3.1. 數值分析
3.1.1. 數據來源
為了區別比例式的學習與協調型態的學習，本研究將針對兩種數據做適配並模擬，
希望藉由比較五種不同分布的適配(常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、
伽馬分布)與數據轉換成機率分布的相關性( )歸納出不同的分布對於兩種學習過程的 描述之合適程度。
(1). 比例式學習
比例式學習的數據，使用 Liu, Chuang, & Newell (2015)的實驗數據。一共 24 名受試 者，每位受試者各有 150 次(三天，一天 50 次)試作。實驗工作為，固定坐在椅子上，要 求只能使用肩、肘關節活動，拋出網球至距離座位前方兩倍身高的目標，將誤差距離作 為表現分數。學習曲線為指數遞減。
(2). 協調型態學習
協調型態學習的數據，使用 Liu & Newell (2015)的實驗數據，共 29 名學習搖搖球的 受試者。每位受試者必須從轉速 20 rps 在 10 秒內盡可能地加速，每天執行 50 次的練習，
直到學會為止，因此練習天數有 4~17 天不等。受試者條件、實驗器材篩選以及實驗內 容在 Liu & Newell (2015) 有詳細的描述。學習曲線為 S 型曲線。數據中分成三階段(表 現數值呈穩定、震盪、穩定)與兩階段(震盪至穩定)兩組。
3.1.2. 數據適配
(1). 分布內的觀測數量
所有數據都以一天一個統計單位，每天 50 次，因此每 50 次練習做一個分布，並且 針對原始數據(50 次練習)做五種分布模式的適配。
R2
(2). 區間估計(binning algorithm)
為檢驗適配分布與數據的吻合度，須將非整數的數據合併成直方圖，方能計算絕對係數。
使用 Freedman-Diaconis rule (Freedman & Diaconis, 1981) 計算值域區間的寬度(bin size)，
這個計算方法是將一序列 的 2 倍四分位距(interquartile range, )除以序列 Likelihood Estimations, MLEs)，將練習序列x轉換成各種不同的分布模式 (Aldrich, 1997)。
在本篇研究的五種模式中，對數常態分布、指數分布、伽馬分布這三種分布模式具有邊
下界為-2，適配前須經過平移。綜合上述，對練習序列做參數估計之前的校正步驟如下：
匯入數據後，依每天 50 次練習做分段，宣告一個變數 x 為某天練習 50 次的數據向 量。使用 MATLAB R2012a (The Mathworks, Natick, MA)程式語言，median(x)、
mean(x)、[h,c]=hist(x,nbin)回傳向量的中位數、平均數、區間高度(bin height)、
區間中心(bin center)。
bsize = c(2) - c(1);
if median(x) <= mean(x)
cmin = c(1) – bsize;
x = x – cmin;
圖 3-1-2.1 正偏態示意圖
% 當中位數小於等於平均數，以區間中心最小值 c(1)再往下一個區間-bsize 作為最
% 小值 cmin，調整數據向量 x 的最小值至此(起始邊界)。
else
cmax = c(end) + bsize;
x = cmax – x;
圖 3-1-2.2 負偏態示意圖
% 當中位數大於平均數，則以區間中心最大值 c(end)再往上一個區間+bsize 作為最
% 大值 cmax，轉置數據向量 x，並以 cmax 作為起始邊界。
end
使用 MATLAB 內建函數，以最大近似法對平移、轉置後的 x 做參數估計：
[mu,sigma]=normfit(x) 常態分布的參數，平均數 mu，標準差 sigma。
lnp = lognfit(x) lnp 是 1x2 的向量，lnp(1)代表對數常態參數中的平 均數，lnp(2)為其標準差。
[ua,ub] = unifit(x) 連續均勻分布的參數，下界 ua 以及上界 ub。
ep = expfit(x) 指數分布的尺度參數 ep。
gamp = gamfit(x) 伽馬分布的參數，gamp 同樣是 1x2 的向量 gamp(1) 回傳形狀參數，gamp(2)為尺度參數。
再使用 MATLAB 內建函數計算數據分布的區間中心，其對應常態、對數常態、均 勻、指數、伽馬分布的機率。特別注意的是，對數常態分布、指數分布、伽馬分布這三 種經過調整 x 再適配的分布，計算區間對應的機率時，也需要對區間作調整：
normpdf(c,mu,sigma)、
lognpdf(c-cmin,lnp(1),lnp(2))或 lognpdf(cmax-c,lnp(1),lnp(2))、
unifpdf(c,ua,ub)、
exppdf(c-cmin,ep)或 exppdf(cmax-c,ep)、
gampdf(c-cmin,gamp(1),gamp(2))或 gampdf(cmax-c,gamp(1),gamp(2)) 本篇研究與一般性的適配不同之處在於，具有邊界及方向性的分布需要另作調整。
(4). 計算決定係數(
R
2)將數據分布的刻度(bin centers,
c
)代入，五個機率分布模式，例如經由最大近似法 求得的伽馬分布之參數 alpha 與 beta，代入伽馬分布的機率密度函數，得到 bin centers 在伽馬分布上對應的機率，程式碼如下：
if median(x) <= mean(x)
hist_pdf = gammpdf(c-cmin,gamp(1),gamp(2));
else
hist_pdf = gammpdf(cmax-c, gamp(1),gamp(2));
end
hist_pdf 回傳每個 bin center 對應的機率。將五種分布模式的 hist_pdf 和數據 分布的h'
作相關，計算兩者之間的決定係數(
R
2)。每個學習者每天的數據都各有五種分 布模式與數據分布的 R-square；任一數據與一種分布模式的決定係數如圖 3-1-3。圖 3-1-3。左圖為計算出分布模式的機率序列h'
以及數據分布之機率序列 hist_pdf。
右圖為將兩序列做相關係數(
R
2)之計算。3.2. 統計檢定
使用重複量數二因子變異數分析，若球形檢定達顯著，使用 Greenhouse-Geisser 修 正，最後以 Bonferroni’s method 比較主要效果並以 partial eta squared (
2p) 計算效果量 (Green & Salkind, 2003)。比例式學習因子有「五種分布模式×三天練習」。分布模式有 5 個變項：常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、伽馬分布。練習的因子分別 是第一天練習至與第三天練習。新協調形態的學習也使用同樣的方法做比較，由於起始 行為不同，數據分成兩組，第一組的表現呈三個階段(穩定、轉移、穩定)，取第一階段 每天的 R-square 的平均、轉移階段中每天的 R-square 平均，以及最後一個階段每天 R-square 的平均，練習因子的水準個數為三階段；第二組為起始表現即處在轉移的階段，因此選取轉移階段每天的 R-square 平均，以及最後階段每天 R-square 的平均，練習因子 的水準個數為兩階段。若有交互作用，則比較單純主要效果。