國
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3. 研究方法
本研究將以發專家問卷的方式，取得專家對 98 學年度第一次國中基本學 力測驗的難易度的模糊問卷。而此問卷主要分為兩部分，第一部分為專家們 對於題目敘述、解題策略、計算過程、創新程度這四個決定難度的因子的重 要性的看法。第二部分為專家對每一道個別題目，分別以四個向度去決定其 隸屬度。
本章將以定義 2.2 中的歐基里德距離為基礎，定義出另一種新的距離，
稱之為聚類距離。將從問卷中得到的模糊樣本加以平均，然後分四個向度求 得每一題的模糊平均數對於五個語言變數{非常容易、容易、中等、困難、非 常困難}的聚類點之間的聚類距離。而其基本概念是，距離越短，代表越偏向 該語言變數；反之，距離越長，則代表越偏離該語言變數。
接著再將聚類距離轉換成聚類比例，以此比例當成原模糊數對於五個語 言變數的隸屬度，而得到一個新的模糊數－聚類模糊數。
其實這時所得到的聚類模糊數，其本身即具備一定程度的解釋能力。但 若要比較各題之間難易度，則可利用反模糊化的概念，最後將每一個聚類距 離模糊數的反模糊化值求出，即可以此數代表原樣本所代表的題目在某個向 度的難易度指標。
依照此難易度指標，我們除了可以分向度來比較各題之間的難度順序之 外，甚至可以將各項度的難度指數分別乘上從第一部分問卷數據中所得到的 模糊相對權重值，即得到各題目的綜合加權難易度指標。
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點(clustering point)。例 3.1 聚類點實例
定義 3.2 聚類距離(distance between sample and clustering point)
設U 為一論域，令L{ , , , }L L1 2 Lk 為佈於論域U 的 k 個語言變數。L i
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本文所定義的聚類距離是根據定義 2.2 中的歐基里德距離
2 1
( , ) 1 ( ( ) ( ))
n
A i B i
i
d A B x x
n
所做的修正，修正的原因是問卷題目的語言變數{非常容易、容易、中等、困難、非常困難}，含有偏好序列的成分
。舉例來說，若A 0 0.3 0.6 0.1 0
非常容易 容易 中等 困難 非常困難 為一離散模糊
數，若採用歐基里德距離的算法，分別去算 A 與非常容易和非常困難這兩個 語言變數聚類點的距離
' 2 2 2 2 2
1
( , ) 1 (0 1) (0.3 0) (0.6 0) (0.1 0) (0) 0.54
d A L 5
' 2 2 2 2 2
5
( , ) 1 (0) (0.3 0) (0.6 0) (0.1 0) (0 1) 0.54
d A L 5
可以發現這兩個距離是一模一樣的。但是 A 這個模糊數的隸屬度很明顯的比 較偏向中間偏左，但對非常容易和非常困難的距離卻一樣，這就造成不合理 的現象。
為了修正這個不合理的情況，在原公式中多乘上了一個修正係數：
(1 ( i j) )2 ，讓聚類距離的公式變得合理化。這個修正係數是假定樣本與聚 類點的距離為 1，而五個語言變數之間的距離也為 1(如圖 3.1)。利用畢氏定
圖 3.1
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定義 3.3 聚類比例(clustering ratio)和聚類模糊數(clustering fuzzy number) 設U 為一論域，令L{ ,L L1 2,,Lk}為佈於論域U 的 k 個語言變數。L i 為
0.78 0.50 0.26 0.62 0.86
R A
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0.78 0.50 0.26 0.62 0.86
R A
0.78 0.50 0.26 0.62 0.86
R A
0.78 0.50 0.26 0.62 0.86
R A
0.78 0.50 0.26 0.62 0.86
R A
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4. 實例應用
本研究利用軟統計方法來進行問卷調查之解析，期以更接近人類思維模 式來反應專家們對於 98 學年度第一次國中基本學力測驗數學科試題難易度 的看法。本問卷的抽取對象是台北縣市國高中的數學科教師，有效問卷共 20 份。填寫問卷時間在 98 學年度下學期第 17 周。問卷問題共 35 題，共分為兩 部分，第一部分請填寫者填寫決定難度的因子的重要性；第二部分則是填寫 各題的難度。其中以模糊問卷方式，每題我們請填寫者以 1 到 10 之間的數字，
給予一隸屬度，且每題隸屬度總合為 10。為了驗證本方法所得之難易度指標 與學生答對率的相關性，於基測後一周內取得五個班級學生的作答情況，並 統計這些學生在每一題的答對率。
4.1 各因子的模糊權重
根據問卷的第一部分的結果將其平均，再以定義 2.5 的方法，求得四個 決定試題難易度因子的模糊權重以及模糊相對權重，整理如下表格：
表 4.1 難度四因子的模糊相對權重
題目敘述 解題策略 計算過程 創新程度
很不重要 0 0 0 0.02
不重要 0.03 0 0.05 0.19
普通 0.40 0.11 0.27 0.47
重要 0.55 0.72 0.63 0.31
非常重要 0.02 0.17 0.05 0.01
模糊權重 3.56 4.06 3.68 3.1
模糊相對權重(%) 24.72 28.19 25.55 21.52