監控方法

本研究將一維剖面之監控方法推廣到二維剖面上，並考慮二維剖面間具有個 體差異性，藉由PCA 及 MPCA 提出第二階段的監控策略。假設二維剖面資料模

型是Y_ij Z s t( , )_{i j} 



_ij ,i1,..., ,p j 1,...,q， p 和 q 為正整數且_ij^iidN(0,²)。我 們可知二維剖面的資料型態是矩陣且矩陣元素為Z s t( , )_{i j} 



_ij。

3.1 PCA 方法

先將新進的二維剖面資料矩陣Y_{p q} 中心化，這邊的中心化是指Y 減掉藉由經 驗或第一階段而得的平均矩陣。再藉由thin-plate splines 方法將其平滑化以去除 噪音之干擾，所得的矩陣以符號X_{p q} 表之。假設在利用thin-plate splines 平滑化 時每個剖面所使用之平滑參數都一樣，那麼每個第二階段之 X 仍彼此獨立且具 相同分配。在第二階段製程監控的研究中，假設在管制內的vec X( )其結合分配 服從N_pq( ,0 _X)。首先，我們先對_X做特徵根分解得到



₁



₂ 



_pq 0及

所對應的特徵向量

v v

₁

, ,...,

₂

v

_pq。可知第r個主成分就是第r大的特徵根_r所對 應的特徵向量

v

_r。接下來，我們需決定要保留多少個主成分，以符號k代表此 量。最常見的方法是利用由這些主成分所解釋的變異在原本資料總變異上所占的 比例 (亦即

1 1

k pq

i i

i i

 

 

 

) 是否達到預定的合適值來決定k，其中krank(_X)。 將每個新進的vec X( )對k個主成分v₁, ,...,v₂ v_k個別投影得到s s₁, ,...,₂ s ，亦即_k

( ), 1,...,

r r

s v ^vec X r k。因v₁, ,...,v₂ v_k彼此間獨立且對於在管制內的vec X( ) 而言其結合分配服從N_pq( ,0 _X)，因此s_r彼此間獨立且服從N(0, )



_r ,r1,...,k。 那麼我們可以考慮藉由監控統計量

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13

14

ˆX

 。在預先給定的 p 及 q 下，將這組管制內的資料藉由 GLRAM 演算法獲得

ˆ0,

A p p_{ }及 ˆ_0,

B q q_{ }分別用來估計A₀及B₀。接下來，套用第一種情況所敘述的方法來 監控新進的二維剖面資料。

當PCA 及 MPCA 的解釋比例皆為 100%時，則 PCA 和 MPCA 兩個監控統 計量會相等。定理三描述PCA 和 MPCA 在何種情形下解釋比例皆為 100%。

定理三 假設對於特定的p 及₀ q ，₀ X  A U B_{0 X 0}^T，並假設式(4)中主成分個數 ( _X)

krank  。那麼當p  p₀和qq₀時，則式(5)會等於式(4)。

定理三之證明請見附錄。在母體觀點下，定理三的p  p₀和qq₀表示

0 0

A A 及B₀ B₀。明顯地，當p₀ p且q₀ q時，對任何例子而言，定理三中 的A 及₀ B 一定存在。不過，當₀ p₀ p且q₀ q時，在某些情況下，定理三中的A₀ 及B 仍會存在。當定理三成立時，對於 PCA 而言，₀ krank(_X)表示第k個以 後的特徵值皆為0，因此前k個特徵值的總和會等於資料總變異，亦即PCA 的解 釋比例為100%。對於 MPCA 而言，重建結果等於原本，表示A₀及B 皆分別抓₀ 到行及列方向上的所有資訊，亦即MPCA 的解釋比例為 100% (亦可由 2.3.3 中的

( , )p q

   公式及附錄定理二性質 ( )b 證明中之式(A1)獲得)。在第四章的範例二我 們將呈現PCA 和 MPCA 有相同的平均連串長度 (Average Run Length ，簡稱 ARL ) 曲線來反應定理三之情形。

3.4 ARL

我們藉由ARL 來評估與比較 PCA 及 MPCA 兩方法的偵測能力。

3.4.1 PCA 方法的 ARL 算法

新進的二維剖面資料矩陣Y_{p q} 經由中心化及去除噪音之干擾後得到矩陣

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Xp q_ ，假設vec X( )N_pq(0_pq1δ_pq1,_{X pq pq} )。那麼式(4)的統計量T_pca² 會服從自由 度為k及非中心參數為_c  ( ^*Tδ)^TD^*_P^1(^*Tδ 之非中心卡方分配 (noncentral ) chi-square distribution) ，其中  v v*



1, ,...,2 v 及_k



D 為對角矩陣其元素為_P^*

1 2 k

 

 



，則T 管制圖的偵測力可藉由² P T( _pca² _k²_,)P(



_k²( )_c _k²_,)

獲得，其中 是中心卡方分配 (chi-square distribution) _k²_,



_k² 的(1) 100% 百 分位數。

3.4.2 MPCA 方法的 ARL 算法

算法和3.4.1 一樣，只不過



_c (((B₀A G₀) ^*)^Tδ)^TD^*1(((B₀A G₀) ^*)^Tδ)_， 其中D 為對角矩陣其元素為^*

1* *1







k 及G^*為由G的前k 個行向量依序排置₁ 而成之矩陣。

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在文檔中 第二階段二維剖面監控之研究 (頁 19-24)