研究模型之探討：
圖 1 為原始的時間序列圖。座標 X 軸為日期，從 1982 年 1 月開始，至 2008 年 3 月為止；座標 Y 軸為用電量，以千度為單位。由此圖 2-1-1 可以 很明顯的看出，資料是呈現上升的趨勢。表示台灣地區的用電量是年年的
研究對象 台灣 用電量
研究方法 時間序列迴歸模式
分解法 指數平滑法 ARIMA 分析法
預測分析與
模式比較 結論
增高。另外，也可以看出，資料含有季節的波動，且波動的程度隨時間越 來越大。由以上兩點，我們可以得知，資料的平均數與變異數都沒有保持 平衡，此資料為一份不平穩的時間序列資料，建議在後面的各種分析法中，
都要先解決資料不平穩的問題。
圖 1 台灣月平均用電量原始時間序列圖
我們將先後使用 Time Series Regression、Decomposition Method、
Exponential Smoothing、ARIMA，這四種方法來分析這份資料：
（１）Time Series Regression
從原始的時間序列圖中(圖 2)，可以發現全台的用電量有隨著時間呈現 向上遞增的趨勢，在用電量方面可看出在每年夏季的用電量情形較其他季 節高，所以該時間序列圖是存在季節因子的，且季節變異波動隨著時間呈 現波動越來越大的情形，所以首先我們要先對季節變數做轉換，使得用電 量的變異要為常數。在此我們對用電量資料取平方根(yt* = yt )與自然對數 轉換(yt* =ln(yt))。由圖 2 可以得知，在做了平方根轉換後，季節波動變異
為常數了。圖 3 為對資料作自然對數的轉換，由圖中顯示若取自然對數的 轉換，則可能有過度轉換的現象，所以我們建議採用取平方根轉換，來對 資料作進一步的分析。
圖 2 平方根轉換後的時間序列圖
在時間序列當中，當季節變異為常數時，我們通常使用下列模型： 是 Durbin-Waston Test 來檢測。其檢定公式如下：
表 2 為誤差項的自我相關檢測，得知 DW 值為 1.4917，其中 P 值
<0.0001，表示確實有嚴重的正自我相關現象，表示 Model 1 不適合。所以 在後面的步驟，我們對誤差項配適一階自我相關，並產生 Model 2。
表 2 誤差項的自我相關檢測表 The AUTOREG Procedure
SSE 1359504.78 DFE 290 MSE 4668 Root MSE 68.46859 SBC 3482.05145 AIC 3433.77292 Regress R-Square 0.9928 Total R-Square 0.9928
Durbin-Watson 1.4917 Pr < DW <.0001
表 3 Yule-Walker 檢定 Yule-Walker Estimates
SSE 1278272.95 DFE 289 MSE 4423 Root MSE 66.50631 SBC 3469.15708 AIC 3417.16482 Regress R-Square 0.9884 Total R-Square 0.9932
Durbin-Watson 2.0895 Pr < DW 0.7771 Pr > DW 0.2229 Coefficient -0.241135
在時間序列迴歸模型中，我們的虛擬變數為「月份」，因為所有的月份 需為同進同出，所以只要其中一個月份的參數是顯著的，則需將所有的月 份留在模型裡。由表 4 中我們可以得知，大部分的參數皆為顯著的，即使 D1、D3、D4 的 P-value 大於 0.05 為不顯著，但我們仍將所有參數皆留在模 型中。
表 4 時間序列迴歸模型參數估計表
Variable Parameter Estimate T-value Pr > | t |
Intercept 1633 100.11 <.0001 t 8.8056 153.42 <.0001 D1 -35.288 -2.11 0.0361 D2 -167.726 -9.00 <.0001 D3 -22.0907 -1.16 0.2472 D4 8.0607 0.42 0.677 D5 106.9938 5.52 <.0001 D6 192.2867 9.93 <.0001 D7 262.2141 13.54 <.0001 D8 330.8555 17.11 <.0001 D9 272.4387 14.16 <.0001 D10 204.7908 10.89 <.0001 D11 122.816 7.28 <.0001
= •
Apr-07 17319344 18410725 17272283 19585497 May-07 19502295 19529508 18325026 20772326 Jun-07 19499790 20415149 19181361 21687390 Jul-07 21116601 21143901 19887828 22438434 Aug-07 22029635 21864856 20587214 23180958 Sep-07 21159553 21404002 20140097 22706367 Oct-07 20621365 20863157 19615560 22149216 Nov-07 19307698 20200129 18972793 21465928 Dec-07 17937274 19188306 17992504 20422577 Jan-08 18605658 18957000 17768781 20183673 Feb-08 16187953 17895700 16741767 19088087 Mar-08 17913642 19226227 18029464 20461444
15000000 17000000 19000000 21000000 23000000 25000000
04/07 05/07 06/07 07/07 08/07 09/07 10/07 11/07 12/07 01/08 02/08 03/08
實際值 預測值 U95%
L95%
圖 4 時間序列法實際值與預測表現圖
由圖 4 可知，我們可以看到大部分的實際值皆落在 95% 的信賴區間之 內，但是最後兩筆觀察值是落在區間之外的，分別為 2008 年 2 月及 2008 年 3 月；且還有兩筆觀測值是落在 95%信賴區間的邊界附近，分別為 2007 年 4 月及 2007 年 12 月；另外，再從整體看來，預測值較實際值為偏高。
綜合以上幾點訊息，此模式的預測能力可能還有待確認。
（２）Decomposition Method
由於每月用電量的多寡會受每月天數所影響，所以在使用分解法時，
我們使用了交易日調整功能。另外，我們已經得知資料的平均數與變異數 有越來越大的趨勢，所以在分解法下，我們將使用乘法模式來討論。乘法 模式的公式為：yt =TRt ×SNt ×CLt×IRt。且趨勢預測估計式為：
t
t t
d =β0 +β1 +ε 。表 6 為分解法中，以乘法模式來計算出之參數估計值。
表 6 分解法趨勢參數估計表 Variable DF Parameter
Estimate
Standard
Error T-Value Pr > |t|
Intercept 1 1820360 71523 25.45 <.0001 t 1 54424 407.8423 133.44 <.0001
由表 6 中結果我們可以得知，此預測估計式為：dt =1820360+54424t， 圖 5 為去季節因素的時間序列圖，紅色圓點原始資料序列圖，綠色星狀為 去季節因素時間序列圖，由圖 5 可以得知去季節因素所顯現出之時間序列 有上升的趨勢；另外，參數估計值中的β0 =1820360為正值。由以上兩點訊 息可得知，原始時間序列是有上升趨勢的。趨勢-循環項的時間序列圖(圖 6)顯示資料是有上升現象的趨勢循環。圖 7 為季節項，由圖可以看出，此 份資料有明顯的季節現象，圖 8 則為不規則項。
圖 5 去季節因素的時間序列圖
圖 6 循環項時間序列圖
圖 7 季節項時間序列圖
圖 8 不規則項時間序列圖
由殘差項的自我相關檢測表(表 7)可看出，Pr<DW 為<0.0001，表示有 嚴重的正自我相關。所以在後面的步驟，我們將會對殘差配適一階自我相 關。表 8 為對殘差配適一階自我相關之後的自我相關檢測表。由表 8 可看 出，對殘差配適自我一階相關之後的 DW 值為 2.6657，P-value 仍小於 0.0001，表示資料仍有負自我相關。
表 7 殘差項的自我相關檢測表 The AUTOREG Procedure
SSE 115692000000000 DFE 301
MSE 384358000000 Root MSE 619966
SBC 8951.774 AIC 8944.347
Regress R-Square 0.9835 Total R-Square 0.9835 Durbin-Watson 0.5548 Pr < DW <.0001
Pr > DW 1.0000
表 8 自我相關檢測表 The AUTOREG Procedure
SSE 55764900000000 DFE 300
MSE 185883000000 Root MSE 431142
SBC 8737.072 AIC 8725.93
Regress R-Square 0.9139 Total R-Square 0.9920 Durbin-Watson 2.6777 Pr < DW 1.0000
Pr > DW <.0001
我們保留了 12 筆的真實值，並以程式計算出之估計式，計算出 12 筆 的預測值。我們將這預測出之 12 筆預測值與 12 筆真實值整理如表 9，且 將預測值與真實值，以及估計出之 95%信賴水準的上下界線，繪製成圖 9。
表 9 分解法實際值與預測表現表
日期 真實值 預測值 L95% U95%
Apr-07 17319344 17094883 16249472 17940294 May-07 19502295 18238471 17157561 19319381 Jun-07 19499790 19378116 18145987 20610246 Jul-07 21116601 20072483 18756070 21388896 Aug-07 22029635 21050586 19650878 22450293 Sep-07 21159553 21217525 19798753 22636296 Oct-07 20621365 20007020 18667024 21347016 Nov-07 19307698 18874701 17611038 20138363 Dec-07 17937274 17662423 16481590 18843255 Jan-08 18605658 16937226 15807060 18067391 Feb-08 16187953 15451821 14423032 16480610 Mar-08 17913642 17958980 16766044 19151916
14000000 16000000 18000000 20000000 22000000 24000000
04/07 05/07 06/07 07/07 08/07 09/07 10/07 11/07 12/07 01/08 02/08 03/08
實際值 預測值 U95%
L95%
圖 9 分解法實際值與預測表現圖
由圖 9 的表現可以看出，在 12 筆的資料當中，即使使用了交易日調整 功能，仍有 2 筆的真實值都超出預測區間之外，分別為 2007 年 5 月及 2008 年 1 月；另外若從整體看來，預測值較實際值為偏低。綜合以上幾點訊息，
此模式的預測能力仍有待商確。
（３）Exponential Smoothing
在指數平滑法當中，當季節的波動沒有變異、保持一致時，通常會對 資料配適加法季節模式；但若遇上季節波動有漸大或漸小的趨勢時，通常 會對資料配適乘法季節模式。若配適乘法季節模式，即能解決變異數不平 穩的問題，不需要再對資料作變數的轉換。
由我們的原始時間序列圖(圖 1)可以看出，此份資料的季節波動有漸大 的趨勢，為變異數不平穩的時間序列，所以我們決定不對資料作變數轉換，
直接配適乘法季節模式。經過多種試驗，我們認為配適 Multiplicative Holt -
Winter Method 的表現為最佳。圖 10 為配適 Multiplicative Holt - Winter Method 後的 ACF 圖與 PACF 圖。
圖 10 ACF 圖與 PACF 圖
由圖 10 顯示配適 Multiplicative Holt - Winter Method 之後的 ACF 圖與 PACF，皆呈現了良好的 cut off 表現，表示配適這個模式是適當的。本分析 方法之預測 Multiplicative seasonality 模式如下：
表 10 為配適 Multiplicative Holt - Winter Method 之後的參數估計值表：
Model Parameter Estimate Std. Error T Prob>|T|
LEVEL Smoothing Weight 0.09276 0.0167 5.5617 <.0001 TREND Smoothing Weight 0.03354 0.0111 3.0287 0.0027 SEASONAL Smoothing Weight 0.179 0.0237 7.5429 <.0001
Residual Variance (σ2) 156000000000 . . .
表 11 指數平滑法實際值與預測值表現表
日期 真實值 預測值 L95% U95%
Apr-07 17319344 17644137 16870540 18417735 May-07 19502295 19056527 18278820 19834235 Jun-07 19499790 20161478 19379090 20943866 Jul-07 21116601 20834752 20047512 21621993 Aug-07 22029635 22010231 21216710 22803753 Sep-07 21159553 21587693 20790555 22384831 Oct-07 20621365 20725531 19925878 21525183 Nov-07 19307698 19632463 18831138 20433787 Dec-07 17937274 18204351 17402673 19006029 Jan-08 18605658 17769415 16964426 18574403 Feb-08 16187953 16124168 15320516 16927820 Mar-08 17913642 18416903 17598020 19235787
14000000 16000000 18000000 20000000 22000000 24000000
04/07 05/07 06/07 07/07 08/07 09/07 10/07 11/07 12/07 01/08 02/08 03/08 真實值 預測值 U95%
L95%
圖 11 指數平滑法實際值與預測值表現圖
由表 11 可以看出，所有的預測值皆與真實值相去不遠，表示我們所建 立出來估計式的預測能力是良好的。再由 95%信賴水準的預測圖可以看 出，所有的預測值皆在信賴區間的範圍之內，僅有 1 筆觀測值是落在 95%
信賴區間的邊界附近，為 2008 年 1 月。若從整體看來，指數平滑法的預測 表現，較時間序列迴歸及分解法的預測表現為佳，表示該模式的預測能力 還不錯。
（４）ARIMA
由於從原始時間序列圖(圖 2)當中，我們已經得知資料的平均數與變異 數皆為不平穩的，所以首先我們要解決變異數不平穩的問題。經過多種試 驗，在此我們將利用取對數後的資料來進行 ARIMA 方法分析。圖 12 為經 過對數轉換之後的時間序列圖，其顯示經過對數轉換之後的時間序列，季 節的波動保持一致的狀態，表示變異數已經達到平穩了。但由此圖 12 仍可 以看出，資料有上升的趨勢，表示平均數仍未達到平穩。另外，我們也可 以配合資料的 ACF 與 PACF 圖，來確定資料是否平穩。由圖 13 經過對數 轉換之後的 ACF 與 PACF 圖可以發現 ACF 圖呈現的是 dies down slowly 的 狀態，更確定了此份資料在經過對數轉換之後，平均數仍是不平穩的，所 以我們要再對資料作一次的差分。圖 14 為經過 log 轉換及一次差分之後的 ACF 與 PACF 圖，由 ACF 圖可以看出，殘差在 lag 12 與 lag 24 之處皆為明 顯的不顯著，這個訊息代表資料是含有季節波動的。如果要解決季節因素 的問題，則需要對資料做季節的差分。
圖 12 變數轉換之後的時間序列圖
圖 13 log 轉換之 ACF 與 PACF 圖
圖 14 Log 轉換及一次差分之 ACF 圖與 PACF 圖
圖 15 為經過 log 轉換及季節差分之後的 ACF 與 PACF 圖，由 ACF 圖 可以看出，此圖所呈現的仍是 dies down 的狀態表示只經過季節差分之後，
資料仍然是不平穩的，所以我們需要對資料做一次差分與季節差分。圖 16 為經過 log 轉換、一次差分、季節差分之後的時間序列圖。由圖可以看出，
在經過這些轉換之後，時間序列的變異數與平均數皆已達到平穩的狀態，
表示資料經過這些轉換是合適的。
圖 15 季節差分後的 ACF 與 PACF 圖
圖 16 經過一次差分與季節差分之後的時間序列圖
圖 17 為經過 log 轉換、一次差分、季節差分之後的 ACF 與 PACF 圖。
由圖可以看出，在經過這些轉換之後，資料已呈現 cut off 的狀態，更加說 明資料已經達到平穩了。另外，我們認為 ACF 圖呈現出較好的 cut off 表現，
所以我們決定要配適 MA 模式。由 ACF 圖可以看出，殘差在 lag1 與 lag12 之處有較明顯的不顯著，且由於原始資料的變異數有變大的趨勢，所以我 們將以乘法模式來處理，對資料配適 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)s 的模式。
圖 17 一次差分與季節差分後 ACF 與 PACF 圖
由圖 18 可以看出，資料呈現出良好的 cut off 狀態，且所有的殘差皆在 兩倍標準差之內，表示此模式的配適是適當的。另外，我們也試驗了其他
由圖 18 可以看出，資料呈現出良好的 cut off 狀態，且所有的殘差皆在 兩倍標準差之內，表示此模式的配適是適當的。另外，我們也試驗了其他