石墨烯在電磁特性 [32-36]、光學特性 [37-39]、電子激發[40]以及電子傳輸 [41,42]等相 關研究上，邊緣形狀對其電子特性影響很大。石墨烯依據其切割邊緣(見圖 2-2，沿箭頭 方向)分為鋸齒狀(zigzag)、手扶椅狀(armchair)、旋狀 (chiral)等三種奈米石墨帶 [43,44]。
目前有關石墨帶(graphene ribbon)文章多以鋸齒狀及手扶椅狀邊緣形狀為研究方向。
鋸齒狀邊緣(zigzag edge)石墨帶有一個特別的邊緣狀態(edge state)，在於其低能量的 能帶中會出現具有雙重簡併的部分平坦能帶(partial flat band)，並且這條部分平坦能帶對 應到電子的態密度則顯示出一個極高的尖銳波峰，這個獨特特徵顯示出鋸齒石墨烯的電 子密度局域性的分佈在鋸齒邊緣處。而手扶椅狀邊緣(armchair edge)的石墨帶則具有金 屬與半導體特性。當手扶椅狀石墨帶的寬度為 3m 2 (N 為 armchair line 數目，m 為整數)，則有其能隙，反之能隙則為零。因此，寬度決定了手扶椅奈米石墨帶為金屬 型態或者半導體型態 [45]。
2-3 磁場下緊束模型
想像一個電子運動在具有位能 獨立原子(isolated atom)下，其基態(ground state) 波函數為φ 。假設一個原子對另一個原子影響是小的，那我們可以獲得在整個晶體(the whole crystal)中單電子的波函數為
Φ , C 2.3.1
利用已知的Schrodinger equation 並藉由計算晶體的 Hamiltonian 對角化矩陣元素來 找出一階能量 (the first-order energy)。
|Φ , |Φ , 其中 為晶格點能量(site energy)， 為躍遷積分(hopping integral)。已知
Φ , |Φ , 1 2.3.8 因此，方程式(2.3.5)將可寫成
Φ , | |Φ , ∙ 2.3.9
與方程式(2.3.2)差別為向量位能(vector potential)於 Bloch 波函數所引起一個 Peierl phase [47]。其中 GR為相位因子γ 將Hamiltonian H (2.3.12)作用在波函數(2.3.10)，我們可獲得
|Φ , 1 Hamiltonian H 作用在波函數(2.3.1)
|Φ , 2 ∙ 1
相比多出一個相位因子 。這樣的結果讓我們方便地計算在磁場下奈米石墨帶低能 量的能帶分布 [48]。由方程式(2.3.9)跟方程式(2.3.13)即可推導出在磁場下晶體的一階能 量為
Φ , | |Φ , ∙ ∙ 2.3.16
其中G G G 。
2-4 奈米石墨帶的晶格幾何結構
, , Φ Φ 0 2.5.2
(ii)計算圖 2-5(b)中各項 g 值:
g
Φ Φ Φ Φ Φ Φ
(II)均勻垂直電場 下
矩陣(2.6.1)各項元素計算除了 , 、 , 、 , 及 , 外，其他與(I) 中方程式(2.6.3)~(2.6.9)一樣。由於將座標系統原點設定在奈米石墨帶正中央(可參考圖
2-4)，因此在均勻垂直電場 影響下第一層碳原子所增加電位能為 ，第二層碳原子
增加電位能為 。 e ，e 為電子，d 為兩層之間距離。所以這兩層碳原子的格點能
量(site energy)改變為:
, , Φ Φ
使用方程式(2.3.16)
假設一個碳六邊形面積通過磁場 之磁通量為
2 cos √3
1 1 1
圖 2-1: 二維石墨烯的晶格幾何結構跟布里淵區圖。(a)單位晶胞(淡褐色菱形涵蓋範圍) 包含2 個晶格點(碳原子)，紅色(紫色)小圓點表示晶格點。(b)為(a)的布里淵區(倒單位晶 胞)包含 2 個 k 晶格點(三個 1/3 紅色點，三個 1/3 紫色點)。(c)為表示單位晶胞的另一種 形式，同樣包含2 個晶格點。(d)為(c)的布里淵區。
圖 2-2: 石墨帶的不同邊緣形狀。依據切割邊緣分為鋸齒狀(zigzag)、手扶椅狀(armchair) 及旋狀(chiral)等三種。
圖 2-3: 計算G G 之積分路徑圖。使用方程式(2.3.12)計算G G 時，向量 為 的積分路徑。 為通過 , , r 三點所圍面積的磁通量。
圖 2-4: 鋸齒狀奈米石墨帶幾何結構。圖(a)為單層鋸齒狀奈米石墨帶幾何結構，藍色矩 形框為原始晶胞包含2Ny個碳原子，Ny為zigzag line number， 為週期性長度。紅色碳 原子An、綠色碳原子Bn為第n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。(b)雙層鋸 齒狀奈米石墨帶幾何結構，1 、1 (2 、2 )表示為第一層(第二層)的第 n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。 為同層最鄰近兩個碳原子 A、B 之間交互作用， 為 最鄰近上層碳原子A(B)與正對下層碳原子 A(B)之間交互作用， 為最鄰近上層碳原子 A(B)與下層碳原子 B(A)兩個碳原子之間交互作用。
圖 2-5: 鋸齒狀奈米石墨帶之簡化幾何結構圖。圖(a)~(d)皆是為了計算能帶所需參考簡 易圖示。