利用亂數及週期性初始值模擬水果紋路

從前面知道西瓜紋路具有一些特性:(1)主幹會呈週期性的分佈連結到 南北極點，且在南北極點附近會生成一圈圓環圍繞，如圖21a；(2)主幹會無 規律性長出許多細的分支，如圖 21b；(3)主幹本身有小部分的分岔或斷裂 情形，如圖21c 及 d；(4)主幹與主幹之間分支會連結在一起，如圖 21e，總 結這四種特性，發現西瓜紋路本身是個具有週期性且同時擁有散亂分佈的 獨特紋路。

吾人先考慮文獻上常使用的零通量邊界條件來模擬西瓜，選擇初始值 為-0.3 和 1 週期性的分佈， 為介於

u v 0.6的亂數如圖 22，由系統 B 的有限 體積法來離散化，在參數D=0.05,  0.005,  0.93,  0.97，反應項

，取網格 32×64 和

3 2

r t 0.01，最後可得圖 23，其中裡頭的 3D 圖形以 零值為界限給予兩種假色彩(深綠和淺綠)；從圖可知已有西瓜紋路(1)和(2) 的特性，但網格密度還不夠完整表達其分支的情形。

當嘗試將網格提高到96×192 時，發現調整不同的反應項係數或t大小

都不易得到圖形有收斂的情形，因此我們改使用南北極點保持定值u v2

第 五 章 結 論

本文藉由有限體積法來離散化球面座標涂林模型，透過調整擴散項和 反應項的係數並給予適當的初始值分佈，最後收斂的涂林圖形與實際的球 形水果紋路做比對。綜合前一章的結果，可得以下結論:

1. 在已知擴散項和反應項係數的情況下，吾人經由波數分析和找出擾動方 程式的解析解形式，並找出擴散不穩定區域的模數，可推測涂林圖形可 能有哪些特性，此結果與何(2003)一致。

2. 當我們調整擴散項係數 值漸小時，符合模數變多，波長會越來越短，

圖形線條就會變細；反之， 值變大，線條則變粗。若改變D值漸小時，

會使得u 值的震盪加深，此特性可用於兩階的段涂林模型，其結果與劉 (2007)一致。

3. 利用初始值給予週期性和亂數的分佈，在系統B 的定值邊界條件下，參 數為D=0.3, 0.001, 0.93,  0.97, r₃ 3, r₄ 0.5，可以局部模擬 出西瓜的紋路。

4. 同樣利用週期性和亂數的初始值，採用系統 A 的分析方法，在參數 D=0.02,  0.001, 0.9,  0.91, r₃ 3.5下，吾人可以模擬出南瓜的 紋路。

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附錄一

n=0,1,2,...，對上式採用 separation variable method 解之

2

且m n

直條紋，在

。以 為例如圖13，可以觀察出 Associated Legendre Function

的一些規律性，當 時，在二維球面座標圖

5 5 0

5 ~ P

P

m0 形中會出現許多深淺不一的

 方向上會有無限多條分支線；當mn且m0時， 在m  方向 越大分支線

上會有2 m 條分支線，m 就會越多，而 方向會有nm條分支 線；而當mn時，同樣在 方向上會有2m條分支線，即圖形會帶有

面分佈，可以觀察出具有對稱性和 m個 若展成球表

週期的橫條紋，而此類紋路

週期性的直條紋，恰好與某些水果紋路相對應。

圖 1 激化-抑止系統，其中 Autocatalysis 表示 的自我激化，

Degradation 為u和 的衰減，圖取自Murray(1993)使用方程式

為 ， 。

u v

v u u bu a

u_t    ²/ ² v_t u² vd²v

圖 2 以 一 維 涂 林 化 學 反 應 式 表 示 激 化 抑 制 系 統 (Activation - inhibition)，Kondo(2002)。

圖3 線性化後不同性質的特徵值 σ 在找出TrA和 A 值後，可與空間 中穩定性區塊做對應，Murray(1993)。

圖4 ( )與波數 的關係圖，當波數介於[ , ]時， 會小於

零，且在 最小值處會有產生 。

 ² ² 2L 2R 

 2min

圖 5 考慮參數 畫出(2-29)式四個不等式的每一條界線，圖 中灰色區域為同時滿足(2-29)式之涂林空間。

417 .

0 D

圖6 球面座標系統示意圖，其中 [0,]且[0,2]。

圖7 系統 A 在球表面取控制體積示意圖，其中綠色區域為主格點 P 的控制體積。

圖8 系統 B 在球表面取控制體積示意圖，其中綠色區域為格點 P 的控制體積。

圖9 涂林模型的(a)亂數分佈初始值，(b)數值計算最後收斂的圖形。

圖10 涂林模型的(a)週期分佈初始值，(b)數值計算最後收斂的圖形。

圖11 參數D 0.417, 0.0194, 0.84, 0.85及 畫出四個 不等式的每一條界線，

5 .

3 3 r

和點落在涂林空間中符合成圖的四 個條件。

圖12 參數D  0.417, 0.0194, 0.84,  0.85,r₃ 3.5時波數與 函數之關係圖。



圖 13 模數(a)(m,n)=(0,5),(b)(m,n)=(1,5),(c)(m,n)=(2,5),(d)(m,n)=(3,5), (e)(m,n)=(4,5),(f)(m,n)=(5,5)。

續上頁

圖14 參數D 0.2,  0.0194, 0.84,  0.85,r₃ 3.5，網格數取 32×64 且 ；(a) 的初始值分佈(b)最後收斂的涂林圖 形。

001 .

0

t u

圖15 利用模數(1,5),(3,5)和(5,5)以 2:3:5 比例所組成一新的組合解。

圖 16 參數D 0.2,  0.005,  0.9,  0.91,r₃  2，網格數 32×64 且t 0.005(a)週期性初始值(b)收斂之涂林圖形。

圖 17 固定D0.2改變(a)  0.001圖形線條呈細線分佈(b)  0.01 線條呈粗線分佈。

圖18 參數=0.01, 0.005, 0.001 其函數的分佈情形。

圖19 參數D=0.2, 0.1, 0.05 其  函數的分佈情形。

圖20  0.005，改變(a)D=0.1 的收斂圖形(b)D=0.05 的收斂圖形。

圖 21 西瓜特性(a)主幹週期性連結(b)主幹有細分支產生(c)主幹分岔 (d)主幹斷裂(e)主幹與主幹之間分支的相連。

續上頁

圖22 (a) 值-0.3 和 1 週期性分佈(b) 介於u v 0.6的亂數分佈。

圖 23 參數D  0.05,  0.005,  0.93,  0.97,r₃  2，(a)最後收 斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖 24 參數D  0.3,  0.001,  0.93,  0.97,r₃ 3,r₄  0.5，網 格數 32×64，(a)最後收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等 高線圖。

圖 25 參數D  0.3,  0.001,  0.93,  0.97,r₃ 3,r₄  0.5，網 格數 96×192，(a)最後收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的 等高線圖。

圖 26 參數D  0.2, 0.001, 0.9, 0.91,r₁  r₄ 1，(a)最後收 斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖 27 參數D  0.02,  0.001,  0.9,  0.91,r₃  3.5，(a)最後 收斂之 2D 圖形，(b)3D 上視及側視的等高線圖。

圖28 為實際南瓜的紋路分佈。