第 六 章 電 力 潮 流
美國田納西河流域管理局之區域運轉中心
（本圖由美國田納西河流域管理局提供）。
第六章 電力潮流
專題研究─電力網路之視覺化
專題研究─電力潮流簡史
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與高斯─迪賽法
6.3 以疊代方式求解線性代數方程式：牛頓─拉弗森法黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
第六章 電力潮流
6.4 電力潮流問題
6.5 應用高斯─賽迪法求解電力潮流
6.6 應用牛頓─拉弗森法求解電力潮流
6.7 電力潮流之控制
6.8 矩陣稀疏化之技巧
6.9 快速去耦和電力潮流
6.10 「直流」電力潮流第六章 電力潮流
電力系統欲操作於三相平衡之穩定狀態時，需滿足下列條 件方可達成：1. 發電量必須足以提供系統負載與損失 2. 匯流排電壓值必須接近額定值
3. 發電機必須操作於實/虛功率限制範圍內 4. 輸電線與變壓器不可過載
電力潮流（亦稱為負載潮流）計算程式係為一種探討上述 條件之軟體工具。於三相平衡穩態下，該程式不僅可計算 系統中各匯流排的電壓值與相角，亦能求解輸電線上流動 的實功率、虛功率與設備損失。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
專題研究─電力網路之視覺化
視覺化軟體能夠將大量的資料顯示於電腦影像中，進而協 助使用者快速且精確地掌握相關的訊息。
本書將討論之視覺化工具，係由位於美國伊利諾州之 PowerWorld股份有限公司所發展之軟體。P. 266-267
如何管理電力潮流
一般而言，輸電路徑受控於輸電線阻抗及電力輸入/出系 統的位置，故其路徑通常為迂迴曲折的通路。
事實上，即便是單台發電機組在電力公司的電力調度 中，亦需考量其他大部分的系統網路，此一現象又稱為 電力環路潮流。
在目前之高壓直流 (HVDC) 輸電系統中，電流可以被直 接控制。它可藉由使用相移變壓器或串聯式補償電容器 等元件，將電流導引入欲設的路徑。這些元件又被稱為 彈性交流輸電系統 (FACT) 元件。然而，目前僅有非常 之少數彈性交流輸電元件能夠適用於大型電力系統，故專題研究─電力網路之視覺化
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
如何管理電力潮流
有鑑於此，電力設備產權之所有人必須具有能力可偵測 過載的情況，以提供有關管理機構 (如 ISO 或 RTO) 若 干警訊，並請求卸載；各系統操作人員更需安裝多組量 測儀錶，以利進行相關動作。
電力轉移分布因數若高於預設值，或高於 NERC 所定之 電力預備交易量之 5 % 時，即需考慮卸載。甚至於若電 力交易之 5 % 擬在某些預備卸載之元件上進行時，該電 力交易需被撤回或取消。P. 267
專題研究─電力網路之視覺化
電價飆漲與電力孤島現象之防範
1998 年 6 月美國中西部發生嚴重的電價飆漲問題，其 中電力網路之壅塞可能是主要原因，在這個月內，每度 電的市價由美金 25 元增加至美金 7500 元，暴漲了 300 倍。
雖然有許多解決方案相繼被提出，但最難解決的仍是窘 於無法由中西部以外的地區調度足夠之可用電力。此乃 肇因於威斯康辛州西北部的輸電線及俄亥俄州東南部的 變壓器會發生過載情況，故美國東西部其他地區儘管有 許多支援電力，但仍無法予以利用（此亦可視為網路之專題研究─電力網路之視覺化
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
圖 1 可能發生過載之輸電線示意圖。P. 268
專題研究─電力網路之視覺化
藉由電力市場視覺化的協助，缺電地區之買方不僅能夠迅速 掌握電力相關資訊，有助於取得長期的電力容量契約，且不 需高價購買電力。
此外，輸電線路卸載之蘊含意義亦可經由視覺化軟體之繪圖 獲得了解。
藉由視覺化工具的協助，電力相關控管人員即能較易考慮許 多 WHAT IF 的情況。專題研究─電力網路之視覺化
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圖 2 電力轉移之影響評估。P. 269
專題研究─電力網路之視覺化
電力潮流相關訊息之視覺化
對於輸電線上電力潮流之呈現，可考慮利用動畫予以顯 示，即如圖 3 所示之 PowerWorld 網站。其中，電力潮 流之相關訊息說明係以箭頭的大小、方向及速度予以表 示。
圖中之餅形統計圖為偵測輸電線是否過載之圖像化表示 法。其中，餅形統計圖所顯示之百分比數據即代表輸電 線達到熱限制的程度。專題研究─電力網路之視覺化
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圖 3 電力潮流訊息可藉由動態表列予以顯示。P. 271
專題研究─電力網路之視覺化
電力網路之輪廓圖
相較於將整個相關訊息顯示於電腦螢幕，則利用餅形統 計圖之顯示方法似乎較為清楚。因此本文將於本小節 中，再介紹另一種完全不同的視覺化呈現方法，即輪廓 圖。專題研究─電力網路之視覺化
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電力市場交易
電力潮流不僅與運轉人員及電力交易人員息息相關，並 與電力管理階層主宰電力公司合併、新型渦輪機之安 置、或因為某條輸電線路故障導致電價上漲等，均有重 要之關係。
在某些時候之電力交易，某一售電業者或多個售電業者 甚至於可將價格調高於競標價格許多，因此市場交易機 制有可能遭受濫用，亟需經由主流機制重新討論。P. 271-272
專題研究─電力網路之視覺化
電力市場交易
在電力市場之交易管轄區域中，需具有足夠能力，可決 定每一時刻每一節點之電力價格，美國並把此價格定為 地區性邊際成本（LMP）。
在一個完全競爭之電力市場，此價格為供電業者之邊際 成本加上輸電費用，此亦常成為供電業者在系統中之競 標價格。專題研究─電力網路之視覺化
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圖 4 以動態資料顯示之方式，可協助早期提供電價飆漲的警 訊。P. 273
專題研究─電力網路之視覺化
三維立體之電力網路展現
雖然3D互動式視覺化技術業已相當成熟，但在電力系統 視覺化設計方面，仍有若干問題亟待解決。
首先最重要的是，電力系統資料的視覺化中，通常未能 將系統變數的物理意義適當呈現。
例如：對發電機無效功率輸出或與輸電線負載限制相關 的臨界成本等數據之物理意義，均尚無法加以描述。這 些較具抽象概念的數值只好改以線路潮流量等較具物理 意義之 2D 繪圖表示之。專題研究─電力網路之視覺化
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
三維立體之電力網路展現
由於電力系統的分析牽涉大量的數據資料，因此該 3D 的環境設計需具備高度的互動性，期能藉由互動式 3D 環境的協助，協助使用者快速且直覺地獲知相關的資 料。
3D 顯示設計方式提供使用者一個獲取相關系統訊息的環 境，不僅能掌握重要資訊，且資料間所隱含的關係亦能 被發掘。P. 273-274
專題研究─電力網路之視覺化
圖 5 電力相關訊息之 3D 影像。專題研究─電力網路之視覺化
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圖像映射
本研究係利用圖像映射技巧，將 xy 平面上所繪製的 2D 單線圖映射為 3D 影像，並能放大相關圖示資料。
如圖 5 所示，各圓柱體的高度與其發電機的最大無效功 率容量成正比。其中，深色的部分代表無效功率輸出，淺色的部分則表示無效功率備載容量。另外匯流排電壓 值則以輪廓圖顯示於 xy 平面上，且當電壓大小低於欲 設值的 98 %，方以陰影表示。
P. 274
專題研究─電力網路之視覺化
電力潮流簡史
早期負載潮流之計算，係利用所謂的計算器接線面板來予 以求解。
隨著邁入數位電腦時代，它提供了電力工程師一個更佳的 環境，並賦予電力潮流更有效的解決方法。
對於大型電力系統負載潮流之計算，最早的演算法係根據 高斯-賽迪法所推導而來，但此演算法之收斂特性相當差。
爾後，便有學者利用牛頓疊代法，以改善高斯-賽迪法的收 斂特性，然而牛頓法對於處理大型系統網路時，由於其疊 代法必須求解高維度的矩陣方程式，卻面臨計算速度較慢 的問題。專題研究─電力網路之視覺化
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
電力潮流簡史
自 1960 年代迄今，大量與負載潮流攸關之演算法已被研 究開發。
其中於 1970 年代早期，隨著快速解耦合負載潮流的問 世，求解的運算速度更被大幅提升。P. 276
專題研究─電力網路之視覺化
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
考慮如下所示之線性代數方程式：或
（6.1.1）
（6.1.2）
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6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
當 A 矩陣為上三角矩陣，且對角線成分皆不為零時，則 x 即可被輕易求出，亦即 (6.1.1) 式可寫成如下：P. 276
（6.1.3）
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
由上式可知，最後一個方程式僅包含一個 xN
變數，因此
當求解 xN
後，倒數第二個方程式即可被求解如下：（6.1.4）
（6.1.5）
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
依此類推，若 xN
， xN－1
，…， xk+1
均為已知，則第 k 個方 程式即可求解如下：
上述求解 (6.1.3) 式之流程又稱為反向代入法。P. 277
（6.1.6）
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
但若 A 方陣不為上三角矩陣時，則 (6.1.1) 式必須先被 轉換為具上三角矩陣性質之等效方程式後，再予以求解 x，此轉換過程即稱為高斯消去法。
步驟 1 係利用 (6.1.1) 式中第一個方程式予以抵消其餘 方程式之變數 x1
。換言之，將第一個方程式乘上 An1
/A11
後，並與第 n 個方程式相減 (其中n＝2， 3，…，N) ， 即可得：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
P. 277
（6.1.7）
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
(6.1.7) 式可利用下式予以表示：
其中，上標 (1) 代表高斯消去法之步驟 1。（6.1.8）
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
在步驟 2 中，我們可利用 (6.1.8) 式之第二個方程式，將其餘方程式 (即第三、四、五…等方程式) 中之變數 x
2
予以抵消，亦即對第二個方程式乘上 An2 (1)
/A22 (1)
，並與第 n 個方程式相減後（其中n＝3， 4，…， N），可得：P. 278
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
（6.1.9）
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
當進行至步驟 k 時，前 k 個方程式均已被三角化。同樣 地，對第 k 個方程式需乘上 Ank (k－1)
/Akk (k－1)
，再與第 n 個方程式相減，其中 n＝k＋1， k＋2， …，N。
依上述步驟，計算至第 (N－1) 步驟後，即能得到等效方程式 A
(N－1)
x＝y(N－1)
，式中 A(N－1)
為上三角矩陣。P. 278
例題 6.1 應用高斯消去法與反向代入法以直接 求解線性代數方程式
請應用高斯消去法與反向代入法求解下式：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.1 應用高斯消去法與反向代入法以直接 求解線性代數方程式(解答)
由於上述線性代數方程式中 N＝2，故在高斯消去法中共 有 (N－1)＝1個計算步驟。P. 278
對第一個方程式乘上 A21
/A11
＝2/10，並與第二個方程式相 減後，則得或
上式即為 A(1)
x＝y(1)
，其中 A(1)
為上三角矩陣。例題 6.1 應用高斯消去法與反向代入法以直接
求解線性代數方程式 (解答)
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.1 應用高斯消去法與反向代入法以直接 求解線性代數方程式 (解答)
使用 (6.1.6) 式進行反向代入法求解 x1
與 x2
時，若 k＝2，則得
當 k＝1 時，則得P. 279
例題 6.2 高斯消去法：矩陣之三角化法
請利用高斯消去法將下列方程式予以三角化：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.2 高斯消去法：矩陣之三角化法 (解答)
由上式可知，在高斯消去法中共需 (N－1)＝2 個計算步 驟。
在 步 驟 1 中 ， 由 第 二 個 方 程 式 將 第 一 個 方 程 式 乘 上 A21
/A11
＝－4/2＝－2 後之值予以減去，再以第三個方程式 將第一個方程式乘上 A31
/A11
＝10/2＝5 後之值予以減去，於是可得下式：
P. 279
例題 6.2 高斯消去法：矩陣之三角化法 (解答)
或
上式即為 A(1)
x＝y(1)
。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.2 高斯消去法：矩陣之三角化法 (解答)
在步驟 2 中，則續將第三個方程式減去第二個方程式乘上 A32 (1)
/A22 (1)
＝－3/12＝－0.25 後之值，因此可得或
式中可知此時矩陣已被三角化，因此可藉由反向代入法求 解 x。P. 279
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
在高斯消去法與反向代入法的運算中，對於方陣 A 而言，電腦記憶儲存容量必須保留 N
2
個儲存空間；且需保留 N 個儲存空間給向量 y。
若 A 及 y 不需儲存記憶，則 A(k)
在計算過程中可暫存於 A 的位置；同理，y(k)
及 x 亦亦可暫存於 y 的位置。
但是在疊代、算術運算或程式執行等過程中，仍需要預留 一些額外的記憶儲存空間，方能確保程式順利進行。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
應用高斯消去法與反向代入法之求解，其運算時間可透過 計算所需算術運算子之個數予以評估。
在利用高斯消去法作運算時，需執行 (N3
－N) /3 次乘 法、(N)(N－1) /2 次除法與 (N3
－N) /3 次減法。
執行反向代入法時，則需執行 (N)(N－1) /2 次乘法、N 次除法與 (N)(N－1) /2 次減法。
因此，當 N 趨近於無窮大時，若使用高斯消去法或反向代 入法求解 (6.1.1) 式時，其運算時間大約為執行 N3
/3 次 乘法及 N3
/3 次減法共需花費的時間。P. 280
6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法
例如某台電腦執行乘或除法耗費 2×10－9
秒，執行加或減法 所需時間為 1×10－9
秒。若用來求解 N＝10,000 之方程式 組，則運算時間約為：
再加上若干指標及迴圈的執行時間。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法
一般而言，利用疊代法求解 (6.1.1) 式之步驟如下所述。
首先，假定初始向量 x(0)，接著將變數向量 x 表示為：
其中，x(i) 為第 i 個假設值；g 代表 N 維之函數向量。P. 280
（6.2.1）
疊代求解的動作必須持續進行，直至符合下列條件方可 停止：
其中，xk
(i) 為 x(i) 之第 k 個元素成分；
為預設的誤差容 忍值。（6.2.2）
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
在此疊代過程中，尚需考慮下列相關的問題：1.
疊代過程是否會收斂至唯一解？2.
收斂速度多快？（或疊代的次數為何？）3.
執行疊代運算時，電腦記憶儲存容量及運算時間為 若干？
上述這些問題將經由兩種疊代方法予以討論，即賈可比 法（Jacobi）與高斯-賽迪法（Gauss-Seidel）。P. 281
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
首先我們介紹賈可比法，其求解過程如下，茲考慮(6.1.1) 式第 k 條方程式：
若求解上式，變數 xk
則可表示如下：（6.2.3）
（6.2.4）
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
賈可比法即是將第 i 次疊代之 x(i) 值代入 (6.2.4)式之右 側，因而疊代計算新的 xk
(i+1) 值，亦即：
而上式之賈可比法，亦可簡寫為如下之矩陣形式：P. 281
（6.2.5）
（6.2.6）
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
其中，
注意：在賈可比法中之 D 矩陣係由 A 矩陣之對角線元素 組合而成。（6.2.7）
（6.2.8）
且
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式
已知 x1
(0)＝x2
(0)＝0，試用賈可比法求解例題 6.1，其 中疊代運算需持續進行，直至 (6.2.2) 式滿足 ＝10－4
時，運算方可停止。P. 282
例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式 (解答)
由 (6.2.5) 式且當 N＝2 時，可知：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數
方程式 (解答)
或由 (6.2.6) 式至 (6.2.8) 式之矩陣形式表示，即為：P. 282
例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式 (解答)
若 x1
(0)＝x2
(0)＝0，則疊代過程之解，將如下表所示：
賈可比法(表)黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式 (解答)
如表所示，使用賈可比法求解例題 6.1，將可收斂至唯 一解。其中，於第10次疊代時，收斂準則方能滿足，因 此時P. 282-283
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法
至於高斯-賽迪法可由下式表示，即
若比較 (6.2.9) 與 (6.2.5) 式後，可發現高斯-賽迪法 與賈可比法相當類似，唯 (6.2.9) 右側之 xk
(i+1) 係 利用第 i+1 次疊代值 xn
(i+1) 所產生，其中 n＜k。（6.2.9）
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
高 斯 - 賽 迪 法 中 之 (6.2.9) 式 亦 能 以 (6.2.6) 與 (6.2.7) 式之矩陣形式表示，此時：
對高斯-賽迪法而言，(6.2.10) 式中之 D 矩陣可視為 A 矩陣之下三角部份；但對於賈可比法，則 (6.2.8) 式中 之 D 矩陣可視為 A 矩陣之對角線部份。P. 283
（6.2.10）
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
例題 6.4 高斯-賽迪法：以疊代方法求解線性 代數方程式
試用高斯-賽迪法重新求解例題 6.3。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.4 高斯-賽迪法：以疊代方法求解線性 代數方程式 (解答)
由 (6.2.9) 式可得：
將 x1
(i+1) 代入 x2
(i+1) 後，則：P. 283
例題 6.4 高斯-賽迪法：以疊代方法求解線性 代數方程式 (解答)
或使用 (6.2.10) 式、(6.2.6) 式及 (6.2.7) 式，可將 上式表示為矩陣形式：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.4 高斯-賽迪法：以疊代方法求解線性 代數方程式 (解答)
若 x1
(0)＝x2
(0)＝0，則疊代過程之解如下表所示：
高斯-賽迪法(表)
由以上計算過程可知，高斯-賽迪法於第6次疊代時收 斂，然賈可比法需至第10次疊代時，方可收斂。P. 284
例題 6.5 高斯-賽迪法之發散情況
已知 x1
(0)＝x2
(0)＝0，試用高斯-賽迪法求解下式：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.5 高斯-賽迪法之發散情況 (解答)
本題如同例題 6.1 之方程式，但本題已將變數 x1
與 x2
予以互換。
由 (6.2.9) 式可得：P. 284
例題 6.5 高斯-賽迪法之發散情況 (解答)
且 x1
與 x2
之計算流程如下表所示：
高斯-賽迪法(表)黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.5 高斯-賽迪法之發散情況 (解答)
此時方程式之唯一解可利用反矩陣予以求解，即：
由上述討論可知，應用高斯-賽迪法將無法收斂至唯一 解，亦即其將發散。但若改用賈可比法求解該題，我們 仍將無法得到收斂解。P. 285
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法
實 際 上 ， 賈 可 比 法 或 高 斯 - 賽 迪 法 的 收 斂 問 題 可 透 過 (6.2.6) 式來予以預估。其中，(6.2.6) 式可視為一個 含有輸出為 x(i) 及輸入為 y 之數位濾波器，該式的 z 轉換可用來協助求解濾波器轉移函數與其極點。
如欲使輸出向量為收斂，則所有濾波器極點大小均需小 於 1，反之亦然 (請參考習題 6.16、6.17 與 6.18)。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
透過觀察濾波器極點的大小，亦可預估此疊代運算的收 斂速率。
例如當所有極點值皆很小時，意指收斂速率將相當迅 速。
由經驗亦知，當 A 矩陣的維度增加時，則賈可比法或高 斯-賽迪法的疊代收斂次數亦隨之遞增。P. 285
6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
在賈可比法之計算中，A 矩陣需佔用 N2
個記憶體空 間，而向量 y、x(i) 及 x(i＋1) 則各需佔用 3N 個儲 存空間，且在求解 (6.2.5) 式時，尚需額外的記憶儲存 空間以利迴圈、算數運算或程式的執行。
高斯-賽迪法之計算，則可較賈可比法減少 N 個記憶體 空間，此乃因為在計算 (6.2.9) 式之過程中，xk
(i＋1) 可暫存於 xk
(i) 之記憶體空間。6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與
高斯-賽迪法
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6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓- 拉弗森法
茲考慮一組非線性代數方程式，並以矩陣形式表示如下：
其中，y 與 x 代表N
維向量；f(x) 為N
維函數向量。若已知 y 與 f(x)，即可求解變數 x。
P. 286
（6.3.1）
在 6.2 節所述之疊代方法，可將其如下延伸以求解非線 性方程式。
首先將 (6.3.1) 式改寫如下：
在 (6.3.2) 式之左右兩側各加上 Dx，其中 D 為N
N
維可逆矩陣：（6.3.2）
（6.3.3）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
將上式左右兩側予以乘上 D－1
後，則：
若將第 i 次疊代之 x(i) 值代入 (6.3.4) 式右側，即可 求得新的 x(i＋1) 值。換言之，P. 286
（6.3.4）
（6.3.5）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
對於一個線性方程式，f(x)＝Ax，則 (6.3.5) 式可寫成：
上式亦即為 (6.2.6) 式所示之賈可比法及高斯-賽迪法。
但若對於一個非線性方程式，則 (6.3.5) 式中之 D 矩陣必 須事先給定。（6.3.6）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
一種給定 D 矩陣之技巧，即稱為牛頓-拉弗森法。該法係 根據在 x0
點對函數 f(x) 作泰勒級數展開所推導而來，今推導如下：
若忽略 (6.3.7) 式之高次項，則 x 為：P. 286-287
（6.3.7）
（6.3.8）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
將上式 x0
置換為 x(i)，x 置換為 x(i＋1)，則牛頓-拉 弗森法可表示為：（6.3.9）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
其中
上式所示之賈可比矩陣 J(i)，其元素均以偏微分表示。由此可知，牛頓-拉弗森法與高斯-賽迪法，極為相似，
唯矩陣 D 改以賈可比矩陣 J(i) 表示。
P. 287
（6.3.10）
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式
已知 x(0)＝1，試用 (a) 與 (b) 兩種方法求解方程式 f(x)＝y，其中 y＝9 且 f(x)＝x2
，並比較此兩種方法之 差異。（a）牛頓-拉弗森法（b）高斯-賽迪法
(本題假設 D＝3 且必須持續疊代，直至 (6.2.2) 式滿足＝10
－4
時，方可停止)。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答a)
已知 f(x)＝x2
，則由 (6.3.10) 式可得賈可比矩陣 J(i) 為：
將 J(i) 代入 (6.3.9) 式，即：P. 287
例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答a)
已知 x(0)＝1，則牛頓-拉弗森法之疊代求解過程如下表 所示：
牛頓-拉弗森法（表）黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答b)
應用 (6.3.5) 式且 D＝3，則高斯-賽迪法可表示為：
其相關的求解過程列於下表：
高斯-賽迪法（D＝3）（表）P. 288
例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答b)
透過以上計算可知，高斯-賽迪法之收斂速度較慢，且 收斂過程具有振盪現象；反觀牛頓-拉弗森法於第五次 疊代後，即能收斂至 x＝3 。
注意：若初始條件 x(0) 為負值，則牛頓-拉弗森法將 收斂至 x＝－3。
為使本例題中之牛頓-拉弗森法之賈可比反矩陣 J－1
存在，因此本題之初始值，應避免選定為 x(0)＝0。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.7 應用牛頓-拉弗森法求解非線性代數 方程式
試用牛頓-拉弗森法求解下式：
已知 x(0) 如上所定義，且必須疊代執行直至 (6.2.2) 式滿足 ＝10－4
時，方可停止計算。P. 288
例題 6.7 應用牛頓-拉弗森法求解非線性代數 方程式 (解答)
由 (6.3.10) 式及 f1
＝(x1
+x2
)，f2
＝x1
x2
，則可求得 賈可比反矩陣為：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.7 應用牛頓-拉弗森法求解非線性代數 方程式 (解答)
將 J(i)－1
代入 (6.3.9) 式，即：P. 288
例題 6.7 應用牛頓-拉弗森法求解非線性代數 方程式 (解答)
又上式可寫成下列兩條方程式：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.7 應用牛頓-拉弗森法求解非線性代數 方程式 (解答)
則變數 x1
與 x2
之求解過程如下表所列：
牛頓-拉弗森法（表）
由該表可知牛頓-拉弗森法於第四次疊代後，即能收斂。P. 289
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓- 拉弗森法
已知 (6.3.9) 式內含一反矩陣 J－1
，但若此時不擬計算 該反矩陣 J－1
，則 (6.3.9) 式可改寫為：
其中（6.3.11）
（6.3.12）
（6.3.13）
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因此，於每個疊代過程中共有以下四個求解步驟：
步驟1 由 (6.3.13) 式計算 y(i)
步驟2 由 (6.3.10) 式計算 J(i)
步驟3 利用高斯消去法與反向代入法求解 (6.3.11) 式之 x(i)
步驟4 由 (6.3.12) 式計算 x(i＋1)P. 289
6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
例題 6.8 牛頓-拉弗森法之求解四步驟
試用上述四個步驟，求解例題 6.7 至第一次疊代。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.8 牛頓-拉弗森法之求解四步驟 (解答)
步驟1
步驟2P. 289
例題 6.8 牛頓-拉弗森法之求解四步驟 (解答)
步驟3：將 y(i) 與 J(i) 代入 (6.3.11) 式，則：
使用高斯消去法後，即第二條方程式減去第一條方程式 乘於 J21
/J11
＝9/1＝9 後之值後，可得：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.8 牛頓-拉弗森法之求解四步驟 (解答)
步驟3：再利用反向代入法，則得：
步驟4
上述結果與例題 6.7 之第一次疊代解相同。P. 290
由執行經驗可知，牛頓-拉弗森法對於求解電力潮流問題 上較易收斂，而賈可比法與高斯-賽迪法則較容易發散。
牛頓-拉弗森法之疊代收斂次數與維度N
無關，然賈可 比法與高斯-賽迪法之疊代收斂次數，卻與維度N
正 比。一般而言，求解電力潮流問題時，牛頓-拉弗森法之 疊代收斂次數均少於十次 [1]。6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓-
拉弗森法
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6.4 電力潮流問題
對於一個處於三相平衡穩定狀態之電力系統，電力潮流 問題即在求解此電力系統中各匯流排之電壓大小與相 角，並且透過電力潮流的計算，以求得諸如輸電線與變 壓器等設備之實/虛功率潮流量及損失之相關電力資訊。
一般而言，探討電力潮流問題可先由系統單線圖開始著 手。利用單線圖即能獲得電腦計算時所需之相關輸入資 料，其中包含匯流排、輸電線及變壓器等參數資料。P. 290
圖 6.1 匯流排變 數 Vk
、 k
、 Pk
及 Qk
。6.4 電力潮流問題
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如圖 6.1 所示，每一匯流排k皆與下列四個變數有關，即電壓大小 V
k
、電壓相角 k
、匯流排之淨實功率 Pk
與 虛功率 Qk
。
茲為便於說明，將圖 6.1 中傳送至匯流排 k 的功率，分別以發電項與負載項表示，即：
P. 291
（6.4.1）
6.4 電力潮流問題
每一個匯流排 k 均可被歸類為下列三種形式之一：
1.搖擺匯流排－每一電力系統中應僅含一個搖擺匯流 排。為方便起見，常選定匯流排 1 為搖擺匯流排。搖擺匯流排或稱為參考匯流排，其電壓 V
1
1
定義 為 1.00。
p.u.，此即其輸入資料，至於該匯流排 中之未知 P1
與 Q1
，則需藉由電力潮流程式加以求 得。
2.負載匯流排-該類匯流排中，Pk
與 Qk
為已知輸入 資料，電力潮流程式乃在於求解其電壓大小 Vk
及相 角 k
。通常電力系統之大部分匯流排，均屬於此類負6.4 電力潮流問題
黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
每一個匯流排 k 均可被歸類為下列三種形式之一：
3.電壓控制式匯流排-該類匯流排中，Pk
與 Vk
為已 知之輸入資料，而 Qk
與 k
為未知變數，需由電力 潮流程式求得。具有發電機連接、或與切換式並聯電 容器或靜態虛功率相連之匯流排，皆可稱為電壓控制 式匯流排。其中，設備可提供之最大及最小虛功率Q
Gkmax
與 QGkmin
，亦為已知之輸入資料。另具有分接頭切換式之變壓器之匯流排亦歸為此類，其分接頭設 定值可由電力潮流程式求出。
P. 291
6.4 電力潮流問題
此處尚需注意的是，當匯流排 k 為純負載匯流排且無發 電量時，則 Pk
＝－PLk
是一個負值。
換言之，圖 6.1 中提供至匯流排k的實功率為負值。而 且若負載為電感性，則 Qk
＝－QLk
亦為一個負值。6.4 電力潮流問題
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每一條輸電線之輸入參數資料，包括等效 型標么電路 之串聯阻抗 Z、並聯導納 Y、連接輸電線之匯流排、與 最大額定 MVA 等。
每個變壓器之輸入參數資料，則包括繞組標么阻抗 Z、激磁分路標么導納 Y、連接變壓器之匯流排、與最大額 定 MVA 等。
若變壓器屬為分接頭切換式之變壓器，則輸入參數尚需 包含最大抽頭設定值。P. 292
6.4 電力潮流問題
利用上述輸電線與變壓器之輸入參數，即能建立匯流排 導納矩陣 Ybus
。
由 (2.4.3) 式及 (2.4.4) 式，Ybus
之元素可依下列方 式決定：（6.4.2）
6.4 電力潮流問題
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例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
圖 6.2 系統單線圖P. 292
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
表 6.1 例題 6.9 之匯流排輸入資料*黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
表 6.2 例題 6.9 之輸電線輸入資料P. 293
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
表 6.3 例題 6.9 之變壓器輸入資料黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
圖 6.2 所示為具有 5 個匯流排之電力系統單線圖，相 關輸入資料列於表 6.1、6.2 及 6.3 中。
由表 6.1 可知，連接發電機之 1 號匯流排為搖擺匯流 排，而連接發電機及負載之 3 號匯流排為電壓控制式匯 流排，至於 2 號、4 號及 5 號匯流排則均屬於負載匯 流排。且由於 Q2
＝－QL2
＝－2.8 且 －QL3
＝－0.4，故在 2 號及 3 號匯流排之負載為電感性負載。P. 292
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣
對於每一個匯流排 k，試說明變數 Vk
、k
、Pk
及 Qk
中 哪些為已知，哪些則未知，並求解 Ybus
矩陣中第二列元 素之值。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
表 6.4 例題 6.9 之已知資料及未知資料P. 293
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
由於 1 號匯流排為搖擺匯流排，故 P1
及 Q1
為未知。
對於 3 號匯流排，因其歸屬為電壓控制式匯流排， Qk
與 k
為待解變數，另其他匯流排則屬負載匯流排，即 2 號、4 號與 5 號匯流排均是，因此 V2
、V4
、V5
、2
、4
及 5
均屬未知變數。
由 (6.4.2) 式可求得 Ybus
矩陣之元素值。因為 1 號及 3 號匯流排並未直接連接至 2 號匯流排，因此：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
使用 (6.4.2) 式可得：
其中，Y22
僅包含各輸電線並聯導納值之一半 (另一半則 位於輸電線路之另一端)。P. 294
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
此 具 有 5 個 匯 流 排 之 電 力 系 統 亦 可 經 由 載 入 PowerWorld模擬軟體之Example 6_9 予以說明。
為了解相關輸入資料，首先點選 Edit Mode 選項以切換 編輯模式（編輯模式係作為修改系統參數之用），接著 透過 Case Information 之項目選項，即可由表格中觀 看相關系統參數。
點選 Case Information,Solution Details,Ybus
選項，即能顯示 Y
bus
矩陣之各個元素值（Ybus
的元素係由系統 相關參數計算求得，因此不可任意更改）。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
在實際運轉之大型電力網路中，各匯流排常僅與少量輸 電線相連接，故絕大部分 Ybus
的元素皆可等效於零。
又基於應用所需，該套軟體已具有能力可將Ybus
的元素以 Matlab格式儲存。
最後另需注意的是，因為本題之非線性電力潮流方程式 尚未被求解，故軟體之單線圖上並無潮流量的顯示。P. 295
例題 6.9 電力潮流之相關輸入資料與 Y bus 矩陣 (解答)
例題 6.9 之視窗螢幕黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
6.4 電力潮流問題
由 Ybus
矩陣可計算求得電力系統之節點方程式如下：
上式中，I
代表注入匯流排之N
維電流向量，V 則代表 匯流排N
維電壓向量。對匯流排 k 而言，(6.4.3) 式 中第 k 個方程式可表示為：P. 295
（6.4.3）
（6.4.4）
故供應至匯流排 k 之複數功率為：
高斯-賽迪法乃根據 (6.4.4) 式之節點方程式，予以求 解電力潮流問題，其中，每一個電流源I k 可由 (6.4.5) 式求得。將 (6.4.4) 式代入 (6.4.5) 式，可得：
（6.4.5）
（6.4.6）
6.4 電力潮流問題
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又
因此，(6.4.6) 式可改寫成：P. 295-296
（6.4.9）
6.4 電力潮流問題
（6.4.7）
（6.4.8）
應用 (6.4.9) 式之實部與虛部可將電力平衡方程式表示 如下：
而 牛 頓 - 拉 弗 森 法 即 是 根 據 非 線 性 電 力 潮 流 方 程 式 之 (6.4.10) 式 與 (6.4.11) 式 或 (6.4.12) 式 與 (6.4.13) 式，予以求解電力潮流問題。（6.4.10）
（6.4.11）
6.4 電力潮流問題
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6.5 應用高斯－賽迪法求解電力潮流
節點方程式I
＝Ybus
V 為一組線性方程式，它類似 6.2 節中以高斯-賽迪法所求解之 y＝Ax。
因為電力系統中之匯流排資料包括負載匯流排之已知 Pk
與 Qk
，及電壓控制式匯流排中已知之 Pk
與 Vk
(電壓控 制式匯流排)，且電流源向量I
為未知向量，所以節點 方程式實際上可能已成為一個非線性方程式。P. 296
對於每一個負載匯流排，由 (6.4.5) 式可得I k 為：
若以 (6.2.9) 式之高斯－賽迪法求解節點方程式，並將 上式I k 代入，則得：
（6.5.1）
（6.5.2）
6.5 應用高斯－賽迪法求解電力潮流
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對於負載匯流排而言，在每一次疊代計算中，(6.5.2) 式 將被使用兩次，第一次即計算 Vk
*(i)，接著再以 Vk
*(i＋1)置換 V
k
*(i)，並計算匯流排電壓。
雖然電壓控制式匯流排的 Qk
為未知變數，但仍可利用 (6.4.11) 式予以求得如下：P. 296-297
（6.5.3）
6.5 應用高斯－賽迪法求解電力潮流
同時，
倘若 QGk
值尚未超過它的極限值，則 Qk
可用來求解 (6.5.2) 式之 Vk
(i+1)＝Vk
(i+1)k
(i+1)。
此時電壓大小 Vk
(i＋1) 改變為 Vk
，即為電壓控制式匯 流排之輸入資料，而可再以 (6.5.2) 式來計算電壓相角
k
(i＋１)。6.5 應用高斯－賽迪法求解電力潮流
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若 在 任 一 次 疊 代 計 算 中 ， QGk
值 超 過 QGkmax
或 低 於Q
Gkmin
，則匯流排形式將由電壓控制式匯流排變成為負載匯流排，且此時 Q
Gk
需被設定為極限值。
注意在此情況下，由於電壓控制設備 (諸如電容器組，靜 態虛功率系統等) 無法維持於原本之輸入電壓 Vk
，故仍 需藉由電力潮流程式來予以求解新的 Vk
值。
對於搖擺匯流排之計算 (即匯流排 1 )，已知 V1
與 1
為輸入資料，故不需進行疊代運算，僅需等到電力潮流程 式疊代收斂後，再經由 (6.4.10) 式及 (6.4.11) 式予以 求解 P1
與 Q1
。P. 297
6.5 應用高斯－賽迪法求解電力潮流
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
如例題 6.9 之電力系統，已知各匯流排中，除匯流排 3 之初始電壓值 V3
＝1.050。
以外，其餘匯流排電壓初始 值均為 1.00。
p.u.，試用高斯-賽迪法求解 V2
(1)，此 即第一次疊代後匯流排 2 之相量電壓。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
已知匯流排 2 為負載匯流排。將例題 6.9 之輸入資料及 匯流排導納值代入 (6.5.2) 式，則：P. 297
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
接著，利用所得電壓代入(6.5.2) 式以重新計算 V2
(1)：
最後，求解匯流排 3、4 及 5 之相關數值，即能完成高 斯－賽迪法第一次疊代運算。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
為觀察該例題之疊代收斂情形，請開啟 PowerWorld 模 擬軟體之Example 6_10。
該套軟體係預設使用牛頓-拉弗森法予以求解，在點選 Simulation 與 Gauss-Seidel Power Flow項目後，即能 令該軟體利用高斯-賽迪法求解該例題。
另 PowerWorld模擬軟體有最大疊代次數的設定選項，可 藉以避免程式在無法收斂時可能陷入無窮迴圈之情形。
又因通常高斯-賽迪法的疊代次數較多，故可預設最大疊 代次數為 100。P. 298
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
為說明該例題之收斂過程，本題暫將疊代次數設定為 1，以便於每次疊代計算後均能顯示電壓結果。
當第一次疊代執行完成時，僅需重新點選 Simulation 與 Gauss-Seidel Power Flow 選項，即能進行第二次疊代。
高斯-賽迪法之疊代中止條件，係由第 I 次疊代後電壓值 與第 i＋1 次疊代後電壓值之差決定，即如 (6.2.2) 式 所示。
當前後兩次疊代後之電壓差值低於某設定之收斂容忍值 時，即可視為電力潮流解已被求得。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
另 一 種 在 PowerWorld 模 擬 軟 體 中 被 執 行 的 方 法 ， 係 將 (6.4.10) 式與 (6.4.11) 式左右兩側之差值 (即實/虛功 率誤差) 視為疊代中止的指標。
PowerWorld模擬軟體必須持續疊代直至所有匯流排之功率 誤差小於某 MVA (或 kVA) 容忍值時方可停止。
透過點選 Case Information 及 Mismatches 選項，即可 於每一次疊代計算後，顯示所有匯流排功率誤差值。P. 299
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
例題 6.10 之視窗畫面：第一次疊代後之功率誤差值。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.10 應用高斯－賽迪法之電力潮流解
(解答)
可 於 PowerWorld 模 擬 軟 體 選 項 對 話 框 之 Power Flow Solution 調 整 所 欲 設 定 的 功 率 誤 差 容 忍 值 ( 請 點 選 Options, Solution Options ， 然 後 選 擇 Power Flow Solution以瀏覽此一對話窗)，且最大疊代次數亦可於此 頁面予以更改。另需說明的是，該套工具軟體在本題之 收斂容忍值，預設為0.5 MVA。P. 299
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
觀察 (6.4.10) 式與 (6.4.11) 式可知，此二式與 6.3 節利用牛頓－拉弗森法求解之非線性方程式 y＝f（x）相 當雷同。為求解電力潮流問題，文中將 x、y 與 f 向量 定義如下：（6.6.1）
黃世杰/電力系統/第6章
歐亞書局 P. 299
（6.6.1）
上式中，V、P 與 Q 皆以標么值形式表示，而 係以弳 度表示。6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
由於搖擺匯流排之 1
及 V1
為已知，故在 (6.6.1) 式 中可被刪除，因此 (6.4.10) 式及 (6.4.11) 式即可表示 如下：（6.6.2）
（6.6.3）
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
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且由 (6.3.10) 式可知賈可比矩陣為：P. 300
（6.6.4）
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
(6.6.4)式之矩陣共分為四個部分。每一部分之偏微分項 均可從(6.6.2) 及 (6.6.3) 式推導而來，即如表 6.5 所 示。
此時，若將 6.3 節所述之牛頓-拉弗森法求解步驟，應用 至電力潮流問題，則已知第 i 次疊代時， ， 其求解步驟即如下所述：
步驟1 由 (6.6.2) 與 (6.6.3) 式計算誤差向量y(i)，即
) (
) ) (
( v i
i i
x
（6.6.5）
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
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步驟2 利用表 6.5 之方程式予以計算賈可比矩陣
步驟3 使用高斯消去法與反向代入法求解下式
步驟4 由 (6.6.7) 式計算 x(i＋1)P. 301
（6.6.6）
（6.6.7）
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
若由初始值 x(0) 開始計算，則上述求解過程必須持續進 行直到收斂或疊代次數超過某一特定值時，方可停止。
至於收斂準則常根據 y（i）（功率誤差）予以制訂，而非 x（i）（電壓相角及大小之誤差）。
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
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6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
表 6.5 賈可比矩陣之各元素成分P. 300
對於電壓控制式匯流排，其電壓大小 Vk
為已知，故不需 計算函數 Qk
(x)。因此在 x 向量中可忽略 Vk
，而在 y 向量中可忽略 Qk
。
在賈可比矩陣中，則可忽略與 Vk
相關之各行偏微分元素 及與 Qk
相關之各列偏微分元素；但與電壓控制式匯流排 相關之各行及各列元素，則仍需予以保留。
在每一次疊代中，電壓控制式匯流排之電壓大小 Vk
(i＋1) 必須被重置為 Vk
，此即該類型匯流排之輸入資料。6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
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在每一次疊代運算後，由 (6.6.3) 式求得各電壓控制式 匯流排之 Qk
(x) 及 QGK
＝Qk
(x)＋QLk
後，必須確認 QGK
是否超過極限值。
假使 QGK
大於極限值，則原屬電壓控制式匯流排型式將 變為負載匯流排，並將 QGK
設定為極限值，且重新求解 匯流排之電壓 Vk
。P. 301
6.6 應用牛頓-拉弗森法求解電力潮流
例題 6.11 使用牛頓－拉弗森法求解賈可比矩陣 及電力潮流
如例題 6.9 之電力系統，除匯流排 3 之初始電壓值 V3
＝1.05 p.u.以外，其餘各電壓之初始條件均為 1.00
。
p.u.，試求解賈可比矩陣之維度。並計算第一次牛頓-拉 弗森疊代中步驟 1 之 P2
(0) 值及步驟 2 之 J124
(0) 之值。黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.11 使用牛頓－拉弗森法求解賈可比矩陣
及電力潮流 (解答)
例題 6.9 之電力系統共含 5 個匯流排，因此由 (6.6.2) 式及(6.6.3) 式可構成 8 條方程式，即形成維度為 8 8 之 J(i) 矩陣。
因匯流排 3 為電壓控制式匯流排，其電壓大小 V3
及與 Q3
(x) 相關之方程式可被刪除，因此 J(i) 的維度可縮 減為 7 7。P. 301
例題 6.11 使用牛頓－拉弗森法求解賈可比矩陣
及電力潮流 (解答)
由步驟 1 及 (6.6.2) 式，可得：黃世杰/電力系統/第6章 歐亞書局
例題 6.11 使用牛頓－拉弗森法求解賈可比矩陣
及電力潮流 (解答)
另由步驟 2 及表 6.5 所示之 J1，可得知：P. 302
