雙層AA堆疊鋸齒狀奈米石墨帶於均勻電場和磁場下的電子特性
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(2) 摘要 鋸齒狀奈米石墨帶在低能量的電子性質顯示出相當豐富的一維能譜。對於石 墨烯來說，邊緣形狀、有限寬度、層與層之間交互作用和磁場束縛等都是主要影 響因素。 單層鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下，低能量的能帶在費米能( 分平坦能帶跟很多以. 0)形成部. 0為對稱的拋物線能帶。部分平坦能帶的出現能展現鋸齒. 奈米石墨帶的電子強烈地分布在其鋸齒邊緣。在二維石墨烯系統，均勻垂直磁場 束縛電子運動並引起色散藍道能階。在準一維奈米帶，鋸齒狀邊緣所施加的邊界 條件限制藍道能階形成。因此，存在著磁性和量子限制之間的競爭。藍道能階轉 化成準藍道能階，而且這些準藍道能階隨著能量| 散能帶對稱於. ,. |逐漸增加而消失。此外，色. 0並且部分平坦能帶受磁場影響而增強。. 這篇論文中，我們將以緊束模型(tight-binding model)研究雙層 AA 堆疊鋸齒狀 奈米石墨帶系統在外加均勻垂直電場和磁場之下的電子特性。能帶對於場變化的 特徵直接影響在態密度上，如數目、頻率、強度以及尖峰的發散形式。.
(3) Abstract The electronic properties of monolayer zigzag graphene nanoribbon in the low energy level show the rich one-dimensional energy band structure. Edge shapes, finite widths, interlayer interactions and magnetic confinement are dominant factors for graphene. The low-energy band structure of zigzag graphene nanoribbon in the absence of external fields consists of doubly degenerate partial flat bands lying on the Fermi energy 0) and many parabolic bands symmetric at about. (. 0. Partial flat bands show. that the electrons are strongly localized at the zigzag edge. A uniform perpendicular magnetic field constrains electron motion, confining electronic states and inducing dispersionless Landau levels (LLs) in two-dimension graphene systems. In quasi one-dimenesion nanoribbons, boundary conditions imposed by ribbon edges confine the formation of LLs. Hence, there exists a competition between magnetic and quantum confinements. LLs are transformed into quasi-Landau levels (QLLs), and these QLLs gradually disappear as the state energy | symmetric with respect to. ,. | grows. Furthermore, energy dispersion is. 0, and partial flat bands are enhanced by a magnetic. field. In this paper, we investigate that the π-electronic properties of bilayer AA stacked zigzag graphene nanoribbon in uniform perpendicular magnetic and electric fields by using the tight-binding model. The main features of the field-modified energy bands are directly reflected in the density of states (DOS), such as the numbers, frequencies, intensities, and divergence forms of prominent peaks..
(4) 章目錄 第一章 導論 .................................................................................................................... 1 第二章 石墨烯 ................................................................................................................ 4 2-1 基本幾何結構及布里淵區 ............................................................................... 4 2-2 不同邊緣形狀 ................................................................................................... 4 2-3 磁場下緊束模型 ............................................................................................... 5 2-4 奈米石墨帶的晶格幾何結構 ........................................................................... 8 2-5 單層鋸齒狀奈米石墨帶能帶計算 ................................................................... 8 2-6 雙層鋸齒狀奈米石墨帶能帶計算 ...................................................................11 第三章 能帶 .................................................................................................................. 23 3-1 單層鋸齒狀奈米石墨帶不同條件下的能帶 .................................................. 23 3-2 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶不同條件下的能帶 .................................. 24 第四章 態密度 .............................................................................................................. 36 4-1 單層鋸齒狀奈米石墨帶在不同條件下的態密度 .......................................... 36 4-2 雙層鋸齒狀奈米石墨帶在不同條件下的態密度 .......................................... 37 第五章 結論 .................................................................................................................. 48 參考文獻 ........................................................................................................................ 49. .
(5) 圖目錄 圖 2-1 二維石墨烯的晶格幾何結構跟布里淵區圖 ............................................... 19 圖 2-2 石墨帶的不同邊緣形狀 .............................................................................. 20 圖 2-3 計算G. G 之積分路徑圖 ....................................................................... 20. 圖 2-4 鋸齒狀奈米石墨帶幾何結構 ...................................................................... 21 圖 2-5 鋸齒狀奈米石墨帶之簡化幾何結構圖 ...................................................... 22 圖 3-1. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 0下的能帶圖 ....... 27. 圖 3-2. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 20 場下的能帶圖28. 0、. 0 (黑色線)跟. 圖 3-3 單 層 鋸 齒 狀 奈 米 石 墨 帶 分 別 在 0、. 20. (紅色線)下的能帶對照圖 ................................................................ 29. 圖 3-4. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀米石墨帶在. 圖 3-5. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 0下能帶圖 30. 0.2. 、. 0下的. 能帶圖 ........................................................................................................................ 31 圖 3-6 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶分別在 0.2 圖 3-7. 、. 0、. 0 (黑色線)與. 0 (紅色線) 下的能帶對照圖 ................................................ 32. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 20 下的能. 帶圖 ............................................................................................................................ 33 圖 3-8 雙 層 AA 堆 疊 鋸 齒 狀 奈 米 石 墨 帶 分 別 在 0、 圖 3-9. 0、. 0和. 20 下的能帶對照圖 ................................................................................ 34 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0.2. 、. 20 下. 的能帶圖 .................................................................................................................... 35 圖 4-1. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 0下的態密度分布圖. .................................................................................................................................... 39 圖 4-2. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 20 場下的態密度分. 布圖 ............................................................................................................................ 40 圖 4-3 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 0和. 0、. 20 下的態. 密度分布對照圖 ........................................................................................................ 41 .
(6) 圖 4-4. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 0下的態密. 度分布圖 .................................................................................................................... 42 圖 4-5. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0.2. 、. 0下的. 態密度分布圖 ............................................................................................................ 43 0、. 圖 4-6 雙 層 AA 堆 疊 鋸 齒 狀 奈 米 石 墨 帶 分 別 在 0.2. 0下的態密度分布對照圖 ................................................................. 44. 、. 圖 4-7. 0和. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0、. 20 下的態. 密度分布圖 ................................................................................................................ 45 圖 4-8 雙層 AA 堆疊鋸齒奈米石墨帶分別在 0.2 圖 4-9. 、. 20. 0、. 0 (黑色線)和. (紅色線)下的態密度分布對照圖 .................................. 46. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 0.2. 、. 20 下. 的態密度分布圖 ........................................................................................................ 47 . .
(7) 第一章. 導論. 碳(C)元素是大自然中最為常見的元素之一，且有三種不同天然同位素 C12、C13 及 C14。碳原子為非金屬性以四價的 4 個電子形成 4 個化學共價鍵，通常都是以不同多原 子結構存在，其物理、化學特性隨著每種同素異形的不同而有不同。一般最常見有關碳 的同素異形體有無定形碳(amorphous carbon)、石墨、鑽石。其中作為稀少又昂貴的鑽石 因碳原子排列不同具有高硬度(目前所知最高硬度)、高透光度、導電性差、導熱性極好 等特性。而便宜又多的石墨剛好與鑽石相反，其特性為硬度差、導電性高、導熱性差。 除了這些自然界中存在的碳結構外，還有一些人工合成的碳相關結構如 fullerene (C60)、 carbon nanotubes、carbon nanobuds、carbon nanofiber、graphene、carbon nanofoam、linear acetylenic carbon、lonsdaleite 等等 [1-5]。 石墨烯（graphene）是從石墨分離出來的單原子層平面，為碳的同素異形體之一。 由碳原子以 sp2 混成軌域構成六邊形晶格的薄層平面，且僅一個碳原子厚度的的二維材 料 [6]。自從 20 世紀初，X 射線晶體學的創立以來，科學家就已經開始接觸到石墨烯 了。1918 年，V. Kohlschütter 和 P. Haenni 詳細地描述了石墨氧化物紙（graphite oxide paper）的性質 [7]。石墨烯一直被認為是假設性的結構，從熱力學的觀點而言，無法單 獨穩定存在。但在 2004 年，英國曼徹斯特大學物理學家 Andre Geim 和 Konstantin Novoselov 成功地在實驗中從石墨中分離出石墨烯，而證實它可以單獨存在 [8、9]。兩 人也因「在二維石墨烯材料的開創性實驗」為由，共同獲得 2010 年諾貝爾物理學獎。 石墨烯的性質與大多數常見的三維物質不同，純石墨烯是一種半金屬(多層)或零能 隙半導體(單層)。理解石墨烯的電子結構是研究其能帶結構的起始點。決定石墨的導電 性在於網狀層面上的每顆碳原子以外層電子離域(delocalization)形成 π 雲狀(π-cloud)的 結鍵。石墨在聲與熱的傳遞有很大差異性，聲子在平面傳遞非常快速，但在層與層之間 傳遞就慢很多了。對於電子的低階能量在二維的六邊形布里淵區的六個轉角附近，能量 -動量關係是線性關係 [10]：. 10 m⁄ 是費米速度，. 其中，E 是能量， 是約化普朗克常數，. 與. 分別為波. 向量的 x 軸與 y 軸分量，電子和電洞的有效質量（effective mass）都等於零 [11,12]。因 1 .
(8) 為這線性色散關係，電子和電洞在這六點附近的物理行為，可由 Dirac 方程式描述的相 對論性自旋 1/2 粒子。所以，石墨烯的電子和電洞都被稱為 Dirac-Fermion，而 Brillouin zone 的六個轉角被稱為 Dirac 點。在這位置的能量等於零，載子從電洞變為電子，從電 子變為電洞 [13]。 目前石墨烯是最薄卻也是最堅硬的奈米材料 [14]，它幾乎是完全透明的，只吸收 2.3%的光 [15]；導熱係數高達 5300 W/m·K，高於碳奈米管和金剛石，常溫下其電子遷 移率超過 15000 cm2/V·s [16]，又比奈米碳管或矽晶體高，而電阻率只約 10-6 Ω·cm，比 銅或銀更低，為目前世上電阻率最小的材料。因為它的電阻率極低，電子跑的速度極快， 因此被期待可用來發展出更薄、導電速度更快的新一代電子元件或電晶體。石墨烯實質 上是一種透明、良好的導體，也適合用來製造透明觸控螢幕、光板、甚至是太陽能電池。 由於石墨烯於結構非常穩定且內部的碳原子之間的連接很柔韌，具有優秀的導熱性。 當施加外力於石墨烯時，碳原子面會彎曲變形，使得碳原子不必重新排列來適應外力， 從而保持結構穩定。石墨烯中的電子在軌道中移動時，不會因晶格缺陷或引入外來原子 而發生散射。在常溫下，石墨烯由於原子間作用力十分強，即使周圍碳原子發生擠撞， 其內部電子受到的干擾也非常小。 在室溫下，石墨烯具有驚人的高電子遷移率（electron mobility） ，其數值超過 15,000 cm2V−1s−1，且電洞和電子的遷移率為相等。在 10 K 和 100 K 之間，遷移率與溫度幾乎 無關，可能是受限於石墨烯內部的缺陷所引發的散射。在室溫和載子密度為 1012 cm−2 時，石墨烯的聲子散射體造成的散射，將遷移率上限約束為 200,000 cm2V−1s−1。與這數 值對應的電阻率為 10−6 Ω·cm，稍小於銀的電阻率 1.59 ×10−6 Ω·cm [17]。在室溫下電阻 率最低的物質是銀，所以石墨烯是很優良的導體。對於緊貼在氧化矽基板上面的石墨烯 而言，與石墨烯自己的聲子所造成的散射相比，氧化矽的聲子所造成的散射效應比較大， 這約束遷移率上限為 40,000 cm2 V−1s−1 [18]。 石墨烯獨特的二維結構使它在感測器領域具有光明的應用前景。巨大的表面積使它 對周圍的環境非常敏感。即使是一個氣體分子吸附或釋放都可以檢測到。這檢測目前可 以分為直接檢測和間接檢測 [19]。通過穿透式電子顯微鏡可以直接觀測到單原子的吸 附和釋放過程。通過測量霍爾效應方法可以間接檢測單原子的吸附和釋放過程。當一個 氣體分子被吸附於石墨烯表面時，吸附位置會發生電阻的局域變化。當然，這種效應也 2 .
(9) 會發生於別種物質，但石墨烯具有高電導率和低雜訊的優良品質，能夠偵測這微小的電 阻變化 [20]。 根據理論推導，石墨烯會吸收πα. 2.3%的白光，其中α是精細結構常數 [15]。一. 個單原子層物質不應該有這麼高的不透明度，單層石墨烯的獨特電子性質造成了這令人 驚異的高不透明度。由於單層石墨烯不尋常的低能量電子結構，在 Dirac 點，電子和電 洞的圓錐形能帶（conical band）會相遇，因而產生這結果。實驗證實這結果正確無誤， 石墨烯的不透明度為2.3. 0.1%，與光波波長無關。. 有實驗在室溫下展示，通過施加電壓於一個雙閘極雙層石墨烯場效電晶體，石墨烯 的能隙可以從 0 eV 調整至 0.25 eV（大約 5 微米波長）[21]。通過施加外磁場，石墨烯 奈米帶的光學響應也可以調整至 Tera Hertz 頻域 [22]。當輸入的光波強度超過閾值時， 這獨特的吸收性質會開始變得飽和。這種非線性光學行為稱為可飽和吸收（saturable absorption） ，閾值稱為飽和流暢性（saturable fluency） 。給予強烈的可見光或近紅外線激 發，因為石墨烯的整體光波吸收和零能隙性質，石墨烯很容易就可以變得飽和。石墨烯 可以用於光纖雷射器（fiber laser）的鎖模（mode locking）運作。用石墨烯製備成的可 飽和吸收器能夠達成全頻帶鎖模。由於這特殊性質，在超快光子學（photonics）裏，石 墨烯有很廣泛的應用空間 [23,24]。. 3 .
(10) 第二章. 石墨烯. 2-1 基本幾何結構及布里淵區 圖 2-1(a)為石墨烯的幾何結構，它是一個由碳原子組成六角邊形結構。其原始平移 向量為. √. ,. √. 跟. ,. √3 為石墨烯晶格常數，. ，其中. 1.42 Å. 為碳與碳之間的鍵長 [25]。單位晶胞包含兩顆碳原子(淡褐色菱形涵蓋範圍內)，我們可 以任意選擇一碳原子稱為碳原子 A，另一個則為碳原子 B。倒單位晶胞(淡褐色陰影涵蓋 範圍)如圖 2-1(b)中，倒晶格向量為 2. √. ,. 跟. ,. √. 且滿足了. ∙. ，同樣涵蓋兩個 k 晶格點(三個 1/3 紅色點，三個 1/3 紫色點)。一些臨界點如 Γ 為 0,0 ，K(K’)為. √. ,. ， 0,. ，M 為. √. , 0 。綠色線所繪出的三. 角路徑包含了一些臨界點 Γ、K 跟 M 為 k 路徑一種可能選擇。以另一觀點來描述圖 2-1(c) 幾何結構跟圖 2-1(d)布里淵區，圖 2-1(c)在淡褐色陰影涵蓋內有 2 個碳原子(三個 1/3 紅 色點，三個 1/3 紫色點)，而在圖 2-1(d)陰影包含兩個 k 晶格點。. 2-2 不同邊緣形狀 許多石墨烯文獻顯示在低能量的能帶分布與其幾何結構有很大關係 [26-31]。尤其 石墨烯在電磁特性 [32-36]、光學特性 [37-39]、電子激發[40]以及電子傳輸 [41,42]等相 關研究上，邊緣形狀對其電子特性影響很大。石墨烯依據其切割邊緣(見圖 2-2，沿箭頭 方向)分為鋸齒狀(zigzag)、手扶椅狀(armchair)、旋狀 (chiral)等三種奈米石墨帶 [43,44]。 目前有關石墨帶(graphene ribbon)文章多以鋸齒狀及手扶椅狀邊緣形狀為研究方向。 鋸齒狀邊緣(zigzag edge)石墨帶有一個特別的邊緣狀態(edge state)，在於其低能量的 能帶中會出現具有雙重簡併的部分平坦能帶(partial flat band)，並且這條部分平坦能帶對 應到電子的態密度則顯示出一個極高的尖銳波峰，這個獨特特徵顯示出鋸齒石墨烯的電 子密度局域性的分佈在鋸齒邊緣處。而手扶椅狀邊緣(armchair edge)的石墨帶則具有金 屬與半導體特性。當手扶椅狀石墨帶的寬度為. 3m. 2 (N 為 armchair line 數目，m. 為整數)，則有其能隙，反之能隙則為零。因此，寬度決定了手扶椅奈米石墨帶為金屬 型態或者半導體型態 [45]。 4 .
(11) 2-3 磁場下緊束模型 獨立原子(isolated atom)下，其基態(ground state). 想像一個電子運動在具有位能 波函數為φ. 。假設一個原子對另一個原子影響是小的，那我們可以獲得在整個晶體(the. whole crystal)中單電子的波函數為 Φ. ,. C. 2.3.1 ∙. 對於有 N 個原子的晶體，若令C Φ. 1. ,. ∙. ，則可將方程式(2.3.1)寫成. √. 2.3.2. √. 為 Bloch 波函數一種 [46]。 利用已知的 Schrodinger equation 並藉由計算晶體的 Hamiltonian 對角化矩陣元素來 (the first-order energy)。. 找出一階能量 |Φ. |Φ. ,. Φ. ,. | |Φ Φ. Φ. , | |Φ. ,. ,. ,. |Φ. ,. ,. 2.3.3. 將方程式(2.3.2)帶入方程式(2.3.3)即可得 Φ. ,. | |Φ. ,. 1. ∙. 2.3.4. ，方程式(2.3.4)可寫成. 令 Φ. ,. | |Φ. ,. 1. ∙. ∗. 2.3.5. 我們忽略方程式(2.3.5)與 有關所有積分式，除了作用於同一原子以及最鄰近兩原 子的積分式外。為了方便簡化方程式(2.3.5)，我們設定積分式 ∗. 2.3.6. ∗. 2.3.7. 其中 為晶格點能量(site energy)， 為躍遷積分(hopping integral)。已知 Φ. ,. |Φ. ,. 1 2.3.8. 因此，方程式(2.3.5)將可寫成 5 .
(12) Φ. | |Φ. ,. ∙. ,. 2.3.9. 因在沒有外場下每個原子 site energy 都一樣，為了計算方便將 設定為 0。 描述在磁場下 Bloch 波函數為 Φ. 1. ,. ∙. 2.3.10. √. 與方程式(2.3.2)差別為向量位能(vector potential)於 Bloch 波函數所引起一個 Peierl phase [47]。其中 GR 為相位因子 γ ∙. G G. ∙. G. ∙. Φ. 2.3.11 2.3.12. 應當注意 GR 為一個與 r 有關的方程式。方程式(2.3.11)的積分是沿著直線從 R 到 r (如 圖 2-3 所示)。 當一個電子在一個晶格位能 V(r)以及磁場下的 Hamiltonian H 為 1 2. e. 2.3.13. 將 Hamiltonian H (2.3.12)作用在波函數(2.3.10)，我們可獲得 |Φ. ,. . . 1 2. e. 1. ∙. √. e. ∙. 1 2. ∙. √ 1. ∙. √. 1 2. ∙. 1. 1. G. ∙. 2.3.14. 2. √. 在 方 程 式 (2.3.14) 最 後 一 式 有 一 個 重 要 資 訊 ， 我 們 看 到 它 跟 在 沒 有 磁 場 下 的 Hamiltonian H 作用在波函數(2.3.1) |Φ. ,. . ∙. 2 1 √. ∙. 1. ∙. √ 2.3.15. 2 6 . .
(13) 相比多出一個相位因子. 。這樣的結果讓我們方便地計算在磁場下奈米石墨帶低能. 量的能帶分布 [48]。由方程式(2.3.9)跟方程式(2.3.13)即可推導出在磁場下晶體的一階能 量為 Φ. ,. 其中G. | |Φ G. ∙. ,. ∙. 2.3.16. G 。. 7 .
(14) 2-4 奈米石墨帶的晶格幾何結構 理論上討論石墨烯在磁場下 π 電子的準藍道能階現象時，應先討論因晶格位能關係 所產生之單位晶胞的週期。描述能帶在磁場下的情形，單位晶胞的面積是一個重要因素。 單層鋸齒狀奈米石墨帶的晶格幾何結構如圖 2-4(a)。圖中矩形框為原始晶胞，包含 2Ny 個碳原子，Ny 為 zigzag line number， 3. 寬度W. √3 為週期性長度，碳原子鍵長為. 1.42 ，. 2 b/2，而第一布里淵區是發生在-π/kx≤ Ix≤π/kx 區域。紅色碳原子 An、. 綠色碳原子 Bn 為第 n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。 圖 2-4(b)則為雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶晶格幾何結構。同樣地，1 (2. 、1. )表示為第一層(第二層)的第 n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。. 、2. 3.35 。. 從上層到下層之間距離為. 2.598eV為同層最鄰近兩個碳原子 A、B 之間. 0.364eV 為最鄰近上層碳原子 A(B)與正對下層碳原子 A(B)之間交互作. 交互作用，. 0.319eV為最鄰近上層碳原子 A(B)與下層碳原子 B(A)兩個碳原子之間交互作用. 用，. [49]。為了計算方便，我將座標系統原點設定在奈米石墨帶層正中央。. 2-5 單層鋸齒狀奈米石墨帶能帶計算 單層鋸齒狀奈米石墨帶的原始晶胞有 2Ny 個碳原子，因此這些 2Ny 個碳原子所形成 波函數為|Ψ. ∑. ∑. Φ. Φ. ， n 為第 n 個 zigzag line 且 n≤Ny。使用 2-3 節. 中數個方程式來計算單層鋸齒狀奈米石墨帶在(I)沒有外場下、(II)均勻垂直磁場. 下兩. 種不同條件下的一階能量，並以矩陣方式表示: Ψ| |Ψ. Φ. Φ. Φ. Φ. . Φ. Φ. Φ. Φ ,. 矩陣(2.5.1)元素(element)的行與列之排序為 (I)沒有外場下: 使用方程式(2.3.9) Φ. ,. | |Φ. ,. ∙. 並參考圖 2-5(a)來計算一階能量矩陣元素。 8 . ,. 2.5.1 ,. ,. ,. , …,. ,. 。.
(15) ,. Φ. ,. Φ. 0 2.5.2 0。. 因為鋸齒狀奈米石墨帶在 y 方向為有限寬，所以 ,. Φ. ,. Φ ,. √. √. . √. 2. ,. √. 2. Φ. ,. √3 2. cos. 2.5.3. Φ ,. . 2.5.4. 結合方程式(2.5.2)、(2.5.3)與(2.5.4)即可得到 0 H zig 0 0 H 0 0 0. H zig 0. (II)均勻垂直磁場. 下. 0. 0 0. 0 0. . 0 0. H zig 0. 0. 0. 0 H zig. 0. . 0 0. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 0. 0. H zig. H zig 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 2.5.5 0 0 0 0 . 使用方程式(2.3.16) Φ. ,. | |Φ. ∙. ,. ∙. ∙g. 並參考圖 2-5(b)來計算一階能量矩陣元素，這裡. ∙. (i)計算圖 2-5(b)中各項 t 值: 因為鋸齒狀奈米石墨帶在 y 方向為有限寬，所以 √. √ √. √. 9 . 0。. 、g. 。.
(16) (ii)計算圖 2-5(b)中各項 g 值: g 其中 G. 2. ，h G. 。利用方程式(2.3.11)，我們可以獲知. G. ∙. 參考圖 2-4(a)即可推算碳原子 1. 3 2 3 2. Y Y. 2. 1 4 1 4. 1. 2. 1 √3 , 2 2. G. √3 2. . √3 4. . 3√3 4. 3 2 3 2. ∙. 1 1 1 2. Y 1. 3 2. 1 4. 2. 3. G. 2 1 √3 , 2 2. G. . √3 4. . 3√3 4. . G. G. 0,. 3√3 2 1 4. 1 2 2 2. Y. 1 2. 2. Y. 3. ∙. 1 2. ,0. 1 4. 3 2. 2 3√3 8. ,0. 0. 10 . 1 2. 1. 之磁通量為. 1 2. ∙ 3 2. √3 2. . 3 2. 3√3 8. 假設一個碳六邊形面積通過磁場 ∙6∙. ,0. 2. 2 2. √3 4 1 2. 在 y 軸的坐標為. 與碳原子. 1. 1 2.
(17) g g∗. g 1. g. (iii)利用已在(i)跟(ii)求得t 、t 、t 、g 、g 與g ，接下來計算各項矩陣元素: ,. Φ. ,. Φ. ,. . 2. ,. 0 2.5.6. g. g. Φ √. . Φ. cos. √. ∙ √3 2. Φ. 1 2. 2 Φ. g. ∙ 2.5.7. 2.5.8. 結合方程式(2.5.6)、(2.5.7)與(2.4.8)即可得到 0 P1 P 0 1 0 0 0 0 H 0 0 0 0 0 0. 0. 0 0. 0 0. . 0 0. 0 P2. P2 0. 0. 0. . 0 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 0. Pn Pn 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 2.5.9 0 0 0 0 . 2-6 雙層鋸齒狀奈米石墨帶能帶計算 雙層 AA 堆疊鋸齒奈米石墨帶的原始晶胞有 4Ny 個碳原子，其 4Ny 個碳原子的波函 數可以|Ψ. ∑. Φ. ∑. Φ. ∑. ∑. Φ. Φ. ，n 為第 n 個 zigzag. line 且 n≤Ny。同樣地，使用 2-3 節中數個方程式來計算雙層鋸齒狀奈米石墨帶在(I)沒有 外場下、(II)均勻垂直電場 場. 下、(III)均勻垂直磁場. 下等四種不同條件下的一階能量，並以矩陣表示:. Ψ| |Ψ. Φ. Φ. . Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. 11 . 下以及(IV)均勻垂直電場. 和磁.
(18) . Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. . Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. . Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. Φ. . Φ. Φ. 2.6.1. , 1. 矩陣(2.4.10)元素的行與列排序為1 1. , 2. , 2. , 2. , 2. , 1. , 1. , 2. , 2. , …, 1. 。. (I)沒有外場下 使用方程式(2.3.9) Φ. ,. | |Φ. ∙. ,. 並參考圖 2-5(c)來計算一階能量矩陣元素。 ,. ,. ,. ,. Φ. Φ. 因為鋸齒狀奈米石墨帶在 y 跟 z 方向為有限寬，所以 ,. Φ. ,. 0 2.6.2 0跟. 0。. Φ ,. . 2.6.3. ,. Φ. ,. Φ ,. √. √. ,. 2. cos Φ. √3 2. 2.6.4. Φ ,. 12 . ,.
(19) √. √. . 2. cos. √3 2. Φ. ,. 2.6.5. Φ , √. √. . 2. cos. ,. √3 2. 2.6.6 Φ. ,. Φ ,. ,. 2.6.7 Φ. Φ ,. 2.6.8. ,. Φ. Φ ,. . 2.6.9. 結合方程式(2.6.2)~(2.6.9)即可得到. 0 P 1 Q 0 0 P 0 Q 0 1 0 1 Q 0 P 0 0 Q 1 P 0 3 0 0 0 0 3 0 P 0 0 0 0 P 0 H 0 3 0 0 1 Q 0 0 0 0 Q 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 Q. . Q 1 0 P P 0 0 0. . 0. 0. 0. 3 0. 0 1. 3 0. 0 0 0. 13 . 3 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2.6.10 0 0 0 0 3 0 0 0 0 P 1 Q P 0 Q 1 1 Q 0 P Q 1 P 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0.
(20) (II)均勻垂直電場. 下. 矩陣(2.6.1)各項元素計算除了. 、. ,. ,. 、. ,. 及. ,. 外，其他與(I). 中方程式(2.6.3)~(2.6.9)一樣。由於將座標系統原點設定在奈米石墨帶正中央(可參考圖. 2-4)，因此在均勻垂直電場 e. 增加電位能為 。. 影響下第一層碳原子所增加電位能為. ，第二層碳原子. ，e 為電子，d 為兩層之間距離。所以這兩層碳原子的格點能. 量(site energy)改變為: ,. ,. Φ. Φ. ,. ,. Φ. Φ. 2 2. 2.6.11. 2.6.12. 結合方程式(2.6.3)~(2.6.9)、(2.6.11)與(2.6.12)即可得到 U 2 P 1 Q 0 0 H 0 0 0 0 0 0 . P. 1. Q. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. U 2. Q. 1. 0. 0. 3. 0. . 0. 0. 0. Q. U 2. P. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 1. P. U 2. 3. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 0. 0. 3. U 2. P. 1. Q . 0. 0. 0. 0. 0. 0. P. U 2. Q. 1 . 0. 0. 0. 3. 0. 0. 1. Q. U 2. P . 0. 0. 3. 0. 0. 0. Q. 1. P. . . . . . 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. . U 2 . . 3. 0. 0. 0. 0. 0. 3. U 2. P. 1. 0. 0. 0. 0. 0. P. U 2. Q. 0. 0. 0. 3. 0. 0. 1. Q. U 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Q. 1. P. . (III)均勻垂直磁場. 下 14 . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q 1 2.6.13 P U 2.
(21) 使用方程式(2.3.16) Φ. | |Φ. ,. ∙. ,. ∙. ∙g ∙. 並參考圖 2-5(d)來計算一階能量矩陣元素，這裡. 、g. 。. (i)計算圖 2-5(d)中各項 t 值: 0跟. 因為鋸齒狀奈米石墨帶在 y 跟 z 方向為有限寬，所以 √. 0。. √. √. √. √. √. √. √. (ii)計算圖 2-5(d)中各項 g 值: g 其中. ，h G. G. 2. 。利用方程式(2.3.11)，我們可以獲知. G. ∙ 2. 參考圖 2-4(a)及(b)即可推算碳原子1 3 2 3 2. Y Y. 1 2. 1. 2. 1 √3 , 2 2. G. √3 2. . √3 4. . 3√3 4. 1 4 1 4. 3 2 3 2. ∙. 2 2. 1 1 2 1 4. 2. 3. 1. Y 1. 3 2. 與碳原子 1. ,0 3 2. 1. 2 3√3 8 15 . . 1 2. 2. 在 y 軸的坐標為.
(22) 假設一個碳六邊形面積通過磁場. G. √3 4 1 2. 3√3 2 1 4. ∙6∙ 2 1 √3 , 2 2. G. . √3 4. . 3√3 4. . G. G. 1 2. ∙. √3 2. . 1. 3 2. 2. 1 2. ,0. 1 4. 3 2. 1 2. 1. 2. 2. 3√3 8. 2. ∙. 1 2. 2. Y. 3. 0,. 之磁通量為. Y. ,0. 0. g g∗. g g. 1. (iii)利用已在(i)跟(ii)求得t 、t 、t 、T 、T 、T 、g 、g 與g ，接下來計算各項矩陣元 素: ,. ,. ,. ,. ,. Φ. Φ. ,. Φ. 0 2.6.14. Φ ,. . 2.6.15. , √. ,. . Φ. ,. 2. cos. g √. ∙ √3 2. Φ √. Φ. ∙. g. ∙. 1 2. 2 Φ. 2.6.16. g √. ∙ 16 . . g.
(23) . 2. cos. √3 2. Φ. ,. . 2. 2 ∗ ∗. Φ √. . cos. 1 2 ∗ ∗. g. g. √. ∙ √3 2. ,. 2.6.17. 2 Φ. ,. ,. Φ. Φ. ,. Φ. Φ. ∙. 1 2. 2.6.18. Φ. g. g ∗. 2.6.19. 2.6.20. g. 2.6.21. 結合方程式(2.6.14)~(2.6.21)即可得到. 0 K 1 1 L1 0 0 H 0 0 0 0 0 0. K1 0 L1. 1 0 0. 1. L1. 0. L1 0 K1 0. 1. 0. K1 0. 0. 3. 3. 0. 0. K2. 0. 1. 0 0. L2 0. 1. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0. 0 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 3. (IV)均勻垂直電場. 和磁場. 0 0 0 0 K2 0 L2 0. 0. 3 0. 0 1 L2 0 K2 . 0 0 0 0 L2. . 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0. 1. 0 0 0 3 3 0. 0 0 0 0 Kn. 0. K2 0 0. 0 0. 0 0 0. 0. Kn. 0. 1. 0 Ln. 0. Ln. 1. 、. ,. 、. 3 0. 3 0. 0 1 Ln 0 Kn. 0 0 2.6.22 0 0 Ln 1 Kn 0 0 0 0 0 0. 下:. 矩陣(2.6.1)之各項元素計算除了. ,. ,. 及. ,. 與(II)中方程. 式(2.6.11)與(2.6.12)一樣外，而其他與(III)中方程式(2.6.14)~(2.6.21)一樣。因此，結合方 程式(2.6.11)與(2.6.12)及方程式(2.6.14)~(2.6.21)即可得到. 17 .
(24) U 2 K 1 1 L1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 . K1. 1. L1. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. U 2. L1. 1. 0. 0. 3. 0. . 0. 0. 0. L1. U 2. K1. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 1. K1. U 2. 3. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. 0. 0. 3. U 2. K2. 1. L2. . 0. 0. 0. 0. 0. 0. K2. U 2. L2. 1. . 0. 0. 0. 3. 0. 0. 1. L2. U 2. K2 . 0. 0. 3. 0. 0. 0. L2. 1. K2. . . . . . 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. . 0. 0. 0. . U 2 . . 3. 0. 0. 0. 0. 0. 3. U 2. Kn. 1. 0. 0. 0. 0. 0. Kn. U 2. Ln. 0. 0. 0. 3. 0. 0. 1. Ln. U 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Ln. 1. Kn. 18 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ln 1 2.6.23 Kn U 2.
(25) 圖 2-1: 二維石墨烯的晶格幾何結構跟布里淵區圖。(a)單位晶胞(淡褐色菱形涵蓋範圍) 包含 2 個晶格點(碳原子)，紅色(紫色)小圓點表示晶格點。(b)為(a)的布里淵區(倒單位晶 胞)包含 2 個 k 晶格點(三個 1/3 紅色點，三個 1/3 紫色點)。(c)為表示單位晶胞的另一種 形式，同樣包含 2 個晶格點。(d)為(c)的布里淵區。. 19 .
(26) 圖 2-2: 石墨帶的不同邊緣形狀。依據切割邊緣分為鋸齒狀(zigzag)、手扶椅狀(armchair) 及旋狀(chiral)等三種。. 圖 2-3: 計算G G 之積分路徑圖。使用方程式(2.3.12)計算G 的積分路徑。 為通過 , , r 三點所圍面積的磁通量。. 20 . G 時，向量. 為.
(27) 圖 2-4: 鋸齒狀奈米石墨帶幾何結構。圖(a)為單層鋸齒狀奈米石墨帶幾何結構，藍色矩 形框為原始晶胞包含 2Ny 個碳原子，Ny 為 zigzag line number， 為週期性長度。紅色碳 原子 An、綠色碳原子 Bn 為第 n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。(b)雙層鋸 齒狀奈米石墨帶幾何結構，1 、1 (2 、2 )表示為第一層(第二層)的第 n 個 zigzag line (n≤Ny)的碳原子 A 跟碳原子 B。 為同層最鄰近兩個碳原子 A、B 之間交互作用， 為 最鄰近上層碳原子 A(B)與正對下層碳原子 A(B)之間交互作用， 為最鄰近上層碳原子 A(B)與下層碳原子 B(A)兩個碳原子之間交互作用。 21 .
(28) 圖 2-5: 鋸齒狀奈米石墨帶之簡化幾何結構圖。圖(a)~(d)皆是為了計算能帶所需參考簡 易圖示。. 22 .
(29) 第三章 能帶 在這章節我們將討論單層鋸齒狀奈米石墨帶以及雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶 低能量的能帶。首先是單層鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下的能帶分布，其次在均勻垂 直磁場下能帶變化並討論磁場所引起藍道化現象。 接下來關於雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶，先討論層與層之間交互作用對於能帶 的影響。再來是討論在沒有外場能帶以及層與層之間作用力影響。然後是在均勻垂直電 場下對雙層能帶影響，以及在均勻垂直磁場下所產生的準藍道能階。最後討論在均勻垂 0對稱，所以能帶圖僅顯示. 直電場和磁場影響下的能帶。由於能帶對. 0右半邊。. 3-1 單層鋸齒狀奈米石墨帶不同條件下的能帶 單層鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下低能量的能帶(圖 3-1)。主要結構有兩類：一 類是具有一維系統特色的拋物線能帶，另一類就是部分平坦能帶(partial flat band)，而後 者為鋸齒狀邊緣奈米石墨帶的最大特色。能帶以費米能( 2 ⁄3處有左右對稱。位於費米能(. 於費米能(. 0) 上方的拋物線能帶為導帶(conduction. 1表示導帶第一條拋物線能帶，. band)，其中以. 0)為軸呈上下對稱，且在. 0)下方則為價帶(valence band)，. 2表示第二條，依此類推。位 1表示價帶第一條拋物線能帶，. 2表示第二條…。拋物線能帶在費米能 EF=0 處呈現上下對稱，部分平坦能帶位於 費米能量. 0處且具有雙重簡併態且存在於 k 空間的區域在2 ⁄3. π之間，. 顯示其電子強烈地分布在其鋸齒邊緣。 在均勻垂直磁場作用下，單層鋸齒狀奈米石墨帶能帶分布有了很大的變化 ( 如圖. 3-2)。很明顯地在磁場影響下，除了拋物線能帶以及部分平坦能帶外，靠近部分平坦能 帶則產生一些由兩條拋物線能帶及準藍道能階所結合而成的混合能帶。圖 3-2 中可以知 道靠近能. 0處的混合能帶，其準藍道能階的平坦區域隨著能量 E 提高，慢慢縮短進. 而消失。準藍道之間的間距與磁場大小有一定特殊關係，其所在能階 關係為. ∝. | |，. 與磁場 B. 為準藍道能階的量子數 [50]。當磁場強度增加，能階. 與能階之間的間距越寬。隨著準藍道量子數越大，準藍道能階越是密集。圖中以. (. 1)表示導(價)帶第一條準藍道能階，. 2 (. 1. 2)表示第二條…，依此類推。. 準藍道能階幅度可用藍道軌域於奈米石墨帶上的可存在性來說明。其中，(1)在能 量低的準藍道能階上的態對應半徑小的藍道軌域，而在能量高的準藍道能階上的態對應 23 .
(30) 半徑大的藍道軌域，(2)能態在藍道能階上的位置，對應於藍道軌域圓心於奈米石墨帶 上的位置，舉例說明：. 2 ⁄3上的能態(位於準藍道能階的中心)，其藍道軌域圓心. 位於奈米石墨帶中心的位置。同理，當能態的 wavevector 離開. 2 ⁄3時，其藍道. 軌域圓心也離開奈米石墨帶中心的位置。(3) 藍道軌域的活動範圍受限於奈米石墨帶的 有限寬邊界條件，當藍道軌域邊界碰觸到奈米石墨帶的邊界時，藍道軌域會被破壞，此 時準藍道能階不復存在。因此，能量低的準藍道能階所佔據的 k 空間範圍會較大，而能 量高的準藍道能階所佔據的 k 空間範圍會較小，而能量更高者，根本無法形成準藍道能 階(只有看到拋物線能帶)。 在圖 3-3 對照黑色能帶與紅色能帶讓我們清楚看到電子能態在兩種條件下不同的分 布。電子能態在沒外場下分布成許多條曲率較大拋物線能帶及一對部分平坦能帶。在磁 場影響下能態除了部分平坦能帶的範圍變寬外，還有形成許多曲率較小拋物線能帶和一 些具有準藍道能階的混合能帶。. 3-2 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶不同條件下的能帶 以緊束模型理論為基礎來討論奈米石墨帶，在單層僅考慮層內的最鄰近 A、B 碳原 子之間交互作用，但在多層(如雙層)以上除了同層的最鄰近 A、B 碳原子之間作用，還 有層與層之間交互作用 (參考圖 2-4)。層與層之間交互作用不但讓第二層以上能帶形成 於較高能量(相對第一層)，而且也讓雙層的能帶發生不對稱主要原因。因此，層與層之 間交互作用在多層奈米石墨帶扮演一個重要角色[51]。 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下低能量的能帶 (圖 3-4)主要有兩大群。 層與層之間交互作用讓一群形成於較高能階，而另一群則形成於較低能階。每一群能帶 分布結構與單層 (圖 3-1)相似，同樣有很多拋物線能帶跟一對部分平坦能帶。在圖 3-4 中，. 代表第一群能帶，. 代表第二群能帶，. 第一條拋物線能帶…等等。兩群能帶看似以能量. 1 (. 1)代表第一群導(價)帶的. 0為軸有上下對稱，但仔細觀察圖. 中兩群能帶的每一條拋物線能帶相對位置還是會有些偏差。每群能帶以各自部分平坦能 帶為準，其上下拋物線能帶也不對稱。這是因為層與層之間交互作用讓兩群能帶有些許 不對稱，主要是來自於 影響(圖 2-4)。層與層之間作用對雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石 墨帶影響除了讓兩個單層的能帶分布產生於不同能階上且有些許不對稱外，對於兩群能 帶分布結構沒有明顯地改變。此點迥異於雙層 AB 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶，層與層之間 作用對能帶所造成的變化 [52]。 24 .
(31) 圖 3-5 為雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在均勻垂直電場下的能帶分布。層與層之 間交互作用除了讓兩群能帶有些不對稱外，電場影響讓兩群能帶不對稱更為明顯。觀察 圖 3-5 兩群能帶分布結構與圖 3-4 相似。在圖 3-4，兩對部分平坦能帶分別局域在能階 0.36eV，但圖 3-5 的兩對部分平坦能帶局域在能階約. 約. 0.49eV。也就是說，. 來自電場影響使得兩群能帶的第一群能帶(整群)往下位移一能能量差(約0.13eV，看圖. 3-6)，第二群能帶(整群)同樣往上位移一個能量差。觀察圖 3-6 中兩種顏色的能帶，每 一群能帶外觀沒有特別變化可知電場並沒有破壞能帶分布結構，僅讓兩群能帶各自位移 一個能量差。 在均勻垂直磁場影響下，雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶低能量的能帶如圖 3-7 所 示。層與層之間交互作用讓第二群能帶形成於較高能階，也使得兩群能帶有些不對稱。 同樣地，每群能帶以各自部分平坦能帶為準上下能帶也不對稱。靠近部分平坦能帶的混 成能帶，準藍道能階的寬度隨著能量 E (相對部分平坦能帶)提高而減少直至消失。準藍 道所在能階. 子數(index number)。圖中以 1 (. 階，. ∝. 與磁場 B 有一定關係 1 (. | |，. 為準藍道能階的量. 1)表示第一群能帶的導(價)帶第一條準藍道能. 1)表示第二群能帶的導(價)帶第一條準藍道能階…。. 在圖 3-7 中可以看到電子能態分布成兩群能帶，每一群能帶分布與單層(圖 3-2)有相 似處與不同處。相似處是在沒外場下每一群能帶分布包含許多條曲率較大拋物線能帶及 一對部分平坦能帶。而在磁場影響下能態除了重新分布一對部分拋物線能帶外，還有形 成許多曲率較小拋物線能帶和一些具有準藍道能階的混合能帶，而部分平坦能帶的範圍 也變寬。不同處是圖 3-2 的每一群能帶各自以部分平坦能帶為軸上下對稱，但在圖 3-7 中由於層與層之間交互作用影響，每一群能帶各自以部分平坦能帶為軸上下並沒有對稱。 從每一群能帶分布結構與單層(圖 3-2) 對照相似(如拋物線能帶曲率跟準藍道能階區域 範圍)，由此可知層與層之間作用力並沒有明顯地干擾到磁場對電子能態的影響。 圖 3-8 對照黑色能帶與紅色能帶讓我們清楚看到電子能態在兩種條件下不同的分布。 觀看部分平坦能帶的能階位置可知垂直磁場不像垂直電場般讓整群能帶位移一個能量 差。電子能態在沒外場下分布成許多條曲率較大拋物線能帶及一對部分平坦能帶。在磁 場影響下能態除了部分平坦能帶的範圍變寬外，還有形成許多曲率較小拋物線能帶和一 些具有準藍道能階的混合能帶。 外加均勻垂直的電場和磁場於雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶，其能帶分布顯示於 25 .
(32) 圖 3-9。從圖中能帶分布結構可以知道層與層之間作用、垂直電場作用以及垂直磁場作 用對於能帶的影響。圖 3-5 及圖 3-7 的能帶分布得知層與層之間交互作用力並不明顯干 擾電場或磁場對電子的影響。又從圖 3-7 跟圖 3-9 中對照每條準藍道能階的幅度並沒有 特別的縮短(延長)或者結構變化來判斷電場跟磁場對能帶影響是各自獨立而沒有互相 干擾。. 26 .
(33) 圖 3-1:. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 27 . 0、 . 0下的能帶圖。.
(34) 圖 3-2:. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 28 . 0、 . 20 場下的能帶圖。.
(35) 圖 3-3: 單層鋸齒狀奈米石墨帶分別在 (紅色線)下的能帶對照圖。. 0、. 29 . 0 (黑色線)跟. 0、. 20.
(36) 圖 3-4:. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀米石墨帶在. 30 . 0、 . 0下能帶圖。.
(37) 圖 3-5: 圖。. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 31 . 0.2 ⁄ 、 . 0下的能帶.
(38) 圖 3-6: 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶分別在 0、 0.2 ⁄ 、 0 (紅色線) 下的能帶對照圖。. 32 . 0 (黑色線)與.
(39) 圖 3-7:. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 33 . 0、. 20 下的能帶圖。.
(40) 圖 3-8: 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶分別在 下的能帶對照圖。. 34 . 0、. 0和. 0、. 20.
(41) 圖 3-9: 帶圖。. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 35 . 0.2 ⁄ 、. 20 下的能.
(42) 第四章 態密度 在固態物理、凝態物理等相關研究中，從態密度(density of states，簡稱 DOS)分布 圖能知道每一間距能階的能態密度高低。能帶結構主要特色直接影響 DOS 分布。DOS 計算方式為 Γ ,. 10. 其中Γ. 2. 1 ,. ,. Γ. 為現象學擴大參數(phenomenological broadening parameter)。. 4-1 單層鋸齒狀奈米石墨帶在不同條件下的態密度 圖 4-1 為單層鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下的態密度分布。圖中顯示出有很多小 凸起的單邊發散尖峰跟一個極高的雙邊發散邊尖峰。雙邊發散尖峰位於費米能 而單邊發散尖峰分布於雙邊發散尖峰兩側，態密度分布以費米能 1(. 1)表示第一個導(價)帶上單邊發散尖峰，. 2(. 0處，. 0為軸對稱。圖中 2)表示第二個導(價). 帶上單邊發散尖峰…。單邊發散尖峰對應其拋物線能帶(圖 3-1)的端點處(稱為 band edge. state)，雙邊發散邊尖峰則對應到部分平坦能帶。從圖中可以輕易知道態密度分布以雙 邊發散邊尖峰的高度最高，而單邊發散尖峰的高度從費米能. 0兩側隨著能量|E|提升. 而增高。 當均勻垂直磁場作用下，單層鋸齒狀奈米石墨帶的態密度分布顯示於(圖 4-2)。圖 中除了有許多單邊發散尖峰跟一個最高雙邊發散尖峰外，在靠近最高雙邊發散尖峰兩側 則有一些較高雙邊發散的尖峰。這些較高雙邊發散尖峰對應其能帶(圖 3-2)的準藍道能 階平坦處，高度隨著能量|E|的提高而逐漸減少。當磁場強度增加，較高雙邊發散尖峰之 間的間距越寬。隨著準藍道量子數值越大，較高雙邊發散尖峰之間的間距越窄。從圖中 態密度分布可知電子能態以最高雙邊發散尖峰被占據數量最多外，其次是較高雙邊發散 尖峰相對比較多的，最後為隨著能量|E|增加的單邊發散尖峰。 圖 4-3 為單層鋸齒狀奈米石墨帶分別在兩種條件下的態密度分布對照圖。圖 4-3 黑 色線(在沒有外場下)描繪的態密度分布與圖 4-1 有很大不同。主要原因在於圖 4-3 黑色 線所描繪的單邊發散尖峰較為不明顯，所以圖 4-1 為放大後的態密度分布圖。在圖 4-3 垂直磁場影響下在兩個雙邊發散尖峰之間區域，紅色線的平均高度(密度)會比黑色線低 一些。最高雙邊發散尖峰的高度受限圖框無法顯示其高度有所增加，但可以變相地從對 36 .
(43) 應能帶(圖 3-3)中部分平坦能帶的寬度變化獲知。. 4-2 雙層鋸齒狀奈米石墨帶在不同條件下的態密度 圖 4-4 為雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在沒有外場下的態密度分布圖。層與層之 間交互作用讓整個態密度分布不對稱。在圖中可以看到兩個最高雙邊發散尖峰以及很多 的單邊發散尖峰，而且圖 4-4 中小圖(a)顯示有不少單邊發散尖峰是兩兩相鄰。由於兩群 能帶的重疊造成拋物線能帶 band edge state 之間距離相近，因此在態密度上顯示出有兩 兩相鄰的單邊發散尖峰現象。在兩個最高雙邊發散尖峰外側的單邊發散尖峰，其高度隨 著能量|E|提高而逐漸增加。 處於均勻垂直電場下，雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶的態密度分布顯示於圖 4-5。 簡單觀看圖 4-5 的態密度分布會發現跟圖 4-4 有相似處與差異處。相似處在於態密度分 布同樣以能量 E=0 為軸呈現上下不對稱且有兩個最高雙邊發散尖峰以及很多包含兩兩 相鄰在內的單邊發散尖峰。而較為差異地方則是兩個最高雙邊發散尖峰形成所在能階位 置。透過圖 4-6 中黑色線的態密度分布與紅色線的態密度分布情形，我們可以更清楚看 到兩種不同顏色的雙邊發散尖峰所在能階位置的不同。在垂直電場影響下兩個最高雙邊 發散尖峰所在位置被位移一個能量差(如圖中所示約0.05 )。圖 4-6 對應其能帶圖(圖 3-6) 可以看到受到垂直電場影響下兩群能帶重疊區域變多，以致處於同一能階上的電子能態 數目增多。因此，在圖 4-6 可以看到紅色線態密度分布平均高度比黑色線來的高一些。 在均勻垂直磁場下雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶的態密度分布顯示於圖 4-7。圖. 4-7 的態密度分布與之前兩種條件下的態密度分布(圖 4-4、圖 4-5)有很大不同。除了有 兩個最高雙邊發散尖峰和很多包含兩兩相鄰在內的單邊發散尖峰外，還有不少的較高雙 邊發散尖峰。從圖-3-7 可以看到兩群能帶有重疊區域，對應到態密度分布圖中在最高雙 邊發散尖峰到鄰近的較高雙邊發散尖峰之間(或相鄰兩個較高雙邊發散尖峰之間) 有一 些較小的單邊發散尖峰，還有一高一低兩兩相鄰單邊發散尖峰。能帶重疊造成在雙邊發 散尖峰兩側的較高雙邊發散尖峰(同量子數)雖位置相對對稱(以最高雙邊發散尖峰所處 能階為軸)，但高度不一樣。與單層相似，每個最高雙邊發散兩側的較高雙邊發散尖峰 對應能帶準能道能階平坦處，其高度隨著能量|E| (相對最高雙邊發散尖峰所處能階)增加 而降低。 圖 4-8 中黑色線態密度分布描繪的外貌與圖 4-4 似乎有很大差異。原因僅是圖 4-8 黑色線描繪單邊發散尖峰並不明顯，圖 4-4 為放大的態密度分布易於方便觀看，而圖 4-5 37 .
(44) 也是放大後的態密度分布圖。在圖 4-8，最高雙邊發散尖峰的高度受限圖框無法顯示其 高度有所增加，但可以變相地從對應能帶(圖 3-8)中部分平坦能帶的寬度變化獲知。 在均勻垂直的電場及磁場下，雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶的態密度分布顯示於 圖 4-9。與看似複雜的能帶分布圖(圖 3-9)相比，圖 4-9 的態密度分布圖就相對清楚多。 由於均勻垂直的電場和磁場作用下，看似有兩群各自分離(獨立)的態密度分布。每群都 有一個雙邊發散尖峰、很多包含兩兩相鄰在內的單邊發散尖峰以及較高雙邊發散尖峰組 成。相較圖 4-7 態密度分布震盪較為激烈、錯綜複雜。在圖 4-9 兩個最高雙邊發散尖峰 之間的小凸起單邊發散尖峰明顯平緩許多，且從雙邊發散尖峰到能量 E=0 處較高雙邊 發散尖峰高度有序地降低。. 38 .
(45) 圖 4-1:. 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 39 . 0、. 0下的態密度分布圖。.
(46) 圖 4-2: . 300 單層鋸齒狀奈米石墨帶在. 40 . 0、. 20 場下的態密度分布圖。.
(47) 圖 4-3: 單層鋸齒狀奈米石墨帶在 布對照圖。. 0、. 41 . 0和. 、. 20 下的態密度分.
(48) 圖 4-4: 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在 0、 0下的態密度分布 圖。圖中的小圖(a)為局部放大圖，顯示有兩兩相鄰的單邊發散尖峰。. 42 .
(49) 圖 4-5: 度分布圖。. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 43 . 0.2 ⁄ 、. 0下的態密.
(50) 圖 4-6: 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶分別在 0.2 ⁄ 、 0下的態密度分布對照圖。. 44 . 0、. 0和.
(51) 圖 4-7: 度圖。. 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在. 45 . 0、. 20 下的態密分布.
(52) 圖 4-8: 雙層 AA 堆疊鋸齒奈米石墨帶分別在 0、 0.2 ⁄ 、 20 (紅色線)下的態密度分布對照圖。. 46 . 0 (黑色線)和.
(53) 圖 4-9: 300 雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶在 密度分布圖。. 47 . 0.2 ⁄ 、. 20 下的態.
(54) 第五章 結論 鋸齒狀奈米石墨帶在低能量的電子性質顯示出相當豐富的一維能譜。邊緣形狀、有 限寬度、層與層之間交互作用、磁場束縛等都是主要影響因素。鋸齒狀奈米石墨帶低能 量的能帶圖會形成部分平坦能帶。部分平坦能帶的出現能展現鋸齒奈米石墨帶的電子強 烈地分布在其鋸齒邊緣。單層鋸齒狀奈米石墨帶的拋物線能帶以費米能 2 ⁄3處有左右對稱而部分平坦能帶在費米能. 下對稱且於. 0為軸呈上. 0處開始形成。. 以緊束模型理論計算能帶，單層以討論層內最鄰近兩顆碳原子之間交互作用。在雙 層除了同層最鄰近原子之間交互作用，還要參考層與層之間交互作用。層與層之間交互 作用在雙層奈米石墨帶扮演重要角色。它不僅讓第二群能帶形成於較高能階，也使得兩 群能帶不對稱的主要因素。 垂直電場對雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶的能帶主要影響有二個；一是讓兩群能 帶各自位移一個能量差，二是讓本來就不對稱的兩群能帶更不對稱。鋸齒狀奈米石墨帶 在垂直磁場影響下，靠近部分平坦能帶出現一些由準藍道能階及拋物線能帶混合而成的 混合能帶。準藍道能階的平坦區域隨著電子能量 E 提高，慢慢縮短進而消失。準藍道能 階的間距與磁場有一定特殊關係，當磁場強度增加，能階與能階之間的間距越寬。隨著 準藍道量子數越大，準藍道能階越是密集。準藍道能階的能量 ∝. 關係. | |，其中. 與磁場 B 有一定. 為準藍道能階的量子數。. 能帶分布結構主要特色直接影響 DOS 分布。單層鋸齒狀奈米石墨帶不管在無外場 下或者垂直磁場下，其能帶皆顯示出對稱，對應至態密度也呈對稱。態密度圖中的單邊 發散尖峰對應到能帶圖中拋物線能帶的 band edge state 處，而最高雙邊發散尖峰對應到 部分平坦能帶。於垂直磁場下，較高雙邊發散尖峰對應能帶準藍道能階，其高度隨能量. |E|提高而降低。 層與層之間作用讓雙層 AA 堆疊鋸齒狀奈米石墨帶的態密度分布以能量. 0為軸. 呈現不對稱現象。在垂直電場影響下態密度分布除了更不對稱、平均也較為高外，最主 要特徵在於形成兩條最高雙邊發散尖峰的能階位置與無外場下相較位移一個能量差。垂 直磁場下的態密度圖基本上可看成兩群單層的態密度有重疊而形成的分布圖，其特色與 單層大致相同。. 48 .
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