緒論

第一章 緒論

1.1 車輛路由問題

車輛路由問題 (Vehicle Routing Problem, VRP) [1][2][3] 指的是規劃最佳車 輛發送或是收取路線問題，在已知顧客需求量 (demand) ，由派車站 (depot) 派 出 多 輛 同 質 性 (homogeneous) 的 車 輛 ， 每 一 輛 車 (vehicle) 擁 有 相 同 容 量

(capacity)，由這些車輛服務所有顧客點 (customer)，而各顧客點只會被拜訪一次。

當車輛容量無法再容納顧客點的需求時，車輛就必須返回派車站，改派另一台車 輛前往服務。車輛路由問題的目標是最佳化總車輛數與行走總路線距離，找出最 少的使用車輛數，以及最短的總路線距離。

具時 間窗 車輛 路線 問題 (Vehicle Routing Problem with Time Windows,

VRPTW) 則是增加了時間窗 (time windows) 的限制，各顧客點擁有ㄧ個最早可 以開始服務時間，即時窗下界 (lower bound) 和ㄧ個最晚可以開始服務時間，即 時窗上界 (upper bound) 的限制。派出的車輛只能在時窗下界和時窗上界之間的 時間內開始服務顧客，若車輛早於時窗下界到達顧客點，必須等待時間到達時窗 下界才能開始服務顧客，這段時間花費稱為等待時間 (waiting time)。時間窗的 限制可以分為硬時窗 (hard time window) 和軟時窗 (soft time window) 兩類，這 兩類時間窗的限制，差別在於硬時窗指的是車輛一定得在時窗上界內開始服務顧 客，軟時窗則是車輛允許在超過時窗上界後服務顧客，但是會加入一個懲罰成本。

如同車輛路由問題，硬時窗車輛路線問題常見的兩個求解目標，第一目標是總車

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輛數最少，第二目標是總路線距離最短。本研究所探討的是具硬時間窗車輛路線 問題。

1.2 具時間窗車輛路線問題的數學模型

以下是具時間窗車輛路線問題的數學模型 [5] 介紹：

(1)

∑ ∑ ∑ (2)

∑ ∑ (3)

∑ ∑ a { } (4)

∑ ∑ { } (5)

∑ ∑ { } (6)

∑ ∑ (7)

＝ ＝ (8)

(9)

∑ ∑ ( ) { } (10)

( ) { } (11)

K：總車輛數。

N：總顧客數。

a_i：顧客點 i 的抵達時間。

w_i：顧客點 i 的等待時間。

3

d_ij：顧客點 i 到顧客點 j 的距離。

c_ij：顧客點 i 到顧客點 j 的成本。

t_ij：顧客點 i 到顧客點 j 的交通時間。

e_i：時窗下界，顧客點 i 的最早抵達時間。

l_i：時窗上界，顧客點 i 的最晚抵達時間。

s_i：顧客點 i 的服務時間。

q_i：顧客點 i 的需求量。

Q：車輛的容量。

δ_i：車輛在顧客點 i 服務完的時間 (即離開顧客點 i 的時間) 。

b_i：開始服務顧客點 i 的時間。若抵達顧客點 i 的時間小於時窗下界 e_i，則 b_i = e_i。

xijk

{0, 1}，1 表示車輛 k 上的顧客點 i 和顧客點 j 有邊連結。

(1) 和 (2) 為問題的目標函式分別表示總車輛數和總距離，(3) 為最多 R 台 車從派車站出發，顧客點 i = 0 定義為派車站， (4) 表示每一條路徑的起點和終 點必須是派車站，(5) 和 (6) 每一個顧客點只會被一輛車服務過一次，(7) 為每 一輛車容量限制，(8) 表示車輛移動的成本值等於顧客點之間的距離，也等於車 輛在顧客點間交通時間，(9)、(10) 和 (11) 為時間窗定義，(9) 表示車輛在派車 站的抵達時間、等待時間和服務時間都等於 0，(10) 表示抵達顧客點 j 的抵達時

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間為前一個顧客點 i 的抵達時間加上等待時間、服務時間以及從顧客點 i 到顧客 點 j 的交通時間。

1.3多目標最佳化問題

由上述可知道車輛路線問題是多目標問題，根據 Bräysy 與 Gendreau [4] 總 結出這兩個目標是經常互相衝突，這表示想要減少總車輛數，常會使得行走總路 線距離增加，反之要縮短行走總路線距離則可能會讓使用的總車輛數增加。

以下就多目標最佳化問題進行定義。

Minimize F(x) ＝ (f₁(x), , f_m(x))

Subject to x ∈ Ω (12)

Ω 表示決策空間 (decision (variable) space)， R^m 是目標空間域 (objective

space)，F：Ω → R^m 由 m 個實數目標函式組成。具硬時間窗車輛路線問題中，f_i(x) 則是欲最小化的目標像是總路線或是行走總距離。

在最小化問題中，令 u = (u₁, ^..., u_m) ，v = (v₁, ^..., v_m) 是兩個屬於 R^m的向量，

如果對所有的 i = 1, ^..., m 使得 ui

 v

對所有的 x 而言，如果不存在一個 x ∈ Ω 使得 F(x) 凌越 F(x*)，x* ∈ Ω，

則稱此 x* 為非凌越解 (nondominated solution) 或是柏拉圖最佳(Pareto optimal)。

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F(x*) 稱為 Pareto 目標向量；PS 表示所有 Pareto optimal 點的集合，以柏拉圖最

佳解集合(Pareto set)稱之；PF 表示所有 Pareto 目標向量的集合，稱為柏拉圖最佳 前緣(Pareto front)， PF ＝｛F(x) ∈ R^m︱x ∈ PS｝。如圖 1 凌越示意圖，所示，

點 1 凌越點 4、7，點 2 凌越點 4、5、6、7，點 3 凌越點 6、7，而點 1、2、3 的 集合為柏拉圖最佳前緣。

圖 1 凌越示意圖

1.4 研究目的 研究 方法

時間窗車輛路線問題在生活實務上已經有相當廣泛的運用，包括宅配、垃圾 回收車路線規劃、銀行運鈔車及定點巡邏車路線規劃。

時間窗車輛路線問題屬於 NP-hard 問題，隨著顧客點的增加，求出精確解

(Exact Solution) 所花的時間會呈指數成長。時間窗車輛路線問題應用在各種現實 生活問題上，求解的時間有所限制，所以將採用啟發式演算法，在限制的時間內 求最接近精確解的近似解。

本研究以 Vidal, Crainic, Gendreau 和 Prins [8] 與 Chiang and Hsu [9]的方法為基礎 並加以改進，以文化基因演算法來求解具時間窗車輛路線問題。本研究以多目標

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最佳化的方式，求解具時間窗車輛路線問題。目前 Vidal 等人的方法，單一執行 一次只會得到單一解。多目標求解具時間窗車輛路線問題可以同時求出多個非凌 越解，在實務應用上，派車站可以依照不同的需求以及掌握的資源來選擇不同的 派車方式。因此，由多目標求解方式得到的各種非凌越解可以讓派車站。擁有更 多樣性的選擇來分配要使用的資源，同時滿足所有顧客的要求。

在使用基因演算法求解時間窗車輛路線問題的過程中，族群多樣性的維持是 保持演化動力的基礎。族群的全域最佳解可能會因為無法利用現有的合法解產生 更好的解而導致演化停滯。本研究嘗試將不可行解加入族群參與演化，並使用區 域搜尋法來加強改善產生的子代改善解的品質，再以一定的機率進行修復不可行 解，構成本研究提出的文化基因演算法，對解時間窗車輛路線問題進行求解。

1.5全文架構

本篇論文共分為五個章節，以下為各章的內容概述：

【第一章】緒論

說明本論文的研究背景、目的、方法及架構。