過去研究假設報酬變異數固定，但金融資產時間序列資料具有自我迴歸條件 異質變異數效果，因此近來研究多以 Bollerslv（1986）的一般化自我迴歸條件異 質變異數(generalized autoregressive condition heteroskedasticity；GARCH) 模型來 捕捉金融資產變異數不固定的特性，但在 GARCH 模型結構中，假設當期條件變 異數為前期條件變異數與殘差項平方之函數，因此條件變異數只會隨著殘差項的 大小值改變，並不會隨殘差項正負符號而改變，導致不對稱效果（asymmetric effect）
產生(鄭昕宜, 2004)。
以下為文獻中常使用之對稱性（G）ARCH 模型及非對稱性 GARCH 模型：
1. 對稱性（G）ARCH 模型
(1) Engle (1982) ─ autoregressive conditional heteroskedasticity，簡稱 ARCH 模型。
(2) Engle、Lilien 和 Robins (1987)─ARCH in mean，簡稱 ARCH-M 模型。
(3) Bollerslev(1986)─ generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，
簡稱 GARCH 模型。
(4) Engle、Lilien 和 Robins (1987) ─ GARCH in mean，簡稱 GARCH-M 模 型。
2. 非對稱性 GARCH 模型
(1) Glosten, Jagnnathan 和 Runkle (1993) ─簡稱 GJR GARCH 模型。
(2) Nelson (1991)─ exponential generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，簡稱 EGARCH 模型。
(3) Engle 、 Ng(1993)─nonliner generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，簡稱 NGARCH 模型。
(4) Zakoian （ 1994 ） ─threshold generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，簡稱 TGARCH 模型。
本文分析採用 GARCH 和 EGARCH 模型，模型詳述於第一節和第二節。
Granger因果關係
有關變數間的因果關係推論將可能會有判斷錯誤的機會，因此Granger (1969)提出了Granger 因果關係檢定(Granger causality test)。此理論簡單的 來說，他認為變數與變數間是否具因果關係，是建立在預測性(predictability)
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Bollerslev (1986)將 ARCH 模型延伸，加入條件變異數本身的影響效果，提 出一般化自我回歸條件異質變異數模型 (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，簡稱 GARCH 模型)，此模型不但能夠修正 ARCH 模型過長的 線性遞延結構，而且讓模型更具有彈性與解釋力。GARCH 模型是一個專門針對 (volatility clustering) 的現象相符。GARCH模型同時也可以呈現資料為厚尾 (fat tail)與高狹峰(leptokurtic)的特性，因此利用GARCH(1,1) 模型來進行預測，
將提高模型的解釋力並降低預測誤差。
係。
2. GARCH模型在條件變異數中，對參數限制不能為負數，有可能破壞了條 件變異數的動態過程，無法將條件變異數隨機波動的行為納入考慮。
3. GARCH模型無法解釋前期的衝擊對當期條件變異數的影響持續時間。
因 此 ， Nelson (1991) 提 出 能 修 正 GARCH 模 型 缺 點 的 不 對 稱 EGARCH(exponential generalized autoregressive conditional heteroskedasticity )模型(雷立芬, 2010)。
第二節、EGARCH 模型
ARCH 與 GARCH 模型對於波動現象是以對稱性（symmetric）呈現，但根 據 French et al.（1987）及 Nelson（1991）指出，市場對於好消息與壞消息存在 波動性不對稱現象（asymmetric），且壞消息比好消息更容易引發下期較大程度波 動。在探討波動不對稱性現象時廣為研究者所使用的模型，如 Nelson（1991）所 提出指數型 GARCH 模型（Exponential GARCH，EGARCH）。Nelson（1991）
利用 EGARCH 模型研究發現美國股市報酬波動具有不對稱性的現象。此外 Glosten et al.（1993）指出探討股票報酬波動性時，若忽略不對稱現象可能會導 致波動性估計的偏誤。
在過去的一些文獻中發現，金融商品報酬的波動具有不對稱效果，如 Black(1976),Schwert(1989)等，他們都發現到負報酬所產生的波動性比正報酬所產 生的波動性還大，探究其原因乃是因為融資槓桿效果（leverage effect），槓桿效果 是由學者 Black（1976）所提出，Black（1976）發現當期未預期之股票報酬變動 與未來股票報酬波動間存在負相關。Black（1976）將此現象歸因於當公司當期股 價受不利消息衝擊時，若不配合舊有負債大幅減少，將會使負債對股東權益的比 率增加，使得財務槓桿程度加大，因此持有股票的風險將會提高，導致未來股價 波動增加，報酬變異偏高。也就是說，當本期的金融價格受到事件或或訊息的衝 擊而下降時，該公司的融資槓桿比率會上升，使得融資槓桿程度增加，因此會使
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持有金融商品的風險增加，而使得未來報酬波動率加大，所以本期的未預期衝擊 對未來報酬率波動的影響具有不對稱性。另外，Campbell 和 Hentschel (1992)更 提出了另一可能的原因是波動的回饋效果 (volatility feedback effect)，由於波動具 有持續性，即正的衝擊(好消息)通常跟隨著正的衝擊，使未來的波動增加、風險 增加的效果使公司股價下跌，而抵消了正的衝擊所帶來的影響，相對的，對負的 衝擊(壞消息)而言，波動的回饋效果反而會擴大對負的衝擊的影響，因而造成報 酬波動的不對稱效果。
變異數方程式：
𝑙𝑛( ) = 𝜔 |√𝜎𝜀𝑡−1
𝑡−1| 𝛾 (√𝜎𝜀𝑡−1
𝑡−1) 𝑙𝑛( − ) . (2.3.1) 其中
− ：表示t-1期的殘差
：報酬率的條件變異數，即波動性 ：表示符號效應的迴歸係數
根據Nelson (1991)的研究，以及Hamilton (1994)的整理， 具有下列性質：
1. 時，標準化殘差的絕對值愈大(小)，則條件波動會有愈大；其代表在財 務金融市場上常出現的波動叢聚現象。
2. = 時，同規模正向報酬衝擊與負向報酬衝擊( − )具有相同效果。
3. 當 時，不論是正向或是負向同規模報酬衝擊，都會使報酬率波動性增 加，但是負向報酬衝擊的增加效果較大。
GARCH模型與EGARCH模型兩者之差異：GARCH模型與EGARCH模型之 條件變異數都會隨著時間變動而變動。但是EGARCH模型，對於參數的估計幾乎 沒有限制，因此可有效捕捉到好消息與壞消息對於條件變異數的衝擊；而GARCH 模型則設定好消息與壞消息之衝擊都是相同的，此為兩模型最大之差異(雷立芬, 2010)。
第三節、相關檢定及選擇模型準則
將分析序列配適模型前，先對時間序列進行單根檢定，確認數列是否平穩，
並於配適模型後，對殘差進行 ARCH 檢定，檢定殘差是否具有自我相關及確認是 否配適 ARCH 或 GARCH 模型，配適模型後，再以 AIC 為準則選擇較佳模型。相 關之檢定方法及選擇模型準則說明如下：
1. 單根檢定（unit root test）：
單根檢定乃檢定時間序列資料是否平穩及整合級數(integrated order)；所 謂整合級數乃是指時間序列資料只要經過若干次差分即可轉換成平穩型時間 序列模式，「單根」即數列本身為非定態數列，需經 d 次差分才可達定態，舉 例來說，某一個沒有確定項的時間序列，經過 d 次差分後可達定態，則稱此數 列稱為 d 階整合，記為 ~ I(d)，若某一數列不需經過差分即可達定態，表示 該數列不具有單根，記為 I(0)，稱為「零階整合」。由於共整合之變數必須為 同階的整合級次，故在進行共整合檢定之前必須先對時間數列進行單根檢定，
確定變數間具有相同階的整合級次。其檢定假設為，H :有單根，H :無單根，
檢定的顯著水準為α=0.05，若 p-value 皆大於顯著水準，為接受H ，表示此數 列有單根(不平穩)，需再進一步改進；反之，若 p-value 皆小於顯著水準，為拒 絕H ，表示數列無單根且合適、平穩(葉淑媚, 李佳樺, & 許天維, 2007)。
2. ARCH－LM 檢定
Robert Engle 導出 ARCH 的 LM 檢定，因計算簡單廣被採用，為促成 ARCH 廣泛流行原因之一(楊奕農, 2009)。要檢定某一數列是否為一 ARCH(q)模型可 表示成：
= 𝜀 − ⋯ 𝑞𝜀 −𝑞. 𝐻 : = ⋯ ＝ 𝑞 = .
𝐻 : 𝑖 ≠ foranyi.
檢定步驟：
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(1) 𝑦̂ = 𝜀̂。
(2) 以 𝜀̂ 對常數項，𝜀̂ − ，…，𝜀̂ −𝑞作迴歸並計算𝑇 ，式中 T 為樣本大小，
做為判定係數
(3) 若虛無假設成立(即沒有 ARCH)則𝑇 服從𝜒 (q)分配。
3. AIC 準則
赤池信息量準則（Akaike information criterion、簡稱 AIC）是衡量統計模 型擬合優良性的一種標準，是由日本統計學家赤池弘次創立和發展的，是屬於 一種判斷時間序列模型是否恰當的訊息準則，一般來說，數值愈小，時間序列 模型的配適較好。AIC 鼓勵數據擬合的優良性但是盡量避免出現過度擬合
（Overfitting）的情況。所以優先考慮的模型應是 AIC 值最小的那一個，AIC 的 方 法是 尋找 可以 最好 地 解釋 數據 但包 含最 少 自由 參數 的模 型 ( 楊 奕農 , 2009)。