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2.2 特殊類典型相關分析
本節將簡介戴岑熹 (2011) 一文中所提及的類典型相關分析，因戴岑熹的「類典 型相關分析」是本研究第三章「類典型相關分析」的特殊情況，為區別起見，因之將戴 岑熹文中所提及的類典型相關分析稱為「特殊類典型相關分析」，茲將重點整理如下：
假設 X1,· · · , XI 為學生的 I 科學科成績，Y 是其基測總分，而其在校綜合學科
分數則以 A 表示，即：
令
A = a1X1+ a2X2+· · · + aIXI· · · (2.2)
ai > 0，∑
ai = 1· · · (2.3)
在 (2.3) 的限制條件下求權重，使得學生的在校綜合學科分數與基測量尺總分的相關係 數 ρ(A, Y ) 為最大，此即戴岑熹的「特殊類典型相關分析」之要點，ρ(A, Y ) 可進一步 表示成：
ρ(A, Y ) =
∑I
i=1ai·cov(Xi,Y )
√a′∑ a√
V (Y ) · · · (2.4)
在 (2.4) 中，一如我們所知，因為 V (Y ) 是常數，所以在求極值的過程中可將其忽略，
而 Xi 和 Y 的 Cov(Xi, Y ) 未知，可以樣本的共變異數來取代，其詳細內容請參閱戴 岑熹 (2011)。
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第 3 章 類典型相關分析
3.1 基本理論
在改變權重的基本限制條件後，欲探討學生在校各學科成績的合理權重關係，因 此運用與典型相關分析相類似的方法，探討學生的在校學科成績與基測各科量尺分數 的關聯性，將所欲求的目標函數列為：學生的在校學科成績與基測各科量尺分數間的 最大相關係數發生時所得之權重。其相關理論陳述如下：
假設共有 X1,· · · , XI 表示學生的 I 個科目在校成績，Y1, Y1,· · · , YJ 為學生的基測量 尺分數，在校學科成績常用來作為升學工具，權重如何適當地選擇？現今實施十二年 國教，除了規畫特色招生外，亦實施教育會考制度，紙筆測驗的重要性仍可見一斑，
而學生在校三年的日常學習表現能夠真實呈現該階段的學習狀態與性向潛能，因此若 能找到一個不同於等加權平均方式且能更客觀地呈現出學生在此階段的學習能力程度，
以期落實多元適性發展目標。所以權重決定方式為學生在校綜合學科分數與基測綜合 量尺分數的關聯性是最大的。
令
U =
∑I i=1
aiXi
V =
∑J j=1
bjYj
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些 ai = 0，bj = 0。
4. 將步驟 3 中權重為 0 的科目或基測考科將它們去掉，然後重新執行上述步驟直到特 徵向量 a 與 b 中所有的元素皆為非負數為止。
通常 ∑
11、∑
22 與 ∑
12 是未知的，所以在處理實際問題時可用樣本共變異矩陣 S11、S22 與 S12 來取代。
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‧
可證得，詳細證明請參閱 Hair, Black, Babin, and Anderson(2009)。
故 a,b 是原始資料的最佳權重，而 ea 與 eb 是標準化的最佳權重，則我們有如下的 結果：
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e ai =
√σ∗ii
∑√
σ∗iiai
ai， bej =
√σ∗∗jj
∑√
σ∗∗jjbjbj， ai = (√1
σii∗/∑√aei
σ∗ii)aei，· · · (3.14) bj = (√1
σjj∗∗/∑√bej
σjj∗∗) ebj 上面權重之倍數關係，也可以簡單自下式看出端倪：
U =e ae1Xf1+ae2Xf2+· · · + eaIXfI
=ae1 ·X√1−µ1
σ∗11 +ae2· X√2−µ2
σ∗22 +· · · + eaI· X√I−µI
σII∗
= √fa1
σ11∗ · X1+ √fa2
σ∗22 · X2+· · · +√faI
σII∗ · XI+ (− ea1· √µ1
σ11∗ − ea2· √µ2
σ∗22 − · · · − eaI· √µI
σII∗ )
將 X1,· · · , XI 的權重正規化後，同樣可獲得與 (3.14) 中相同的關係式。
‧
601.3619 443.1682 410.9108 483.6184 300.4870 443.1682 535.3136 361.8434 378.7165 286.6290 410.9108 361.843 514.0637 394.9038 376.9481 483.6184 378.7165 394.9038 679.7993 295.0032 300.4870 286.6290 376.9481 295.0032 436.4730
476.9690 343.7810 255.8198 296.0197 192.5724 343.7810 420.4643 229.3384 218.4212 174.9456 255.8198 229.3384 306.0843 219.2228 193.9228 296.0197 218.4212 219.2228 375.2751 148.3660 192.5724 174.9456 193.9228 148.3660 261.2275
‧
501.1271 378.7964 308.6372 335.2864 228.1374 403.3974 440.5612 262.8452 272.3072 199.2198 339.4261 310.9298 377.6765 286.2469 265.2772 427.9322 322.0888 304.8690 474.6481 223.4507 263.1259 242.7848 276.9367 208.313 307.4862
權重向量 (0.1790, 0.1722, 0.2086, 0.2659, 0.1744) 與基測量尺分數的最佳權重向量 (0.1798, 0.1464, 0.2362, 0.2529, 0.1848)，亦即所求的在校綜合學科分數與基測綜合量 尺分數為：
‧
1 0.7811 0.7390 0.7564 0.5865 0.7811 1 0.6393 0.5499 0.5279 0.7390 0.6393 1 0.6468 0.6858 0.7564 0.5499 0.6468 1 0.4739 0.5865 0.5279 0.6858 0.4739 1
1 0.7677 0.6695 0.6997 0.5456 0.7677 1 0.6393 0.5499 0.5279 0.6695 0.6393 1 0.6468 0.6858 0.6997 0.5499 0.6468 1 0.4739 0.5456 0.5279 0.6858 0.4739 1
0.9357 0.7533 0.7194 0.7058 0.5756 0.7983 0.9286 0.6493 0.6075 5327 0.6855 0.6688 0.9521 0.6517 0.7239 0.7515 0.6024 0.6683 0.9397 0.5303 0.5767 0.5667 0.7577 0.5147 0.9106
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3. 將 a 和 b 正規化，得最佳權重：
因向量 ea 與 eb 中的元素皆為非負值，將它們正規化後得在校學科成績的最佳 權重向量 (0.1858, 0.1676, 0.2002, 0.2925, 0.1540)，與基測量尺分數的最佳權重向量 (0.2075, 0.1579, 0.2187, 0.2583, 0.1577)，亦即所求的在校綜合學科分數與基測綜合量 尺分數為：
U = 0.1858 fe X1+ 0.1676 fX2+ 0.2002 fX3 + 0.2925 fX4 + 0.1540 fX5 V = 0.2075 ee Y1+ 0.1579 eY2+ 0.2187 eY3+ 0.2583 eY4+ 0.1577 eY5
而 eU 與 eV 的相關係數為：ρ1 = 0.9863
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3.4 在預測上的應用
教育部推動十二年國教，最主要目的是有效舒緩過度升學壓力，希望全面推動中 小學教學正常化與五育均衡發展，藉此強化國中學生學習成就評量機制，並確保國中 學生基本素質，因此規劃有百分之三十的國中生經由考試進入特色高中，其餘七成則 透過在校成績分發進入優質高中就讀。在此背景下，我們可以利用類典型相關分析可 獲得的結果，建立起一預測模型，以在校綜合學科分數預測基測綜合量尺分數。
令
U = a1X1+· · · + aIXI， V = b1Y1+· · · + bJYJ
分別表示經由類典型相關分析所獲得的在校綜合學科分數與基測綜合量尺分數。假設 有 N 位學生，將 N 位學生的在校學科原始成績與基測科目量尺分數分別代入上式，
可得到學生成績資料檔 (U1, V1),· · · , (UN, VN) 共 N 筆，並運用 MATLAB 建立一預 測模型 V = α + βU ，來預測基測綜合量尺分數。
由 3.3 節的實例中類典型相關分析所得的在校綜合學科分數與基測綜合量尺分數 為：
U = 0.1790X1+ 0.1722X2+ 0.2086X3 + 0.2659X4+ 0.1744X5 V = 0.1798Y1+ 0.1464Y2+ 0.2362Y3+ 0.2529Y4+ 0.1848Y5
將 103 位學生的在校學科原始成績與基測科目量尺分數分別代入上式，可得到學生成 績資料檔 (U1, V1),· · · , (U103, V103) 共 103 筆，並經由 MATLAB 程式可得預測模型 為：
V = 1.9367 + 0.7664U
未參加基本學力測驗的同屆學生可以透過在校成績，利用此預測模型預測其基測綜合 量尺分數，以作為入學評比的參考依據，達到公平、公正目的。
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第 4 章 類典型相關分析與典型相關分析 之比較
本章中將針對典型相關分析與類典型相關分析的條件與結果做比較：
4.1 理論的比較
由定理 1 內容知，典型相關分析是在限制條件 a′∑
11a = 1，b′∑
22b = 1· · · (4.1)
下，求 a、b，使得 (2.1) 相關係數為最大。
而由 (3.1) 式，我們知道類典型相關分析是在限制條件為
a1+· · · + aI = 1, ai > 0；b1+· · · + bJ = 1, bj > 0 下，求 a、b，使得 (2.1) 相關係數為最大。
在解釋類典型相關分析中的最佳權重向量與典型相關分析中的典型相關向量之關 係時，需用到下面的定理 3：
定理 3
給予矩陣 A 與 B，若 AB 與 BA 存在，則我們有：
(1)AB 與 BA 有相同的非零特徵值。
(2) 若 v 為 AB 的特徵向量，則 Bv 為 BA 的特徵向量。
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4.2 實例說明
為了更清楚說明典型相關分析與類典型相關分析間的關係，接下來以 3.3 節中的 標準化資料作說明，而原始資料可以仿照處理。利用 SAS 執行典型相關分析，其特徵 值以及第一對至第五對的典型相關向量如表 4.2.1 與 4.2.2 所示：
表 4.2.1: 典型相關分析在校學科部份之結果
特徵值
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0.9729 0.7944 0.6629 0.5817 0.4536 典
型 相 關 向 量
a∗1 0.2147 -0.3180 -0.5994 0.8817 -1.6487 a∗2 0.1948 -0.8694 -0.6464 -0.4842 1.1664 a∗3 0.2313 0.9455 -0.0195 -1.7318 -0.4132 a∗4 0.3390 -0.3238 1.4335 0.0479 0.4646 a∗5 0.1782 0.5791 -0.1962 1.4207 0.5890
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表 4.2.2: 典型相關分析基測考科部份之結果
特徵值
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0.9729 0.7944 0.6629 0.5817 0.4536 典
型 相 關 向 量
b∗1 0.2471 -0.4756 -0.4374 0.7679 -1.5417 b∗2 0.1889 -0.6671 -0.6069 -0.5370 1.2278 b∗3 0.2601 0.9470 -0.1805 -1.2173 -0.5916 b∗4 0.3083 -0.3411 1.3115 0.0175 0.5362 b∗5 0.1880 0.5657 -0.0886 1.1206 0.5763
自表 4.2.1 與表 4.2.2 中可知：
第一對典型相關向量為：
a∗ = (0.2147, 0.1948, 0.2313, 0.3390, 0.1782) b∗ = (0.2471, 0.1889, 0.2601, 0.3083, 0.1880) 第一對典型變量為：
U∗ = 0.2147X1+ 0.1948X2+ 0.2313X3+ 0.3390X4+ 0.1782X5 V∗ = 0.2471Y1+ 0.1889Y2+ 0.2601Y3+ 0.3083Y4 + 0.1880Y5 U∗ 與 V∗ 的相關係數為：ρ =√
0.9729 = 0.9863。
因 為 第 一 對 典 型 相 關 向 量 a∗ 與 b∗ 中 的 元 素 都 是 非 負 值， 所 以 採 用 類 典 型 相 關 分 析 時， 最 佳 權 重 向 量 即 為 將 a∗ 與 b∗ 正 規 化。 為 了 方 便 起 見， 正 規 化 後 向 量 仍 以 a∗ 與 b∗ 表 示， 得 a∗ = (0.1854, 0.1682, 0.1997, 0.2927, 0.1539)，
b∗ = (0.2072, 0.1584, 0.2181, 0.2586, 0.1577) ；此時加權分數為：
U∗ = 0.1854X1+ 0.1682X2+ 0.1997X3+ 0.2927X4+ 0.1539X5 V∗ = 0.2072Y + 0.1584Y + 0.2181Y + 0.2586Y + 0.1577Y
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U∗ 與 V∗ 的相關係數為：ρ =√
0.9729 = 0.9863。
上述結果與 3.3 節實例分析中「標準化」資料部份所獲得的結果相當。
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第 5 章 評鑑綜合學科分數優劣之指標
本章共分為三節，在第一、二節中，提出二種評鑑綜合學科分數優劣之指標，分 別為變異解釋率及與綜合基測量尺分數之相關度，第三節為不同加權綜合學科分數之 比較。
5.1 變異解釋率
在主成份分析中，經常以主成份的變異數作為其對整體資料貢獻度之衡量，變異 數愈大，表示該主成份愈能區分學生成績的高低。此處將定義變異數解釋率 E 做為評 鑑綜合學科分數優劣的指標。所謂的變異解釋率 (E)，即是指學生綜合學科分數之變 異數與各學科資料總變異之比值，說明如下：
令 U = a1X1+· · · + aIXI 表示為學生的綜合學科分數，則 E = ∑V ar(U )I
i=1σii∗
= V ar(a∑I ′X) i=1σ∗ii
= ∑aI′∑a i=1σii∗
其中，a = (a1,· · · , aI)，∑
是 (X1,· · · , XI) 的共變異矩陣。而 ∑
可以樣本共變異矩 陣 S11 取代，σi2 可以樣本變異數 Sii∗ 取代之，因此可表示為：
E = ∑aI′S11a i=1Sii∗
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5.2 與綜合基測量尺分數之相關度
在校成績與升學息息相關，當採計的在校學科很多時，通常須將眾多成績轉化成 單一分數，此時，權重的選擇就顯得極為重要。由於綜合學科分數的加權方式有很多 種選擇，若在校的加權總分與基測的加權總分有高度密切關係，則表示可以此在校綜 合學科分數作為高中入學時評比參考的依據，達到免試入學的目的，故我們可以考慮 與基測綜合量尺分數的相關度，作為一個評鑑在校綜合學科分數優劣的指標。
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5.3 不同加權綜合學科分數之比較
本節中運用了 3.3 節中所描述的 103 筆資料，在變異解釋率以及與綜合基測量尺 分數相關度的評鑑指標下，對八種權重採計方式不同的綜合學科分數進行分析比較。
八種權重分配不同的綜合學科分數之符號與建構方式說明如下：
(1) 綜合學科分數 A1= 0.2X1+ 0.2X2+ 0.2X3+ 0.2X4+ 0.2X5 係為等加權平均。
(2) 綜合學科分數 A2 = 0.4937X1+ 0.4380X2+ 0.4345X3+ 0.4943X4+ 0.3622X5 係對在 校學科成績執行主成份分析而獲得的第一主成份。
(3) 綜合學科分數 A3 = 0· X1+ 0· X2+ 0· X3+ 1· X4+ 0· X5 係對在校學科成績執行 類主成份分析而獲得的第一主成份。
(4) 綜合學科分數 A4 = 0.6X1+ 0.1X2 + 0.1X3+ 0.1X4+ 0.1X5 係對在校學科成績進 行類主成份分析而獲得的第一主成份，但各學科之權重保障至少為 0.1。
(5) 綜合學科分數 A5 = 0.4X1+ 0.15X2+ 0.15X3+ 0.15X4+ 0.15X5 係對在校學科成績 執行類主成份分析而獲得的第一主成份，但各學科之權重保障至少為 0.15。
(6) 綜合學科分數 A6 = 0.2147X1+ 0.1948X2+ 0.2313X3+ 0.3390X4+ 0.1782X5 係對 標準化資料執行典型相關分析而獲得的第一典型變量。
(7) 綜合學科分數 A7 = 0.1790X1+ 0.1722X2+ 0.2086X3+ 0.2659X4+ 0.1744X5 係對 原始資料執行類典型相關分析而獲得的第一典型變量。
(8) 綜合學科分數 A8 = 0.1858X1+ 0.1676X2+ 0.2002X3+ 0.2925X4+ 0.1540X5 係對 標準化資料執行類典型相關分析而獲得的第一典型變量。
另一方面，由原始資料與標準化資料建構的基測綜合量尺分數分別為：
V = 0.1798Y1+ 0.1464Y2+ 0.2362Y3+ 0.2529Y4+ 0.1848Y5 V = 0.2075Ye 1+ 0.1579Y2+ 0.2187Y3+ 0.2583Y4+ 0.1577Y5
對 A1 ∼ A8 計算變異數、變異解釋率以及與基測綜合量尺分數之相關度後，得表
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在 A7 中，我們將 A7 中的權重向量長度調為 1 時，其變異解釋率則增加為 73.25%，
而其與基測綜合相關度仍然是 0.9863。
2. 學校中常使用的等加權平均，即 A1，雖不是最理想方式，但不失為採計成績的一種 好方法。
3. 本研究中類典型相關分析的限制條件為加權總和等於 1 與各科權重值大於或等於 0
，其限制條件的設定考量主要是因現今學校廣泛所採用的方式。
4. 表 5.3.1 的結果顯示，在主成份或類主成份分析所建構起來的在校綜合分數中，變 異數愈大的學科，其所佔的權重比例就愈大，同樣地，典型或類典型相關分析也有 相同的結果。
5. 由表 5.3.1 可看出，除了 A3 外，其餘的綜合學科分數和基測綜合各科量尺分數都 有高度相關。
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第 6 章 總結
本文主要是探討類典型相關分析的理論以及於高中免試入學上在校學科成績之權 重應如何採計的應用。我們將相關的研究結果歸納如下：
1. 在最佳權重向量時，可利用典型相關分析的理論，先求典型相關向量。若典型相關 向量中的分量皆為非負值時，將它們正規化後，即得最佳權重向量。若典型相關向 量中的分量有負值時，可透過 Rao-Ghangurad 的修正法將解做修正，直到所獲得 的典型相關向量中的分量皆為非負值為止。整個過程可藉由 SAS 等統計軟體執行 典型相關分析來協助完成。
1. 在最佳權重向量時，可利用典型相關分析的理論，先求典型相關向量。若典型相關 向量中的分量皆為非負值時，將它們正規化後，即得最佳權重向量。若典型相關向 量中的分量有負值時，可透過 Rao-Ghangurad 的修正法將解做修正，直到所獲得 的典型相關向量中的分量皆為非負值為止。整個過程可藉由 SAS 等統計軟體執行 典型相關分析來協助完成。