Anghileri (2006)認為教師的教學活動都是為了支持(support)學習而設計，教 室實作和教師都扮演支持互動（supporting interactions）的角色，他提出有效的 數學教學的教室互動模式如圖 2-4-1。層次 1 佈置學習環境（environmental provisions）使學習自然發生，層次 2 和層次 3 教師的介入逐漸增加，透過說明、
回 顧 、 再 建 構 （explaining, reviewing and restructuring） 和 發 展 概 念 的 思 考
（developing conceptual thinking）來支持數學的學習。
第一層鷹架包含人造物（artifacts）（例如教室牆面佈置、操作物、難題以及 合適的工具）和教室組織（classroom organisation）（例如座位安排、排序和行進
（sequencing and pacing）事件）。這個層次的學習發生在與人造物的互動中，學 童在自由的把玩（free play）中透過挑戰和折返來學習，提供工作表或直接的活 動進行結構化的任務（structured tasks），以及個別調整的任務（self correcting tasks）。另外也分組進行同儕合作（peer collaboration），經歷解決衝突的社會歷 程而學習。教師在層次一中不積極介入數學的學習，而情感的回饋（emotive feedback）多以關注或鼓勵的方式表現。
第二層鷹架包括師生在數學思考上的直接互動，以回顧（reviewing）和再建 構（restructuring）的互動來發展學生的數學思維，比傳統的展示、陳述（showing and telling）以及教師單方面說明概念（teacher explaining）更能回應學習者，並 將討論聚焦於概念。學生執行任務時可能沒有找出相關數學概念或解題方向，教 師協助他們回顧先前的活動並聚焦於概念，進一步發展他們自己的數學意義。而 在再建構的過程，教師協助學童修飾經驗，使概念更接近學生已有的理解，建立 數學概念和學生固有理解以及未來學習的聯結，使學生更容易進入數學概念中。
再建構並非更改學生原有的理解，而是比回顧更有意圖地增加反思和澄清。
第三層鷹架創造教師與學生解釋互動的機會，以發展概念的思考。教師參與 概念論述（generating conceptual discourse）並延伸學生的思考，學生透過做聯結
（making connections）和發展代表性工具（developing representational tools）傳 達並建立靈活的技巧和理解。代表性工具的建立最常發生在教師以符號表達數學 的過程，具有中心影響力，而聯結和產生概念論述的互動則對學生的學習更具成 效。
LEVEL 1
environmental provisions
artifacts classroom organization free play peer collaboration sequencing and pacing structured tasks emotive feedback self correcting tasks
LEVEL 2
explaining, reviewing and restructuring
Reviewing Restructuring
looking, touching and verbalising
parallel modelling
prompting and probing
students explaining and justifying
interpreting students’actions and
talk
showing and telling
teacher explaining
providing meaningful
contexts simplifying the
problem
rephrasing students’ talk
negotiating meanings
LEVEL 3
developing conceptual thinking
making
connections developing representational tools
generating conceptual
discourse
圖2-4-1 鷹架學習的教師策略 資料來源：Anghileri, 2006: 39
Anghileri（2006）主張，數學的學習不只是複製教學過程和解決單一問題，
數學概念發展注重一般化、特殊化以及抽象化的過程。Baroody （桂冠前瞻教育 叢書編譯組譯，2000）認為，小學階段數學教育的主要目標是，促進概念的學習 和連結形式知識與抽象概念，有意義的數學教育應考慮利用兒童非正規的知識來 介紹形式的數學定義，幫助他們連結乘法運算和既有的加法知識，這些形式的知 識將更具意義且容易被接受。van den Heuvel-Panhuizen (2001)也指出，RME 的乘 法教學是採先建立概念，再以數數為基礎、依照結構和彈性的運算方式引入乘法 表，而且會依照情境和問題延伸數字大小的範圍，不再限於傳統的十十乘法表，
在概念核心和運用廣度上都異於傳統的方式。學童在這樣的過程中，最初大多由 數數、跳著數的方式來解決乘法問題，第二步則進入有結構的乘法運算，第三步 已經可以運用形式化的計算和乘法算式，最後則逐漸把乘法表背起來。
van de Walle （張英傑、周菊美譯，2005）認為，文字題和模型是教師必須 幫助學生發展四則運算概念的兩個基本工具；學生建構運算意義最重要的方法是 解答文字題，從研究中得知，幼稚園的幼兒便能夠從故事性的問題中擷取數字完 成運算，在過程中發展出新的、有效的計數策略；而模型可以當作思考的玩具，
來分析故事性問題的可能架構，作為故事性問題之中數學意義和符號間的連結；
模型和圖畫表徵可以幫助傳遞數學內容，因此，經常能幫助學童更瞭解故事性問 題的結構；透過思考模型、文字題與符號等式這三種語言可以幫助學童發展運算 的意義，是讓他們從一種語言轉換到另一種語言的有效方法。
由於文字題可以塑造情境，模型可以塑造概念的表徵，因此，個人將以分組 計數概念和倍的語言作為引入乘法概念的模型，以故事和遊戲塑造文字題的似真 情境，讓「倍」的語言穿梭在等值群組和倍數比較的情境中作為溝通的工具，也 利用「倍」的語言作為溝通連加算式和乘法算式的工具。所以，本研究的四個核
心構念為「分組計數概念」、「倍的語言」、「數學故事繪本」和「數學遊戲」。以 下從乘法概念的教學設計和似真情境的營造兩方面，進一步說明這四個核心構念 的角色。
一、乘法概念
事物或想法可以透過某種形式的表徵（representation）展現出來，進行與人 溝通的目的（蔣治邦，1994）。人類使用信號（signal）來表徵活動經驗，使經驗 可以遷移到不同的時空，從學習數學概念的經驗中可能發展出信號，透過約定俗 成而成為符號（symbol），理解的產生使符號表徵成為運思的材料（甯自強，
1993）。Bruner (1966)指出動作（enactive）、圖像（iconic）及符號（symbolic）
三 種 表 徵 數 學 概 念 的 形 式 。Lesh （ 1979 ） 則 認 為 ， 實 物 情 境 （ real-world situations）、操作具體物（manipulative aids）、圖像（pictures）、口語符號（spoken symbols）以及書寫符號（written symbols）表徵都是溝通的工具。
Bruner（1966）進一步指出，圖像運思是指用心像（image）來掌握概念，
由物件或圖形的表徵獲得知識之後，腦中留存的心像不會隨著具體物而消失，這 個抽象的意義或影像可以進行內在活動作為運思的工具。在幼兒及小學階段的數 學教學，應該是「操作圖像符號表示」雙向的連結，學童從操作中吸取經驗進 而能作圖像表徵，最後轉換成數學符號；當看到數學符號時也能利用圖像或操作 加以說明（林文生、鄔瑞香，1999）。由此可知，表徵在數學概念的啟蒙上是很 重要的一部份，學童運用具體表徵幫助自己瞭解抽象的數學概念，掌握知識的意 義之後，便可以將表徵以符號或抽象的方式轉譯和運用來達到解題的目的。教師 若能善用表徵搭建學習鷹架，應可使學童更順利地由具體運思過渡到形式運思
（洪郁雯、楊德清，2006）。
Alseth（1998；引自詹勳國等譯，2004）的研究要求 16 位未曾學過乘法的 8 歲學童選擇一個圖示來回答問題，結果顯示學童所選的圖示和乘法結構都沒有關 係，他們都是依賴數數來解決問題。例如，在「15 個小孩，每 3 個小孩坐一桌，
共需要幾桌？」這個問題中，學童一點都不關心圖示的用意是否表示問題中小孩 分組的情形，他們只要看到總數是15 就可以了。這個研究說明，除非學童已經 完全掌握問題的內在概念，否則他們不能在問題情境中自行發展圖示，因此，教 師應該在教導概念時就使用圖示，才能最有效地幫助學童瞭解概念。陳竹村
（2000）認為，概念因個人經驗的不同而有個別差異，並且會隨著年齡成長而抽 象得更加精緻完美；物件捨棄大部分特性得以轉換為表徵時已經失真，透過語言 文字表徵傳遞概念，似乎不如讓學童直接經驗物件來得容易理解。因此，在引入 數學概念之初就應兼顧圖示和語言的表徵，取兩者之優點來協助學童以語言表達 正確的數學心像。
（一）分組計數概念
乘法是小學整數教學的重點，其核心為排列模型的理解與九九乘法的熟練，
在2 個一數、5 個一數、10 個一數等乘法前置活動中，學童已具有運用花片教具 進行幾個一數的經驗；排列模型之於乘法，與合成分解模型之於加減法，都是最 本質又互相融洽的兩個模型，在解題、概念理解、掌握運算性質、推理上都有相 當多的好處，因此在教學上要有意識地向排列模型過渡（教育部國民教育司，
2003）。
在問題情境例如「1 排學生有 5 個人，4 排學生共有幾個人？」中，應利用
「倍」的解題活動持續將學童的解題與排列模型連結起來，要求學童找出與問題 中對應的「單位」，檢查學童在「5 個人的 4 倍是多少？」問題中能否將 5 個人 視為一單位，以協助他們建立「一組」的乘法概念思維並分辨單位量與單位數。
這時，學童應能從排列模型漸漸體會乘法交換律「5 個人的 4 倍」與「4 個人的 5 倍」答案相同，但是分組計數方式卻不相同，如圖 2-4-2。教師可利用這個時 機強調乘數和被乘數意義的不同，不能任意互換並輔以物體計數單位來協助學童 瞭解（例如5 顆×4＝20 顆）（教育部國民教育司，2003）。
圖2-4-2 分組計數模型
資料來源：教育部國民教育司，2003
（二）倍的語言
Nesher（1988）研究中發現，希伯來學校引入乘法初始概念時強調「P」（即 希伯來文中的「倍」）的語言線索，因而以色列學童寫出的乘法文字題以比較型 問題居多，學童也多根據「倍」的語言而非「連加」的模式來解釋乘法問題。相 較於國內的學童在等值群組問題的表現較佳，以色列學童反而在倍數比較問題中 有較優異的表現，可見乘法概念的引入方式可能影響學童未來乘法概念的發展。
雖然，「倍」的意義不是乘法意義的全部，但是，在發展到分數、小數乘法 時卻仍可作為通用的語言。教師對「倍」的意義要加以堅持，如果用單位量轉換 的觀點引入，也就是讓「倍」的語言通用於整數和小數的乘法，似乎可以避免學 童以為「乘法就是同數累加，越加越大」的困擾（陳淑琳，2000）。如 4×5 是 4 的 5 倍，二年級學童對「一半」通常都很熟悉，可以讓他們經驗 4×(1/2)是 4 的
雖然，「倍」的意義不是乘法意義的全部，但是，在發展到分數、小數乘法 時卻仍可作為通用的語言。教師對「倍」的意義要加以堅持，如果用單位量轉換 的觀點引入，也就是讓「倍」的語言通用於整數和小數的乘法，似乎可以避免學 童以為「乘法就是同數累加，越加越大」的困擾（陳淑琳，2000）。如 4×5 是 4 的 5 倍，二年級學童對「一半」通常都很熟悉，可以讓他們經驗 4×(1/2)是 4 的