例題6.15(解答)
6.8 矩陣稀疏化之技巧
典型的電力系統中，每一匯流排所連接的平均輸電線數 常少於3條線路。
雖然每一條線路皆含有非對角線元素及對角線元素，但 Ybus
矩陣之每一列所含不為零的元素之平均個數常少於 4 個。此類僅含少數非零元素之矩陣，即被稱為稀疏矩 陣。P. 313
在牛頓-拉弗森電力潮流程式求解過程中，即可使用稀疏 矩陣技巧予以減少電腦記憶儲存容量及所需之計算時間 [2]。
該類技巧不僅能提供最簡潔的儲存空間給 Ybus
及 J(i) 使用，並能重新處理匯流排放置順序，以避免在高斯消 去法之計算步驟中，增加 J(i) 的儲存空間。茲考慮如 下矩陣：（6.8.1）
6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
某種簡化 S 矩陣儲存需求之方法，即包含下述四種向量 之考慮：
式中，DIAG 為 S 矩陣中已排序之對角線元素，OFFDIAG 為非對角線之非零值元素。P. 314
（6.8.2）
（6.8.3）
（6.8.4）
（6.8.5）
6.8 矩陣稀疏化之技巧
COL 代表非對角線之非零值元素在 S 矩陣之行位置。例 如 COL 第四個元素為 1，即代表 OFFDIAG 之第四個元 素（即－4.1）係位於 S 矩陣的第 1 行。
ROW 代表 S 矩陣中每一列所含非對角線中非零值元素的 個數。例如在 S 矩陣第一列中，共含 3 個非零值之非 對角線元素（即－1.1、－2.1 與－3.1），所以 ROW 之 第一個元素即為 3；另 S 矩陣第二列中共含 2 個非零 值之非對角線元素（即－4.1 與－5.1），所以 ROW 之 第二個元素即為 2。6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
DIAG 與 ROW 的維數等於 S 矩陣對角線元素的個數；而 OFFDIAG 與 COL 的維數等於 S 矩陣非零值之非對角線 元素的個數。
於一個具有 N 個匯流排之電力系統，假設其 Ybus
矩陣 之每一元素大小及相角所佔電腦記憶容量，均為 4 個位 元組。
另假定 Ybus
矩陣含有 3N 個非零值之非對角線元素及 N 個對角線元素，且假設每個匯流排均連接 3 條輸電線，則透過上述高密度儲存方法，將需要 (4＋4)3N＝24N個 位元組儲存 OFFDIAG ；另需 (4＋4)N＝8N 個位元組儲 存 DIAG。
P. 314
6.8 矩陣稀疏化之技巧
若假設每個整數所佔之儲存空間為 2 個位元組，則 COL 需要 6N 個位元組以儲存資料；而 ROW 則需要 2N 個位 元組。
故 Ybus
矩陣所佔的儲存空間共為 (24＋8＋6＋2)N＝40N 個位元組，然未採用高密度儲存技巧，則需 8N2
個位元 組。
換言之，對於 1000 個匯流排系統而言，Ybus
矩陣所佔 的儲存空間，可由 8000 個仟位元組降低至 40 個仟位 元組。6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
由於 Ybus
為一對稱矩陣，因此若欲進一步降低資料儲存 空間時，則可考慮僅儲存上三角部分，以更縮減所需記 憶體之空間。
賈可比矩陣亦可視為稀疏矩陣之一種。由表 6.5 可知，當 Y
kn
＝0 時，J1kn
＝J2kn
＝J3kn
＝J4kn
＝0，且若上述假 設皆成立時，即使是 30,000 個匯流排系統其賈可比矩 陣所需之記憶體空間，於採用高密度儲存技巧後，將可 少於 10 個百萬位元組。P. 314
6.8 矩陣稀疏化之技巧
首先應用高斯消去法將 (6.8.1) 式予以三角化，則在執 行第一次高斯消去步驟後，可得
由上式可知，原先在 S 矩陣之第 2、3 與 4 行中為零 的元素，經過第一個計算步驟後，皆變為非零元素，因 而造成該矩陣喪失稀疏性質。（6.8.6）
6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
為保留矩陣的稀疏性，需重新安排匯流排的放置順序。首先，在所有匯流排中選取連接最少輸電線之匯流排，
並將其放置於矩陣的第一列，接著選取具有連接次少輸 電線之匯流排，並放置於矩陣的第二列，依此類推。
P. 315
6.8 矩陣稀疏化之技巧
如以 (6.8.1) 式之 S 矩陣為例，於匯流排 1 處共有 3 條線路連接 (因為第一列具 3 個非零值之非對角線元 素) ，而匯流排 2 則含 2 條線路，另匯流排 3、4 僅 含 1 條線路，因此可重新安排匯流排在 S 矩陣的放置 順序，即依匯流排 4、3、2、1 排放，則得：（6.8.7）
6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
此時，執行第一次高斯消去步驟後，可得：
上式仍保有原先 S 矩陣之稀疏性。P. 315
（6.8.8）
6.8 矩陣稀疏化之技巧
至於在匯流排之排序上，可考慮以下兩種做法：
於高斯消去法尚未執行前，可根據上述作法重新安排 匯流排的放置順序。
在每一次高斯消去步驟中，重新安排匯流排的放置順 序。
目前稀疏化技巧的使用已成為牛頓－拉弗森電力潮流程 式的特點之一。藉由該類技巧的協助，30,000 個匯流排 系統之電力潮流解所佔的記憶體空間將少於 10 個百萬 位元組，且每一次疊代運算時間少於 1 秒，另外疊代收 斂的次數亦將少於 10 次。6.8 矩陣稀疏化之技巧
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
在文檔中
第 六 章 電 力 潮 流
(頁 185-197)