矩型微帶天線之諧振腔模型

有以下兩個原因促使我們針對微帶天線發展另一個精簡模型：

一 、 由 於 傳 輸 線 模 型 本 身 僅 能 有 效 解 釋 微 帶 天 線 內 橫 向 電 磁 波 (transverse electromagnetic wave, TEM) 的物理機制，故而以上基於傳輸線模型的計算公 式，僅在微帶天線的操作頻段在基本模態 (fundamental mode) 附近為一有效的 估計。再者，由於傳輸線的性質可藉由特性阻抗Z 與傳播常數₀ γ 所完全決定，假 如我們允許此二參數為頻率的函數，則傳輸線模型便可突破上述頻率的使用限制。

在此條件下，傳輸線模型亦可將橫電 (transverse electric: TE) 模態與橫磁 (transverse magnetic: TM) 模態考慮進來。然而，正如第二章所強調，一旦萃 取出的電路參數與頻率相關，則使用者必然需額外進行曲線擬合，找出此參數對

頻率的經驗公式，最後此傳輸線模型才有可能套入通用 SPICE 軟體，這是一種繁 複且耗時的元件建模的方法；

二、 以實務等效建模的觀點出發，為了讓發展出的等效電路模型得以套用於市面上所 有的 SPICE 軟體，我們必須嚴格要求模型內部僅含集總式的主被動組件 (lumped active/passive component)，包含電阻、電容、電感、與相依電源等。

諧振腔模型[9-12]是另一個廣泛被用來模擬各種激發方式下各種形狀（諸如圓形、

矩 形 、 三 角 形 等 ） 的 微 帶 天 線 的 精 簡 模 型 ， 其 中 激 發 方 式 可 以 為 微 帶 線 饋 入 法 (microstrip feed)、槽孔耦合饋入法 (aperture-coupled feed)、同軸電纜線饋入法 (coaxial feed)、間隙耦合饋入法 (gap-coupled microstrip feed)等[13]。此模型能 有效率且更為精確地描述微帶天線在諧振機制下的輻射現象，亦可考慮在微帶天線內所 有能夠達到輻射條件的高階諧振模態 (high order resonance mode)。

在諧振腔模型中，微帶天線被視為一個具耗損性的諧振腔 (lossy cavity)。此一 模型將矩形微帶天線的內部區域假設為一方形諧振腔，其上下平面與前後左右四個面分 別由理想電牆與理想磁牆所構成。

微帶天線內部區域的電場必須滿足如下波動方程式

2

k jωµ0

∇×∇× −E E= − J (4.4) 其中

2 2

k =k0 rε ，k₀ =ω µ ε_{0 0} 。 (4.5) 現引入上述諧振腔模型的假設條件，故而天線內部的電場僅存在 Z 方向分量，並且其振 輻大小與 Z 方向無關，因此上式可簡化為

C2

C1

G1

LT

圖 4-3：微帶線邊緣饋入的矩型微帶天線的傳輸線模型 L

Z0

G2

2 2 (frequency shift) 給修正回來，而(4.3)式為ε_eff 的計算公式[5]。因此矩形微帶天線 在饋入端處的輸入阻抗(input impedance) 為

0 0

其中h與V 分別代表基板厚度與天線饋入端的射頻電壓 (RF voltage)。將(4.9)式代入_in

( )

( , )

( , ) 2

置而變的均勻電場存在於其中，然而均勻磁場卻無法存在於其內，故而精簡模型內以 (initial iterative step)。為了一併將邊緣場效應 (詳見 4.1.1 節) 對微帶天線的影 響也考慮進來，我們首先求出諧振頻率 f [14]為 ₀

上式中的函數J 為第一類貝索函數(Bessel function of the first kind)。 ₀

值得一提的是，電阻R 代表微帶天線在幅射頻率下的等效輻射電阻。由於天線與後₁

相差超過幾倍，只要初始估計x⁽⁰⁾依然座落於最佳參數集 *x 所屬的凸集合區 (convex

精簡模型參數 初始精簡模型 最佳化後的精簡模型

1 ( )

R Ω 579.35 305.63 1 ( )

L nH 0.4458 0.7053 1 ( )

C pF 13.062 8.4787

( )

LT nH 1.2585 3.7274

表 4.1 初始精簡模型參數集x⁽⁰⁾與最佳精簡模型參數集 *x 。

(a)

(b)

圖 4.6 成本函數 ( )U x 對其中兩個最佳化參數( ,x x_{1 2})=(logL₁, logC 的三維作圖：(a)₁) 成本函數曲面圖；(b) 曲面圖 (a)所對應的等高線圖。兩張圖中的白色圓圈代表經由非 線性最佳化所求出的全域最佳解 *x ，而圖 (b)中的白色方塊代表利用上列之半經驗公 式所求得的初始估計x⁽⁰⁾。

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

log10L

2 (H) log 10C (F)

* File: Rect_Patch_Antenna.sp .options DCSTEP=1 post

* ---- Optimized Lossy Cavity Model ---- R0 IN 1 1e-15

LT 1 2 3.72740457684835e-009 L1 2 0 7.0531386556366e-010 C1 2 0 8.47873102632077e-012 R1 2 0 305.628094589899

* ---- Set up the simulation environment ----

* Input port: Independent AC volt source with amplitude 1 Vin IN 0 AC 1

* ---- AC analysis and apply ".NET" to calculate the input impedance. ---- .AC lin 200 1.8e9 2.4e9

.NET Vin Rin=50 .print AC ZIN(R) ZIN(I) .end

圖 4.7 經過圖 3.2 所示之自動化參數萃取解答器後之最佳等 效電路的 HSPICE 檔案。