第四章 研究成果與討論
第一節 陀螺環的運動動力學
操作陀螺環，給予環一起始轉動，環質量為M，繞軸心作圓周運動，
軌道施予轉子向心力 維持其轉動，設質心的角速度為 ，內徑半徑為r，
離心力為
(29a)
由於離心力的作用，環和軸之間產生正向力(normal force)
(29b) 環和軸的摩擦係數為 ，則環和軸間具有一摩擦力
(29c)
環質心受重力 作用往下，使質心有漸往下的運動，若環的轉速夠 快，產生離心力夠大，使其正向力造成的摩擦力足以抵消環的重力
即 ，環和軸的接觸點受重力相反的正向力 可停留在軸上，
環的另一側漸往下，直至環的內側碰觸到軸。
以質心為支點，環在軸上旋轉時受重力，質心往下，另受重力正向力 力矩和摩擦力力矩 2 力矩作用，令重力正向力力矩為 ，摩擦力矩為 則
(30a)
(30b)
圖 4-1-1 環受力和力矩
因力矩等於角動量的時變率，環的角動量時變率為
(31)
的方向和 相反，促使環的角速度變慢，且環的質心有往 方向前 進的趨勢，因此條件許可下，環將持續自旋和進動。
環在軸上的接觸和運動方式可用圖 4-1-2 表示，經由環和軸兩接觸點 的摩擦力，讓環不會從軸上滑落，並且可以在軸上做自旋和進動。
圖 4-1-2 環接觸點和運動方向
接觸點
接觸點 角動量
c
在陀螺環中，可將繞於旋轉軸上之環，視為一繞軸中心線之圓環，以 中心軸和環接觸點作為支點，以軸中心一點為空間座標系X、Y、Z軸的原 點(如圖 4-1-3)，並將此環視為由一個多質點組成之剛體，此剛體第i個 組成質點的質量為 , 在座標系中，此質點的位置、速度和所受力分別為 、 和
由牛頓第二定律可得
( = (32) 圓環的總質量為Ｍ，質心的位置為 ，則可得到
Ｍ= (33a)
Ｍ = (33b)
Ｍ ＝ (33c) 如以相對於質心的位移 ，相對於質心的速度 則 可寫成
(33d) 在空間座標系中以原點O為參考點時，其總力矩為 ，即所有力對於 此物體之總力矩和，因此系統會成為一平衡狀態，質點間總力矩和為零，
因 由於環僅受外力為重力，總力矩為重力矩
= = ) × ) (34) 為外力相對質心Ｃ之總力矩
對於原點之總角動量為
= × ) (35a)
(35b)
圖 4-1-3 環的空間座標
上式中 為環質心對於原點O之總角動量， 為其他質點對於質心的 總角動量。
角動量之變動量即是所受之力矩大小，由(32)、(35a)、(35b) 可得下 列
= (36a) 將(34)、(35a)之結果代入(9a)式可得
= (36b)
因質心的加速度為動量的時變率，由(32)和(33c)可得
(37)
M
由(35b)與(37)式可得質心運動的時變率為
(38a) 將(38a)式減去(36b)式可得
(38b) 由上(33d)、(36a)、(38b)式可知以原點O或以質心C作為計算角動量 與力矩的參考點，角動量之變率都等於外力之總力矩。
二、 環的三軸角速度
在dt 內，由於環的轉動，使環的自旋軸 3 軸在座標系中的極角θ變 為 d ，方位角 變成 則各座標的向量變化為
圖 4-1-4 環的主軸座標系
d (39a)
(39b)
d (39c)
將上式對時間微分可得各單位的時變率為
( (40a)
(40b) (40c)
若此環以角速度 轉動，可知
(41) (42) 根據以上的結果可將(40a)-(40c)改寫成
(43a)
(43b) (43c)
由上三式可知環的主軸座標系各座標軸，以瞬時角速度 ，繞質心旋 轉。
三、環對於質心之角動量與其時變率。
一個環對於質心C為原點的直角座標系角動量L 為
L d (44) 假設 1 軸、2 軸、3 軸分別為一個環的慣量主軸，我們可以求到特徵 向量 、 、 ，而這些特徵值則分別是環對於慣量主軸的主轉動慣 量，此三軸之單位向量為 、 和 ，這環的主轉動慣量分別為 、 、 ， 角速度是 。那麼角速度可表示為
(45a) 由於3 軸為環的對稱軸，環的轉動角速度 和座標系 3 軸轉動角速度
沿1、2 軸的分量相同即
(45b)
總角動量為
(46a)
若以質心為參考點，剛體繞主軸1、2、3 軸的轉動慣量為 、 、 則 對於質心的總轉動慣量可寫成
(46b) (46c) 將式(46b)對時間作一次微分可得
(47) 上式在各主軸的分量，利用(43a)-(43c)和(46c)式可寫成
(48a)
(48b)
(48c)
由於環為一對稱剛體，轉動慣量 故可知
(49)
四、圓環的運動方程式
設定均勻圓環的內半徑為 ，質量為M，對稱軸的極角為θ。當接觸 點沿半徑為R的中心軸圓周前進時，此圓環的質心速度為 ，質心的轉動 角速度為 ，則圓環質心的位置可表示為
(50)
將上式對時間微分一次或二次後，再將式(15)及(16a)-(16c)之結果 代入可得質心的速度與加速度為
(51)
(52) 由於中心軸和環有一作用力Ｆ
Ｂ，且受到重力加速度ｇ 則可得
Ｍａ
ｃ Ｆ
Ｂ Ｍｇ (53)
圖 4-1-5 環的圓周運動 環質心受到的總力矩為
Ｆ
Ｂ Ｍａ
ｃ Ｍｇ (54) }
(55)
環在軸上作純滾動運動，環與軸接觸點的速度為環的轉動速度，即 (56)
將(43a)及(51)的結果代入上式則可得環沿中心軸滾動的條件為
(57)
B
1
將(42)和(45)代入上式可得
(58)
將上式對時間微分可得
(59)
利用(58)和(59)、(55)式可改寫成
(60)
各力矩之分量為
(61a)
(61b)
(61c) 將以上三式、(42)、(45b)之結果代入(48a)-(48c)可得圓環之運動方 程式為：
(62a)
(62b)
(62c)
圓環以固定傾斜角沿中心柱做純滾動運動，因環的傾斜角固定，即 為定值，則 將此結果代入(62a)式可得 ，顯示 為固 定值，在此情況下 表示 是定值，可代入式(62b)得到
(63)
圓環在軸面上滾動，圓環呈傾斜狀態，即
以σ代表B點至Z軸之矩離
(64)
可得圓環接觸點B點的運動速率 為
(65) 故可改寫(63)為
(66)
將上式再作整理即得
(67)
而代入環的轉動慣量 可得
(68) 若圓環只滑動而不滾動則 ，代入式(67)則得
(69)
上式(69)等於一質點繞一傾斜角 圓形彎道，以等速前進之公式。
五、環的角速度
依圖 4-1-6 定義環的自旋角速度為 ，進動角速度為 ，點為環和中 心軸的接觸點A，O為中心軸的中心點， 為環的質心C和Z軸的矩離， 是環 的內半徑， 為環的傾角，即環和水平面的夾角。
θ
圖 4-1-6 環對平面的轉動速度
若環處於一個三度空間座標系，定義g為重力加速度， 為環對水平 面的角速度，a為角加速度，α是A點和O點的矩離， 為用於環上沿著 1 軸的分力， 為用於環上沿著2軸的分力， 為作用於環上沿著3軸的分 力，環對於水平面的角速度為
(70)
r
O A
c
1
環對於水平面的角加速度為
(80a)
(80b)
(80c)
上式中M是環的質量， 是質心 沿 軸方向的加速度， 是質心 沿 軸方向的加速度， 是質心 沿 軸方向的加速度。
如果 ，則點C是靜止的，點C的加速度為零。上述三個方程式
= 0， = 0， =M 。
接下來，應用尤拉運動方程式，以1、2、3 為環慣性三軸的對應方向，
並視環為一剛體，ΣMx為繞點C沿原X軸方向的總力矩。 、 和 為繞
點C沿原1、2、3軸方向的總轉動慣量則可得到
(81a) (81b)
(81c) 根據原始座標軸的三個角速度
(82a)
(82b) (82c)
以及原始座標軸的三個角加速度
(83a)
(83b)
(83c)
由於 = 0 及 = 0。上列三式只使用第(81b)式作計算
(84)
暫不考慮環的高度和厚度可得
(85a)
(85b) 由於
(86)
由尤拉第二運動定律可知對環質心的總角動量時變率等於對質心的 力矩，將上式代入(84)式可得
(87) 綜合以上各式可將(88)式寫成
(88) 可得
(89) 由以上的結果可知，當 θ→0， 將趨於無窮大。上述公式是一種理 想化的結果。在現實中存在著動摩擦和滾動阻力，而影響到實際的角速度。
由於摩擦和滾動阻力，環會失去能量，等量失去重力勢能。環的質心C必
須在高度上逐漸下降。環下落以重力勢能補充環的動能，使這個過程繼續，
直到勢能用完。
在實際上環有厚度及高度，環的轉動慣量可另寫成
(90a)
(90b)
以上 為環的內半徑， 為環的外半徑，h為環的高，將式(90a)及式 (90b)代入式(84)可整理成為
)
(91) 將式(79)代入上式中
(92)
六、環的能量守恆 一般物體的動能是k
K (93)
環的總動能包含移動動能和轉動動能,總動能k’
K’= + dm (94)
是陀螺質心的速度， 是微小質量 相對於質心的速度。以T 表示轉動動能。
T dm dm (95) 所以總動能可寫成
K’=K (96)
1-軸、2-軸、3-軸分別為環的慣量主軸，這環的主轉動慣量分別為 + 。那麼環的動能為
K’= ( + ) (97) 重力位能可寫成
U=M (98)
圖 4-1-7 環的慣量三軸
因 與 平行，總角動量的分量 守恆
=
=
= × M =0 (99) 環的總力學能為動能加位能，無外力作功，系統中能量守恆
E= ’＋ ＝constant (100) 七、環繞質點轉的角速度
我們可以使用尤拉角分析一個旋轉的環運動。如圖 4-1-7 假設其最低 點固定在－個表面上。使用的固定的點作為原點。 、 、 軸上的單位向 量可表示成
＝ ＋ ×
＝ ＋ ( ＋ ) (101a) ＝ ×
＝－ ＋ ( ＋ ) (101b)
＝
(101c)
環在單位時間中繞 、 、 的角度分別為 、 、 可得環的角 速度為
) (102)
角速度在1、 、 軸上的分量為 、 、
(103a)
(103b)
(103c)
( ) (104a)
(
d
八、環之動能、動量、重力位能
對於一個質點，轉動慣量 ，其中M是其質量， 是質點和轉 軸的垂直距離。對於一個有多個質點的系統物體的旋轉動能可用以下公式 計算
(105)
由於環為對稱體，對於1軸和2軸的轉動慣量是相等的，動能可寫成
( + )+ (106) 由於
(107a)
(108b) 將 和 相加
(109)
=( (110)
九、環自轉軸的時變率
在x、y、z三軸座標系中，將平面座標系繞 z 軸旋轉 角，原始 x 軸
旋轉到 軸位置，y 軸轉到 軸位置，再將 軸繞 軸轉θ角，使 軸到達 軸
位置，z 軸到達 3 軸位置， 軸再繞 3 軸轉Ψ角， 軸到 1 軸位置， 軸到 2 軸位置，可得 y 制尤拉角座標，此座標系符合以下條件：
(119a) (119b)
(119c)
(119d)
z
3 θ
Ψ
θ
y
Ψ
圖 4-1-8 環的 y 制尤拉角座標系
1
2
X
由以上可得
由上式可知角動量沿環對稱軸之分量 不隨時間變化， 為
常數，角速度沿 3軸分量為常數。
十、環進動的條件
將式(116)代入式(118)可得
(127)
將 以隨機變數 表示，式(127)可寫成
(128)
環轉動時，式(75)不為負值，即環在轉動時 須滿足
之條件，在陀螺環的轉動中， ，且 ，此情況下環不會出現章 動，只會出現進動，此種運動稱為正規進動。在此 且 即
(129)
2 ( (
(130)
由式(118)，及 =0得
(1 (131)
由式(116)可得
(1- ) (132)
由以上2 式可得知，在正規進動下，即 0時，傾角之餘弦值必滿 足式(129)
將式(131)及式(132)代入式(130)，則可知在正規進動下則 ，角 速度與 須滿足下式
(133)
上式顯示 須為下式之根
(134)
環在穩定進動下，上式一元二次方程具有實根，其判別式大於等於零 (135)
此條件顯示，當 時，即傾角＜90°，環自旋的角度須夠快，才能 在傾角固定的情況下，以固定的 做正規進動。
將式(79)、(103C)代入上式可得
(136)
將式(92)代入式(136)並作整理上式可寫成
(137) 因 ，同時代入(117a)、(117b)式，上式可整理為
在設計陀螺環時，環的轉動和重量無關，和幾何尺寸有關，環須符合 以上判別式才可穩定轉動
由式(134)可得，若傾角 時正規進動的角速度為
(141)