行政院國家科學委員會補助
大專學生參與專題研究計畫研究成果報告
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計 畫 ：
名 稱
熱壓密問題之數學模式的建立與解析
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執行計畫學生： 梁惠娟
學生計畫編號： NSC 98-2815-C-216-007-E
研 究 期 間 ： 98 年 07 月 01 日至 99 年 02 月 28 日止，計 8 個月 指 導 教 授 ： 呂志宗
處理方式： 本計畫可公開查詢
執 行 單 位： 中華大學土木與工程資訊學系
中華民國 99 年 03 月 31 日
行政院國家科學委員會補助
大專學生參與專題研究計畫研究成果報告
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計畫＊
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：熱壓密問題之數學模式的建立與解析
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名稱＊
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執行計畫學生：梁 惠 娟
學生計畫編號：NSC 98-2815-C-216-007-E
研 究 期 間 ：98 年 7 月 1 日至 99 年 2 月底止，計 8 個月 指 導 教 授 ：呂 志 宗
執 行 單 位：中華大學土木與工程資訊學系 中華民國 九十九 年 三 月 三十一 日
摘 要
本計畫之研究重點有三個，包括：(1)多孔介質三維熱壓密理論的研討與整 理，(2)點熱源所引致熱壓密問題之數學模式的建立，(3)以積分轉換方法配合數 值分析技巧解析出熱壓密問題的解析解。本計畫已蒐集、分析並整理出以 Biot 多孔介質彈力理論為基礎之三維熱壓密理論的各種不同類型，然後引用合適之自 然律與時空條件，建立符合點熱源作用情況下之數學模式，其中地層可分別模擬 為均質之等向性或橫向等向性的線彈性飽和多孔介質，孔隙水的流動需遵守 Darcy 定律與質量守恆定律，熱量的流動需遵守 Fourier 熱傳導定律與能量守恆 定律，固體介質之變形則需服從牛頓第二運動定律與虎克定律等。本研究係以積 分轉換等方法，研討出點熱源所引致的地層位移、有效應力、溫度變化量與超額 孔隙水壓變化量等，研究成果應有助於工程上之相關應用。根據本研究之探討得 知以下重要研究成果。
由 3-2 單元之研究結果得知：(1)在「穩定熱源」作用的考量下，隨著熱源作 用時間的增加，地層中各點之溫度會逐漸上升，最後形成一穩態平衡。 (2)在「瞬 時熱源」作用的考量下，隨著熱源作用時間的增加，地層中各點之溫度會先上升 然後逐漸下降，最後上升之地層溫度會完全消失。
由 3-3 單元之解析結果得知：(1)地層中所有的熱彈性行為均與觀察點至熱源 的距離有關，且與地層之線性熱膨脹係數成正比，但與地層之熱傳導係數成反 比；另外，由研究結果得知，地層之溫度變化及位移變化均與地層剪力模數無關。
(2)地層之橫向等向性特徵對地層之熱應力有明顯的影響，例如當線性熱膨脹係 數比
sr sz增加時，所引致之熱應力會明顯上升；但線性熱傳導係數比
tr tz增 加時，所引致之熱應力會明顯下降。(3)在等向性地層的考慮下，徑向正向熱應 力
rr與垂直正向熱應力
zz之比值介於 0.5~2.0，而環向正向熱應力
與垂直正 向熱應力
zz之比值則介於 0.5~1.0。
由 3-4 單元之研討結果得知：(1)引用熱彈性力學與多孔介質彈力理論之類比 關係，瞬時熱源所引致之地層熱彈性行為可轉換為瞬時抽水問題的解。(2)瞬時 熱源作用於地層時，地層之各項熱彈性反應會在一瞬間達到極大值，然後再逐漸 消散，因將地層模擬為彈性介質，故各種地層之熱彈性行為變化最後都會完全消 失。 (3)地表因瞬時熱源作用所引致之最大水平位移約為最大垂直位移的 38.5%，
顯然瞬時熱源作用時，所引起的地表水平位移是不宜忽略的。
關鍵詞：點熱源，熱壓密，解析解，積分轉換法，多孔介質，半無限域
目 錄
摘 要 ……… I 目 錄 ……… II
第一章 緒 論 ……… 1
1-1 研究主旨 ……… 1
1-2 有關研究之回顧 ……… 1
1-3 本計畫報告內容與組織 ……… 2
第二章 熱壓密理論 ……… 4
2-1 能量平衡原理 ……… 4
2-2 多孔介質熱彈性力學之組成律 ……… 9
2-3 熱傳導方程式 ……… 17
2-4 連續方程式 ……… 19
2-5 力平衡方程式 ……… 20
2-6 熱壓密模式的整理 ……… 21
2-7 所引用的土壤參數之量測方法 ……… 22
2-8 參考文獻 ……… 23
2-9 符號說明 ……… 27
第三章 研究內容 ……… 30
3-1 前言 ……… 30
3-2 瞬時熱源與穩定熱源所引致等向性地層之溫度分佈 ……… 31
3-3 深層點熱源所引致橫向等向性地層之熱彈性行為的解析 ………… 42
3-4 瞬時點熱源所引致半無限域地層之熱彈性行為的解析 ……… 50
第一章 緒 論
1-1 研究主旨
熱對地層力學行為影響之研究係土木工程中之重要研究主題。熱發生之原因 甚多，例如：地球內部釋放出之高溫地熱所引致，氣候變化引起地層溫度改變，
冰凍施工方法使土層溫度發生變化，垃圾掩埋場因廢棄物分解產生熱能等。近 來，有關核廢料埋置於深層地層時，輻射熱對地層穩定性之研討，亦廣受重視。
由於埋置地層會因核廢料之輻射熱所產生之高溫而影響其穩定性，為確保存放地 點安全可靠，有必要對熱源所引致之地層力學行為詳加研討。
土壤的壓密理論發展甚早，早期之研究多偏重於探討地表荷重所引致之壓 密。在陸續的研究中，有關抽取地下水所引致之地盤壓密沉陷亦曾被廣泛研討。
近來，熱在地層中擴散傳播所引致之地層力學行為變化則受到重視。當地層受熱 影響時，由於孔隙水因溫度身高所引致之體積膨脹量較固體土粒為大，因此，熱 源作用之初期階段，將導致孔隙水壓力升高，升高之孔隙水壓力則因孔隙水滲透 而逐漸消散，致使土層發生壓密現象，稱之為熱壓密（thermo-consolidation）。
熱壓密理論與多孔介質（porous medium）有關，在與擴散傳播等現象有關之 問題上均有應用，於是多孔介質彈性力學理論（poroelasticity）逐漸發展，而受 重視。基於此，本文旨在研討熱與孔隙流體在多孔介質中擴散傳播之機制，建立 多孔介質熱彈性力學理論，據以探討熱影響之三維壓密問題。
基於所研討出之熱壓密理論，本研究分別探討深層暨淺層熱源影響之壓密問 題。數學模式中，模擬地層為均質且等向性之飽和線彈性多孔介質，分別建立耦 合、部分耦合與非耦合等三維熱壓密之數學模式，並加以研討、比較。以積分變 換 方 法 （ integral transform ） 解 析 數 學 模 式 ， 推 導 出 與 時 間 有 關 之 閉 合 解
（closed-form solution） ，並圖示其與土壤參數間之關係，使有助於了解熱壓密問 題。
有關地表邊界影響之熱壓密亦將加以研究。數學模擬中，係將地表模擬為一 平面，延伸至無限遠處。以地表面下之一穩定熱點源模擬為熱作用源，利用積分 變換方法解析數學模式，推導出與時間有關之熱壓密閉合解。以上之研究，可做 為進一步研討熱壓密問題之基礎。
1-2 有關研究之回顧
Terzaghi[1]首先提出簡化之單向度壓密理論，用以解析大地工程中，受地表
荷重影響之土壤壓密問題後，相關之研究，不勝枚舉。Biot[2]則建立三維之耦合
壓密模式，並推展至異向性介質[3]。一般公認，Biot[2,3]壓密模式較嚴謹合理，
而 廣 受 重 視 。 為 使 Biot 壓密理論中所定義之力學常數易於以試驗獲得，
Corapcioglu 與 Bear[4]、Verruijt[5]、Rice 與 Cleary[6]等曾定義新的工程常數，將 Biot 壓密模式重新改寫，以利於應用。Biot[2,3]、Rice 與 Cleary[6]所建立之壓密 模式係考慮孔隙水與固體介質均可壓縮；另一由 Verruijt[5]、Corapcioglu 與 Bear[4]
所建立之壓密模式，僅考慮孔隙水可壓縮，而固體介質則模擬為不可壓縮，以上 壓密模式均為研討熱效應的影響。
在陸續的研究中，基於 Biot[2,3]壓密理論，Schiffman[7]建立三維熱彈性壓 密模式；Bear 與 Corapcioglu[8]曾研討於含水層（aquifer）中，抽取（或補注）
高溫或低溫地下水時，含水層之熱彈性壓密數學模式，但並未加以解析。 Aboustit 等人[9]、Geraminegad 和 Saxena[10]等對平面應變下，熱彈性壓密之有限元素法 解析做過研究。基於 Rice 與 Cleary[6]所建立之 Biot 壓密模式，McTigue[11]曾探 討飽和多孔介質中，熱影響之壓密模式並加以解析。Booker 與 Savvidou[12-14]
模擬地層為均質等向性或異向性之線彈性多孔介質，研討單點熱源[12]與熱球體 熱源[13]引致之壓密，並探討異向性滲流情況下之熱壓密[14]。Booker 等人[12-14]
所建立之熱壓密模式，係考慮熱傳導僅與土壤溫度變化有關。
溫度變化對地層力學行為變化的影響，係土木工程等相關領域中之重要研究 主題[15]，長久以來即廣受各界關注。有關地層溫度發生變化的原因甚多，例如 補注高溫或低溫之地下水[16]、氣候變化[17]或冰凍工法[18]等會使地層溫度發生 改變，而地球內部所釋放出之高溫地熱[19]、垃圾掩埋場因廢棄物分解致產生熱 能[20]等，亦為重要影響因素。近來，有關核廢料桶埋設於深層地層時，輻射熱 對地層穩定性影響之探討，亦廣受重視[21,22]，若埋設地層不穩定或掩埋場址設 計不當，便極可能因核廢料桶所釋放出之高溫而影響地層穩定性。為確保存放地 點安全可靠，避免輻射物質污染地下水層或生物圈，故有必要對熱作用源所引致 之地層力學行為變化詳加研討。
Lu 與 Lin[23-25]曾探討地表邊界對單點熱源所引致之暫態熱壓密現象的影 響； Lu[26]亦曾探討深層點熱源對橫向等向性地層之熱壓密的影響。Ma 和 Hueckel[22]對於埋置在粘土地層中之高溫核廢料所引起的土層應力及孔隙水壓 力變化等，亦曾作過數值模擬研究。 Edgar、Nelson 和 McWhorter[27]基於 Terzaghi[1]壓密模式，曾探討不飽和土壤的熱壓密問題。Britto 等人[28]曾以試驗 及有限元素之數值模擬方法解析圓柱形狀熱源引致之壓密；Seneviratne、Carter 與 Booker 等人[29]亦曾引用有限元素法解析圓柱形狀熱源引致之壓密。這一類 問題的研討與解析，直到如今仍廣受各界的重視[30-41]。
1-3 本計畫報告內容與組織
本計畫報告共分三章，簡要說明如下：
第一章為緒論，簡述熱壓密問題之背景與研究動機，說明因熱所引致的地層 壓密問題之相關研究。
第二章為三維熱壓密理論之研討，基於三維壓密理論與熱彈性力學理論，研
討熱與孔隙流體在多孔介質中之擴散傳輸模式，建立耦合、部分耦合與非耦合之 三維熱壓密理論。
第三章係研討深層暨淺層熱源引致之壓密問題。研討出熱源影響之土壤位 移、熱應力與溫度變化等之解析解，並研討各項土壤參數對不同熱壓密模式的影 響。有關地表邊界受熱源影響之壓密問題亦加研討。基於非耦合三維壓密理論，
模擬土壤為一半無限域，以積分變換方法解析數學模式，推導出受單點瞬時熱源
影響時，地表面之位移解析解。以上研討結果可作為進一步探討熱壓密問題之基
礎。
第二章 熱壓密理論
2-1 能量平衡原理
熱壓密理論與熱及孔隙流體在多孔介質中之擴散傳輸有關。本章基於 Nowacki[42]所建立之熱彈力學理論與 Biot[2,3]所建立之耦合三維壓密理論，研 討多孔介質熱彈性力學模式，以作為研究熱壓密問題之基礎。
茲考慮以下之基本假設：
1. 微小應變理論適用。
2. 介質之溫度變化量 滿足
T0 1之條件，其中 ，T 與 T T
0T 分別表介
0質受熱後之溫度與其初始溫度。
3. 所分析之代表性多孔介質元素中之固體介質與孔隙流體的溫度相同。
4. 忽略因溫度升高使孔隙流體上浮所引致之自然熱對流（natural convection）現 象。
基於此，則多孔介質中之應變位移的線性關係式可表為：
, ,
1
ij
2 u
i ju
j i ，
(2.1a)
, ,
1
ij
2 v
i jv
j i ，
(2.1b)
式中 u 與
iv 分別表固體介質與孔隙流體之位移；
i
ij與 分別為固體介質與孔隙
ij流體之應變，此應變須分別滿足應變相容條件，即：
,
0
, ,
,kl
klil
ik jl
ilik
ij
，
(2.2a)
, , , ,
0
ij kl kl ij ik jl jl ik
。
(2.2b)
由熱力學第一定律知，熱量的擴散傳輸需遵循能量平衡原理，亦即：
L Q U K ，
(2.3)
式中 L 表外力作用於多孔介質所引致之功率（power） ；Q 表單位時間內多孔介質
所增加之熱量；U 與 K 分別表儲存於介質中之內能與動能的增率。
作用於飽和多孔介質上之外力包括徹體力與表面應力，因此，外力作用所引 致之功率 L 可表為:
1
s s f f
i i i i i i i i
A V A V
L T u dA n x u dV T v dA nx v dV ，
(2.4)
式中
n為介質之孔隙率（porosity）； x 與
isx 分別為固體介質與孔隙流體之徹體
if力； T 與
isT 分別表作用於固體介質與孔隙流體之表面應力，且
if Tis
1 n T
i，
f
i i
T nT ， T 係作用於多孔介質之總表面應力。基於此，將式(2.4)改寫為：
i 1
i i 1
is i i i if iA V A V
L n T u dA n x u dV nT v dA nx v dV 。
(2.5)
茲引用 Cauchy 公式，將作用於邊界上之應力表為：
s
i ij j
T
n， T
if n
i，
(2.6)
其中 n 係多孔介質在邊界上之單位法線向量（unit normal vector，向外為正）。由
i牛頓第二運動定律知，作用於固體介質面積上之應力
ij與作用孔隙流體面積上 之應力 均須滿足力平衡方程式，亦即：
,
1
s1
iij j i s
n x n du
dt
，
(2.7a)
,
f i
i i f
nx n Dv
Dt
，
(2.7b)
式中
i i
i
D u v
Dt t x
；
ii
d u
dt t x
；
s與
f分別為固體介質與孔隙流體 之密度； x 與
isx 分別為固體介質與孔隙流體之徹體力（body force）
if。由 Terzaghi[1]
的有效應力觀念知：
ij ij ij
，
(2.8)
其中
ij表作用於多孔介質上之總應力，且
， np
(2.9)
式中 p （壓力為正）表超額孔隙流體壓力（excess pore fluid pressure），係流體之 錶測壓力（gauge pressure）變化量。
其次引用 Gauss 定理與力平衡關係式(2.7)，將式(2.4)中之面積分項改寫為體 積分，則外力作用於多孔介質所引致之功率 L 可表為：
1
s i i ij i j, f i i i i,V V
du Dv
L n u u dV n v v dV
dt Dt
。
(2.10)
茲考慮多孔介質內部熱量增加之原因包括:
1. 熱量由高溫區流向低溫區時，藉由熱傳導作用所引致之介質內部的熱量增加。
2. 藉由孔隙流體流動，將熱量輸入介質內部之強制熱對流（forced convection）
作用。
3. 介質內部之熱源所產生之熱量。
基於此，考慮固體介質與孔隙流體間之相對位移，則多孔介質內部之熱量增 率 Q 可表為:
i i f vf i i i
A A V
Q q n dA n c v u n dA WdV ，
(2.11)
式中 q 為熱量流率（heat flux）
i； c 表孔隙流體在固定應變下所測得之比熱；
vf W係 單位時間單位多孔介質體積內所產生之熱量。
由質量平衡（mass balance）定理知：
,f i i i
d n v u
dt ，
(2.12) 其中 表多孔介質之密度，
1 n
sn
f， u
i i,， d dt t u
ix
i。 若流體之密度無顯著變化，則流體之密度
f可考慮為常數。一般固體介質之壓 縮性甚小，因此 u
i i, 0 。基於此，式(2.12)可改寫為：
0
n v u
。
(2.13)
以此為基礎，並引用 Gauss 定理與式(2.13)，將式(2.11)中之面積分項改寫為體積 分，則多孔介質內部之熱量增率為：
, ,
i i f vf i i i
V
Q q n c v u W dV 。
(2.14)
式
2.3中之
U係表儲存於多孔介質中之內能，令自由能（free energy） U 表
*在單位多孔介質體積內所儲存之內能，則：
*
V
U U dV 。
(2.15)
有關介質內部動能之增率 K 可表為：
1
s i i f i iV
du Dv
K n u n v dV
dt Dt
。
(2.16)
茲將式(2.10)、式(2.14)、式(2.15)與式(2.16)代入式(2.3)中，並作適當之化簡，
則可得能量平衡方程式如下所式：
*
, , , ,
0
ij i j i i i i f vf i i i
V
U u v q n c v u W dV
。
(2.17)
由式(2.17)得知，單位多孔介質體積中之內能增率為：
*
, , , ,
ij i j i i i i f vf i i i
U
u
v q n c
v u W。
(2.18)
由微小應變理論知：
, , , , ,
1 1
2 2
i j i j j i i j j i ij ij
u u u u u ，
(2.19)
其中
ij表固體介質之旋轉張量（rotation tensor）。茲因作用於固體介質上之應力
ij具對稱性，
ij則具反對稱性（skew-symmetric） ，即
ij ，因此
ji
ij
ij 0 。
所以，式(2.18)可改寫為：
*
, ,
ij ij i i f vf i i i
U
q n c
v u W，
(2.20)
其中
i i,。
熱在多孔介質中之傳輸亦應遵循熱力學第二定律。由熵平衡（ entropy balance）定理知：
*
, ,
i i f vf i i i
TS q n c
v u W，
(2.21)
其中 S 表單位多孔介質體積內因熱量變化所引致之熵；
*T 表熱量傳輸時介質之絕 對溫度。式(2.21)中，等號右邊之第一項與熱傳導作用有關，第二項與熱之強制 對流作用有關，第三項與介質內部之熱源有關。茲引用式(2.13)之關係式，則式 (2.21)可表為：
,*
2 ,
i f vf i i i
i f vf i i
i
q n c v u
q n c v u W
S T T T
，
(2.22)
式中等號右邊之第一項係多孔介質與環境因熱量傳輸所引致之熵，其餘兩項則為 介質內部因熱量變化所引致之熵。由熱力學第二定律知，式(2.22)中等號右邊之 第二項需滿足 Claussius-Duhem 不等式，即
,2
0
i f vf i i i
q n c v u T
。
(2.23)
基於此，由式(2.22)知，Claussius-Duhem 不等式(2.23)亦可表為：
*
,
i f vf i i 0
i
q n c v u
dS W
dt T T
。
(2.24)
由式(2.20)與式(2.21)知：
* *
ij ij
U
TS。
(2.25)
茲引用 Helmholtz 自由能（free energy） F 作研析，令
**
*
*
U TS
F ，
(2.26)
上式對時間 t 微分一次，並引用式(2.25)之關係式，則可推導出：
* * * *
F U TS TS
* * *
ij ij TS TS TS
*
ij ij TS
。
(2.27)
式(2.26)中之 F 係以
*
ij、與T 為基本變數，即 F
* F
* ij, , T ，其對時間
t 之微分可表為：
* * *
*
ij ij
F F F
F T
T
，
(2.28)
比較式(2.27)與式(2.28)，可研討出以下之關係式：
ij ij
F
*，
(2.29a)
F
* ，
(2.29b)
T S F
**
。
(2.29c)
上式為建立多孔介質熱彈性力學之組成律（constitutive law）的基礎。
2-2 多孔介質熱彈性力學之組成律
茲考慮介質於初始狀態下
T T 0 時，
ij 0 且
0，以此為參考狀態，對 F
*作 Taylor 級數展開，可得：
*
0
*
0
*
0
* *
0 0
0,0, 0,0, 0,0,
, , 0,0,
ij ij
ij
F T F T F T
F T F T T T
T
2 * 2 * 2 *
0 0 2 0 2
2 2 0
0,0, 0,0, 0,0,
1
2
ij kl ij klF T F T F T
T T T
2 * 2 *
0 0
0
0,0, 0,0,
2 ij 2 ij
ij ij
F T F T
T T T
2 *
0
0
2 F 0,0, T T T T
，
(2.30)
其中
F*
0,0,T0 係介質於初始狀態下之自由能。若考慮介質於初始狀態下之應變 為零，則其初始應力為零，亦無熵之變化，即
ij
0, 0,T0
0、
0,0,T0
0且
*
0, 0, 0 0
S T
。基於此，由式(2.29a)至式(2.29c)知：
*
0
0
0,0, ij 0, 0, 0
ij
F T
T
，
(2.31a)
*
0
0
0,0, 0,0, 0
F T
T
，
(2.31b)
*
0 *
0
0,0, 0,0, 0
F T
S T
T
，
(2.31c)
將式(2.31a)至式(2.31c)代入式(2.30)，並考慮初始狀態下之 Helmholtz 自由能為 零，即
F*
0,0,T0
0，則式
2.30 可改寫為：
2 *
0
2 *
0
2 *
0
2* 2
2 2 0
0,0, 0,0, 0,0,
, , 1
ij
2
ij klij kl
F T F T F T
F T T T
T
2 * 2 *
0 0
0
0, 0, 0, 0,
2 ij 2 ij
ij ij
F T F T
T T T
2 *
0
0
2 F 0,0, T T T T
。
(2.32)
式 (2.30) 代 入 式 (2.29a) 與 式 (2.29b) 中 ， 並 引 用 式 (2.31a) 、 式 (2.31b) 與
* 0,0, 0
F T
之關係式，則可推導出：
, ,
2 *
0,0, 0
2 *
0, 0, 0
2 *
0,0, 0
0
ij ij kl
ij kl ij ij
F T F T F T
T T T
T
，
(2.33a)
2 *
0
2 *
2 0
2 *
0
0
0, 0, 0, 0, 0, 0,
ij, , ij
ij
F T F T F T
T T T
T
。
(2.33b)
上式忽略了高階微分項次，此為合理之考慮，符合
T0 1之基本假設。
茲定義式(2.32)中之相關係數如以下所示：
2 *
0, 0, 0
ijkl
ij kl
F T
C
，
(2.34a)
2 *
0, 0, 0
ij ij
F T
，
(2.34b)
2 *
0, 0, 0
ij ij
F T
T
，
(2.34c)
2 *
0,0,
0F T
T
，
(2.34d)
2 *
0 2
0,0,
F T
T m
，
(2.34e)
2 *
0 2
0,0,
F T
R
，
(2.34f)
則式(2.32)、式(2.33a)與式(2.33b)可分別表為：
*
1 1
21
2, , 2 2 2
ij ijkl ij kl ij ij ij ij
F T C R m ，
(2.35)
ij ij, , T C
ijkl kl
ij
ij，
(2.36a)
ij, , T ij ij R
。
(2.36b)
若引用式(2.36a)與式(2.36b)之關係式，對相關變數作適當之微分運算，可知：
ijkl kl T
ij
C
, ，
(2.37a)
ij ij T
T
ij
, ,
，
(2.37b)
ij ij
T
,
，
(2.37c)
R
T
,
，
(2.37d)
T
,
，
(2.37e)
式中多孔介質之熱力學常數 C 、
ijkl
ij與 R 係於等溫度狀況下測得，
ij與 係於等 應變狀況下測得，其中 C 為與固體介質有關之力學常數，
ijkl
ij係與固體介質及孔 隙流體同時相關之耦合力學常數，R 是與孔隙流體有關之力學常數，
ij和 則為 與介質溫度有關之力學常數。若考慮多孔介質之力學性質為等向性，則式(2.35) 可表為：
*
1
21
21
2, , 2 2 2
ij ij ij t t
F T N A R Q m ，
(2.38)
其中係數 A 、
N為與固體介質有關之力學常數，係數 Q 係與固體介質及孔隙流 體同時相關之耦合力學常數，係數
m為與溫度變化有關之力學常數，其物理意義 將於式(2.47)至式(2.59)中加以研討。
t及
t之物理意義將於式(2.42)至式(2.45)中 予以說明。基於此，式(2.36a)與式(2.36b)可改寫為：
ij 2N ij A Q t ij
，
(2.39a)
R Q
t 。
(2.39b)
令式(2.39a)中之下標 i ，則 j
3 2
3 3kk A N Q t
。
(2.40)
式(2.39a)與式(2.39b)作適當之反轉換，可得：
1 1
2 3 2 2
ij ij kk t ij
A Q
N A N N
，
(2.41a)
Q
tR R R
。
(2.41b)
為研討係數
t與
t之物理意義，茲考慮多孔介質不受外力作用，並可自由膨脹，
則多孔介質受熱作用時，內部無應力變化。基於此，令式(2.41a)中之下標 i ， j 則式(2.41a)與式(2.41b)可改寫為：
o
3
o3
3 2 3 2
Q
tA N A N
，
(2.42a)
o
Q
o tR R
，
(2.42b)
式中
o uok k,，
o vk ko,，
o與 分別表固體介質與孔隙流體因溫度升高 時，體
o積之自由膨脹量。解析式(2.42a)與式(2.42b)，可推導出
o與 如以下所示：
o
o
2
3 3
3 2 3
t t
R Q
A N R Q
，
(2.43a)
o
2
3 2 3
3 2 3
t t
A N Q
A N R Q
。
(2.43b)
由物理試驗得知，固體介質與孔隙流體受熱時之體積膨脹量分別與溫度變化量成 正比[43]，因此，若令
s與
f分別為固體介質與孔隙流體之線性熱膨脹係數
（linear thermal expansion coefficient），則
o
3
s ，
(2.44a)
o 3
f
。
(2.44b)
比較式(2.43a)、式(2.43b)與式(2.44a)、式(2.44b)，令對應之係數相同，可解析得
t與
t如以下所示：
3 2
3t A N s Q f
，
(2.45a)
t
3 Q
sR
f ，
(2.45b)
上式清楚研討出係數
t與
t之物理意義。其中
t與
t同時受固體介質及孔隙流體 之相關力學常數的影響，而
t及
t會隨
s及
f之增加而增加。同時，由式 (2.39a)、式(2.39b)、式(2.41a)與式(2.41a)知：
, ij
T
t ij
，
(2.46a)
,
T
t
，
(2.46b)
,
1 3 2
kk T
A N
，
(2.46c)
,
3 9
3 2
kk
s f
Q
T
A N
，
(2.46d)
,
3 3 2
T kk
Q A N
，
(2.46e)
,
1
T
R
，
(2.46f)
,
3 Q
s3
fT
R
，
(2.46g)
, T
Q
R
。
(2.46h)
由於考慮微小應變理論適用，因此式(2.38)中，與
ij有關之高次項可以忽略。
若將與溫度有關之高次項以函數
G 表示，則式(2.38)可改寫為：
*
1
21
2, , 2 2
ij ij ij t t
F T N A R Q G ，
(2.47)
將上式代回式(2.29c)，可得：
*
t t
S G
T
，
(2.48)
式中 S 係以
*
ij、與T 為變數之函數，因此， S 之全微分可表為：
** * *
*
, ,
, ij
ij T T
S S S
dS d d dT
T
，
(2.49)
式中
*T S T
,
表單位多孔介質體積內每升高一度
C所需要的熱量，令：
*
, v
c T S
T
，
(2.50)
其中 c 稱為固定應變下多孔介質之比熱，且：
v
1
v s vs f vf
c n
c n c ，
(2.51)
其中係數 c 與
vsc 分別表單位質量之固體介質與孔隙流體每升高一度
vf C所需要之 熱量；
s與
f分別為固體介質與孔隙流體之密度。
由式(2.48)知：
* 2
i t 2
dS d d G dT
T
，
(2.52)
比較式(2.49)與式(2.52)知：
2 v 2
c T G T
，
(2.53)
上式對變數 T 作適當之積分，可推導出：
0 0
T
ln
v v
T
c
G T
dT c
T T T
，
(2.54a)
0 0
T T
v
T T
G c dT dT
T
。
(2.54b)
因此，式(2.48)可表為：
*
0
t t v
ln
S c T
T
。
(2.55)
因為考慮
T0 1，故
2 3
0 0 0 0 0 0
1 1
ln ln 1
2 3
T
T T T T T T
。
(2.56)
基於此，式(2.55)可表為：
*
0 v
t t
S c
T
，
(2.57)
式中等號右邊之第一項與第二項係考慮溫度與固體介質及孔隙流體因交互作用 所引致之熵的變化，而最後一項則考慮介質因熱傳導作用所引致之熵。茲引用式 (2.56)之關係式，並對變數 T 作適當之積分，可將式(2.54b)改寫為：
22
0c
vG T 。
(2.58)
將
G 代回式(2.47)，推導出：
2* 2 2
0
1 1
, , 2 2 2
ij ij ij t t v
F T N A R Q c
T
。
(2.59)
比較式(2.38)與式(2.59)知，係數 m c T
v 0。式(2.59)中等號右邊之前四項與固體
介質及孔隙流體之應變量有關，而最後一項僅與溫度變化有關，其餘項次則是考
慮固體介質、孔隙流體及介質溫度變化量間之交互作用效應。
2-3 熱傳導方程式
由式(2.21)知，熵平衡方程式可表為：
*
, ,
1
i i f vf i i i
dS q n c v u W
dt T 。
(2.60)
又由式(2.23)知，若考慮介質之熱傳導性質為等向性，則熱傳導方程式可表示如 下：
,
i t i f vf i i
q
n c
v u，
(2.61)
其中
t為多孔介質之熱傳導係數。
式(2.61)代回式(2.60)，並引用式(2.13)之關係式，可推導出：
* , t kk
T dS W
dt 。
(2.62)
又由式(2.55)知：
*
t t v
TS
T c T，
(2.63)
式(2.62)與式(2.63)作適當之化簡，可推導出：
,
t kk W t t T c Tv
，
(2.64a)
或
,kk v t k k, t
0
t t t t
c W
Tu T
。
(2.64b)
由於過高或過低之溫度變化會使孔隙流體由液體轉變成氣體或固態，本研究
暫不考慮此種情況，因此介質之溫度變化量 符合
T0 1之基本假設，故式
(2.64b)之非線性方程式可據以改寫為線性偏微分方程式如以下所示：
0 0
,kk v t k k, t
0
t t t t
c T T W
u
，
(2.65)
上式係以多孔介質之位移 u 、孔隙流體之體積變化量及介質溫度變化量 為主
i要變數，為物理問題之第一個基本方程式。
茲引用式(2.9)與式(2.39b)之關係式，將熱傳導方程式(2.65)改寫為以介質位 移 u 、超額孔隙流體壓力 p 及介質溫度變化量 為主要變數，如以下所示：
i2 0 0 0
, ,
1 t 0
kk v t t t k k
t t t t
T T Q T n W
c u p
R R R
。
(2.66)
若進一步考慮飽和多孔介質有變形但無體積變化，即將多孔介質模擬為不可 壓縮，則：
1n
n0，
(2.67) 上式與式(2.39b)作比較，可知：
,
Q R ， Q 1 n
R n
。
(2.68)
上式代入式(2.66)，並引用式(2.45a)與式(2.45b)，可進一步將熱傳導方程式 改寫為：
0
0, ,
2 3 3 1
s f
0
v s
kk k k
t t t t
