環的運動軌跡模式分析與驗證

陀螺環自旋時，其支點為中央軸之接觸點為支點，具有摩擦力和下滑 力，一個環在一個三維空間上轉動，產生一個動力系統，此系統因初始條 件的不同而變化。因此環的運動模式在不同的初始條件下，產生了不同的 運動模式。此玩具的運動有兩種模式，其中一種模式為單一的接觸點的單 點接觸運動(Single-contact-point motion)，如圖3-2-1。

圖3-2-1 單點接觸運動(Single-contact-point motion)圖 資料來源：Hunt,H.(n.d.).Wobblerings. Retrieved from http://www2.eng.cam.ac.uk/

~hemh/movies.htm#wobblering

當陀螺環起始時，需要撥動環給予一個起始轉動，環的一邊尚未接觸 到軸時，環的運動屬於這種模式；小環受重力下落，直到接觸到軸，這種 模式有兩個接觸點如圖3-2-2，陀螺環以這種雙點接觸式運動

(Double-contact -point motion)持續轉動。

圖 3-2-2 雙點接觸運動(Double-contact-point motion)圖 資料來源：Hunt,H.(n.d.).Wobblerings. Retrieved from http://www2.eng.cam.ac.uk/

~hemh/movies.htm#wobblering

本研究以tracker來分析環的運動進行驗證。環的運動模式為雙點接 觸式的運動(Double-contact-point motion)，環在條件不適合時，轉動 後無法穩定的停留在軸上，屬於失敗的實驗，在此不列入討論；如果環能 穩定的轉動，沿著軸落下，則屬於成功的實驗。

二、實驗設計

在推導出動力學運動方程式後，本研究分析不同條件下理論值和實際 值的差異，並計算理論值和實際值間的參數，由尤拉第二運動定律可知，

若以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時變率，設定一般座標系的Z軸與 相 反方向， 為環的極角，所受的力矩為 ，與軸的形狀無關，為分 析環的下降情況，將玩具的圓環以直軸代替，本實驗分為以下八個部分

Ａ、 製作「木棍測摩擦力實驗儀」。

Ｂ、 自製環、設計測量「旋轉速度」與測量「下降速度」的方法。

Ｃ、 檢驗環的內徑大小是否影響旋轉速度與下降速度並計算參數。

Ｄ、 檢驗環的內徑摩擦力是否影響旋轉速度與下降速度？

Ｅ、 檢驗環的重量是否影響旋轉速度與下降速度？

Ｆ、 檢驗環的外徑大小是否影響旋轉速度與下降速度？

Ｇ、 檢驗中心軸的傾斜程度是否影響旋轉速度與下降速度？

本研究所使用之器材如表3-2-1所示：

表3-2-1 實驗器材列表

實驗器材 說明

小環 以超輕土、人形土、陶土、紙黏土製作

卷尺 測量長度及作為拍攝時之標準長度

黑色壁報紙 背景

高速攝影機 用於拍攝環的運動。本研究所使用的高速攝影機為 CASIO的EXILIM EX-ZR1000(圖3-2-3)

TRACKER VIDEO 分析軟體，用來分析環轉動對時間之數據。

木棍 中心軸

塗料 白膠、漿糊、保麗龍膠、塗於環內側，以改變摩擦力 游標尺 測量環尺寸

木板 底座

電子秤 稱重

圖3-2-3 CASIO EXILIM EX-ZR1000

Ａ：木棍摩擦力實驗儀：

為求玩具設計方便起見且最大靜摩擦力略大於最大動摩擦力，實驗設 計以靜摩擦力為主。將小環放在木棍上，小環會因為與中心軸有摩擦力而 不會下滑。此時力的分力如圖 3-2-１所示。

圖3-2-4 木棍摩擦力實驗儀

設µ 是摩擦係數，上圖中當摩擦力測定器傾斜一角度 時，環在軸方 向受重量之分力，當環開始滑落，此時重量分力等於環作用軸上的下壓力 乘以摩擦係數即

整理上式可得摩擦係數為

Ｂ：自製環、測量「旋轉速度」與測量「下降速度」。

自製小環方法：如下圖示

圖3-2-5 環的製作流程

環旋轉下落的部份，為了使用高速攝影機拍攝環的旋轉過程，首先需 要有足夠的高度和光源，讓環落下時有足夠的距離達到終端速度，中心軸 高度至少需要有20公分，攝影機距離拍攝物能夠達到40公分以上，同時需 要有足夠的光線的且不易受風影響的環境，拍攝時的背景黑色最佳。

由於小環需要一原始轉動速度，及一段矩離才可達到穩定的轉動狀態

，本實驗從起點預留20cm為穩定區，只取起點往下20-40cm的影象擷取數 據。讓高速攝影機拍攝的影片夠清楚，實驗過程需在照明良好的室內進行，

實驗過程由甲、乙兩位人員進行操作，甲員負責場地佈置與攝影，乙員負 責控制環的旋轉操作。

拍攝前，需在軸上標記起點和數據擷取段落、軸的垂直距離，供日後 進行座標分析以及計算速度之用。

實驗器材的架設位置圖 3-2-6，首先在實驗桌後把作為拍攝背景的黑 色壁報紙貼上，桌面處架設高速攝影機並用水平儀調整水平，架設完成後 甲員開始拍攝並對乙員打信號，接著乙員依照環的編號順序(C1、C2…J1、

J2)將環從起點做旋轉運動，最後只需依照影片的編號順序，即可得知影 片中拍攝的環是哪一顆並進行環移動的分析。

圖3-2-6 實驗配置圖

拍攝時以高速攝影HS240模式拍攝，可得到240fps的畫面，即每秒240 幅畫面，影片拍攝完成後把檔案載入影片分析軟體Tracker Video，軟體 本身會記錄影片中環的相對位置(圖3-2-7)，記錄完後定義原點座標、y軸 方向、長度與時間軸單位之度量。接著將圖3-2-7右下角的數據全部複製 貼上到Excel，使用Excel的圖表功能即可畫出環的y-t圖。各組實驗的數 據可同時貼在Excel，作各組差異分析。

根據Tracker Video的紀錄，可得知環下降所需的時間和下降距離，

擷取以上數據，由 可知道下降速度。

圖3-2-7 Tracker Video數值圖

圖3-2-9 Tracker計算 方法

進動角速度的計算，以環上面正對攝影機時為起始點，分格播放影片，

當環上面正對攝影機先記錄，當環上面再正對攝影機時，可知自轉軸已轉 一圈，由

相差幅數

相差幅數 簡化單位為rps上式可寫成

相差幅數

以上為 的實際值，另外可利用經典力學分析出陀螺環進動角速度的 計算方式，設此理論值為 。由於此理論值無單位，須將此理論值換算為 實際值。

圖3-2-10 Tracker計算 方法

在環旋轉過程，可將各圈的自旋和進動角速度分別計算，再將數據載 入Excel的圖表功能，即可畫出環的 圖與 圖。

環的轉動慣量可分為兩個部分來計算，自旋轉動慣量(即 )和翻轉轉 動慣量(即 )。用游標尺、精密電子秤測量每顆環的內徑、外徑、高度與 重量，並計算出環的兩種轉動慣量。

令環內徑 、外徑 、高度h、重量Ｍ，則環A的轉動慣量表示為：

Ｍ

Ｍ Ｃ：環的內徑大小是否影響旋轉速度與下降速度。

製作四種內直徑不同，外直徑皆為 3cm 的小環，根據 Crane(1992)指 出環內徑和軸徑比約1.4～2.3 容易成功轉動，因軸徑為 1cm，所以製造出

內直徑分別為 1.5cm、1.9 cm、2.1 cm、2.3 cm 的紙黏土小環，為維持環

表 3-2-3

Ｆ、 環的外徑大小是否影響旋轉速度與下降速度。

Ｇ３ 5.13 60° 0.87 5.13 4.46

Ｇ４ 5.13 45° 0.71 5.13 3.64