研究目的

現階段已有不少學者模擬出魚類、瓢蟲和美洲豹等紋路，他們皆以二 維直角座標來模擬實際動物的紋路，吾人認為這樣的表現方式還不夠完

整，應該連同本身的曲度也考慮進去才最真實。以球面座標系統來說，考 慮模擬實體如西瓜和哈密瓜或者其它球形水果等應該能更完美呈現真實紋 路。

平日常見的西瓜紋路主要由幾條直條紋的主幹所組成，在主幹的周圍 會分支出較細的紋路，除此之外西瓜主幹的分佈還會有某種程度的週期 性，因此在各類水果中西瓜是最具獨特性的球形水果之ㄧ。

本研究之目的在建立涂林模型的形態發生機制，透過特定的反應項及 初始值設定，並建立一個球表面的二維暫態模型，在計算過程中選擇有限 體積法來模擬數值解，隨著時間的增加，擴散項的擴散作用若與反應項的 激化-抑制作用兩者相抵，直到方程式與時間項無關圖形收斂，我們用此涂 林圖形來模擬實際的水果紋路，為往後研究球面座標的學者們帶來一些方 向和觀念。

第 二 章

反應開始如圖2b，A中間會有局部的自我激化(Local activation)，濃度會越來

0

a u

0

atical biology 中提供了一種簡單的線性化穩定分 析，依據不同性質的特徵值

以 上 兩 式 為 無 擴 散 項 時 成 圖 的 限 制 條 件 。 再 來 考 慮 系 統 中 有 擴 散 項

從上式和前面沒擴散項的條件，可知涂林模型成圖的三個限制，往後選擇

有了a₁₁ ~ a₂₂可代入2-2 節的三個成圖條件得到選擇參數的限制

其中P_n^m(cos) 性如附表一為當

為Associated Legendre Function，² n(n1)，此解析解的特 ]

, 0 [ 

  ，ninteger，則m n，即要使P_n^m(cos)在 的有 效區間內其解不會發散，則n必須大於m之整數。

理上述

(2-31) 有了這三個條件吾人便能在 <

整 假設並且將解析解代入(2-11)式的微擾分析可得 (1) ² 

(2) m n ) 1 (n n

(3) 2min (a₂₂D_u a₁₁D_v)/2D_uD_v

2L

 ²< 的範圍內找出可能成為涂林圖形 的模數 ，其中在  最小值處的模數是最有可能成為主要圖形的特性。

2R

 (m,n)

第 三 章



^{ udAD Ei j Fi j}

(2)系統 B

3.2 初始值的選定

前面提到動物的紋路主要由基因所決定，而涂林模型的初始值也扮演 類似的角色，可作為系統中微擾動的開端。例如有些初始值採用亂數分佈，

最後涂林圖形可保留大部分的不對稱性，如圖9；又或者使用週期性的初始 分佈最後也會保留部分的週期性，如圖10。在許多文獻中，針對不同的動 物紋路會有不同的初始值設定，而目前國內外的學者並未有人針對初始值 的設定提出有系統的解說，到底什麼樣的涂林模型或是生物圖形應該選用 何種初始值分佈。

第 四 章

@================================@

4.2 調整擴散係數大小對圖形的影響

用在於 值的減小會使得 u 值的震盪幅度加深，加強了主模的強度，此特 性可利用在兩階段涂林模型，震盪大經由第一階段收歛的涂林圖形強度就 越強，若第二階段再以第一階段的圖形當初始值，最後的結果可以保留第 一階段圖形的部份特性；例如劉(2007)的美洲豹紋就是利用第一階段涂林模 型以模擬出環狀紋路，第二階段再以環狀圖形當初始值並改變反應項係數 來進行破碎圓環的動作，最後可得豹的玫瑰花紋；或許本文可以考慮使用 這種兩階段的作法來模擬其它的水果紋路。

D

4.3 利用亂數及週期性初始值模擬水果紋路

從前面知道西瓜紋路具有一些特性:(1)主幹會呈週期性的分佈連結到 南北極點，且在南北極點附近會生成一圈圓環圍繞，如圖21a；(2)主幹會無 規律性長出許多細的分支，如圖 21b；(3)主幹本身有小部分的分岔或斷裂 情形，如圖21c 及 d；(4)主幹與主幹之間分支會連結在一起，如圖 21e，總 結這四種特性，發現西瓜紋路本身是個具有週期性且同時擁有散亂分佈的 獨特紋路。

吾人先考慮文獻上常使用的零通量邊界條件來模擬西瓜，選擇初始值 為-0.3 和 1 週期性的分佈， 為介於

u v 0.6的亂數如圖 22，由系統 B 的有限 體積法來離散化，在參數D=0.05,  0.005,  0.93,  0.97，反應項

，取網格 32×64 和

3 2

r t 0.01，最後可得圖 23，其中裡頭的 3D 圖形以 零值為界限給予兩種假色彩(深綠和淺綠)；從圖可知已有西瓜紋路(1)和(2) 的特性，但網格密度還不夠完整表達其分支的情形。

當嘗試將網格提高到96×192 時，發現調整不同的反應項係數或t大小

都不易得到圖形有收斂的情形，因此我們改使用南北極點保持定值u v2

第 五 章 結 論

本文藉由有限體積法來離散化球面座標涂林模型，透過調整擴散項和 反應項的係數並給予適當的初始值分佈，最後收斂的涂林圖形與實際的球 形水果紋路做比對。綜合前一章的結果，可得以下結論:

1. 在已知擴散項和反應項係數的情況下，吾人經由波數分析和找出擾動方 程式的解析解形式，並找出擴散不穩定區域的模數，可推測涂林圖形可 能有哪些特性，此結果與何(2003)一致。

2. 當我們調整擴散項係數 值漸小時，符合模數變多，波長會越來越短，

圖形線條就會變細；反之， 值變大，線條則變粗。若改變D值漸小時，

會使得u 值的震盪加深，此特性可用於兩階的段涂林模型，其結果與劉 (2007)一致。

3. 利用初始值給予週期性和亂數的分佈，在系統B 的定值邊界條件下，參 數為D=0.3, 0.001, 0.93,  0.97, r₃ 3, r₄ 0.5，可以局部模擬 出西瓜的紋路。

4. 同樣利用週期性和亂數的初始值，採用系統 A 的分析方法，在參數 D=0.02,  0.001, 0.9,  0.91, r₃ 3.5下，吾人可以模擬出南瓜的 紋路。

參考文獻

[1] A. M. Turing, “THE Chemical Basis of Morphgensis”, Philos. Trans. R. Soc.

London, Ser. B237, 37, 1952.

[2] A. Gierer and H. Meinhardt,“A Theory of Biological Pattern Formation”, 1972.

[3] J. D., Murray,Mathematical Biology, second corrected endition,Springer, 1993.

[4] B. Ermentrout, “Stripes or Spots Nonlinear Effects in Bifurcation of Reaction-Diffusion Equations on The Square”, Mathematical and Physical Sciences, Vol.434, No. 1891, p413-417, 1991.

[5] J. L. Aragón, C. Vraea, R. A. Barrio and P. K. Maini, “Spatial Patterning in Modified Turing Systems: Application to Pigmentation Patterns on Marine Fish”, 1998.

[6] R. A. Barrio, C. Varea and J. L. Aragón, “A Two-dimensional Numerical Study of Spatial Pattern Formation in Interacting Turing Systems”, Bulletin of Mathematical Biology, Vol.61, 483-505, 1999.

[7] 劉瑞堂，“以涂林模型模擬生物圖形”，國立中興大學物理學系博士論文，

2007。

[8] 何承彥，“熱擴散方程與線性化Turing方程式之數值模擬分析”，國立中正 大學物理系碩士論文，2003。

[9] 吳哲維，“蝴蝶斑紋之有限元素模擬與分析”，國立台灣大學生物產業機電 工程學研究所碩士論文，2006。

[10] C. Varea, J. L. Aragón and R. A. Barrio,“Turing Pattern on A Sphere”, Physic al Review E, Vol. 60, pp. 4588-4563, 1999.

[11] 林士傑，“Turing模型在生物圖形上的應用”，國立彰化師範大學物理研究 所碩士論文，2001。

[12] S. S. Liaw, C. C. Yang, R. T. Liu and J. T. Hongl, “Turing Model for The Patterns of Lady Beetles”, Physic al Review E 64, 041909, 2001.

[13] J. Gjorgjieva, “Turing Patterns on Growing Spheres: The Exponential Case”, Discrete Contin. Dyn. Syst, Series A, suppl, p. 436-445, 2007.

附錄一

n=0,1,2,...，對上式採用 separation variable method 解之

2

且m n

直條紋，在

。以 為例如圖13，可以觀察出 Associated Legendre Function

的一些規律性，當 時，在二維球面座標圖

5 5 0

5 ~ P

P

m0 形中會出現許多深淺不一的

 方向上會有無限多條分支線；當mn且m0時， 在m  方向 越大分支線

上會有2 m 條分支線，m 就會越多，而 方向會有nm條分支 線；而當mn時，同樣在 方向上會有2m條分支線，即圖形會帶有

面分佈，可以觀察出具有對稱性和 m個 若展成球表

週期的橫條紋，而此類紋路

週期性的直條紋，恰好與某些水果紋路相對應。

圖 1 激化-抑止系統，其中 Autocatalysis 表示 的自我激化，

Degradation 為u和 的衰減，圖取自Murray(1993)使用方程式

為 ， 。

u v

v u u bu a

u_t    ²/ ² v_t u² vd²v

圖 2 以 一 維 涂 林 化 學 反 應 式 表 示 激 化 抑 制 系 統 (Activation - inhibition)，Kondo(2002)。

圖3 線性化後不同性質的特徵值 σ 在找出TrA和 A 值後，可與空間 中穩定性區塊做對應，Murray(1993)。

圖4 ( )與波數 的關係圖，當波數介於[ , ]時， 會小於

零，且在 最小值處會有產生 。

 ² ² 2L 2R 

 2min

圖 5 考慮參數 畫出(2-29)式四個不等式的每一條界線，圖 中灰色區域為同時滿足(2-29)式之涂林空間。

417 .

0 D

圖6 球面座標系統示意圖，其中 [0,]且[0,2]。

圖7 系統 A 在球表面取控制體積示意圖，其中綠色區域為主格點 P 的控制體積。

圖8 系統 B 在球表面取控制體積示意圖，其中綠色區域為格點 P 的控制體積。

圖9 涂林模型的(a)亂數分佈初始值，(b)數值計算最後收斂的圖形。

圖10 涂林模型的(a)週期分佈初始值，(b)數值計算最後收斂的圖形。

圖11 參數D 0.417, 0.0194, 0.84, 0.85及 畫出四個 不等式的每一條界線，

5 .

3 3 r

和點落在涂林空間中符合成圖的四 個條件。

圖12 參數D  0.417, 0.0194, 0.84,  0.85,r₃ 3.5時波數與 函數之關係圖。



圖 13 模數(a)(m,n)=(0,5),(b)(m,n)=(1,5),(c)(m,n)=(2,5),(d)(m,n)=(3,5), (e)(m,n)=(4,5),(f)(m,n)=(5,5)。

續上頁

圖14 參數D 0.2,  0.0194, 0.84,  0.85,r₃ 3.5，網格數取 32×64 且 ；(a) 的初始值分佈(b)最後收斂的涂林圖 形。

001 .

0

t u

圖15 利用模數(1,5),(3,5)和(5,5)以 2:3:5 比例所組成一新的組合解。

圖 16 參數D 0.2,  0.005,  0.9,  0.91,r₃  2，網格數 32×64 且t 0.005(a)週期性初始值(b)收斂之涂林圖形。

圖 17 固定D0.2改變(a)  0.001圖形線條呈細線分佈(b)  0.01 線條呈粗線分佈。

圖18 參數=0.01, 0.005, 0.001 其函數的分佈情形。

圖19 參數D=0.2, 0.1, 0.05 其  函數的分佈情形。

圖20  0.005，改變(a)D=0.1 的收斂圖形(b)D=0.05 的收斂圖形。

圖 21 西瓜特性(a)主幹週期性連結(b)主幹有細分支產生(c)主幹分岔 (d)主幹斷裂(e)主幹與主幹之間分支的相連。

續上頁

圖22 (a) 值-0.3 和 1 週期性分佈(b) 介於u v 0.6的亂數分佈。

圖 23 參數D  0.05,  0.005,  0.93,  0.97,r₃  2，(a)最後收 斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖 24 參數D  0.3,  0.001,  0.93,  0.97,r₃ 3,r₄  0.5，網 格數 32×64，(a)最後收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等 高線圖。

圖 25 參數D  0.3,  0.001,  0.93,  0.97,r₃ 3,r₄  0.5，網 格數 96×192，(a)最後收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的 等高線圖。

圖 26 參數D  0.2, 0.001, 0.9, 0.91,r₁  r₄ 1，(a)最後收 斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖 27 參數D  0.02,  0.001,  0.9,  0.91,r₃  3.5，(a)最後 收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖28 為實際南瓜的紋路分佈。

在文檔中 涂林模型在球座標的應用與西瓜表面紋路之模擬 (頁 13-0)