研究內容

3-1 前言

本計畫基於第二章所研討出之基本方程式，擬進一步分別研討出以下所述三種問題 之閉合解，包括：瞬時熱源與穩定熱源所引致等向性地層之溫度分佈、深層點熱源所引 致橫向等向性地層之熱彈性行為的解析、瞬時點熱源所引致半無限域地層之熱彈性行為 的解析，其解析過程與其解析結果分別詳述於第 3-2 節、第 3-3 節與第 3-4 節中。

根據第 3-2 節之研究結果得知：(1)在「穩定熱源」作用的考量下，隨著熱源作用時 間的增加，地層中各點之溫度會逐漸上升，最後形成一穩態平衡。(2)在「瞬時熱源」作 用的考量下，隨著熱源作用時間的增加，地層中各點之溫度會先上升然後逐漸下降，最 後上升之地層溫度會完全消失。

根據第 3-3 節之解析結果得知：(1)地層中所有的熱彈性行為均與觀察點至熱源的距 離有關，且與地層之線性熱膨脹係數成正比，但與地層之熱傳導係數成反比；另外，由 研究結果得知，地層之溫度變化及位移變化均與地層剪力模數無關。(2)地層之橫向等向 性特徵對地層之熱應力有明顯的影響，例如當線性熱膨脹係數比  

_{sr sz}

增加時，所引致 之熱應力會明顯上升；但線性熱傳導係數比  

_{tr tz}

增加時，所引致之熱應力會明顯下 降。(3)在等向性地層的考慮下，徑向正向熱應力 

_rr

與垂直正向熱應力 

_zz

之比值介於 0.5~2.0，而環向正向熱應力 

_

與垂直正向熱應力 

_zz

之比值則介於 0.5~1.0。

根據第 3-4 節之研討結果得知：(1)引用熱彈性力學與多孔介質彈力理論之類比關 係，瞬時熱源所引致之地層熱彈性行為可轉換為瞬時抽水問題的解。(2)瞬時熱源作用於 地層時，地層之各項熱彈性反應會在一瞬間達到極大值，然後再逐漸消散，因將地層模 擬為彈性介質，故各種地層之熱彈性行為變化最後都會完全消失。(3)地表因瞬時熱源作 用所引致之最大水平位移約為最大垂直位移的 38.5%，顯然瞬時熱源作用時，所引起的 地表水平位移是不宜忽略的。

本文所研討出之閉合解，可應用於檢驗數值模擬之分析程序是否正確無誤，亦可作

為探討其他熱源類型所引致相關問題之研究基礎。

3-2 瞬時熱源與穩定熱源所引致等向性地層之溫度分佈

摘 要

本文旨在探討等向性之半無限域地層因瞬時熱源與穩定熱源所引致的地層溫度增 量的分佈，所建立之數學模式，係考慮半無限域地層之熱流性質為等向性，並考慮地表 邊界為恆溫情況。本文是引用 Laplace 與 Hankel 積分轉換方法解析所建立之數學模式，

所研討出之理論解為與時間有關之暫態閉合解。

關鍵詞：瞬時熱源，穩定熱源，半無限域，閉合解

Abstract

The study of this paper is focus on the distributions of temperature increments of the stratum due to instantaneous and steady heat sources in the isotropic stratum of a half space.

In the mathematical model, the thermal properties of the stratum are regarded as isotropic.

Besides, the half space ground surface is considered as isothermal. Using Laplace and Hankel integral transform techniques on the formulated mathematical model. Theoretical transient closed-form solutions are obtained in this study.

Keywords: Instantaneous heat source, Steady heat source, Half space, Closed-form solution

ㄧ、前言

引起地層溫度發生變化的因素有很多，例如氣候變化、冰凍工法、溫泉開發及垃圾 掩埋場的悶燒現象等均會造成地層溫度的改變，尤其台灣位於歐亞大陸板塊和菲律賓板 塊交界處，火山地形與斷層多，地層中之熱量潛能也較高，且岩層中有岩漿在流動等，

進行深層開挖時，均會導致地層溫度的改變，而影響地層的力學行為等。近年來，核廢 料掩埋問題亦廣受重視，由於核廢料為放射性物質，如埋置不當，將對生態環境造成傷 害。目前的處理方式之一是擬將核廢料埋置於深層岩層中，為了避免高溫之核廢料破壞 岩層之穩定性，導致生物圈之破壞，因此，探討熱源作用於地層所引致之地層力學行為 變化，至為重要。

本文旨在探討等向性（isotropic）地層受「瞬時熱源」與「穩定熱源」影響時之溫 度分佈場，所引用之理論為熱彈性力學理論。 Booker 等人[1-4]曾探討地層之熱壓密問題 的解析解，開始對點熱源、球體熱源、分層地層受衰減熱源影響、以及異向性滲流情況 之熱壓密問題等加以探討。Giraud 與 Rousset[5]曾探討球狀熱源對多孔彈性介質之影 響，Claesson 和 Probert[6]等學者則解析矩形熱源對半無限域多孔介質地層之影響，Lu 與 Lin[7，8]、Lu[9]、Lin 與 Lu[10]均曾研討過掩埋熱源對地層位移與溫度變化等的影響。

相關之研究，不勝枚舉。本文擬將地層模擬為一半無限域，並引用熱彈性力學理論，將 地層的熱流與力學等性質模擬為等向性，理論模式中會引用力平衡、能量守恆與 Fourier 熱傳導定律等。

若熱源的形狀大小相對於其影響範圍較小，則可將熱源形狀模擬為一個點，本文即

採用點熱源模擬熱作用源。本文所考慮之熱作用源的類型包括兩類，一類是熱源之作用

強度持續不變，稱為「穩定熱源」；另一類是熱源的熱量僅在極短時間釋放出來，此類

熱源稱為「瞬時熱源」。本文擬分別探討這兩類熱源所引致的地層溫度分佈的閉合解

（Closed-form Solution） 。解析數學模式時，會採用 Hankel 和 Laplace 積分轉換方法，分 別對空間變數 r 與時間變數 t 作積分轉換，推導出地層受點熱源影響時之溫度分佈場的 閉合解。點熱源作用問題之解尚有其他應用，例如可將點熱源作用問題的解作熱源形狀 之線積分、面積分或體積分等，推導出其他形狀熱源作用問題的解；另外，許多數值模 擬程序是否正確無誤，亦可引用本文所研討出之閉合解進行檢驗。為了解不同型態熱源 對地層溫度分佈的影響，本文將針對所研討出之閉合解進行參數影響分析，繪製各樣的 圖形並加以比較，用以說明等向性地層受點熱源影響時之溫度分佈場的變化。

二、數學模式

如圖 1 所示，若採用圓柱座標系統 

^{r, ,}

^

^z

 ^{，並讓座標} z 軸通過點熱源，則本文所建 立之軸對稱非耦合熱彈性力學數學模式中的基本方程式，如以下所示[7]：

2

2

0

1 2

r r

u

G u G G

r r r

  



 

    

   ， (1a)

2

0

z

1 2

G u G

z z

  



 

   

   ， (1b)

 

2

, , 0

t

c q r z t



t

    ^   

 ， (1c) 其中

G

、 與 

_t

分別為地層之剪力模數（Shear Modulus）、柏松比（Poisson’s Ratio）與 熱傳導係數（Thermal Conductivity） ；參數 c

_

  c ，  與

c

分別為地層之質量密度（Mass Density）與比熱（Specific Heat）；參數 





²G³

  

s

，  與 

_s

分別為地層之 Lame 常 數與線性熱膨脹係數（ Linear Thermal Expansion Coefficient）；地層之體積應變量

z u r u r

u_r   _r  _z 







，式中 u 與

_r

u 則是地層在水平方向與垂直方向之位移變化

_z

量；符號  是地層溫度增量；微分運算子 

²

 

²

 r

²

 1 r   r  

²

 z

²

；

^{q r z t}



^{, ,}

 ^則與

熱源變率有關，本文擬分別探討「穩定熱源」及「瞬時熱源」所引致的地層溫度分佈，

並考慮點熱源之掩埋深度為

h

。

若考慮「穩定熱源」 ，則

^{q r z t}



^{, ,}

 ^可表為：

 ^{, ,}       

2 Q

c

q r z t r z h u t r  

   ， (2a) 若考慮「瞬時熱源」 ，則

^{q r z t}



^{, ,}

 ^可表為：

 ^{, ,} 

⁰

     

2

q r z t Q r z h t

r   

   ， (2b)

其 中 Q 表單位時間內所釋出的熱量；

_c

Q 則表極短時間內所釋出的熱量；

₀

 ( ) x 為

Dirac-delta 函數； u t 係單位階梯函數（Unit Step Function）。 ( )

圖 1 半無限域中之單點熱源示意圖

本文所考慮之初始條件（Initial Condition）為：一開始的時候（ t  ），所有的位 0

^

移變量暨地層溫度增量均為零。亦即：

     

   

lim

0 _r

, , ,

_z

, , , , , 0,0,0

t _

u r z t u r z t  r z t



 。 (3) 所需考慮之邊界條件包括

z0

之地表邊界條件及

z 

之無限深遠處的邊界條 件。本文是考慮地表邊界無熱應力 

_ij

之變化且為恆溫情況，而無限深遠處之地層位移與 地層溫度增量則考慮為不受單點熱源的影響。基於此，地表邊界條件可表為：

 

2



^,0,

 

^,0,



²



¹

 

^,0,



,0, 0

1 2 1 2

r r z

zz

u r t u r t G u r t

r t G

r r z

 

  

   

        

， (4a)



_{, 0,}



r



^,0,



z



^{, 0,}



₀

rz

u r t u r t r t G

z r



 ^^  ^  ^

， (4b)



^{r, 0,t}



⁰





。 (4c) 而無限深遠處之邊界條件則可表為：

     

   

lim _r , , , _z , , , , , 0,0,0

z u r z t u r z t



r z t

 

。 (5)

式(1)~(5)組成問題之數學模式。本文將專注於單點熱源所引致的地層溫度增量分佈

之解析，係引用 Hankel 與 Laplace 積分轉換方法解析出地層的溫度增量分佈。

三、地層溫度增量之解析

因所研討的主要對象為地層之溫度增量分佈，故所需探討的主要基本方程式為式 (1c)。茲引用 Hankel 積分轉換對式(1c)中之空間座標變數 r 作零階之積分轉換，再對其 中之時間變數 t 作 Laplace 積分轉換，並引用式(3)與溫度增量有關之初始條件，則式(1c) 可改寫為：

     

2 2

2

; , ; , ; , 0

t

d z s c s z s q z s

dz

^

 ^     ^        

     ， (6) 若考慮「穩定熱源」 ，則

^{q z}



^{; ,}

^

^s

 ^可表為：

 ^{; ,}   

2 Q

c

q z s z h

 s 

  

 ， (7a)

若考慮「瞬時熱源」 ，則

^{q z}



^{; ,}

^

^s

 ^可表為：

 ^{; ,} 

⁰

 

2

q z  s Q  z h

  

 ， (7b)

其中  與

s

分別為 Hankel 積分轉換參數與 Laplace 積分轉換參數；符號 ^{ }  ^{z ; ,  s}  ^與



^{; ,}



q z



s

分別定義如下：



z; ,s



0 rL

 

r z t J, ,

 

0

 

r dr



^







^

  ， (8a)



; ,



0

 

, ,

 

0

 

q z^



s 



^rL q r z t J



r dr

， (8b) 式中

J0

  

r

表零階之第一種類型的 Bessel 函數； ^L  ^  ^{r z t , ,}   ^與 L q r z t 表地層溫度   ^{, ,}  

增量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{與熱源變率}

^{q r z t}



^{, ,}

 ^之 Laplace 積分轉換，亦即：

 



^{, ,}



₀



^{, ,}

  

L



r z t 



^



r z t exp st dt

， (9a)

 



^{, ,}



₀



^{, ,}

  

L q r z t 



^q r z t exp st dt

。 (9b) 若考慮「穩定熱源」 ，則式(6)之通解（General Solution）為：

 

1 ² 2 ²

1 1

; , 2 s s 2 s s

z s G C exp z G C exp z

c c c c

     

 

   

                



2

2

1 1 4

c t

Q s

exp z h

s s c

c

  

 

          

， (10a)

若考慮「瞬時熱源」 ，則式(6)之通解為：

 

1 ² 2 ²

1 1

; , 2 s s 2 s s

z s G C exp z G C exp z

c c c c

     

 

   

            

   



0 2

2

1 4

_t

Q s

exp z h

s c c

  

 

          

， (10b)

其中 c  

_t

c

_

；式(10a)-(10b)中之符號 C 與

₁

C 係與參數

₂

 和

s

有關，其解析需藉由積分 轉換域之邊界條件方可求出。式 (4c)與式(5)中與地層溫度增量  有關之邊界條件作 Laplace 與 Hankel 積分轉換後可得：

 ^{0; , s}  ⁰

    ， (11a)

 ^{; , s}  ⁰

     。 (11b) 引用式(11a)與(11b)即可解析出式(10a)與(10b)中之符號 C 與

₁

C 。經仔細研討與計算後，

₂

並引用適當之數學使用手冊[11]，滿足積分轉換域邊界條件之地層溫度增量如以下所示。

若考慮「穩定熱源」 ，則積分轉換域 

^{z; ,}

^

^s

 ^{之地層溫度增量為：}

 

^{2 2}

 

2

1 1

; , 4

c t

Q s s

z s exp z h exp z h

s s c c

c

   

 

     

                          

 ， (12a)

若考慮「瞬時熱源」 ，則積分轉換域 

^{z; ,}

^

^s

 ^{之地層溫度增量為：}

 

^{0 2 2}

 

2

; , 1

4

_t

Q s s

z s exp z h exp z h

c c

s c

   

 

     

                          

 。 (12b)

式(12a)-(12b)表單點熱源所引致積分轉換域 

^{z; ,}

^

^s

 ^{的地層溫度增量分佈，  }  ^{z ; ,  s}  ^尚需

進行 Laplace 積分反轉換與 Hankel 積分反轉換，方能推導出實數域 

^{r z t, ,}

 ^{之地層溫度增}

量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{。  }  ^{z ; ,  s}  ^之 Laplace 與 Hankel 積分反轉換的定義為：

 

0

   

0

, , 1 ; ,

2

i st

r z t

i

z s J r e d ds i







   



  

  

 

^ 。 (13)

式(12a)與式(12b)引用式(13)所示之 Laplace 與 Hankel 積分反轉換，即可研討出問題之 解。經審慎研討後，獲得以下所示之閉合解。

若考慮「穩定熱源」 ，則實數域的地層溫度增量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{之閉合解為：}

 

 

 

²

2

2 2

, , 1

4 2

c t

r z h

r z t Q erfc

r z h ct

 

    

  

         

 

 

²

2

2 2

1

2 r z h erfc ct r z h

     

 

       

， (14a)

若考慮「瞬時熱源」 ，則實數域的地層溫度增量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{之閉合解為：}

 

₀ ²

 

^{2 2}

 

²

3

, , 1

8

_t

4 4

r z h r z h

r z t Q exp exp

ct ct

 ct

 

         

 

         

   

     

 

， (14b)

其中

^{erfc x}

  為補誤差函數（Complementary Error Function） 。在t   之長期地層溫度增 量的考慮下，式(14a)與式(14b)可進一步加以改寫，如以下所示。

若考慮「穩定熱源」 ，則 t   之長期地層溫度增量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{的閉合解為：}

 

 

²

 

²

2 2

1 1

, , 4

c t

r z Q

r z h r z h

 

 

 

  

     

 

， (15a)

若考慮「瞬時熱源」 ，則 t   之長期地層溫度增量 ^ 

^{r z t, ,}

 ^{的閉合解為：}



^{r z, ,}



⁰



 

。 (15b) 式(15a)的工程意義是，在「穩定熱源」的作用下，長期而言地層會形成一穩定的溫度增 量分佈。而式(15b)的工程意義是，「瞬時熱源」所引致的地層溫度增量會逐漸消失，當 t   時，地層的溫度增量已完全消失。以上本文所研討出之閉合解，可應用於檢驗數 值模擬之分析程序是否正確無誤，亦可作為探討其他熱源類型所引致相關問題的研究基 礎。

四、數值結果

為瞭解所研討出之單點熱源所引致的地層溫度增量，圖 2 是根據式(14a)所繪製之單 點「穩定熱源」所引致的無因次化地層溫度增量分佈。圖 2 分別考慮無因次化時間因子 ct h

2

 1、2、3、時之地層溫度增量分佈，由圖 2 得知，在熱源持續作用的考量下，

隨著熱源作用延時的增加，地層中各點之溫度會逐漸上升，最後形成一穩態平衡，如圖

2(d)所示。

(a) (b)

(c) (d)

圖 2 單點「穩定熱源」所引致之無因次化地層溫度增量  

r z t^{, ,}

 

Qc ⁴



th



圖 3 則是根據式(14b)所繪製之單點「瞬時熱源」所引致的無因次化地層溫度增量分

佈，分別考慮無因次化時間因子 ct h

²

 0.4、0.6、0.8、1.0 時之地層溫度增量分佈。由

圖 3 得知，在「瞬時熱源」的考量下，隨著時間的增加，地層中各點之溫度會先上升然

後逐漸下降，最後地層溫度增量會完全消失。

(a) (b)

(c) (d)

圖 3 單點「瞬時熱源」所引致之無因次化地層溫度增量   r z t , ,    cQ

0

8  

^1.5 _t

h

³

 

五、結論

本文係將地層模擬為均質等向性的半無限域地層，分別考慮「穩定熱源」及「瞬時

熱源」這兩種熱作用源所引起的地層溫度增量分佈，是以 Laplace 與 Hankel 積分轉換方

法推導出問題的閉合解。根據本文之研究得知以下結論：

1. 在「穩定熱源」作用的考量下，隨著熱源作用時間的增加，地層中各點之溫度會逐漸 上升，最後形成一穩態平衡。

2. 在「瞬時熱源」作用的考量下，隨著熱源作用時間的增加，地層中各點之溫度會先上 升然後逐漸下降，最後上升之地層溫度會完全消失。

3. 本文所研討出之閉合解，可應用於檢驗數值模擬之分析程序是否正確無誤，亦可作為 探討其他熱源類型所引致相關問題之研究基礎。

六、誌謝

本 文 在 國 科 會 計 畫 NSC-98-2815-C-216-007-E 暨 中 華 大 學 計 畫 CHU-98-2815-C-216-007-E 之經費援助下，始得以順利完成，特此申謝。

七、參考文獻

1. Booker, J.R. and Savvidou, C., “Consolidation Around a Spherical Heat Source,” Int. J.

Solids Structures, Vol. 20, pp. 1079-1090, 1984.

2. Booker, J.R. and Savvidou, C., “Consolidation Around a Point Heat Source,” Int. J.

Numer. Anal. Methods Geomech., Vol. 9, pp. 173-184, 1985.

3. Small, J.C. and Booker, J.R., “The Behaviour of Layered Soil or Rock Containing a Decaying Heat Source,” Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., Vol. 10, pp. 501-519, 1986.

4. Savvidou, C. and Booker, J.R., “Consolidation Around a Heat Source Buried Deep in a Porous Thermoelastic Medium with Anisotropic Flow Properties,” Int. J. Numer. Anal.

Methods Geomech., Vol. 13, pp. 75-90, 1989.

5. Giraud, A. and Rousset, G., “Consolidation Around a Volumic Spherical Decaying Heat Source,” J. Thermal Stresses, Vol. 18, pp. 513-536, 1995.

6. Claesson, J. and Probert, T., “Thermoelastic Stress Due to a Rectangular Heat Source in a Semi-infinite Medium. Presentation of an Analytical Solution,” Engineering Geology, Vol.

49, pp. 223-229, 1998.

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在文檔中 行政院國家科學委員會補助 大專學生參與專題研究計畫研究成果報告 (頁 34-60)