直交表 (orthogonal array) 是由 R. A. Fisher 最先提出的，直交所代表的意 思是平衡 (balance) 而不混合 (mix) ，亦即統計上的獨立 (statistically
independence) ，因此直交表中每一欄的各水準值 (level) 出現次數是相同的，
使用直交表，事實上僅是進行部份因素實驗 (fractional-factorial experiment) ， 因此能較完全因素實驗 (full-factorial experiment) 節省大量執行的時間，且直交 實驗具有系統推理的特性，因此只需進行部份因素實驗就可以求得最佳解的近 似解 (near optimum) [8] [9] 。
以兩水準，三因素直交表說明，如表 2.1 所示，若要進行完全因素實驗，
需要八次實驗(23 = )，如果需要在八次實驗中選擇只作四次實驗，如何選擇能8 達到均勻取樣的目的，建構一個L4(2 )3 的直交表，如表 2.2 所示，可以縮減成 四次實驗，這樣的取法，如果以六面體的立體空間來看，如圖 2.1，選擇的實
驗點是1、4、6 與 7，六面體的每一面都有兩個實驗點，而且都是對稱的，可
保證最佳解在其所包圍的立方體之中，使用均勻且對稱的取樣來推測全部實驗 的最佳解。
表 2.1 兩水準三因素完全實驗 Factors Experiment
Number x 1 x 2 x 3
1 0 0 0 2 0 0 1 3 0 1 0
4 0 1 1 5 1 0 0 6 1 0 1 7 1 1 0 8 1 1 1 表 2.2 兩水準三因素直交實驗表
Factors Experiment
Number x 1 x 2 x 3
1 0 0 0
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 1 0
圖 2.1 兩水準三因素空間分佈圖
2.2.2 兩水準直交表的產生方式
以兩水準直交表L8(2 )7 為例說明直交表產生方法，程序如下：
1. 當因素個數為N 時，完全因素實驗為 2N，直交表大小為M 列乘以 M-1 行， 標示為LM(2M−1)，其中(M =L[log (2 N+1)])M =2⎡⎢log (2 N+1)⎤⎥。
2. 將a 因素放入第 1 行位置。水準值 1 和水準值 2 連續出現的次數為 81 2 = 。 4
3. 將b 因素放入第 2 行位置，水準值 1 與水準值 2 連續出現的次數為 82
2. 建構basic column 以外的行(nonbasic columns)：
for k=2 to J do begin
1 1
1 1 Qk
j Q
− −
= +
−
for s=1 to j-1 do for t=1 to Q-1 do
( 1)( 1) ( )
j s Q t s j
a + − − + = a × +t a mod Q i end
3. 最後步驟：a 每一次增加一，針對1i j, ≤ ≤i M,1≤ ≤ ，完成整個多水準j N 直交表。
2.2.4 因素分析
使用直交表進行的取樣和實驗結果進行因素分析。令y 表示為t L (2 ) 直交8 7 表實驗中第 t 次實驗的評估函數值，則第 j 個因素水準值 k 的主效果S 定義jk 為：
jk 1
S n t tjk
t
y F
=
=
∑
i (2-10)其中F 為一個旗標值，若第 t 次實驗中第 j 個因素選用水準為 k ，則tjk F tjk 為 1；若否，則F 為 0。若適應函數為望大，則較大的主效果值表示對適應 tjk 函數具有較佳的貢獻度；反之若適應函數望小，則主效果值小者貢獻度較佳。
主效果可以顯示因素中水準的各別影響。例如主效果 Sj1>Sj2 則表示在參數 最佳化的問題中，第 j 個因素水準值 1 對於整體最佳化函數的貢獻大於水準 值 2 。如果相反的情形Sj1<Sj2，則表示水準值 2 較佳。每一個因素的較佳
水準組合成一個新解，此解為推理解。
2.2.5 直交實驗
科學實驗的過程，通常利用假設來減少實驗結果的因素個數，以節省時 間，應用直交實驗設計也是為了解決此問題而被提出的方法之一。Orthogonal Experimental Design, OED 主要包含兩個重要的部份：直交表(Orthogonal Array, OA)與因素分析(Factor Analysis)[11][12]。首先透過直交表，產生出獨立且均衡 的每一個因素，再藉由每一個因素分析出的主效果(Main Effect)，由主效果推論 每一個因素對於該實驗結果的優劣。因此以直交實驗來解最佳化問題時，問題 的一個參數可視為直交實驗中的一個因素，而參數視為因素的水準(Level)值。
完全因素實驗(Complete Factorial Experiment)會以全部水準值的排列組合進行
實驗，而OED 僅取全部排列組合中的一部份來進行分析實驗，也就是部份因
素實驗(Fractional Factorial Experiment)，因此直交陣列系統推理化的特性只需進 行部份因素實驗就可以推測出所有搜尋空間中最佳的近似解(Near Optimum)，
可節省大量執行的時間。