特殊方法求解時間窗車輛路線問題

大 部 分 研 究 所 採 用 的 路 線 改 善 法 都 是 分 別 使 用 Or-opt 、 2-opt* 及

-interchange 組成，Homberger 所提出的 ( , λ) 演化策略中的鄰域函式集合，就

是由上述三個所組成，而 Bräysy [22] 所提出的 Ejection Chain (EC) 則是一個專 門用來縮短路線的方法，如圖 8 所示，要消除路線 3，但因為路線 1 和 2 的時窗 限制關係，使得路線 3 上的點 i 無法直接插入 1 或 2，此時可以考慮 1 上的客戶 j 是否可以插入到路線 2，若是可以插入到路線 2，則路線 1 因為少了顧客點 j，

所以可以空出空間給予路線 3 上的點 i 進行插入，路線 3 上的顧客點就減少一個。

另外在 Bräysy [22] 提到其他方法，執行插入步驟時，先忽視時窗限制，先直接 插入路線中，在違法的路線中找出第一個違反時窗限制的顧客點。接著為了使路 線合法，需將車輛抵達違法顧客點的時間降低，這邊有兩種作法，第一是將違法 顧客點以前的合法顧客點，改插入到違法顧客點之後的位置。第二是將違法點以 前的顧客點重新排序，目的都是為了將違反時間窗限制的值降下來。

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圖 8 Ejection Chain 示意圖

在 2003 年時 Bräysy [24] 提出的快速的區域搜尋法中使用了類似 Ejection

Chain 演算法當作鄰域函式，並且提出了多種策略來提升 Ejection Chain 演算法 的速度。

I. 限制 Ejection Chain 的最大長度和限制單一路線中重新插入的顧客數。

II. 限制在顧客重新插入路線後，使得路線總距離變長的距離。

III. 使用 Solomon 等人[25] 提出的 push-forward 和 push backward 的策略 來評估路線變動後的適應度。

IV. 重新插入顧客點時，會優先計算在幾何距離上較近的顧客，並且只會去 評估顧客點數最少的路線。

V. 單一顧客在插入新的位置時，會去比較目標路線中所有顧客點的幾何距 離，若這個距離超過一個使用者定義的距離限制後，則放棄這次的插 入。

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Bräysy [23] 則提出 Injection Trees (IT)，Injection Trees 作法類似 Ejection Chain，IT 的做法是將圖 8中路線 3 上的點 j 忽略容量和時窗限制直接插入到路 線 1，此時路線 1 是一個不可行的路線，接著將路線 1 的其他顧客點，盡可能插 入到其他沒參與交換的鄰近路線 (即除了路線 1 和路線 2) ，直到使得顧客點 j 可以不違反時窗限制的合法存在於路線 1 上，路線 1 改變為合法的解。Ejection

Chain 和 IT 的差別在於 Ejection Chain 會每移除路線 1 上的一個顧客點，就檢查 顧客點 j 是否可以合法插入路線 1，而 IT 則是直接將顧客點 j 插入路線 1，以節 省檢查的計算效能。

Lim 與 Zhang [18] 也是提出了兩階段求解的演算法，但是他們使用了改良後 的 Ejection Chain 演算法，來進行車輛消除程序，並搭配其他路線改善法的使用。

在他們展示的結果中，可以看到車輛消除程序造成良好的影響使的車輛數明顯較 少。車輛消除程序的做法是挑選顧客數最少的路線，將上面所有的顧客放進

Ejection Pool (EP) 之中，並刪除這條路線。接著會將這些顧客依加入 EP 的順序 去嘗試安排至其他的路線之中，可以合法插入已存在路線的顧客都會優先被插入 進存在路線。在安排顧客的過程中會去計算顧客 u 插入現有路線顧客 i 和 j 之 間的插入花費(式(29)) ，並挑選花費最少的位置插入。

( ) ( ) ( ) (29)

d_iu、d_uj、d_ij：分別代表顧客點 i 和 j、u 和 j、i 和 j 之間的距離。

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和 ：控制花費值中距離成本和時間延遲成本的比重。

( ) (30)

( ) (31)

在式(30)和式(31)中， 表示在 u 插入 i 和 j 之件後 u 最早可以開始被服務的 時間，而且這段時間顧客 u 是可以暫時違反時間窗的限制。式(31)中， 表示 u 服務的所需的時間， 則表示顧客 j 的最晚抵達時間，這一個時間是不能違反

顧客 j 的時間窗限制。

若是插入顧客後導致路線上有顧客的時間窗限制被違反的話，則會進行釋放 顧客的動作(如同 Ejection Chain 演算法中的 eject 步驟)，在釋放顧客時會計算節 省成本 (kick saving, ks)，假設顧客 為路線上第 x 個顧客，計算節省的路線距離

成本以及增加的延遲成本，延遲成本則是計算 mdl 值得到。整個節省成本的算法 如式 (32) 所示

( ) ( ) ( ) (32)

( ) ( ) (33)

：表示欲移除的目標顧客點 ：表示現在的路線

：表示移除顧客點 之後的路線

：表示不包含路線 的其他路線所形成的部分解集合

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式(33)中的 ( ) 則是利用式(24)計算所得，在計算出節省成本之後挑

選節省成本大的顧客移出這一條路線，並放入 EP 之中，並重複到這條路線上的 所有顧客都符合限制。接著，再從 EP 之中，挑選顧客繼續進行插入路線，直到 EP 中沒有顧客或是其他終止條件。

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