使用機率分布探討量化學習動力的改變

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(1)國立臺灣師範大學運動與休閒學院運動競技學系碩士學位論文. 使用機率分布探討量化學習動力的改變. 研究生：林柏成指導教授：劉有德. 中華民國 105 年 1 月中華民國臺北市.

(2) 使用機率分布探討量化學習動力的改變 2016 年 1 月研究生：林柏成指導教授：劉有德摘要. 緒論：學習的過程大略可以分成兩類：比例式的學習和新協調型態的學習。在新協調型態的學習方面，動力過程會發生質性轉變，使用常態分布的統計假設來處理這種數據，即以平均數、標準差作為呈現學習前後差異的方法，並不盡完善。探討運動學習的研究，應使用合適的函數，量化學習過程的變化。在具有不同偏態及隨機樣貌的各種分布中，伽馬分布根據參數變化，曲線外型具有多樣性，可能較適於作為初步觀察學習過程中動力質性改變的描述方式。目的：根據不同學習類型的學習過程，找出最適合用來描述不同學習階段狀態的分布模式。方法：將比例式與建立協調型態的學習數據，分別使用常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、伽馬分布適配學習過程中不同階段的動作表現，並以重複量數二因子變異數分析比較分布模式在不同學習階段數據分布的決定係數。結果：比例式學習僅有模式間達顯著差異，伽馬分布與常態分布大於對數常態分布、指數分布及均勻分布。在新協調型態學習方面，三階段與兩階段的結果都具有交互作用，伽馬分布在初期優於其他分布，而後期伽馬、對數常態與常態分布優於指數與均勻分布，此外伽馬分布與對數常態分布的決定係數在各階段都較優於其它分布模式。結論：伽馬分布在兩種類型的學習，以及在協調型態的三個階段，適配的決定係數都具有比較優勢的效果。. 關鍵詞: 運動學習、動力系統理論、量化學習、機率密度方程式. iii.

(3) Using Probability Distribution to Quantify Dynamics in Motor Learning January 2016 Author: Lin, Bo-Cheng Advisor: Liu, Yeou-Teh. Abstract The learning process can be classified as a scale learning and learning a new coordination pattern. In coordination learning, qualitative changes of coordination patterns in the dynamic processes may occur. In this case, using the assumption of normality concept of statistic (e.g. mean and standard deviation) to represent dataset may not be appropriate and incomplete. Here we investigated the gamma probability density functions as another candidate approach to qualify and quantify the learning process even though the data distribution deviated from normality. The gamma function with different combinations of the parameters (alpha and beta) may form different shapes to capture qualitative changes of performance outcome through learning process, especially in coordination learning. The purpose of this study was to investigate different distribution models (normal, logarithmic normal, exponential and uniform distributions) to fit the data distribution of scale learning and coordination learning in different learning phases from throwing task (50 trials a day for 3 days) and the rollerball task (50 trials a day for 5 days), respectively. Two factors repeated measure ANOVAs were used to compare the coefficient of determination between distribution models and learning phase. There was a significant difference among distribution models in scale learning, the gamma and lognormal distribution had greater coefficients of determination than the others. In coordination learning, both three and two phase groups had interaction between distribution models and learning phases. The post hoc analyses showed that the coefficient of determination of the gamma and lognormal distribution were both significantly greater than the normal, exponential and uniform distributions at the first and transition phases, the gamma, lognormal and normal distribution were significantly greater than the exponential and uniform distributions at the last phase. In conclusion, the gamma function showed superior descriptive power among the models over the learning phase for both types of learning that have a comparative advantage in the results of curve fitting.. Key words: motor learning, dynamical systems theory, quantification in learning, probability density function.. iv.

(4) 謝誌在師大兩年半，我覺得比在中央四年還充實，讓我認清自己的不足和擅長的技能。說來也真幸運，原本反對我來念運科所的父母，最後也支持我讀研究所，感謝你們提供資源，又放任了我兩年，請你們不用擔心運科所的出路，因為我來這裡學到比運動科學更寶貴的東西。另一件令人慶幸的是我遇到好老師，因為一份我覺得是開玩笑的夏令營作業，讓我輾轉來到 MBLab。感謝有德老師給我很多發展的空間，讓我自由選擇研究方向，但話說這個碩論原本的主題，好像也是在我放棄思考的時候，老師建議我利用程式繪圖的優勢來著手，讓我可以開開心心的做研究；而且當我有程式分析的問題，老師也總是一語道破盲點；我只能說，因緣際會下可以遇到這麼一位知識淵博又因材施教的老師，真的的是靠運氣，謝謝老師！在師大的日子，也不得不感謝實驗室的夥伴們。上屆有老潘、大傑、芝雁做好榜樣；再上去有辛苦處理公文的姿榕學姊，我們的薪水都靠妳了；以及除了在我兩次口試幫大忙，平常也會熱心協助實驗、參與討論提供新點子的國良學長，他是一位好學不倦又善良的前輩，還在實驗室的同學學弟妹們，要好好跟他學統計喔，他潮強 der！另外一位大學長，宗諭博士，雖然最後半年才比較認識，不過對你給的建議真的都是我沒想到的，讓我的論文架構更有邏輯，也感謝你邀我參與次動作的研究，讓我數值分析的能力更上一層樓。其他實驗室的夥伴們，像是王甯、立堯、沛修、立翰、凱欣，以及力學、生理組的余謙、峻逸，有你們的討論、陪伴、閒聊，讓我覺得研究所的生活更加充實，更添見識。在台北的生活也感謝做重量的夥伴，還有女朋友的支持，因為有你們在我的生活中，我才更有前進的動力。謝謝鳳如陪我度過渾渾噩噩的第一年，雖然我們沒有再一起到最後，但妳離開才讓我發現自己有多不成熟，碩論大半的進度就是那之後兩個月完成的。最後我必須謝謝家綺，妳在最後一個學期的陪伴，使我的生活更積極，充滿正面能量。研究所的時間很短，但這段經歷寶貴得令人難忘，因就讀運科所，遇到老師、同學、朋友們，從你們身上學到的知識和想法，讓我變成一個更好的人，謝謝你們。. v.

(5) 目次. 口試委員與系主任簽字之論文通過簽名表. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. i. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. ii. 中文摘要. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. iii. 英文摘要. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. iv. 謝誌 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. v. 目次 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. vi. 圖次 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. ix. 第一章緒論. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 1. 1.1. 問題背景. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 1. 1.2. 研究目的. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 2. 1.3. 研究限制. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 2. 1.4. 研究重要性. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 3. 第二章文獻探討. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 4. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 4. 2.1.1. 時間刻度 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 4. 2.1.2. 表現數值 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 5. 2.1.3. 學習過程的類型. 5. 論文授權書. 2.1. 運動學習. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 2.2. 動力系統理論(Dynamical Systems Theory) 2.2.1. 吸引子(attractor). -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-.-.. 7. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 8. vi.

(6) 2.2.2. 動力分歧 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 2.3. 機率密度方程式(Probability Density Function, PDF). -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 11. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 12. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 12. 2.3.1. 連續均勻分布(Continuous Uniform Distributions) 2.3.2. 常態分布(Normal Distributions). 9. 2.3.3. 對數常態分布(Log-normal Distributions). -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 13. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 14. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 19. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 19. 3.1.1. 數據來源 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 19. 3.1.2. 數據適配 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 19. 2.3.4. 伽馬分布(Gamma Distributions). 第三章方法 3.1. 數值分析. 3.2. 統計檢定. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 23. 第四章結果. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 24. 4.1. 比例式學習. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 24. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 25. 4.2.1. 三階段. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 25. 4.2.2. 兩階段. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 27. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 29. 4.2. 協調型態學習. 第五章討論. 5.1. 比例式學習 5.2. 協調型態學習. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 5.2.1. 三階段的學習變化. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. vii. 29.

(7) 5.2.2. 兩階段的學習變化. 第六章、結論與建議. 引用文獻. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. viii.

(8) 圖次. 圖 2-1-1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 5. 圖 2-1-2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 5. 圖 2-1-3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 6. 圖 2-2-1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 7. 圖 2-2-2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 8. 圖 2-2-3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 9. 圖 2-2-4. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 10. 圖 2-3-1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 12. 圖 2-3-2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 12. 圖 2-3-3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 13. 圖 2-3-4.1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 16. 圖 2-3-4.2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 16. 圖 2-3-4.3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 18. 圖 2-3-4.4. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 18. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 20. 圖 3-1-2.1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 21. 圖 3-1-2.2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 21. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 23. 圖 4-1 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 24. 圖 4-2-1.1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 25. 圖 4-2-1.2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 26. 圖 4-2-1.3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 26. 圖 4-2-1.4. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 27. 圖 3-1-1. 圖 3-1-3. ix.

(9) 圖 4-2-1.5. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 27. 圖 4-2-1.6. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 27. 圖 4-2-2.1. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 27. 圖 4-2-2.2. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 28. 圖 4-2-2.3. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 28. 圖 4-2-2.4. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 28. 圖 4-2-2.5. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.. 28. x.

(10) 1. 第一章. 緒論. 1.1. 研究背景根據學習的定義，學習是藉由技能練習或是經驗累積，造成行為能力持久改變的內在過程 (Schmidt & Wrisberg, 2004)。在這個概念的架構下，研究技能學習有兩個重要的面向，一是改變、一是過程。經過一段時間的學習，可能或多或少，能力是一定會改變的；然而，僅觀察練習前與練習後的表現作為檢驗學習的方式，似乎過於粗略，即使練習後的表現確實比練習前稍佳，但是對於更短時間刻度的學習過程則無從得知。探討學習過程是目前運動技能學習研究的主要趨勢之一 (Liu & Newell, 2015)，也是本篇研究的目標。學習的過程大略可以分成兩類 (Liu, Mayer-Kress, & Newell, 2006)，比例式的學習 (連續的改變) 和新協調型態的學習(跳躍式的改變)。比例學習的過程，變化是根據固定的時間刻度成比例產生的，學習者在相同協調型態的框架之下，逐漸改變他的行為，使行為動力朝著表現目標趨近；當學習某個尚不具有協調型態的新技能，其行為改變的過程不會是成比例的，可能突然從一個狀態跳躍到另一個狀態，或者中間會經歷一段反反覆覆的成功與失敗。雖然這兩類截然不同的學習過程都符合定義，但是對於一個迫切需要習得技能的學習者來說，「經過練習和嘗試經驗，能力會有持久的改變」之學習定義，似乎無助於實際學習的過程，所以探討學習過程有哪些表現階段，並且瞭解影響學習的因素(控制參數) 與代表學習結果的運動表現(次序參數) 之間的關係，不僅能夠提供學習者明確的目標，也節省耗時費力的探索過程。傳統上對學習數據進行探討時，往往假設為常態分布，進而以群組的數據平均數、標準差作為統計的資料(Casella & Berger, 2001)。然而，協調型態在學習過程中發生質性轉變的動力是一種非線性的過程，並且藉由練習使動力收斂至某種程度的穩定狀態，其數據具有一定程度的偏態，這可能是極端的表現或是測量刻度所造成的，這樣的情況可能不適宜用線性的方法分析。Hancock 和 Newell (1985)指出間斷性動作的表現結果分布.

(11) 2. 會受到平均動作速度的影響：動作表現結果的分布在慢速度時會呈現正偏態(高峰度)；當動作速度逐漸增加到大約 50%平均速度時，正偏態會逐間轉變為常態分布；平均動作速度增加到極限時，動作表現分布則會逐漸從常態分布轉變為負偏態(低峰度)。後續研究也支持了只用動作表現的平均數和標準差來解釋動作變異性是不足夠的(Lai, Mayer-Kress, & Newell, 2006; Hsieh, Pacheco, M. M., & Newell, K. M., 2015)。學習是一種動力改變的過程，當動力在發生質性轉變的過程中，所測得的表現數值不具有同質性，就算是大量的觀測數量或樣本數，學習的數據經常不符合常態分布，在那個區間裡的數值分布，可能會產生不同偏態或峰度的分布型態。因此，學習可視為一個包含隨機成分的決定性過程(Liu, Mayer-Kress, & Newell, 1999)。經過練習就會發生改變(前後測的差異)，這是決定性的過程；但在新協調型態學習的過程中，為了達成目標型態，則需要累積練習量才會提高轉移的發生機率(Liu, Luo, Mayer-Kress, & Newell, 2012)。以機率密度函數(probability density function, pdf)對離散的學習表現進行適配，可利用連續性的數列填補學習表現數據間空白的值域；並且能夠避免由於常態分布的假設而壓縮了數據原本的特徵，造成分析上的錯估。因此，本研究的目的即是希望藉由不同性質的機率分布模式對學習數據做適配，比較出最能合適地描述數據分布之機率分布函數，以此發展量化分析的基礎。. 1.2. 研究目的以常態、對數常態、連續均勻、指數、伽馬機率密度方程式量化比例式學習和新協調型態學習的過程，找出最合適的機率分布模型。. 1.3. 研究限制一、取得參數所使用的適配數據來源有限。.

(12) 3. 二、使用 R-square 檢驗分布模式與數據之符合程度，而均勻分布代表在值域範圍內完全隨機的噪音之機率；也就是說，在均勻分布中，對應不同表現數值的機率都相等，因此任一數據分布的機率與其對應的均勻分布的機率之 R-square 均為零。. 1.4. 研究重要性學習是一種動力改變的過程，並且藉由練習使動力收斂至某種程度的穩定狀態，其數據具有一定程度的偏態，這可能是極端的表現或是測量刻度所造成的；此外，當動力在發生質性轉變的過程中，所測得的表現數值不具有同質性，在那個區間裡的數值分布，可能會產生低峰度或多峰的型態。因此，就算是大量的觀測數量或樣本數，學習的數據經常不符合常態分布，本篇研究希望藉由非常態分布對學習數據做擬合之結果，提供對學習數據作數值分析的量化基礎。.

(13) 4. 第二章. 文獻探討. 2.1. 量化運動技能學習的過程運動技能學習是藉由練習或是經驗累積，造成運動技能行為能力持久改變的內在過程 (Schmidt & Wrisberg, 2004)。持久的改變指的是，穩定地執行目標工作，而不是偶然、隨機的發生，可以根據表現的一致性來評量(Magill, 1998)。內在過程則需要透過外在表現的觀察來推論。. 2.1.1. 時間刻度過去運動學習的研究多著重在「學習造成行為改變」的現象，藉由前測、後測的差異來驗證「改變」這件事；或是練習後經過一段休息，再作保留、遷移測驗來檢驗學習者是否真正學會技能。但若是將研究焦點放在「學習過程」，採用上述這種間斷性的測量方法，時間刻度便顯得不夠精細，僅可觀察到練習前後的變化，無從瞭解練習中的變化。若要瞭解學習過程，應使用較小的時間刻度來觀察練習中的表現變化較為恰當。由於學習運動技能，練習是必要的，所以持續的記錄練習的表現可用來表示技能表現的變化；然而以練習次數作為時間刻度，在使用上仍然有它的限制，前一次練習與後一次練習，可能在實驗的操弄下是可以控制的，但前一天與後一天的練習，礙於研究者或學習者的考量，間隔不一定等長，而練習次數的時間刻度卻還是持續累加；此外，以練習次數作為時間刻度，僅只是一個參考值，用來檢視學習過程中，表現與練習之間的關係，練習量需要延伸到什麼範圍，也是研究學習過程需要考量的重要因素之一。一般而言，刻度的單位以能夠達到預測為基準，例如：研究目的是「某個技能需要練幾天」，那麼記錄學習曲線的時間刻度，就需要比日期的刻度更精細；刻度的範圍，則需要涵蓋自表現初始值至表現水準收斂到穩定的狀態，例如：學習新的協調型態，初期的得分，由於無法組織出具有功能性的表現，表現得分低且穩定，累積了一定的練習量之後，開始出現時而高分時而低分，分數震盪的階段，當能夠組織出符合動作目標要.

(14) 5. 求的技能型態，表現得分會呈現穩定高分的數值(Liu & Newell, 2015)，在這個過程，時間刻度就必須從最開始，連續到學習者能夠達成穩定高分的時期 (Newell, 1991; Singer, 1980)。. 2.1.2. 表現數值探討運動學習的另一項重點是表現數值，表現的數值可以有許多形式，可以是最基本的測量單位，也可以是處理過的多維數值，依照描述行為的參數可以有多樣的變化。描述經過練習，準確度越來越高，表現數值可以很單純地採用誤差值或命中率這類的一維數值；或者研究兩個肢段在某個頻率條件下，兩者的連續相對相位，一次練習的表現數值即為二維陣列，一維相位差、一維動作週期，假設陣列長度 m，經過 n 次練習，此時學習曲線則為平面集合 (2×m×n, matrix by matrix) 而成的曲線；當然，或許鉅細靡遺地考慮所有參數，可能存在某個更複雜更高維度的量化方法。圖 2-1-1 及圖 2-1-2 是坐姿擲準運動，肩、肘關節角度變化之相對相位。. 圖 2-1-1。第 1 次試作的相對相位。. 圖 2-1-2。第 1 至 15 及 30 次試作之相對相位。. 2.1.3. 學習過程的類型將練習次數作為橫軸時間序列，每個刻度對應的表現數值作為縱軸觀察值，即為學習曲線。曲線的形狀可分成四個類型(圖 2-1-3)：負加速度、線性、S 型曲線、正加速度 (Singer, 1980)。為了簡化描述學習過程，將學習曲線的散布圖加上適配函數，得到.

(15) 6. 表現函數(Newell & Liu, 2015)，使用適配函數的目的在於，觀察學習的過程，分析學習的動力在練習過程中的狀態，進而提出回饋或預測。利用函數的性質(線性或非線性)，也可以反過來解. 圖 2-1-3。不同的學習過程之曲線。. 釋學習過程中的表現狀態的改變。像是已經具有協調型態的動作，練習的目的是為了提升現有的運動表現，在這個連續改變的情境下，使用線性函數或是反應線性動力的指數函數來表示學習曲線的特徵就是個很好的方法，從函數中的斜率，或是其他參數，能夠反映出學習過程的特徵，例如：練習效率、表現初始值、目標水準等等。而像是隨著練習量累積，表現呈現跳躍式的變化，如學習新協調型態的過程，也能夠藉由適配函數提供學習過程的訊息，不同的是，跳躍式的學習過程，可能需要對於改變動力型態的因素，與學習過程的結構穩定性，有更多聚焦的討論。透過學習曲線的方法來觀察學習過程，學習過程大略可以區分為兩類：比例式的學習過程，及新協調型態的學習過程 ( Liu, Mayer-Kress, & Newell, 2006)。從動力系統的觀點作解釋，其差別在於學習曲線的結構是否連續；比例式的學習過程，較容易預測，執行多少次練習，表現數值便產生成比例的變化，從前幾次的表現結果，以及當下的結果狀態，可以預測往後的路徑。而新協調型態的學習過程是一種不連續的結構，典型的例子就是雙穩定的結構，初期會是穩定低分的表現，中間會經歷高低分之間的震盪，後期則會在高水準表現達到穩定的狀態(Newell, Liu, & Mayer-Kress, 2001)，例如學習騎乘自行車，一上車就摔倒，累積了一定程度的練習量，開始可以在車上平衡一段距離，而後一上車便能持續長久的騎乘。對於過程結構的研究方法，可以從位能函數或機率分布切入。另外值得注意的是，技能學習的動力結構是不可逆的，學習者沒辦法執行了一千次練習之後，自主地回到練習一百次的狀態，這也是技能學習的研究中，操弄練習練必須考慮的重要因素。.

(16) 7. 2.2. 動力系統理論 (Dynamical Systems Theory) 動力系統是一種數學的概念(Abraham & Shaw, 1984)，是指系統中的粒子隨著時間的推移、受到周圍的空間的影響，其狀態改變的系統。這裡提到的「系統中的粒子」，不一定是實際存在的點，而是某個測量的物理量，可能是位置、速度、角度、得分等等…。而自由粒子活動的空間，也不一定是「實際的空間」，而是我們藉用「幾何空間」這個抽象的座標，將「測量的物理量」具象成動力的狀態空間(state space)，一般多是以直角座標做為狀態空間的座標，而座標軸的單位根據描述的動力而有所不同，簡而言之，動力系統往往利用空間座標的概念，定義多維的狀態空間，又稱狀態域，例如：速度與位移的 v-x 相平面便是一個二維的狀態域。在系統中，粒子趨向穩定的狀態是位能較低的位置，位能的計算方法可以從時間序列下的觀察值求得(Poston, 1996; Ø ksendal, 2003)，例如：隨著時間改變的單一變數 x(t)，其序列與位能的關係(Eq.2.2.1)如圖 2-2-1 所示；如果有了協調型態的空間純量(景觀)，便能夠從學習者當下的表現(xi)，代入景觀模式推估習得技能的過程。    dU ( x ) dx   dt dx. (Eq. 2.2.1). . 圖 2-2-1。左圖點虛線是由一條 S-shape 方程式 x (t ) . a 1 e.  r ( t t half ). 模擬的觀察值序列，中間虛線. 是位能變化(縱軸)與觀察值(橫軸)的關係圖，右圖實線為隨著觀察的表現值，位能的變化。.

(17) 8. 而機率分布(P(x))與位能景觀(U(x))又有著巧妙的關聯。系統中，在位能較低的觀察值，對應於機率密度函數圖形中，發生較大機率的觀察值 (Cobb, Koppstein, &, Chen, 1983; Wagenmakers, et. al., 2005) (圖 2-2-2)。這也就是說，在位能景觀圖中的低窪處所代表的系統狀態，是較常表現出來，被觀察到的情況，而在位能景觀的高點，則是非常不穩定，因此幾乎. 圖 2-2-2。機率密度與位能的關係。. 無法被觀察到的系統狀態。. 2.2.1. 吸引子(attractor) 在動力狀態中有一種不再改變的特殊動力現象，稱為固定點(fixed point) (Abraham & Shaw, 1984)。在動力景觀中，斜率為 0 的最高點及最低點均屬於固定點的特殊動力。在位能景觀的最低點，代表著系統狀態的趨勢，稱為吸引子(Haken, Kelso, & Bunz, 1985)。 Van Gelder 與 Port (1995)也提出，使用非線性數學的方法來描述複雜系統的行為，將各種「實際測量的行為現象」量化成動力的狀態空間。把構成行為的各個成分視為一個系統，系統狀態演變的趨勢會朝著某種狀態發展，那個狀態就叫做吸引子(Kugler, Shaw, Vincente, & Kinsella-Shaw, 1991)。如當兩手食指同時擺動時，一般我們可以觀察到的協調型態只有「同相」及「反相」兩種，其他相位的擺動協調無法穩定的產生，因此我們可以說「同相」及「反相」的協調型態，是兩手食指同時擺動協調的吸引子。其他如走路的動作，一般正常成人多能穩定產生，也是一個雙腿協調的吸引子，但是未滿周歲的幼兒，走路的動作可能仍處在位能景觀頂端的固定點，不但不是吸引子，可能是非常不穩定的「排斥子(repeller)」(Davids et al., 2013)。不過動力景觀不是不能改變的，當系統中的控制參數達到某個閾值的時候，動力型態會從一個組織型態，轉移到另一個型態，也就是說原有景觀中的吸引子可能產生變化，新的吸引子會產生，而原有的吸引子也可能消失。.

(18) 9. 2.2.2. 動力分歧一個動力系統的狀態可能受到控制參數的影響，產生動力質性的改變。這種現象在物理學中多稱為「相轉移(phase transition)」，如在高溫時氣態的水蒸氣，隨著其控制參數「溫度」的降低，經過液態的水，當溫度達攝氏零下後變成固態的冰。在動力系統理論的數學領域中，這個相轉移的過程多稱為「分歧(bifurcation)」。在動力分歧的過程中，往往會發生「關鍵性的震盪(critical fluctuation)」及「關鍵性變慢(critical slowing down)」的現象(溫卓謀與劉淑燕，2008)。關鍵性震盪是指在分歧過程中動力的穩定性變低，所觀察到的動力現象變異性增加；而關鍵性變慢則是指在動力分歧的過程中，如果受到外力阻擾(perturbation)，動力回復穩定的時間(relaxation time)會變長。. 圖 2-2-3。鞍結點分歧(saddle-node bifurcation)。控制參數為 r，當 r < 0 如圖左，一鞍點一結點；當 r = 0 如圖中，產生鞍結點。而當 r > 0 如圖右，則不存在固定點。. 在狀態域中各隨機狀態朝向固定點接近(遠離)的軌跡有不同的型態，其中，如在固定點附近的動力狀態均以相同的指數率接近(遠離)該固定點，這類的固定點一般稱為「結點(node)」。如果該固定點附近的動力狀態部分為接近，部分為遠離，其動力景觀好比一馬鞍(saddle)的形狀，前後向呈凹形，兩側向呈凸形，這類的固定點稱為「鞍點(saddle)」。典型的鞍結點分歧是在有一個吸引子及一個排斥子的動力狀態下，隨著控制參數的增加，兩個固定點結合產生新的吸引子，再隨著控制參數增加，這個吸引子又消失了(Kuznetsov, 1998)。如在相平面中的動力系統，隨著控制參數 r 的增加，其動力狀態也隨之產生質性的改變(圖 2-2-3)。.

(19) 10. 新協調型態的學習，其學習過程的結構即屬於鞍結點的分歧 (Liu & Newell, 2015)。過程中有兩個固定點，初始階段的結點(吸引子)及獲得技能之後的結點(新的吸引子)。在技能學習的初始階段，受到自然動力的協調型態所影響，動作表現的觀察值會出現在初始吸引子所在位置附近，例如穩定低分的技能表現；隨著一段練習量的累積，學習曲線來到了關鍵性震盪的階段，偶爾會出現較高水準的表現，又偶爾會回到低分數的表現；最終達到技能獲得的階段，會收斂在高水準的表現，並且比震盪期有較小的變異範圍。. 圖 2-2-4。叉戟式分歧(pitchfork bifurcation)。左圖為控制參數等於 0 的景觀模型。圖中為控制參數為 0.5。右圖為控制參數等於 1。. 在一動力系統中，當控制參數達到閾值，動力路徑會一分為二，也就是說原有一個吸引子的動力結構，在產生分歧時，變成兩個吸引子。在運動行為的研究中，發展得較有歷史的數學模式為 HKB 模式的雙手協調的景觀模型(Haken, Kelso, & Bunz, 1985)。這個模型明確地定義出相對相位為次序參數，擺盪頻率為控制參數，由於該協調型態的分歧，係由低頻率的兩個吸引子到高頻率時的一個吸引子，當由高頻逐漸降低頻率時並不會產生分歧的現象，因此被稱為屬於二和為一的反叉戟分岐(inverted pitchfork bifurcation)。在這個數學模型中，改變控制參數，會使得景觀產生變化，反應了協調型態轉移的現象(圖 2-2-4)。使用動力系統理論來解釋，學習是一種隨著時間改變的動力。在狀態域中，比例式學習的動力，系統粒子的動力已經處在技能型態的吸引盆(basin of attraction)，再經過練習量的累積，動力的過程只做微調，改變是連續的，朝著穩定的狀態逐漸靠近；協調型態發生轉移這類型的學習動力，初始動力受到不熟練的吸引子(位能)束縛，隨著控制參.

(20) 11. 數的增加，發生轉移的機率會相對提高，當動力的能量大於初始吸引子的束縛能，動力型態會發生關鍵性震盪(動力受到數個吸引子的影響)，經過工作動力的導向，以及練習能量的累積，學習動力會收斂在一個穩定的狀態域 (朝向具有功能性組織的協調狀態(吸引子))。動力系統理論不僅能夠描述比例式學習的微調動力(連續地改變)，同時也能解釋新協調型態學習時，其動力過程產生巨變的現象。. 2.3. 機率密度方程式 (Probability Density Function, PDF) 現實世界中，可測得的數據，不論是時間刻度或表現數值，其序列必定是間斷的，利用數學模式來填補值域中的間隙，甚至以模式建立預報系統。然而，連續或間斷的數值或數據，都可以假設其具有分布的型態 (Aksoy, 2000)。在數值模擬的應用中常見的機率分布有：常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、伽馬分布。常態分布廣泛應用於統計檢定的假設，當數據的觀測樣本數夠多，數值分布會呈現鐘形對稱，平均數等於眾數且落在分布的中心 (Casella & Berger, 2001)；當數據 ln(x) 呈常態分布，則 x 呈現對數常態分布，常用在序列變化(. xi 1 )具有指數關係( e r )，並且其變 xi. 化率(r)符合常態分布的數據；均勻分布則是用在描述一區間內完全隨機的數值之機率 (Lefebvre, 2007)；指數分布是伽馬分布家族中的一個特例，之所以另外作為一個探討項目是因為學習是朝著一個穩定的狀態做改變，在指數方程式中的為漸進線之物理意義即為「穩定的狀態」，且練習的過程幾乎不會是機械式的進步，數值不太可能呈一直線的改變，更有可能是負加速度的改變，此時指數分布會是一個更合適的描述 (Newell, Liu, & Mayer-Kress, 2001)；伽馬分布是無母數統計的基礎模型，根據其參數的改變，其分布的樣貌具有彈性的變化，若對伽馬分布的參數稍加改變並作些許的限制，它具有諸多變形的函數，像是卡方、指數、Weibull、 Poisson 分布 (Casella & Berger, 2001)，甚至 Beta、 F 分布都源自伽馬函數，因為伽馬分布包涵了多種且重要的統計模型，這也是本篇研究之所以選擇伽馬分布作為適配函數之一的主要原因。.

(21) 12. 2.3.1. 連續均勻分布 (Continuous Uniform Distributions) 連續均勻分布的函數如下 (Eq. 2.3.1. )，因為數值 x 的區間介在 a 與 b 之間，且在範圍內產生任一數值的機率皆相等如圖 2-3-1。.  1  f ( x | a, b)   b  a   0. for. a xb. (Eq. 2.3.1.). otherwise. 圖 2-3-1。左圖為一時間序列下，符合均勻分布的隨機亂數，數據 x  [a, b] 。右圖為其機率分布圖。. 2.3.2. 常態分布 (Normal Distributions) 在眾多機率分布函數中，最廣為人知的是高斯常態分布(Eq. 2.3.2.)，式中兩個參數分別為平均數  以及標準差  ，如圖 2-3-2： 1 f ( x |  , )  e  2 2.  ( x )2 2 2. for.   x  . 圖 2-3-2。左圖為一符合常態分布的亂數序列。右圖為其機率分布圖。. (Eq. 2.3.2.).

(22) 13. 從方程式 Eq. 2.3.2. 的結構來看，它是一個鐘形對稱的圖形(圖 2-3-2)。在一般的數據統計中，其展現的特徵為：數據在平均數(Mean)時有最高的機率，觀察值分布的範圍在±3 個標準差(SD)，最常用的假設是，當數據採樣足夠充分時，數據會呈現像常態分布 (Lefebvre, 2007)。然而，當運動學習過程屬於非線性結構的數據，事實上是沒辦法滿足這個假設條件；例如說，雙穩定的 S 型學習曲線，儘管測量刻度非常精細，並且採量適當的區間做高斯分布，也不見得每個分布都符合高斯分布的樣貌，在轉移的過程中必定出現某種程度的偏態及峰度，這時候為了修正是配函數的結果，會使用第三動差(偏態)、第四動差(峰度) 來補充說明不足的訊息；當實驗數據不呈現常態、卻使用常態的參數來表示數據特徵，就算補充偏態、峰度的資料，常態分布的模型仍然無法充分地描述數據的原始樣貌，因此，為了完整地描述學習過程中任何區間的數據樣貌，本篇研究試圖尋找其他機率密度函數作為分析的應用。. 2.3.3. 對數常態分布 (Log-normal Distributions) 若當數據 x 取對數( y  ln x )呈常態分布時( y ~ Normal(  , 2 ) )，代入 Eq. 2.3.2，此時方程式改寫成 (Eq. 2.3.3.)，如圖 2-3-3： 1 f (x | , )  e  2 x 2. 1.  (ln x   ) 2 2 2. for. 0 x. (Eq. 2.3.3.). 圖 2-3-3。左圖為一個呈對數常態分布的亂數。右圖為其機率分布圖。. 對數常態分布的下界為 0，因為對數是一個遞增的單調函數(monotonically increasing.

(23) 14. function)且其反函數為指數，當線性變換的 y 符合常態分布其下界為   ，反函數之變量 x 為下界 0 的正偏態。下界為 0 的意義為分布具有邊界及方向；測量動作技能表現的數值，經常是具有一個下界，例如最低表現的分數，若最低的分數小於零，我們可根據測量刻度調整邊界，運用這個方法，諸多下界為 0 的分布模型(gamma, exponential family) 仍然適用於描述母體特質。. 2.3.4. 伽馬分布(Gamma Distributions) 伽馬函數也被稱為階乘函數，工程數學中提到，伽馬函數是階乘(factorial)的推廣 (Kreyszig, 2006)。伽馬函數在 1730 年，由數學家 Leonhard Euler (1707-1783)建立。伽馬函數的誕生，與階乘函數有密切的關係。十七世紀中期，機率與組合數學被當時的數學家大力發展，階乘的數值計算也因此不斷地出現，進而受到詳細地研究。到了十八世紀初期，數學家 Christian Goldbach (1690-1764)，他並不滿足於當時對數列的插值僅做近似的數值計算；在因緣際會下，Goldbach 與 Euler 的三封通信中，階乘函數有了突破性的發展(Davis, 1959)。Euler 採用無窮乘積的方式，做出 n! 公式(Eq. 2.3.4.-1)： 1  3 n 2  4 n 3  5 n 4   2 n!  ( ) n  ( )  ( )  ( ) ....  1 n  1  2 n  2   3 n  3   4 n  4 . 並受到沃利斯乘積(Wallis product)的啟發，當 n 以. (Eq. 2.3.4.-1).  1 代入，其值等於，套用二項分配 2 2. 的理論，將 n! 表示成積分的形式(Eq. 2.3.4.-2)： 1. 1 2  3    n.  x (1  x) dx  (e  1)(e  2)(e  3)    (e  n  1) e. n. 0. (Eq. 2.3.4.-2). 這個表達式中的 e 是任意實數， n 只能為整數，為了把這兩個量合併，Euler 讓 e 趨近無限大，最後利用羅必達法則(L'Hôpital's rule)，將 n! 寫成(Eq. 2.3.4.-3)： 1. n!  ( log t )n dt 0. (Eq. 2.3.4.-3). 從上式可衍伸出 Gamma function 以及 Beta function，因此在統計學中常見的分布：t 分布、  2 分布、F 分布、Beta 分布、Dirichlet 分布、指數分布、Weibull 分布都有伽馬函數的痕跡。當然這當中最直接的機率分布就是直接從伽馬函數變換得到的伽馬分布。將.

(24) 15. 對 t 做一個變數變換， t  e x  dt  e x dx . n!  x ne x dx  (n  1) 0. (Eq. 2.3.4.-4). 得到最基本的伽馬函數定義如下：對於任意自然數 n. (n)  (n  1)!. (Eq. 2.3.4.-5). 伽馬函數在實數軸上的定義： . ( )   x 1e x dx. (Eq. 2.3.4.-6). 0. 上式即為伽馬函數的一般形式，此時階乘的計算從整數發展到任意實數。即 Eq. 2.3.4.-6，再將 x 做線性變換， x . x. . ，可得到(Eq. 2.3.4.-7)： . x.  ( )   x .  1. e  dx. 0. (Eq. 2.3.4.-7). 我們從另一個代數的觀點來看這個式子，從機率密度函數觀點，一個單變量分布 (univariate distribution)的定義： (1). 一個連續的隨機變量， x (2). 任一 xi 對應其密度(density)， f ( xi ) (3). 當 xi 位在區間內 a  xi  b ，其機率為(Eq. 2.3.4.-8)： b. P(a  x  b)   f ( x)dx a. (Eq. 2.3.4.-8). 這時候對伽馬函數稍作整理，將常數項除到積分項，其意義為，當變量 x 的分布界在 0 到無限大之內，範圍內，每個變數點的密度總和其機率為 1，即累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)。 x. 1 x 1e  dx 0    ( ). F (t |  ,  )  . t. (Eq. 2.3.4.-9). 機率密度函數即為累積分布函數(CDF)對變量作為分，得到伽馬分布： x. 1 f (x |  ,  )   x 1e   ( ). for 0  x  . (Eq. 2.3.4.-10).

(25) 16. Eq. 2.3.4-5 式中的  為 gamma 函數， x 為測量值，範圍介在 0  x   ；  為形狀參數，當   1 伽馬分布近似指數分布；當   1 消去 x 項即為指數分布(Eq. 2.3.4.-11)；當   1 隨著  值增加，伽馬分布的形狀會越接近常態分布(圖 2-3-4.1)；而 Eq. 2.3.4.-10 中的  為尺度參數，  越小分布越集中，越大分布越分散(圖 2-3-4.2)。. f (x |  ) . 圖 2-3-4.1。固定  ，改變α。. 1. . x. e. for 0  x  . (Eq. 2.3.4.-11). 圖 2-3-4.2。固定α，改變  。. 伽馬分布的應用，是在預估觀察某個事件的週期為 beta，產生第 alpha 個事件的機率分布；這個情境是以時間刻度為基準，測量事件產生的機率，當產生某個觀測事件所花費的時間為  ，等待第一次事件(   1 )產生的機率，其機率分布為指數分布，在短暫的時間內能夠等到第一次事件發生的機率較高，經過長時間的等待才發生第一次事件的機率較低；而隨著期望的事件水準越高，所需要的等待時間也必須有所提升才有較高的機率產生，例如現在要等待第二次(   2 )事件發生，伽馬分布呈正偏態，並不是說短時間內等待不到第二次事件產生，而是在分布的峰值(縱軸)所對應的時間(橫軸刻度)，有最高的產生機率。技能表現同樣具有不確定性的因素存在，不同的是以表現分數的測量作為分布的橫軸刻度，在某個技能動力的背景下，產生的表現分數為  ，期望觀測到的動力為  ，當   1 在較低的表現分數(接近失敗)就有很高的機率能觀察到動力的狀態；而若是期望觀測到很高的動力水準(   1 )，在低表現分數觀察到的機率則相對較低，必須要在與.

(26) 17. 分布峰值附近相對應的高表現分數，才有較高的機率觀察到技能動力。換言之，在固定的表現分數與技能動力的比例  ，當表現分數在較高的數值被觀察到的次數較多，即意味著學習者具有較高的技能水準  。使用伽馬分布對各個學習階段的表現分布做參數估計，也可以理解成對學習階段的動力做量化估計。然而，並不能單以形狀參數  作為技能水準的參考依據，必須同時考量其與尺度參數  的組合，因為若是尺度參數  會隨著練習量的累積而有變化，例如形狀參數  不變、尺度參數  隨著練習變小，分布變得更集中，產生相同表現分數的機率提高，這顯示了表現分數的變異性降低，亦是一種動力的改變(微調)。伽馬分布的另一種變形，當限制  . k ，   2 ，會得到在偏態分布的應用上，最 2. 常使用的卡方分布： 1. f ( x, k ) . k 2. x. k 1 2. e. x 2. (Eq. 2.3.4.-12). k 2 ( ) 2. Eq. 2.3.4-12。卡方分布的分析概念為，偏離平均數的觀察值，其發生頻率(平方)與期望次數的比例，對於不同自由度 k 有不同程度的偏態曲線，k 值變化造成卡方分布變化的趨勢與伽馬分布中的形狀參數相同。應用在學習曲線上的困難是，沒有判斷同質性的標準，若是學習新協調型態的過程，初期的穩定、震盪轉移階段、後期的穩定，甚至同一期間是否有不同的同質性，無法藉由卡方分布來界定。回到 Eq. 2.3.4.-11 指數分布的公式，  是尺度參數，也就是指數中的遞減率；值得 1 r. 一提的是，當我們將 x 以 y 代換( y  x )，很容易的導出 Weibull 分布(Eq. 2.3.4.-13)如 r. 圖 2-3-4.3、2-3-4.4：   1 f y (y |  , )  y e .  yr. . for. 0  y  ,   0,.  0. (Eq. 2.3.4.-13).

(27) 18. 圖 2-3-4.3。一序列 y 具有形狀參數 r、尺度參數  的 Weibull 分布亂數。. 圖 2-3-4.4。將序列 y 取 r 次方得 x，則序列 x 具有尺度參數  的指數分布。. 2.4. 文獻總結學習一項技能，可當作一個動力系統。依時間序列紀錄技能表現，每次表現的結果，可視為瞬時的系統狀態。在自然的環境裡，系統的狀態一定會收斂至穩定，穩定的狀態可能是自然動力，也有可能是不同於自然動力的工作動力；而「收斂至穩定」可以直觀地解釋成變異性降低，亦即降低系統狀態的不確定性；此外，不同類型、不同階段的學習，其表現分布的型態會有不同的特徵，例如：改變協調型態的學習，從高峰正偏態漸變成常態甚至低峰負偏態；或是比例式學習會以近似常態的分布，提高表現水準、降低分數的變異性。根據這個原因，本篇研究採用機率分布作為量化學習過程的方法，以不同的分布模式對數據分布作適配，觀察各種分布模式在不同動力過程的適配效果。以往多以常態分布對數據作假設，而本篇研究則預期具有偏態特徵的伽馬分布或對數常態分布會有較佳的適配結果。.

(28) 19. 第三章. 研究方法. 3.1. 數值分析. 3.1.1. 數據來源為了區別比例式的學習與協調型態的學習，本研究將針對兩種數據做適配並模擬，希望藉由比較五種不同分布的適配(常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、伽馬分布)與數據轉換成機率分布的相關性( R 2 )歸納出不同的分布對於兩種學習過程的描述之合適程度。 (1). 比例式學習比例式學習的數據，使用 Liu, Chuang, & Newell (2015)的實驗數據。一共 24 名受試者，每位受試者各有 150 次(三天，一天 50 次)試作。實驗工作為，固定坐在椅子上，要求只能使用肩、肘關節活動，拋出網球至距離座位前方兩倍身高的目標，將誤差距離作為表現分數。學習曲線為指數遞減。 (2). 協調型態學習協調型態學習的數據，使用 Liu & Newell (2015)的實驗數據，共 29 名學習搖搖球的受試者。每位受試者必須從轉速 20 rps 在 10 秒內盡可能地加速，每天執行 50 次的練習，直到學會為止，因此練習天數有 4~17 天不等。受試者條件、實驗器材篩選以及實驗內容在 Liu & Newell (2015) 有詳細的描述。學習曲線為 S 型曲線。數據中分成三階段(表現數值呈穩定、震盪、穩定)與兩階段(震盪至穩定)兩組。. 3.1.2. 數據適配 (1). 分布內的觀測數量所有數據都以一天一個統計單位，每天 50 次，因此每 50 次練習做一個分布，並且針對原始數據(50 次練習)做五種分布模式的適配。.

(29) 20. (2). 區間估計(binning algorithm) 為檢驗適配分布與數據的吻合度，須將非整數的數據合併成直方圖，方能計算絕對係數。使用 Freedman-Diaconis rule (Freedman & Diaconis, 1981) 計算值域區間的寬度(bin size)，這個計算方法是將一序列的 2 倍四分位距(interquartile range, IQR  Q3  Q1 )除以序列長度 n 的立方根。算式如下(Eq. 3.1.-1)： bin size . 2(Q3  Q1 ) 3. n. Eq. 3.1.-1. 接著將數據的全距( xmax  xmin )除以 bin size，計算出 m 個區間，將數據值域重新調整成 m.  個刻度，刻度序列 c 即為 bin centers。為了與機率分布模式做比較，對應刻度內的累計   次數 h 需要標準化成 h ' ( Eq. 3.1.-2)，如圖 3-1-1。  h'.  h (bin size)   hi. Eq. 3.1.-2. 圖 3-1-1。數據的值域根據 bin size 的寬度分割出對應的刻度範圍(左圖)，範圍內發生的數值數目累加成.   次數分布圖，次數分布圖的高度再除以總次數與 bin size，繪出橫軸為 c ，縱軸 h ' 的數據機率分布(右圖)。. (3). 參數估計與分布計算參數估計是將練習序列轉換成分布模式的步驟，以最大近似之演算法(Maximum Likelihood Estimations, MLEs)，將練習序列 x 轉換成各種不同的分布模式 (Aldrich, 1997)。在本篇研究的五種模式中，對數常態分布、指數分布、伽馬分布這三種分布模式具有邊界性與方向性( for 0  x   )，因此對這三種模式做適配之前，以數據的中位數與平均數作為偏態的判斷(圖 3-1-2.1、3-1-2.2)；此外，由於協調型態的學習，練習數據的數值.

(30) 21. 下界為-2，適配前須經過平移。綜合上述，對練習序列做參數估計之前的校正步驟如下：匯入數據後，依每天 50 次練習做分段，宣告一個變數 x 為某天練習 50 次的數據向量。使用 MATLAB R2012a (The Mathworks, Natick, MA)程式語言，median(x)、 mean(x)、[h,c]=hist(x,nbin)回傳向量的中位數、平均數、區間高度(bin height)、區間中心(bin center)。 bsize = c(2) - c(1); if median(x) <= mean(x) cmin = c(1) – bsize; x = x – cmin; 圖 3-1-2.1 正偏態示意圖. % 當中位數小於等於平均數，以區間中心最小值 c(1)再往下一個區間-bsize 作為最 % 小值 cmin，調整數據向量 x 的最小值至此(起始邊界)。. else cmax = c(end) + bsize; x = cmax – x; 圖 3-1-2.2 負偏態示意圖. % 當中位數大於平均數，則以區間中心最大值 c(end)再往上一個區間+bsize 作為最 % 大值 cmax，轉置數據向量 x，並以 cmax 作為起始邊界。 end 使用 MATLAB 內建函數，以最大近似法對平移、轉置後的 x 做參數估計： [mu,sigma]=normfit(x). 常態分布的參數，平均數 mu，標準差 sigma。. lnp = lognfit(x). lnp 是 1x2 的向量，lnp(1)代表對數常態參數中的平均數，lnp(2)為其標準差。. [ua,ub] = unifit(x). 連續均勻分布的參數，下界 ua 以及上界 ub。. ep = expfit(x). 指數分布的尺度參數 ep。.

(31) 22. gamp = gamfit(x). 伽馬分布的參數，gamp 同樣是 1x2 的向量 gamp(1) 回傳形狀參數，gamp(2)為尺度參數。. 再使用 MATLAB 內建函數計算數據分布的區間中心，其對應常態、對數常態、均勻、指數、伽馬分布的機率。特別注意的是，對數常態分布、指數分布、伽馬分布這三種經過調整 x 再適配的分布，計算區間對應的機率時，也需要對區間作調整： normpdf(c,mu,sigma)、 lognpdf(c-cmin,lnp(1),lnp(2))或 lognpdf(cmax-c,lnp(1),lnp(2))、 unifpdf(c,ua,ub)、 exppdf(c-cmin,ep)或 exppdf(cmax-c,ep)、 gampdf(c-cmin,gamp(1),gamp(2))或 gampdf(cmax-c,gamp(1),gamp(2)) 本篇研究與一般性的適配不同之處在於，具有邊界及方向性的分布需要另作調整。 (4). 計算決定係數( R 2 ). . 將數據分布的刻度(bin centers, c )代入，五個機率分布模式，例如經由最大近似法求得的伽馬分布之參數 alpha 與 beta，代入伽馬分布的機率密度函數，得到 bin centers 在伽馬分布上對應的機率，程式碼如下： if median(x) <= mean(x) hist_pdf = gammpdf(c-cmin,gamp(1),gamp(2)); else hist_pdf = gammpdf(cmax-c, gamp(1),gamp(2)); end hist_pdf 回傳每個 bin center 對應的機率。將五種分布模式的 hist_pdf 和數據 . 分布的 h ' 作相關，計算兩者之間的決定係數( R 2 )。每個學習者每天的數據都各有五種分布模式與數據分布的 R-square；任一數據與一種分布模式的決定係數如圖 3-1-3。.

(32) 23. . 圖 3-1-3。左圖為計算出分布模式的機率序列 h ' 以及數據分布之機率序列 hist_pdf。 2. 右圖為將兩序列做相關係數( R )之計算。. 3.2. 統計檢定使用重複量數二因子變異數分析，若球形檢定達顯著，使用 Greenhouse-Geisser 修正，最後以 Bonferroni’s method 比較主要效果並以 partial eta squared (  p ) 計算效果量 2. (Green & Salkind, 2003)。比例式學習因子有「五種分布模式×三天練習」。分布模式有 5 個變項：常態分布、對數常態分布、均勻分布、指數分布、伽馬分布。練習的因子分別是第一天練習至與第三天練習。新協調形態的學習也使用同樣的方法做比較，由於起始行為不同，數據分成兩組，第一組的表現呈三個階段(穩定、轉移、穩定)，取第一階段每天的 R-square 的平均、轉移階段中每天的 R-square 平均，以及最後一個階段每天 R-square 的平均，練習因子的水準個數為三階段；第二組為起始表現即處在轉移的階段，因此選取轉移階段每天的 R-square 平均，以及最後階段每天 R-square 的平均，練習因子的水準個數為兩階段。若有交互作用，則比較單純主要效果。.

(33) 24. 第四章. 研究結果. 4.1. 比例式學習以重複量數二因子變異數分析檢驗五種分布模式在三天練習過程中適配決定係數 2 的差異，結果僅有模式間達顯著差異，F(1.93, 44.49) = 207.48，p < .05， p  .90 ，事後. 兩兩比較的結果發現，對數常態分布、伽馬分布與常態分布>指數分布>均勻分布，對數常態分布與伽馬分布以及常態分布間無顯著差異。練習階段，F(2, 46) = 0.86，p = .43，.  p2  .04 ，及其與模式間的交互作用，F(3.92, 90.01) = 1.5，p = .21， p2  .06 ，均未達顯著差異。如圖 4-1。. 圖 4-1。均勻分布的適配決定係數均為零，顯著小於其他分布模式。其他分布間的關係如上述說明。.

(34) 25. 4.2. 協調型態學習 29 筆數據根據起始行為不同分成兩組，第一組(15 筆)學習表現呈三階段，轉移前、轉移中、轉移後；第二組(14 筆)為起始行為即組在轉移階段，至轉移後階段。兩組數據都使用重複量數二因子變異數分析，檢驗五種分布模式在練習過程中(三階段/兩階段)，適配決定係數的差異。. 4.2.1. 三階段 2 分布模式與練習階段的交互作用達顯著，F(2.64, 3702) = 5.38，p < .05， p  .28 ，. 如圖 4-2-1.1。主要效果的部份，結果僅模式間達顯著差異，F(1.4, 19.6) = 148.29，p < .05，.  p2  .91 。練習階段，F(1.42, 19.91) = 0.06，p = .43，  p2  .05 ，未達顯著差異。. 圖 4-2-1.1。三階段，分布模式在練習過程中的適配決定係數之交互作用達顯著。.

(35) 26. 練習階段的單純主要效果顯示，只有以常態分布與指數分布適配的 R 2 值在練習過程 2 中達顯著差異，常態分布的最後階段>第一階段，F(2, 28) = 4.78，p < .05， p  .26 (圖 2 4-2-1.2)；指數分布的適配的第一階段>最後階段，F(2, 28) = 6.78，p < .05， p  .33 (圖. 4-2-1.3)，兩者的第二階段與另外兩個階段無顯著差異；其他分布模式在練習過程中均未 2 達顯著差異，對數常態分布，F(2, 28) = 0.33，p = .73， p  .03，伽馬分布，F(2, 28) = 2.07， 2 p = .15， p  .13 。. 圖 4-2-1.2。常態分布的最後階段>第一階段。. 圖 4-2-1.3。指數分布的適配的第一階段>最後階段。. 2 五種分布模式在第一階段的 R 2 達顯著，F(1.43, 20.06) = 33.01，p < .05，  p  .70 ，. 伽馬分布大於常態分布，伽馬分布、對數常態分布、常態分布與指數分布皆大於均勻分布，其他分布間無顯著差異 (圖 4-2-1.4)。轉移的階段，分布模式的適配效果達顯著， 2 F(1.36, 19.03) = 30.55，p < .05， p  .69 ，均勻分布顯著小於其他分布模式，伽馬分布、. 對數常態分布大於常態分布與指數分布 (圖 4-2-1.5)；伽馬分布與對數常態分布，以及常態分布與指數分布間均無顯著差異。分布模式在最後階段亦達顯著，F(1.6, 22.43) = 2 84.56，p < .05， p  .86 ，伽馬分布大於對數常態分布與常態分布大於指數分布；對數. 常態分布與常態分布間無顯著差異；均勻分布亦小於其他分布 (圖 4-2-1.6)。.

(36) 27. 圖 4-2-1.4。. 圖 4-2-1.5。. 圖 4-2-1.6。. 伽馬分布>常態分布. 伽馬、對數常態>常態與指數分布. 伽馬>對數常態與常態>指數分布. 4.2.2. 兩階段 2 分布模式與練習前後的交互作用達顯著，F(2.01, 27.25) = 150.8，p < .05， p  .92 ，. 如圖 4-2-2.1。二因子主要效果的部份，結果僅有模式間達顯著差異，F(1.57, 20.42) = 5.45， 2 2 p < .05，  p  .23 。練習階段，F(1, 13) = 0.46，p = .51， p  .03 ，未達顯著差異。. 圖 4-2-2.1。兩階段，分布模式在練習過程中的適配決定係數之交互作用達顯著。.

(37) 28. 練習階段的單純主要效果檢驗結果顯示，在練習過程中，常態分布在第二階段的練習適配 R 2 值顯著大於第一階段， t13.  2.23 ，p. < .05 (圖 4-2-2.2)；指數分布與之相反，. 第一階段顯著大於第二階段適配的 R 2 ， t13.  3.05 ，p. 均未達顯著，對數常態分布 t13. = .87，伽馬分布 t13.  0.17 ，p. 圖 4-2-2.2。常態分布的最後階段>第一階段。. < .05 (圖 4-2-2.3)；其他分布模式  1.89 ，p. = .08。. 圖 4-2-2.3。指數分布的第一階段>最後階段。. 2 分布模式的單純主要效果，第一階段達顯著，F(1.62, 21.09) = 40.85，p < .05， p  .76 ，. 伽馬分布與對數常態分布大於指數分布，均勻分布小於其他分布(圖 4-2-2.4)。第二階段 2 亦達顯著，F(1.96, 25.47) = 118.13，p < .05， p  .90 ，伽馬分布大於對數常態分布大於. 指數分布，常態分布大於指數分布，均勻分布同樣小於其他分布。(圖 4-2-2.5)。. 圖 4-2-2.4。伽馬、對數常態>指數分布. 圖 4-2-2.5。伽馬>對數常態>指數，常態>指數分布.

(38) 29. 第五章討論從所有數據適配的結果顯示，伽馬分布的適配決定係數不會小於其他分布模式；而均勻分布的適配效果都小於其他分布模式。這是由於伽馬分布可以藉由參數的改變使分布的樣貌具有彈性的變化(Aksoy, 2000)，不論是在同樣的協調型態下，學習曲線隨著練習的累積，動作表現成比例式的改變，或是學習新的協調型態，學習曲線產生不連續的變化，伽馬分布都能夠根據數值分布做出適當的調整，描述極端的偏態(指數型態)、某種程度的偏態，以及類似常態的樣貌。均勻分布之所以在任何型態的數據都顯著小於其他分布模式是由於數據分布與均勻分布的回歸數值與數據的平均值相等，因此 R 2 =0，所謂的機率分布的意義是指，在不同的數值範圍內具有與之對應的發生機率，而均勻分布是在描述在值域範圍內(所有數值)產生的機率皆相等(Casella & Berger, 2001)，這個分布型態明顯不符合實際行為，就算是機械工作也必定具有一定程度的變異性(林耀豐，2008)，機率會隨著數值的不同而有些變異，因此，均勻分布不適合用來描述行為表現是合理的結果。. 5.1. 比例式學習比例式學習的統計結果顯示，分布模式的適配效果不會隨著練習量的累積而有所變化；而以分布模式的適配決定係數作為分析比較的依據，發現對數常態分布與伽馬分布以及常態分布顯著優於其他分布。對數常態分布與伽馬分布的決定係數平均值雖然比常態分布稍高，但未達到顯著差異，這是因為比例式學習的表現數據大部分呈現接近常態分布的型態，而數據或多或少有一些偏態，伽馬分布可以彈性的改變分布樣貌，使分布模式稍微更接近數據分布。此外，從對數常態分布的適配結果來推測，數據的序列可能具有指數的關係。然而，這個些微的優勢卻比不上常態分布的參數便於解釋數據型態的優點，並且常態分布與伽馬分布以及對數常態分布在本研究中的比例式學習數據，同屬較佳適配的分布模式，因此對於此類型的學習過程，使用常態分布可能仍為較適當的選擇。.

(39) 30. 5.2. 協調型態學習在協調型態學習的過程中，不同階段的練習表現，會以不同的特徵反映在數據；當動作動力還處在不熟練的狀態，經常性地產生失敗的動作結果，表現分數低，變異性也較低；當動作動力在轉移的過程，不規律的產生高水準及低水準的表現，表現分數不穩定，變異性較大。當動作動力到達熟練的吸引子狀態，可以穩定地產生高水準的動作表現，表現分數高而變異性較低。. 5.2.1. 三階段的學習變化當學習者完全沒有目標動作的經驗，同時其動作的自然動力與目標動作的動力不相容時，往往在學習初期需經過一段沒什麼進展的練習時間，才會進入轉移至目標動作動力的階段。在這個轉移前的階段，其數據分布呈正偏態，甚至是指數分布的型態，伽馬分布、對數常態分布以及指數分布較適合用來描述此時的分布型態。當經過一段練習時間，學習進入轉移階段，這時除了均勻分布以外，另外四種分布彼此間都沒有顯著差異，且每個分布模式的決定係數都降低，變異性變大，這是因為轉移階段的數據分布較類似隨機或多峰的分布，使分布模式的適配效果減低 (Cobb, 1978)。當動作表現逐漸穩定，學習進入轉移後的階段，其數據以常態的樣貌居多，此時伽馬、對數常態及常態分布便又能夠合適地反映數據分布的型態。除了伽馬分布及對數常態分布在轉移前後均有較佳的適配結果外，指數分布與常態分布亦分別在轉移前及轉移後有不錯的適配結果。這個交互作用的結果反映出學習一個新的協調型態，初期的適應或探索的過程，與學會了協調型態後，動力達穩定的動力狀態係有所不同，當協調型態的動作動力達穩定後，練習表現會類似比例式學習的型態。. 5.2.2. 兩階段的學習變化當學習一個尚不熟悉但又非完全不相容的動作動力時，在學習初期即處在轉移的階段。伽馬分布、對數常態分布較適合用來描述此時的分布型態，指數分布與常態分布的.

(40) 31. 樣貌不符合這個階段的數據分布型態。這四種分布決定係數平均值的分布趨勢雖與三階段組的第二階段類似，但由於伽馬分布及對數常態分布組內標準差較小，因此與其他分布模式達到顯著差異。在轉移後的第二階段的結果和三階段組中最後階段的結果相同，當動力達穩定，伽馬、對數常態、常態分布的決定係數具有較佳的適配效果。.

(41) 32. 第六章、結論與建議學習是一種動力，隨著練習量累積，改變技能表現狀態。當學習者執行的動作是已具備的協調技能，表現狀態處在一個穩定態，不會對動力做巨大的調整，僅只朝的動作目標微調固有的自然動力，表現平均數、變異性呈比例式的改變；在這個類型或階段的學習，其表現分布的型態可以使用常態分布的模式作為描述(Hsieh, Liu, Mayer-Kress & Newell, 2007) ，這也符合一般運動科學的實驗假設─參與者具備實驗動作的技能協調型態，並且足夠的樣本數，才能夠滿足推論統計的假設。而在學習一個新協調型態的初期，學習者的自然動力位置距離動作動力的吸引子尚遠，此時動作表現的數值會具有某種程度的偏態，當偏態特徵非常極端，指數、伽馬分布會是較佳的適配模型；若是表現分布沒那麼靠近測量刻度的邊界，呈現一定程度的偏峰型態，對數常態、伽馬分布也會是個較佳的適配模型。學習一項新協調型態的過程，隨著練習量累積，表現分數逐漸提升，進入到轉移的階段，在這個隨機的過程，所有本篇探討的分布模式，相較於前後兩個動力相較穩定的階段，分布模式的決定係數都相對較低，可能的原因是隨機分布的數值，不適合用決定係數做衡量，建議未來需要使用其他的評估方式。縱貫所有結果來觀察，伽馬分布在兩種類型的學習，以及在協調型態的三個階段，適配的學定係數都具有比較優勢的效果，雖然目前尚未能採用伽馬分布的參數數值，對動力狀態做合理的解釋，但它的分布型態涵蓋指數、偏態及常態的樣貌。若是將各個學習階段的分布特徵作適配，並得出參數及邊界方向性，可以使用各個階段取得的參數，產生伽馬分布亂數，建議未來若有需要建立預測常模，可利用伽馬分布能夠彈性描述分布的好處，作為一個適當的研究工具。.

(42) 33. 引用文獻. 林耀豐。(2008)。技能表現的分類與測量。載於劉有德主編，運動技能學習(2-13)。台北市：禾楓書局。. 溫卓謀與劉淑燕。(2008)。理論與觀點。載於劉有德主編，運動技能學習(7-31)。台北市：禾楓書局。. Abraham, R. H., & Shaw, C. D. (1984). Dynamics: The geometry of behavior. Part 1: Periodic behavior. Santa Cruz, CA: Aerial Press.. Aksoy, H. (2000). Use of gamma distribution in hydrological analysis. Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences, 24(6), 419-428.. Aldrich, J. (1997). RA Fisher and the making of maximum likelihood 1912-1922. Statistical Science, 12(3), 162-176.. Casella, George & Berger, Roger L. (2001). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury.. Cobb, Loren (1978). Stochastic Catastrophe Models and Multimodal Distributions. Behavioral Science, 23, 360–374.. Cobb, L., Koppstein, P., & Chen, N. H. (1983). Estimation and moment recursion relations for multimodal distributions of the exponential family. Journal of the American Statistical Association, 78(381), 124-130.. Davids, K., Araújo, D., Hristovski, R., Serre, N. B., Button, C., & Passos, P. (Eds.). (2013). Complex Systems in Sport (Vol. 7). Routledge..

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