矽基板材料係數反算

本研究先採用 ANSYS 套裝軟體，建立矽基版面內振動自然頻率的正算 模型，配合 Matlab 軟體內建的程式庫進行材料係數反算，以不同的初始猜 測值進行測試，探討反算材料係數的收斂性與準確性。

5.1 材料係數反算流程

材料係數反算流程如圖 5.1 所示，程式開始必頇先輸入一組初始材料係 數，此組材料係數為一組猜測的解，將此組材料係數輸入 ANSYS 套裝軟體 中，進行模態分析，求得特定模態的自然頻率值，並建立一個實驗值與預 測值誤差平方和之目標函數，將材料係數反算轉換為尋求最小值問題。應 用 Nelder-Mead Method 產生一組新材料係數，進行迭代運算直至目標函數 收斂。

5.1.1 反算模型的建立

本研究反算的對象為單晶矽與多晶矽基板的材料係數，單晶矽基板材有 三個獨立的材料係數，分別為彈性係數

C

₁₁、

C

₁₂、

C

₄₄，多晶矽基板則有兩 個獨立材料係數，分別為楊氏係數

E

、普松比



。以單晶試片 1 及多晶試片 1 的試片尺寸，與面內共振頻率實驗結果進行材料係數反算，試片尺寸如圖 5.2、5.3 所示，數值分析求取邊界條件為 free-free 的自然頻率，單晶矽基板 的面內共振頻率選取 4、14、17、25、29 模態，多晶矽基板則選取面內振 動的 15、19、27、31 模態共振頻率，這些模態皆為 ESPI 實驗可以正確拍 攝的模態，將上述共振頻率計算值當作實驗值代入目標函數，進行迭代運 算，直至目標函數收斂。利用 ANSYS 套裝軟體求解試片的面內共振頻率與 輸出特定模態的計算值等步驟，需建立一文字指令檔，以便整體反算流程 的自動化。

29

1 ^N _Experimentⁱ _Predictⁱ

i

i Experiment

f f

deviation E

E

30

以不同偏移量的初始值進行材料係數反算，其結果列於表 5.3-1、5.3-2，

不同偏移量的起始點所收斂的材料係數差異性都很大，因此除了觀察目標 函數值之外，還必頇將反算得材料係數代回套裝軟體 ANSYS 進行求解，觀 察共振模態是否與實驗結果相符，判斷何者為最適當的解，最後採用

11

222.4

C 

GPa、

C

₁₂

 118.22

GPa、

C

₄₄

 65.55

GPa。圖 5.4 所示為反算 過程中每一步迭代與目標函數的關係圖，由圖可知目標函數值一開始即上 下振盪，隨著迭代次數增加而逐漸收斂，將反算所得 的材料係數代回 ANSYS 套裝軟體求解，觀察對應的面內共振模態，其結果如表 5.4-1、5.4-2

31

所列。由表可知，當驅動頻率為 70.72 kHz 所對應的面內共振模態之 ESPI 影像與數值分析的共振頻率及振形有比較明顯的差異，但模態的整體形貌 仍然相似。其他模態的等位移線圖與 ESPI 實驗結果有些微不同，但整體形 貌也是相似的。將原材料係數與最佳化程式反算所得等效材料係數，列表 於表 5.5，由表可知前三個模態共振頻率值誤差值下降，而後兩個模態誤差 直上升，但整體誤差平均值是有獲得改善的。

5.2.2 多晶矽基板材料係數反算結果

以不同初始值進行材料係數反算的結果如表 5.6-1、5.6-2 所列，由表可 看出儘管初始值的偏移量越大，反算結果依舊落在楊氏模數為 163 GPa、普 松比 0.27 左右，選擇楊氏模數為 162.9 GPa、普松比 0.274，其目標函數值 最小。將此組材料係數迭代次數與目標函數以圖形繪出，其結果如圖 5.5 所 示，由圖可知目標函數於迭代運算剛開始時呈現上下劇烈震盪，隨著迭代 次數增加逐漸收斂，若將收斂之材料係數代回 ANSYS 觀察共振模態是否改 變，其結果如表 5.7 所列，由表可知大部分的模態皆相同，但驅動頻率為 58 kHz 的 ESPI 量測之共振模態與數值分析結果完全不同，將原材料係數模 擬結果與最佳化程式反算結果比較如表 5.8 所列，由表可知驅動頻率為 58 kHz 之 ESPI 量測振形與數值分析之模態差異雖然提高了，但整體共振頻率 卻有良好的改善。

5.2.3 結果與討論

由最佳化程式反算材料係數，其結果整體誤差減少，但部分模態的誤差 卻因此變大，單晶矽基板材料係數之反算結果與理論值差異過大，不符合 常理，而多晶矽基板材料係數之反算結果雖與理論值相似，但部分共振模 態的振形卻完全改變，整體反算結果不盡理想。

32

本研究嘗試以等效矽基板厚度的方式，根據材料係數理論值進行試片厚 度反算，如圖 5.6、5.7 所示，將矽基板假設為厚度呈線性變化之分析模型，

代入反算程式，結果都發散無法有效收斂，表 5.9、5.10 所列為矽基板厚度 假設為線性變化，兩側的厚度差為 50μm 的分析結果。一般矽基板厚度約在 180μm~200μm 左右，模擬厚度差(50μm)大約為整體厚度的 1/4，是很大的 改變量，但觀察矽基板共振頻率的改變卻很小，若要使共振頻率大幅度改 變，厚度變化量想必需要更大，但此結果就不符合實際情況了。厚度差異 性主要影響共振模態的振形，對於共振頻率則較無影響。

估計造成反算結果不理想的原因可能為，反算模型的邊界條件設定與實 際狀況不同所造成，因此將邊界條件為 free-free 的試片面內共振頻率模擬 結果假設為虛擬實驗值，矽基板面內共振頻率的正算模型之邊界條件為四 點 Uz=0，探討邊界條件的設定對於反算結果的影響，其結果如表 5.11、5.12 所列，因虛擬實驗值與正算模型的邊界條件不同，導致反算結果失敗。本 研究所設計的面內共振模態實驗裝置，經實驗結果與數值分析比對，發現 面內位移無拘束且面外位移拘束不動之邊界條件最接近本實驗裝置，但並 非完全吻合，由先前的模擬可知，邊界條件的不同會影響正算結果，因此 本研究反算結果的不理想是由於正算模型與實際狀況不符所造成。

33

在文檔中 矽基板面內共振的電子光斑干涉術量測 (頁 42-47)