)φn(3) ( x)[φn(3) ( x′)]* e− j βn. (3). ( z − z2 ). (4-1-1.27). G (3) ( x, x′, z ) 是第 3 區的積分因子. (3) 第 2 區 Hθ(2) ( ρ ,θ ) = ∫ G (2,1) ( ρ , ρ ′, z )E1 ( ρ ′)d ρ ′ + ∫ G (2,2) ( ρ , ρ ′,θ )E 2 ( ρ ′)d ρ ′. (4-1-1.28) 中間彎曲波導區的積分因子和左右兩介面有關其中 G (2,1) ( ρ , ρ ',θ ) 為左邊介面的積分因子 G (2,1) ( ρ , ρ ′,θ ) = − j ∑ηn(2). cos[ν n(2) (Δθ − θ )] ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* ρ sin(ν n(2) Δθ ). (4-1-1.29). 其中 G (2,2) ( ρ , ρ ',θ ) 為右邊介面的積分因子 G (2,2) ( ρ , ρ ′,θ ) = j ∑ηn(2). cos[ν n(2) (θ )] ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* ρ sin(ν n(2) Δθ ) 83. (4-1-1.30).

(93) 4.1-2 PQRS 聯立積分方程式接著我們將積分因子寫成 PQRS 矩陣形式，同樣的我們知道這四個因子所代表的意義：. P(i) ：在第 i 區由左邊介面電場場量轉換至第 i 區的磁場場量 Q(i) ：在第 i 區由左邊介面電場場量轉換到第 i 區的磁場場量 R (i) ：在第 i 區由右邊介面電場場量轉換到第 i 區的磁場場量 S(i) ：在第 i 區由右邊介面電場場量傳遞到第 i 區的磁場場量. 所以我們把第 2 區兩側的磁場用這四個矩陣來寫，左側磁場為左側介面電場的反射與右側介面電場的傳遞合成： H ρ(2) ( ρ ,θ = 0 + ε ) = ∫ Qe(2) ( ρ , ρ ′)E1 ( ρ ′)d ρ ′ + ∫ Se(2) ( ρ , ρ ′)E 2 ( ρ ′)d ρ ′. (4-1-2.1) 右側磁場為左側介面電場的傳遞與右側介面電場的反射合成： H ρ(2) ( ρ ,θ = Δθ − ε ) = ∫ Pe(2) ( ρ ′, ρ ′)E1 ( ρ ′)d ρ ′ + ∫ Re(2) ( ρ , ρ ′)E 2 ( ρ ′)d ρ ′. (4-1-2.2) 其中 PQRS 與積分因子 G 的關係為： Q ( ρ , ρ ′) = G (2,1) ( ρ , ρ ′,0) = − j ∑ηn(2) (2) e. ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* cot(ν n(2) Δθ ) ρ. (4-1-2.3). 84.

(94) Se(2) ( ρ , ρ ′) = G (2,2) ( ρ , ρ ′, Δθ ) = j ∑ηn(2). ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* csc(ν n(2) Δθ ) ρ. (4-1-2.4) Pe(2) ( ρ , ρ ′) = G (2,1) (θ = 0) = − j ∑ηn( 2). ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* csc(ν n(2) Δθ ) ρ. (4-1-2.5) Re(2) ( ρ , ρ ′) = G (2,2) (θ = Δθ ) = j ∑ηn(2). ψ n(2) ( ρ ) ρ ′ [ψ n(2) ( ρ ′)]* cot(ν n(2) Δθ ) ρ. (4-1-2.6) 我們可以把它寫成矩陣形式： ⎡ H ρ(2) ( ρ ,θ = 0 + ε ) ⎤ ⎡Qe(2) ( ρ , ρ ') Se(2) ( ρ , ρ ') ⎤ ⎡ E1 ( ρ ′) ⎤ ⎢ (2) ⎥ = ∫ dx ' ⎢ (2) ⎥⎢ ⎥ (2) ⎣ Pe ( ρ , ρ ') Re ( ρ , ρ ') ⎦ ⎣ E 2 ( ρ ′) ⎦ ⎣⎢ H ρ ( ρ ,θ = Δθ − ε ) ⎦⎥. (4-1-2.7). 同樣的，我們把第一區及最後一區的電場也用 PQRS 來描述，而其中參數定義並不完全相同：第 1 區為： H (1) ( x, z1 − ε ) = 2ηi(1)φi(1) ( x) + ∫ Re(1) ( x, x′)E1 ( x′)dx′. (4-1-2.8). Re(1) ( x, x′) = −∑ηn(1)φn(1) ( x)[φn(1) ( x′)]*. (4-1-2.9). 第 3 區為： H (3) ( x, z2 + ε ) = ∫ Qe(3) ( x, x′)E N ( x′)dx′. (4-1-2.10). Qe(3) ( x, x′) = ∑ηn(3)φn(3) ( x)[φn(3) ( x′)]*. (4-1-2.11). 85.

(95) 在這裡我們分別把上述三個區域的場量形式用 PQRS 矩陣表示之後，接下來我們可以將此三個域區的場型寫成矩陣的聯立積分方程：. z = z1. (2) (2) e. P EW. R Qe(2). Re(1). z = z2. (2) e. (1). Se(2). Δθ. EW. Qe(3) (3). (0,0). 圖 4-1-2.1：N=2 時的情況. 在此 ρ = x 及 ρ ′ = x′ ，則方程式經過整理寫成 2 乘 2 的矩陣 ⎡ Re(1) ( x, x′). ⎤ ⎡ E ( x′) ⎤ 0 ⎥⎢ 1 ⎥ (2) (2) ⎢⎣ Pe ( x, x′) Re ( x, x′) ⎥⎦ ⎣⎢ E 2 ( x′) ⎦⎥. ∫ dx′ ⎢. ⎡Qe(2) ( x, x′). = ∫ dx′ ⎢. ⎢⎣. 0. Se(2) ( x, x′) ⎤ ⎡ E1 ( x′) ⎤ ⎡ 2 H inc ( x) ⎤ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥ Qe(3) ( x, x′) ⎥⎦ ⎣⎢ E 2 ( x′) ⎦⎥ ⎣ 0 ⎦. 2 H inc ( x) = 2ηi(1)φi(1) ( x). (4-1-2.12) 整理成： ⎡ Re(1) ( x, x′) − Qe(2) ( x, x′). ∫ dx′ ⎢ ⎢⎣. Pe(2) ( x, x′). ⎤ ⎡ E1 ( x′) ⎤ ⎡ 2 H inc ( x) ⎤ − Se(2) ( x, x′) ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ Re(2) ( x, x′) − Qe(3) ( x, x′) ⎥⎦ ⎣ E 2 ( x′) ⎦ ⎣ 0 ⎦. 86.

(96) (4-1-2.13) ⎡ G1,1. ∫ dx′ ⎢. ⎣G2,1. G1,2 ⎤ ⎡ E1 ( x′) ⎤ ⎡ 2 H inc ( x) ⎤ = G2,2 ⎥⎦ ⎢⎣ E 2 ( x′) ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦. (4-1-2.14). 其中： G1,1 = Re(1) − Qe(2) , G1,2 = − Se(2) G2,1 = Pe(2) , G2,2 = Re(2) − Qe(3). 87.

(97) 4.1-3 重疊積分式(4-1-2.13)矩陣型式是 2 個聯立的積分方程式所組成的，要解這個方程式，需要用到正交投影的觀念也就是重疊積分。利用這個方法可以將積分因子投影在界面的基底上，便可將聯立積分方程式轉成矩陣方程，在數值上較容易做運算，進而求得界面上的場值，有了界面上的場值就能將場型完整描述出來。接著我們利用相同邊界條件的基底將 E1 ( x′) 和 E2 ( x′) 做展開： E1 ( x′) = c1(1)ϕ1 ( x′) + c2(1)ϕ2 ( x′) + E 2 ( x′) = c1(2)ϕ1 ( x′) + c2(2)ϕ2 ( x′) +. cn(1)ϕn ( x′) cn(2)ϕn ( x′). (4-1-3.1) (4-1-3.2). 寫成矩陣的型式. E1 ( x′) = ⎡⎣ϕn ( x′). ⎡c1(1) ⎤ ⎢ ⎥ ϕn ( x′) ⎤⎦ ⎢ ⎥ ⎢cn(1) ⎥ ⎣ ⎦. (4-1-3.3). E 2 ( x′) = ⎡⎣ϕn ( x′). ⎡c1(2) ⎤ ⎢ ⎥ ϕn ( x′) ⎤⎦ ⎢ ⎥ ⎢cn(2) ⎥ ⎣ ⎦. (4-1-3.4). 然後我們也把三區的 PQRS 因子寫成矩陣的形式. 第一區. 88.

(98) Re(1) ( x, x′) = ⎣⎡φ1(1) ( x). ⎡ −η1(1) ⎢ φn(1) ( x) ⎦⎤ ⎢ ⎢ 0 ⎣. 0 ⎤ ⎡φ1(1) ( x′) ⎤. ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ −ηn(1) ⎥⎦ ⎢⎣φn(1) ( x′) ⎥⎦. (4-1-3.5). 第二區 ⎡ψ ( x) Qe(2) ( x, x ') = ⎢ ⎣ x. ⎡ − jη1(2) cotν 1(2) θ ψ ( x) ⎤ ⎢ ⎥ x ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣. ⎡ψ ( x) Se (2) ( x, x ') = ⎢ ⎣ x. ⎡ jη1(2) cscν 1(2) θ ψ ( x) ⎤ ⎢ ⎥ x ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣. ⎡ψ ( x) pe (2) ( x, x ') = ⎢ ⎣ x. ⎡ − jη1(2) cscν 1(2) θ ψ ( x) ⎤ ⎢ ⎥ x ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣. ⎡ψ ( x) Re (2) ( x, x ') = ⎢ ⎣ x. ⎡ jη1(2) cotν 1(2) θ ψ ( x) ⎤ ⎢ ⎥ x ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣. (2) 1. (2) 1. (2) 1. (2) 1. (2) n. (2) n. (2) n. ⎤ ⎡ x′ψ 1(2) ( x ') ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ − jη n(2) cotν n(2) θ ⎥⎦ ⎢⎣ x′ψ n(2) ( x ') ⎥⎦ ⎤ ⎡ x 'ψ 1(2) ( x ') ⎤ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ jηn(2) cscν n(2) θ ⎥⎦ ⎢⎣ x 'ψ n(2) ( x ') ⎥⎦ ⎤ ⎡ x 'ψ 1( m ) ( x ') ⎤ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ (2) (2) (m) ⎥ ⎢ − jη n cscν n θ ⎦ ⎣ x 'ψ n ( x ') ⎥⎦ 0. 0. (2) n. jη n(2) cotν n(2). ⎤ ⎡ x 'ψ 1( m ) ( x ') ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ (m) ⎥ ⎢ θ ⎦ ⎣ x 'ψ n ( x ') ⎥⎦. (4-1-3.6). 第三區. Qe(3) ( x, x′) = ⎡⎣φ1(3) ( x). ⎡η1(3) ⎢ φn(3) ( x) ⎤⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎣. 0 ⎤ ⎡φ1(3) ( x′) ⎤. ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ (3) ⎥ ⎢ (3) ηn ⎦ ⎣φn ( x′) ⎥⎦. (4-1-3.7). 將上述的 PQRS 因子和介面上的基底代入(4-1-2.13)，就可以將積分聯立方程式展成矩陣的形式，接著用重疊積分的方法，透 89.