除了重建影像，電腦全像術可以應用在空間濾波器的設計｡在一般的光資訊處 理系統中，空間濾波器通常的數學形式為複數，在目前並沒有辦法以單一全像材 料或者是空間調制器來正確顯示複數函數，但是可以利用電腦全像的編碼技術來 將複數形式的空間濾波器轉換成純相位的空間濾波器，讓空間濾波器能夠容易的 製作在全像材料上或者是以空間調制器來顯示｡在本章中，我們將以電腦模擬來執 行一些光資訊處理的應用，包括空間濾波器的設計以及光資訊處理的電腦模擬結 果｡
4-1 應用ㄧ：影像去模糊空間濾波器
一般成像系統在底片曝光時，若成像系統對於影像有小幅的相對運動，記錄在底 片上的影像會因為相對運動而變得模糊。模糊影像與原始影像的關係可以用數學 式 4-1 表示，f(x,y)是記錄在底片上的影像，s(x,y)是原始影像，d(x,y)是底片 曝 光 時 ， 成 像 系 統 與 底 片 因 相 對 運 動 造 成 影 像 模 糊 的 脈 衝 響 應 (impulse response)。假設底片與成像系統間的相對運動是在 α 方向的等速直線運動，其 光學系統成模糊影像的脈衝響應可以用一方形函數表示，如數學式 4-2 所示，Δ 是曝光時間內底片與成像系統間的相對位移，♁表示卷積運算[9]。
( ) x y s ( ) ( d x y ) d d s ( ) x y d ( ) x y
f
, =∫ ∫
∞ , ⋅ − , − = , ⊕ ,∞
−
β α β α β
α
…………(4-1)( )
⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤=
α
∆β
α rect
d
, ………(4-2) 若將底片作傅氏轉換，可以得到模糊影像的空間頻譜，依卷積定理(Convolution theorem)，兩函數的卷積運算的傅氏轉換，會等於兩函數各別傅氏轉換相乘，如 數學式 4-3。( )
即可以在輸出平面得到原始影像。我們採用的濾波函數是反向濾波器(Inverse filter)，即設計空間濾波器 H(u,v)的形式為微擾函數 D(u,v)的倒數如(4-4)式，
在空間濾波器平面將模糊影像傅氏訊號的微擾函數除掉，再經過一次傅氏轉換即
為了能夠比較清楚觀察到去模糊的效果，原始影像上只有兩個距離相近 10 像素的 訊號點，而記錄在底片上的模糊影像，則是在曝光時原始影像與底片在橫向有 10 像素的相對移動，動態模糊之後兩點幾乎無法分辨。圖 4-2 是原始影像及其模糊 影像，大小為 100x100 像素。
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1
相位 振幅
max
1 T
π
振幅 相位
0
圖 4-1 反向濾波器函數圖形
-1 0 1 2
-2 3 -3
圖 4-2 原始影像與模糊影像及其強度對位置函數
我們使用第二章介紹的編碼理論來設計反向濾波器 h(u,v)，圖 4-3 是利用 kinoform 編碼法產生的反向濾波器去模糊後的影像，圖 4-4 是用雙相位合成法產 生的反向濾波器去模糊後的影像，圖 4-5 是用改良型雙相位合成法產生的空間濾 波器去模糊後的影像，可以明顯看出原本無法分辨的兩點已經可以明顯分辨出來 了，而其中以改良型雙相位合成法產生之反向濾波器的去模糊效果最好。
圖 4-5 改良型雙相位合成法反向濾波器之去模糊影像 圖 4-4 雙相位合成法反向濾波器之去模糊影像 圖 4-3 kinoform 反向濾波器之去模糊影像
接下來我們用一張真實的影像，將之動態模糊處理後，用改良型雙相位合成法空 間濾波器將之去模糊。圖 4-6 是原始影像，圖 4-7 是動態模糊影像，圖 4-8 是去 模糊之後的影像。傅氏轉換遞迴修正理論並不能用來產生去模糊空間濾波器，因 為此理論只能限定振幅為限制條件，而在同調光資訊處理中，振幅和相位都扮演 了很重要的腳色。
圖 4-8 去模糊影像 圖 4-7 動態模糊影像 圖 4-6 原始清晰影像
4-2 應用二：影像減法空間濾波器
輸出平面的訊號是傅氏平面的訊號作傅氏轉換，得到的結果如(4-9)示：
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
{ F u v F u v F u v e
j auF u v e
j au}
j
π
π 4
2 4
1 2
1 , , , ,
2
: 1 ⋅ℑ − − ⋅ − − ⋅ 輸出平面
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
{ α
,β α
,β α
2 ,β α
2 ,β }
2 1
2 1
2
1
f f a f a
j f
− − − − += ………(4-9)
(4-9)式有兩個部份，在光軸附近的訊號是影像 1 減影像 2 的訊號，也就是我們想 要的影像相減結果；離軸訊號部分包含延 α 軸偏離 2a 距離的影像 1，以及延 α 軸偏離-2a 距離的影像 2｡
接下來我們將用雙相位合成法、改良式雙相位合成法這兩個編碼法來產生 sin 光 柵。sin 光柵製作的困難之處在於 sin 有正負訊號，使用相位電腦全像的技術可以 解決這個困難。圖 4-10 是將 sin 光柵作傅氏轉換得到的空間頻譜分佈，圖 4-11 是利用雙相位合成法產生的 sin 光柵作傅氏轉換得到的空間頻譜，而圖 4-12 是利 用改良式雙相位合成法產生的 sin 光柵作傅氏轉換得到的空間頻譜。可以發現使 用改良式雙相位合成法產生的 sin 光柵與實際 sin 光柵的空間頻譜最為接近。
圖 4-10 sin 光柵的空間頻譜分佈
+1
-1
光軸訊號 離軸訊號
雙相位合成法產生的 sin 光柵與原始 sin 光柵的空間頻譜的差別，除了原本正負 一階的繞射光點，會多出其他高階繞射的光點，正負 2 階的光點訊號強度幾乎是 正負一階強度的一半。這些高階繞射訊號會在輸出平面造成雜訊。改良型雙相位 合成法產生的 sin 光柵的空間頻譜，高階繞射光點的能量相對於正負一階來講就 小得多了。
接下來我們作影像相減的電腦模擬，圖 4-13 是我們的輸入影像，長方形是對應圖 4-9 中的影像 1，橢圓形是影像 2。圖 4-14 是用雙相位合成法產生的 sin 光柵，利 用圖 4-9 的 4f 光學系統來做影像相減後的輸出圖形，圖 4-15 是用改良型雙相位 合成法產生的 sin 光柵，利用圖 4-9 的 4f 光學系統來做影像相減後的輸出圖形。
圖 4-12 改良式雙相位合成法產生 之 sin 光柵的空間頻譜分佈 圖 4-11 雙相位合成法產生之 sin
光柵的空間頻譜分佈
+1
-1
+2 -2
從空間頻譜來看，雙相位合成法產生之 sin 光柵，除了原本只有的正負一階繞射 光點，因為編碼的關係而跑出高階繞射號，所以影像相減的效果不是很好；改良 式雙相位合成法的影像相減的輸出，除了能清楚看出影像相減的效果，雜訊也小 很多。
圖 4-15 改良式雙相位合成法產生之 sin 光柵：
影像相減影像 圖 4-13 輸入影像
影像 1
影像 2 x y
圖 4-14 雙相位合成法產生之 sin 光柵：
影像相減影像
4-3 應用三：形變影像辨識之匹配濾波器
光資訊處理中一個很常用的應用就是用來作圖形識別，其基本的原理就是利用 4f 的光學系統，若空間濾波器的形式為欲辨識影像的空間頻率訊號的共軛複數訊 號，標示為 H*，則稱之為匹配濾波器，在輸出平面的原點訊號為輸入影像與欲辨 識影像的相關運算，如圖 4-16，此光學系統又稱為 Vanderlugt 交相關運算器。
若輸入影像 t 與欲辨識影像 h 相似，再輸出平面(α，β)的原點就會出現一個峰 值，如數學式數學式 4-10。
(
α,
β) (
t α,
β) (
hα,
β)
g
= ∗
………(4-10) 通常一片濾波器只能辨識一個圖形，且輸入影像若有形變，包括影像大小、旋轉 等變化，相關運算的峰值會下降的很快。為了能夠正確辨識形變後的欲辨識影像，我們引入合成辨識函數(Synthetic Discriminant function，簡稱 SDF)的概念 [10]。合成辨識函數的基本概念就是先給予一個由辨識圖形的形變圖形，及其他 有助於辨識圖形的圖形樣本所組成之集合，此集合是用來做為訓練產生具有辨識 形變影像能力的合成辨識函數濾波器(SDF filter)。合成辨識函數最基本的形式 是假設為訓練樣本圖形的線性組合，如數學式 4-11 所示，h 是表示合成辨識濾波 函數，tn是表示訓練集合裡 N 個樣本中第 n 個訓練樣本，an是第 n 個樣本的比重係 數。
∑
=⋅
=
Nn
n n
t a h
1
………(4-11) 匹配濾波器
H*(u,v)
圖 4-16 Vanderlugt 光學交相關運算器
f f f f
輸出平面 g(α,β) 待辨識影像
t(x,y)
除了給定訓練樣本，還需要設定每一個訓練樣本與合成辨識函數在輸出平面原點 向量形式，如(4-14)、(4-15)、(4-16)式：
( )
c
向量各別為(4-19)式及(4-20)式：1 *
的自由度，再經由多次的遞迴修正，可以慢慢尋找出符合我們設計需求的二位元
之外，我們選取了五張與形變圖形無關的鑑別圖形加進訓練圖形集合中，其相關 運算峰值則設定為 0，以與形變圖形區別。所以圖形集合中總共有 60 張樣本圖形，
選取其中 35 張型變圖形以及五張鑑別圖形做為訓練圖形。我們設定的停止條件為 當所有訓練樣本與合成辨識函數的相關運算峰值差皆小於 0.01，則迴圈停止，最 後得到的 H＇即為所求。再得到最後 H＇之後，為了檢驗此匹配濾波器的辨識能力，
我們選取了其它不在訓練樣本中的其他形變圖形作為待辨識圖形，還有其它由不 是 正 確 英 文 數 字 組 成 的 圖 形 來 測 試 ， 其 測 試 結 果 如 表 4-1 。
測試圖形 { 大小 , 旋轉角度 } 相關運算峰值
原始圖形 { 1.0 , 0 } 0.99
鑑別圖形 0.01
形變圖形 1 { 1.1 , +4 } 0.74
形變圖形 2 { 0.9 , -2 } 0.57
形變圖形 3 { 0.8 , -4 } 0.32
測試圖形 0.23
亂數圖形 0.27
圖 4-18 原始影像及其形變影像
原始影像 形變影像 變大 1.1 倍 順時針旋轉 40
表 4-1 二位元純相位匹配濾波器辨識模擬結果
當接近預期峰值，原始圖形為 0.99 而鑑別圖形為 0.01；而形變圖形 1、2、3，測 試圖型及亂數圖形則皆不是在訓練集合中的圖形，其相關運算峰值與預期峰值的 誤差，相對於訓練樣本就大得多了，但是可以注意到，所有形變圖形的相關運算 峰值最低是 0.32，所以我們可以設定 0.3 為辨識圖形的閥值，若輸入圖形與合成 辨識函數的相關運算峰值大於閥值，此圖形則為正確的圖形；反之若峰值小於閥 值，則此圖形為錯誤的圖形。至此我們成功結合合成辨識函數以及傅氏轉換遞迴 修正理論，設計出能夠辨識形變圖形的二位元純相位匹的配濾波器。