第二章 文獻探討
根據Carpenter 及 Fennema (1992)的分析，近二十年來世界上大部分國家中 小學數學教育目標幾乎都以學生為重，尤其在了解學生如何思考上有顯著的進 步。NCTM（2000）發表的「學校數學的原則與標準」（Principle and Standards for School Mathematics）指出：學生應該主動積極地在過去經驗和先前知識上建立 新知，用理解的方式來學習數學；而有效的數學教學必須瞭解學生知道什麼和需 要學習什麼，才能刺激和鼓勵他們學習得更好。因此，教師在進行數學教學之前 應瞭解學生的先備知識和所必須學習的數學概念，並在教學中引發學生的學習動 機，才能達成有效率的教學。Shulman (1987)認為，教師知識應包括內容知識、
一般教學知識、課程知識、教學內容知識、教學脈絡知識以及教學目的與價值七 類。Fennema 及 Frarnke (1992)在數學教師知識發展模式中也提出，數學教師應 具備數學知識、學習者數學認知的知識、教學知識以及與特定脈絡知識的關連 性。教師需要對數學知識、學童的認知發展結構和數學教學知識有相當程度的掌 握和了解，才能利用數學課室裡多元開放的討論培養學童獨立思考和尊重的習 慣，使用明確有效的數學語言和有憑有據的數字進行數學的理性溝通。所以，本 章將從數學教師應具備的數學知識、學生知識和教學知識三方面探討國小階段的 乘法課程與概念結構、學童的乘法概念學習和教師的乘法概念教學，最後提出個 人的預擬研究架構。
第一節 國小階段的乘法課程
本節將探討小學乘法課程的轉變、乘法課程的概念結構和低年級乘法課程的 內容。
一、數學課程的轉變
鍾靜（1999）指出，台灣小學數學課程發展的分水嶺是 64 年版課程和 82 年 版課程，其課程理念由「學科中心」轉向「學生中心」，教材組織由「學科組織 邏輯」轉向「學科發生邏輯」，教學方法由「講述式教學」轉向「討論式教學」。
九年一貫課程則是82 年版的延續和擴充（鍾靜，2005），而 82 年版的國小數學 課程標準是根據知識發展的可能歷程以及學童認知結構發展的層次來擬定的，這 種作法和九年一貫課程強調培養學生的數學能力而非灌輸數學知識的精神一致 (周筱亭、黃敏晃，2000)。因此，個人依循 82 年版對教材基本概念的分析，來 探討九年一貫課程暫綱中的數學教材。
由於課程發展方向的改變，乘法概念的引入方式也有部分的修正，周筱亭、
黃敏晃（2000）指出 64 年版課程透過「連加」的方式引入乘法算式的理由是：
被乘數及乘數都是正整數的倍的問題，很容易轉換為連加的問題，學童可以很快 地掌握乘法算式的意義，並使用乘法算式摘要記錄解題過程與結果；但是，當乘 數擴充至分數及小數時，將一個數「連加非整數次」卻沒有意義，學童無法類比 乘數是整數的乘法問題，因此，當乘數是分數或小數時則改用「倍」的語言引入 乘法算式，一個數學符號用兩種不同的方式引入，似乎代表這個符號具有兩種不 同的意義，因此，國小學童很容易混淆乘號的兩種不同意義；而82 年版的課程 將乘法看成是「單位量轉換」的活動而不是「特殊的合成活動」，讓學童能以一 貫的想法擴展數學符號的意義，用「單位量轉換」的觀點引入乘法算式，不論乘 數是整數、分數或小數，所有的乘法問題都可以視為單位量轉換的問題。例如，
「6 本書裝一盒，3 盒共有幾本書？」6×3=18 的算式中，解題者要將原來以「盒」
為單位的量轉換為以「本」為單位的量；「1 片烙餅是 1/4 個，40 片是多少個烙
餅？」1/4×40=10 的算式中，要將以「片」為單位的量轉換為以「個」為單位的 量；「100 個橘子裝一箱，0.3 箱有幾個橘子？」100×0.3=30 的算式中，要將以「箱」
為單位的量轉換為以「個」為單位的量，這些都是單位量轉換的活動。當擴充到 除法問題時，包含除是新單位數未知的單位量轉換活動、等分除是新單位量未知 的單位量轉換活動。所以，九年一貫暫綱也依循82 年版的方式以「單位量轉換」
的觀點引入國小階段的乘法概念，幫助學童更容易銜接往後的乘、除概念（周筱 亭、黃敏晃，2000）。甯自強（1994）表示，乘法問題是「單位量轉換的問題」
也就是「倍的問題」。因此，單位量轉換的活動可視為「倍」概念的鷹架。
二、乘法課程的概念結構
從知識論的層面來看，數學概念具有嚴謹的邏輯關係；從心理學的層面來 看，數學概念之間若能構成緊密聯結的網絡將有助於理解；如圖2-1-1 所示，乘、
除是數學基本運算，與其他概念之間有密切關聯（劉秋木，1996）。Vergnaud (1994) 也說，乘法的概念體包括乘、除、線性函數、比與比率、分數、有理數、因次分 析和線性組合，乘法結構對未來許多單元的學習都有相當的重要性。
比例 速率 函數 機率
倍數 乘 除 因數
分數
加 減
圖2-1-1 乘除法的概念網絡 資料來源：劉秋木，1996：327
乘法問題的結構有許多不同的分類方式：Usiskin 及 Bell（1983）依據乘法 功能的應用來分析乘法問題，Vergnaud（1983，1988，1994）由度量空間的觀點 來考慮乘法問題的結構，Greer (1992，1994)利用乘法問題的情境分類，Schwartz
(1988)以內涵量和外延量來討論乘法的結構，而 Nesher (1988)則依組成結構分 類。以下進一步探討這些不同的觀點。
（一）Usiskin 及 Bell 的觀點
Usiskin 及 Bell （1983）認為，乘法的功能在應用上可以分成大小改變（size change）、交叉組合（acting across）和比率因子（rate factor）三個部分：
1. 大小改變：包含一個量和一個影響這個量的因子，這個因子是一個沒有單位 的純量，只是作為比值對照，即「改變大小的因子 × 原來的量 = 最後的量」， 原來的量和最後的量單位相同。表 2-1-1 顯示大小改變的情境在文字題上的 不同變化。
表2-1-1 大小改變因子的應用形式
大小改變因子的值 應用的形式
＞1 放大、利息、倍（times as many）
＝1 大小不改變
＜1 收縮、折扣、整體中的一部份(parts of)
＝0 歸零（annihilation）
＜0 上述情況合併方向性的改變
資料來源：Usiskin 及 Bell, 1983: 205
2. 交叉組合：以 A×B 表示而 A 和 B 單位不同，例如 3 位編輯者花費 5 個月編 輯一份原稿的總工作量、100 瓦特的燈泡使用了 14 小時的耗電量、面積和兩 類物品配對的組合數。這些例子包括兩個量作為因子，任何一個因子可以和 另一單位的所有因子組合，導致乘積的量的單位與兩個因子都不同，而是兩 者的複合單位。
3. 比率因子：例如張數/盒、學生數/班級、字數/分鐘、毫克/顆、公里/小時，這 些比率發生在真實世界的許多情境中。這個形式的乘法只考慮單位，而且這 個單位會被抵銷，例如（單位a/單位 b）× 單位 b = 單位 a，即「比率因子 × 量 = 另一個量」。
(二) Vergnaud 的觀點
Vergnaud（1983，1988，1994）由概念體（conceptual fields）和行動原則
（theorems-in-action）考慮比例（proportion ）問題，認為簡單比例（simple proportion）、連鎖簡單比例（concatenation of simple proportion）、雙重比例（double proportion）以及比和比率的比較（comparison of rates and ratios）是乘法結構主 要的類別。因此他從度量空間（measure space）的觀點，將乘法結構定義為度量 同構（isomorphism of measures）、度量乘積（product of measures）和多重比例
（multiple proportion）三種類型：
1. 度量同構：兩個度量空間（簡稱 M1 和 M2）的直接比例，探討 a、b、c、x 四個值之間的關係。可依未知數所在位置而分類為乘法、包含除和等分除問 題，當a=1 而未知數為 x 時即為乘法問題，如表 2-1-2，a:b=c:x，b×c=a×x。
2. 度量乘積：是由 M1 和 M2 的乘積組成第三個度量空間（簡稱 M3），探討b、
c、x 三個值之間的關係。可依未知數所在位置分類為乘法、包含除和等分除 問題，當未知數為x 時為乘法問題，如表 2-1-3，b×c=x。
3. 多重比例：涉及 M1、M2 和 M3，M3 與另外兩個獨立的 M1 和 M2 成比例，
探討a、b、c、x 四個值之間的關係。可依未知數所在位置而分類為乘法、包 含除和等分除問題，當未知數為x 時為乘法問題，如表 2-1-4，(1×1):a=(b×c):x，
a×b×c=x。
表2-1-2 量數同構 表 2-1-3 量數乘積 表 2-1-4 多重比例
M1 M2 M2 b M2 1 b a
c b
x M1
c
M3 x
M1 1 c
M3 a
x
資料來源：Vergnaud, 1983: 133 資料來源：Vergnaud, 1983: 141 資料來源：Vergnaud, 1983: 135
(三) Schwartz 的觀點
Schwartz (1988)以三個向度的量化觀點考慮乘法結構，區分外延量（extensive quantities, E）和內涵量（intensive quantities, I）。E 是可以直接計算（離散量）或 測量（連續量）並透過加法倍增的量，例如重量、價格和時間。而I 是兩個 E 的 比值，例如價格/公斤、速度和密度。乘法的結構依語意關係可以分為：
1. I × E = E’：即 Vergnaud 的度量同構，例如：4 個/盒 × 3 盒 = 12 個
2. E × E’= E”：即 Vergnaud 的度量乘積或笛卡兒積、面積，例如：5 件上衣 × 2 條褲子 = 10 套外出服
3. E × S = E’：即 Usiskin 的大小改變因子（size change factor），S 是常量（scalar）
例如：倍數、折扣、加成。
4. I × I’= I”：是科學上常用的例子，如：80 公里/時 × 10 時/天 = 800 公里/天
(四) Nesher 的觀點
Nesher (1988)參考 Schwart 和 Vergnaud 對乘法結構的分類，依語義關係將乘 法問題分為三種，並認為每個問題的文字敘述都包含以下三個部分：
1. 函數規則（mapping rule）：Fischbein, Deri, Nello 及 Marino (1985)也稱為連加
（repeated addition），即Schwartz 的 I × E = E’和 Vergnaud 的度量同構。以「每 個人有 2 隻手，4 個人共有幾隻手？」為例，問題敘述包含第一部份描述兩 個值，2 隻手、4 個人；第二部分描述兩個值的關係，每個人有 2 隻手；以及 第三部分求答，共有幾隻手？
2. 倍數比較（multiplicative comparison）：近似 Schwartz 的 E × S = E’或包含於 Vergnaud 的度量同構。以「我有 5 元，哥哥的錢是我的 3 倍，請問哥哥有多 少元？」為例，第一部份說明基準量，我有5 元；第二部分描述基準量與比 較量的對應關係，3 倍；以及第三部分求答，哥哥有多少元？
3. 笛卡兒積（cartesian multiplication）：即 Schwartz 的 E × E’= E”和 Vergnaud 的 度量乘積。以「誠誠有紅、白、黃3 件上衣和藍、黑 2 條長褲，總共可以搭
配出幾種不同的外出服？」為例，第一、二部份描述兩個獨立的集合，上衣、
長褲；以及第三部分求答，搭配出幾種外出服？
(五) Greer 的觀點
Greer (1992, 1994) 依問題情境將正整數乘法分為等值群組（equal groups）、
倍數比較（multiplicative comparison）、矩形陣列（rectangular array）與矩形面 積（rectangular area）以及笛卡兒積（Cartesian product）四類，並將這些情境推 廣到分數及小數（詳見表2-1-5）：
1. 等值群組：由包含相同數目之物體的集合構成，「每組數目 × 組數 = 總數」，
推廣到分數、小數則有比率的情境。
2. 倍數比較：常以「a 的 n 倍是多少？」來敘述的情境。
3. 矩形陣列與矩形面積：例如分割長方形為邊長 1 公分的正方形來計算面積，
或計算排列成m 列 n 行的物品總數。
4. 笛卡兒積：描述由兩個集合中各取一元素組成的序對（ordered pair）關係。
表2-1-5 Greer (1994)乘法情境模式 整數
（integer）
乘數是整數
（integer multiplier）
分數
（fractions）
小數
（decimals）
比率
等值群組 度量連加
（equal measures）
有理數比率
（rational rate）
比率 度量換算
（measure conversion）
倍數比較
倍數比較 倍數比較
部分/全體
（part/whole）
倍數比較 部分/全體 倍數改變
（multiplicative change）
矩形陣列 矩形面積
矩形陣列
矩形面積 矩形面積 矩形面積
度量乘積 笛卡兒積 度量乘積
資料來源：Greer, 1994: 64
綜合以上各家的分類可以整理成表2-1-6。
表2-1-6 Greer 與 Vergnaud、Schwartz、Nesher、Usiskin 及 Bell 等人的分類比較
Usiskin 及 Bell Vergnaud Schwartz Nesher Greer
比率因子 I × E = E’ 函數規則
（mapping rule） 等值群組 大小改變
度量同構
E × S = E’ 倍數比較 倍數比較 矩形陣列 交叉組合 度量乘積 E × E’= E” 笛卡兒積 矩形面積
笛卡兒積 資料來源：作者自製
依據Usiskin 及 Bell 的分類，只需觀察被乘數、乘數以及積數的單位變化，
便可清楚分辨是屬於哪一類的乘法；Vergnaud 將乘法與除法整合為未知數在不同 位置的相似關係，使學習者易於察覺乘法與除法一體兩面的概念；Schwartz 和 Vergnaud 均從向度來分析乘的結構，區別在於 Vergnaud 考慮四個值而 Schwartz 考慮三個值的關係；Nesher 剖析問題語句組成，以語義、問題組成部分來分類；
而Greer 以情境引入並考慮數字性質的分類法，更符合國小課本的單元編排。以 上各家模式所使用的符號與名稱上或有不同，但是類型意義相近。其中Greer 依 情境分類並細分為整數、分數、小數等，符合我國學童的學習進程，也較貼近學 童生活經驗，考量小二學童認知發展的理解歷程，以及課本內容編排皆以情境引 出問題，以下的分析採Greer 的觀點，接著探討課本在乘法課程的內容。
三、低年級乘法課程的內容分析
個人任教的年段目前採用仁林版課本（仁林編輯團隊，2005a），第一階段乘 法啟蒙教材配合能力指標N-1-4「能透過累加活動連接倍的語言，理解乘法的意 義並解決生活中簡單的（積≦100）整數倍問題」，屬於正整數乘法的範圍。周筱 亭、黃敏晃（2000）指出，「整數乘以整數」的乘法問題中同時存在兩種不同的 單位，以「5 隻狗有幾條腿？」為例，在「條」與「隻」這兩個單位中，被乘數 和積數都是以「1 條」為計數單位，學童較易掌握被乘數的意義，而乘數是描述
有多少個被乘數，因此布題通常考量乘數範圍的限制。在進行活動時，為了讓學 童專注於乘法概念的形成過程，可以要求將倍的問題控制在單位數≦12、單位量
≦15 以及積數≦100 以內。
Clark 及 Kamii (1996)和 Steffe (1988)的研究都指出，當兒童是 1 個 1 個計數 時，要思考物體的倍數是很慢的。82 年版部編本預期，一年級的學童屬於序列 性合成運思期，一下開始產生累進性合成運思，二年級學童大約處於累進性合成 運思期，而三年級則可進入部分-全體運思，三下開始擁有部分-全體運思於是可 以完全掌握異於1 的倍數（陳淑琳，2000）。由於，小二上的學童已經有相當豐 富的累進性合成運思的活動經驗，可以重複製作一個集聚單位（例如「5」），並 對此重複製作的集聚單位進行點數活動，不再只依靠1 個 1 個計數而可以理解「4 個 5」的意義，因此，可以透過合成活動的觀點使用「又 1 倍」（又 1 個集聚單 位）的累加策略解決倍的問題。以5×4=( )為例，累進性合成運思期學童的想法 是「有1 個 5、再來 1 個 5 是 10、再來 1 個 5 是 15、再來 1 個 5 是 20」，也就是 說，他們會使用加法策略來處理乘法（倍的）問題。又如「1 隻青蛙有 4 條腿，
6 隻青蛙有幾條腿？」的問題，大多數的學童會運用多步驟的累進性合成運思活 動把4 當作起點，連續進行 5 次「又 4（又 1 倍）」的加法活動。當學童在量的 情境下能解決倍的問題後，接著，就可以在數的情境下求解相同的問題。而學童 數概念進入部分-全體運思期，掌握了「又 1」與「又 1 倍」間活動的差別之後，
進而可以發展出「又幾倍（2 個 5 是 10、再來 2 個 5 是 20、再來 2 個 5 是 30）」
或「又10 倍」的策略，來簡化乘法問題的解題過程（周筱亭、黃敏晃，2000）。
仁林版國小數學第三冊（仁林編輯團隊，2005a）中，分別以「幾個幾」和
「多少倍」作為等值群組和倍數比較問題的數學語言，這兩個單元的目標是：能 瞭解「幾個一數」的概念、理解「倍」的意義並能連結「幾個幾」和「幾的幾倍」
的語言。之後的第四、五、六冊各有一個相關的單元，第四冊的單元目標是能將
「幾的幾倍」的用語連結到乘式的符號「×」，能使用×、=做乘法的橫式記錄，
理解九九乘法表並用乘法算式紀錄分裝及平分的結果；第五冊的單元目標是能解 決積在100 以內的乘法問題，知道「被乘數、乘數、積」的用語並能用算式紀錄 乘法計算的結果；第六冊的單元目標是能解決乘數為一位數的乘法問題，並用算 式把作法記下來，能解決生活中列出的乘法算式填充題（仁林編輯團隊，2005b）。 因此，低年級學童應達成的乘法概念學習目標為：由等值群組和倍數比較的問題 情境中瞭解乘法的概念，由加法算式的記錄逐漸轉換為乘法列式，以及理解九九 乘法表。
第二節 乘法概念的學習
以下由認知發展的相關理論和實徵研究兩方面來探討乘法概念的學習。
一、認知發展的相關理論
82年數學課程標準的「國小數學課程實驗研究小組」提出：學童對問題的理 解方式以及解題策略，都會受到運思方式的約制（周筱亭、黃敏晃，2000）。Piaget
（林文生、鄔瑞香，1999）的認知發展論指出，學童的發展受限於認知階段，而 且學童的學習成效與認知發展有相當大的關係；Vygotsky（林文生、鄔瑞香，1999）
的社會建構論主張，學童在成人及有能力的同儕合作下會提升原有的發展水準，
表現出更高的學習潛力；Pirie及Kieren （1991）提出數學理解的動態成長歷程，
認為概念理解不是一個線性單調的過程，學童在學習過程中發生「折返（folding back）」現象以建構更完整的理解。以下將就這三個部分來探討學童的認知發展。
（一）Piaget認知發展論
Siegler及Alibali （林美珍編譯，2004）提出，Piaget認為智力會隨著生理上 的成熟以及經驗的增長而改變，原本的平衡狀態因無法同化新的訊息而產生調 適，認知的發展經由同化（assimilation）、調適(accommodation)最後達到更高層 次的平衡(equilibrium)。Piaget經由觀察及臨床晤談，以四個時期來說明兒童認知 發展的主要特徵及「質（quality）」的變化（參見表2-2-1），個體由一個階段到另 一階段的年齡雖有很大的差異，但是階段的順序是保持不變的（邱上真，2003）。
表2-2-1 Piaget兒童認知發展階段
發展階段 特徵
感覺動作期
（出生∼2歲）
依賴對具體事物情境的感覺和動作才能進行認知活動，缺乏抽象的認 知形式。
運思前期
（2歲∼7歲）
靠直觀方式來調整自身與外界的關係，開始有較抽象與符號表徵的心 理活動。
具體運思期
（7歲∼11、12歲）
逐漸擺脫自我中心，具有守恆概念和基本邏輯推理能力。
形式運思期
（11、12歲以後）
具有假設-演繹思考、抽象思考及系統性思考，能處理較複雜的問題 及較高層次的思考。
資料來源：作者自製
依據Piaget的分類，國小低年級階段的學童約處於具體運思期，應有合理的 因果性推理能力，可以掌握可逆性運思，能對具體可觀察到的事物進行抽象思 考，即使問題相當複雜也有能力處理，但是，仍然無法對抽象的、假設的或機率 的情境進行思考（邱上真，2003）。Siegler及Alibali （林美珍編譯，2004）認為，
相較於學齡前兒童，低年級學童可以表現出真正的心理運思，能夠表徵出轉變與 靜態，可以解決守恆、階層集合包含關係、時間等，但是，對於考慮所有的可能 性仍有困難。兒童的思考模式在任一階段皆異於成人，必須透過與環境的互動，
經過同化、調適與平衡之後才得以產生認知結構的轉變，因此，只有配合兒童認
知發展水準的教學才能發揮效果（邱上真，2003）。
（二）Vygotsky的社會建構論
Vygotsky 認為，藉由心理工具（如符號、語言、圖表）進行溝通是人類所獨 有的高層次心智功能，社會情境和言語互動都會影響兒童概念的發展；成熟只能 影響學童能不能開始學習某些事情（例如學會數數才能開始學加法），而不能完 全決定發展，學童是在環境互動中學習成長，創造發展的改變（吳慧珠、李長燦，
2003）。Vygotsky（1978；引自林文生、鄔瑞香，1999）說「最近發展區（zone of proximal development, ZPD）是指那些已在成熟的進程中但尚未成熟的功能。」。
Siegler 及 Alibali （林美珍編譯，2004）提出，ZPD 說明發展不是量表上的一點，
而是各種行為組成的連續線或成熟度，是學習者獨自解決問題的實際水準與經由 協助的潛在發展水準之間的距離，在 ZPD 中學習者需要必要的協助與支持直到 能獨立完成該項工作。Berk 及 Winsler （谷瑞勉譯，1999）認為，學童最初的新 能力是藉由與教師和其他有能力的同儕合作來發展，再內化為心理世界的一部 份。所以，ZPD 會隨著兒童獲得較高的思考和知識水準而不斷改變，如圖 2-2-1。
教師有時會在實作中發現學童有「依賴」或「遲遲不做」的行為，但是，若 稍加引導學童便逐漸能夠獨力且樂於完成該項工作。這種學習的潛能似乎說明，
學童在進入學校之前累積的許多生活經驗已經使學童處在「成熟的進程」中，某 種能力或概念已經萌芽，然而學童本身並不明白彼此之間的關聯，困惑遲疑或裹 足不前的現象經過教師或同儕的互動激盪引發 ZPD 的發展後，可能使該項能力 的學習成就達到較高的水準。所以，學童的學習可以在一次又一次 ZPD 的發展 與調整之中不斷地成長。
時間 圖2-2-1 最近發展區的動態本質 資料來源：Bodrova, 1996: 37
（三）Pirie 及 Kieren 的動態可折回論
Pirie 及 Kieren (1994a, 以下簡稱 P-K)認為，數學概念的理解經過八個環狀 相嵌的層次，理解是動態的歷程而非由內而外的直線發展或層次位置（location）
的獲取，在面對挑戰或質疑時有可能由外層「折返」內層，重新建構、詳細闡述 內層理解，以支持並導致新的外層理解。所以，數學概念發展的過程在任何層次 都有可能發生折返的現象，甚至促進折返的發生。
概念理解的八個層次只代表動態現象某一部份的名稱，不獨立存在於對個案 的觀察之外，「最初的知曉（primitive knowing）」不代表最低層次的數學，「創造 (inventising)」也不是最高層次的數學知識。數學理解的動態過程除了層次間非單 調線性的折返現象外，還有概念與概念間的階序（hierarchy）關係，例如分數的 概念完整發展後可作為小數概念層次中最初的知曉(Pirie & Kieren, 1994b)。
因此，Pirie 及 Kieren (1994b)認為理解是整體、動態、有層次但非線性的過 程，每個人理解的成長都是獨一無二的特例，並且具備三項特徵：
1. 跨越後即不存在邊界：數學抽象思考不必回顧特定心象，也並非由特定的內
工作的難度
ZPD1
獨立之表現水準
接受協助之表現水準
ZPD2
獨立之表現水準
接受協助之表現水準
ZPD3
獨立之表現水準 接受協助之表現水準
層理解來引起外層的知曉，即使可能在必要時回到特定背景來理解，但個人 不需要時常察覺理解的內在層次。造心像和成心像之間、注意到特徵和形式 化之間以及察覺和結構化之間都是不需要界線的。
2. 隨時可折返下層：折返是理解成長中不可或缺的活動，在任一層次面臨不能 直接解決的問題時，折返內層擴展當下不夠充分的理解，個體在回歸的層次 具有不同於原先內層的理解。不同的個體以不同的路徑和速度穿越各層次，
一次又一次地折返以建立更廣博精深的理解。
3. 行動和表述的互補：行動與反思的表述發生在每一個層次中，行動同時包含 智力的和心理的活動，表述必須要觀察並明確有力地表達行動中到底包含了 什麼。先有行動、再行表述，反思概念形成的過程並表述其中的內涵，理解 的過程在行動與表述之間來回穿梭。透過這樣具體化的形式，觀察者才能推 論學生正在建構理解，如圖2-2-2。
圖2-2-2 P-K 理論八個層次中的行動與反思表述 資料來源：引自Pirie & Kieren, 1994b: 176
PK
image reviewing
image saying property recording
method justifying feature prescribing
theorem proving
image doing image seeing
property predicting
method applying
feature identifying
theorem conjecturing
IM IH PN F O S I
PK：primitive knowing IM：image making IH：image having PN：property noticing F ：formalizing O ：observing S ：structuring I ：inventising
由於概念理解並非單調直線的進行，單一次的學習可能無法構造完整的概念 心像，因此，學童在學習歷程中應多接觸該概念不同類型的問題，促進折返、再 次澄清與整合再向外推的動態成長歷程。而概念的完整發展可能是下一個概念最 初的知曉，因此，每一個基礎概念的建立應注意在動態折返的非線性單調過程 中，最後要能產生由內層推向形式化、結構化與創造，以便接續下一概念的學習。
綜合以上所述，二年級學童具有基本邏輯推理能力並逐漸能接納別人與自己 不同的想法；開始可以利用加法的經驗處理乘法問題，在乘法情境中主動推理、
相互討論、透過已有的加法經驗建立心像、凝聚共同特徵而察覺乘法概念；以及，
在形式化、結構化的過程中理解乘法概念。在學童學習的過程中，教師應瞭解折 返現象可能是深層理解的前兆，若能適時搭設鷹架輔助，或許可以協助學童達到 更高的理解層次。接下來將由實徵研究中探討學童實際學習的情形。
二、乘法概念學習的實徵研究
Carpenter, Fennema, Peterson 及 Carey (1988)研究指出，學童對每一個學習情 境都已存在許多知識，這些知識對於他們在課堂上的學習有顯著的影響。
Gravemeijer（1997）指出「教育工作者應該要了解學童非正規（informal）解題 策略和認知發展狀態的重要以及可能引發的結果。」Nickson （詹勳國等譯，2004）
也認為，因為孩子是知識的建構者，所以，教師必須更清楚知道孩子有哪些舊經 驗、非正規知識以及文化脈絡到底帶給他們什麼影響，同時也了解哪些是教學上 必要的干涉。了解學童的特質及學習困難，可以幫助我們找到學童學習的起點和 教學的方向，以下將就這兩部分探討學童乘法概念的學習。
（一）學童的特質
在幼兒的每日生活情境中自然地充滿數量活動，例如，與朋友分物品、跟媽 媽上街購物，在這些實際問題情境中，他們會自然發展出「實用算術」。這些算 術可能需要具體物的輔助，例如，四歲幼兒已經可以用點數全部的方式求「你有 2 顆糖，我再給你 4 顆，你總共有幾顆？」的總和，五歲幼兒可能已經發展出「向 上數」的策略（周淑惠，1999）。Baroody （桂冠前瞻教育叢書編譯組譯，2000）
以Adam 的例子說明學習障礙學童的學習情形，在實驗中 Adam 最初拿出三組 4 塊的積木一一點數，不久之後只需拿出一組便可以繼續計算腦中模擬的第二組和 第三組，很快地又發現，可以將已知的加法事實4+4=8 與計數 9,10,11,12 相結合，
最後知道可以跳著數「4,8,12」。這說明了，兒童自然而然地找到省力而非正規的 乘法計算方式，並可以逐漸簡化計算過程。Carpenter et al. (1993)的研究發現，在 70 位幼稚園學童中有 60 位以有效的策略完成乘法問題，其中 46 位以排列具體 物方式解題，4 位以「1,2,3,4,5,6（暫停）7,8,9,10,11,12（暫停）13,14,15,16,17,18」
方式數數，3 位以「6（暫停）7,8,9,10,11,12（暫停）13,14,15,16,17,18」方式數 數，還有7 位已知 6+6=12，所以由 12 開始逐一向上數。可見幼稚園學童的解題 策略大多為操作具體物並運用加法。Starkey 及 Gelman （1982）的研究發現，
在沒有具體物的情況下，幼兒通常會以手指代替看不見的實物來計數運算，有些 幼兒則大聲計數。周淑惠（1999）指出，幼兒期運算概念的探索並不限於加減而 已，在每日生活中或在有意義的情境中實際操作與經驗，亦可發展乘除概念。
Baroody （桂冠前瞻教育叢書編譯組譯，2000）探討兒童的數學思考，認為 乘法建立在兒童熟悉的加法經驗上，在學習乘法之初，兒童已經累積了許多累加 兩個或兩個以上相同集合的經驗，可以依賴非正規的計算方法來計算乘積；以3 個「4」的集合為例，他們可以利用跳著數「4,8,12」、非正規計算（例如 4+4=
「4;5,6,7,8」，而8+4=「8;9,10,11,12」）、已知的組合（例如「4+4 是 8，8+4 是 12」）、 或這些方法的組合（例如跳著數再往上加「4,8;9,10,11,12」）。Allardice（1978；
引自桂冠前瞻教育叢書編譯組譯，2000）也說，大部分開始學習乘法的兒童都會 利用計數與記錄技巧來計算乘積，例如，學童可能在計算3+3+3 時表示「大聲唸 出3，小聲地唸 4,5，大聲唸出 6，小聲地唸 7,8，大聲地唸出 9」。
陳淑琳（2000）的研究發現：學童的解題活動類型是從加法轉變為乘法。
Clark 及 Kamii （1996）認為，對就讀小學一年級的學童和許多幼稚園的幼童來 說，從加法問題到乘法問題是很簡單的，有些問題是不分加法或乘法都可以作為 呈現方式的。學童如何解決問題與他理解問題的方式和擁有的解題工具有關，以
「1 枝鉛筆賣 3 元，4 枝鉛筆賣多少錢？」為例，如果學童只有點數這項工具，
就只能使用點數來解題，如果多出加法這項工具，將較有效率地解讀為3 元連加 4 次，此時若要求學童記成乘法算式，此乘法算式只是加法工具解題的摘要記錄。
當學童可以掌握乘法時，此時的乘法算式是解題工具同時也是解題記錄（周筱 亭、黃敏晃，2000）。
Kamii 及 Clark （2000）在研究中發現，幼稚園和一年級的學童運用重複性 加法來解決乘除問題，他們以「一個橡皮擦值 5 分錢，62 分錢可以買幾個橡皮 擦」為例，用三位個案學童的解題歷程來說明這個現象。第一位學童先畫出 62 條標記再將每5 條標記圈出來，圈了 12 次後計算所畫的圈圈數，這顯示「62」
對他而言代表的是「62」個「1」。第二位學童則是一邊寫下一個又一個「5」，同 時一邊點數「5、10、15……」，數到「60」時停下來並從頭數他寫了幾個「5」，
顯示「62」對他而言是很多「5」的組合。第三位學童直接寫下「5、10、15、
20……60」。後兩位學童比第一位學童接近乘法性思考，但是，這三位學童所運 用的方法都還是重複性加法。
上述幾位學者的研究中似乎顯示，用加法來處理乘法問題是容易的，但是，
由加法思考轉向乘法思考是否也是容易的呢？Clark 及 Kamii （1996）對 336 位
小學一至五年級學童進行研究，他們發現乘法思考者和加法思考者之間展現出相 當明顯的五個層次（資料如表2-2-2）：層次 1，低於加法思考，是直覺的而非精 確量化的；層次2，加法思考，認為 2 倍和 3 倍可能是+1 或+2；層次 3，加法思 考，認為2 倍就是+2，3 倍就是+3；層次 4A，乘法思考，但非立即成功；以及 層次4B，立即成功的乘法思考者。
表2-2-2 各年級學童在不同發展層次的人數和百分比
層次 年 級
1 2 3 4 5
1a 8（13.8） 1 （1.5） -- -- --
2b 31（53.4） 28（43.1） 8（13.6） 12（15.4） 5 （6.6）
3b 8（13.8） 7（10.8） 13（22.0） 2 （2.6） 2 （2.6）
4Ac 10（17.2） 23（35.4） 25（42.4） 42（53.8） 32（42.1）
4Bc 1（1.7） 6 （9.2） 13（22.0） 22（28.2） 37（48.7）
總數 58（99.9） 65（100.0） 59（100.0） 78（100.0） 76（100.0）
註： a：低於加法思考、b：加法思考、c：乘法思考 資料來源：Clark & Kamii, 1996: 45
其中，58 位一年級和 65 位二年級學童達到 4B 的比率分別是 1.7%和 9.2%，
而4A 的比率分別是 17.2%和 35.4%，屬於 4A 者多是受益於研究者的最後一個問 題（提供別人正確的答案並問該學童這樣做對不對）。在層次2 和 3 的學童，即 使研究者提出別人正確的答案後仍維持使用加法，這說明如果學童無法倍增性地 思考，他們會可能以+1 或+2 的方式來說明「較多」，或將「幾倍」同化為他們已 經具有的「多幾個」的知識，當學童尚無法做出乘法的建構性抽象，他們就無法 表徵出一個乘法的相關性。一年級和二年級學童屬於加法思考的比率分別是 67.2%和 53.9%。層次 1 的學童在加法性或數字性思考之下的反應是直覺的，而 且是質化的，他們並非用精確的數字來思考，一年級和二年級學童屬與層次1 的 比率分別是13.8%和 1.5%。因此，可以推測二年級上學期的學童可能會以「加 法」來解答「乘法」文字題，他們所瞭解的「一輛汽車有4 個輪子，3 輛汽車有
幾個輪子？」可能是「4+4+4」而不是「4×3」。這項研究的兩大發現為：乘法思 考明顯和加法思考不同，而且，乘法思考出現得很早但發展得比較慢，二年級中 有45%的兒童有些許乘法思考的能力，五年級中有 48%的兒童具有穩固的乘法 思考。
陳淑琳（2000）仿照 Clark 及 Kamii （1996）的實驗，對幼稚園中班到六年 級共14 位學童進行測試，結果只有 2 位四年級及 1 位五年級學童完全答對，屬 於層次4B，其中只有 1 位的操作表現出「倍」的意義；層次 1 的有中班和二年 級各1 位學童，其餘二到四年級共 5 名學童及 1 名六年級學童約屬於層次 2。14 名學童中共有9 名出現答案不唯一的狀況。若從學童無法完全答對所有問題以及 無法確定固定答案的狀況來看，這似乎顯示，國內的許多學童在小學階段可能對
「倍」的意義尚未產生穩固的理解，而且，加法思考模式的確可能到六年級還一 直存在。所以，了解乘、除比了解加、減困難得多，學童面對問題習慣使用加法 策略而非乘法策略，例如，學童會以「一塊積木加三塊積木就變成四塊積木」而 非「四塊積木是一塊積木的四倍」來說明積木之間的關係（Dickson, Brown &
Gidson, 1984）。Hart（1981）發現超過 30%的國小學童選擇以加法而非乘法策略 來解比率問題。McIntosh（1979）在實驗中要求 9 至 12 歲的學童擬題來符合所 要求的算式，發現學童在加減問題的答對率遠高於乘除問題，並且常常擬加減的 文字題作為乘除算式的題目。所以，許多研究結果一再地顯示，乘法的概念比加 法困難得多，即使計算正確，但是在擬題的過程學童也常混淆加法和乘法。
綜合以上所述，幼兒在生活情境中已將乘法建立在加法經驗上，但是，若要 由加法思考轉變為乘法思考卻發展得很緩慢。Nickson （詹勳國等譯，2004）認 為，學童在社會情境中的數學經驗會在學校經驗中繼續發展並與學校經驗接軌，
因為，學童在學習時已經帶著個人的專屬脈絡，所以，我們應該從他們的思考角 度出發，考慮情境脈絡中的學童對數學的觀點，幫助學童將課室學習的內容與他
們在真實世界裡的經驗連結起來。
（二）學習的困難點
乘法大多在二年級的課程中引入而且以連加的情境呈現，背誦九九乘法表被 視為學習連加的快速法門；即使有些學童在引入乘法當下就瞭解乘法，但是，許 多學童在整個小學的過程中一直都有乘法概念的問題（Clark & Kamii, 1996）。其 中最主要的問題有以下六種：
1. 不理解乘法問題情境，以加法代替乘法：例如「12 個雞蛋裝一籃，25 籃共有 幾個雞蛋？」答「12+25=37」（Hart, 1981）。O’Brien 及 Casey (1983)要求學童 以6×3=18 擬題，結果有 37%的四年級 44%的五年級擬出「池塘裡有 6 隻鴨 子，又來了3 隻，池塘裡共有幾隻鴨子？」McIntosh（1979）也指出 9~11 歲 學童會以「院子裡有6 隻雞和 3 隻豬」或「Tim 有 6 本書乘以 Mary 有 3 本書」
來說明6×3。
2. 背誦九九乘法表卻無法應用：知道 6×6=36 並不能幫助學童計算 6×7，然而當 學童不知道7+6 的答案時，用已知的 6+6=12 再加 1 是常見的算法（Kamii &
Livingston, 1994）。van den Heuvel-Panhuizen (2001)也引用 Ria 和 Karin 的例 子，Ria 已經背熟 1~6 的乘法表，但認為「我沒有背過 7 的乘法表所以不知 道3×7 的答案」（國外約規為 7+7+7=3×7）。當研究者再問 Ria 能否計算出答 案時，Ria 卻又回答「可以，7+7 再加一個 7，就是 14+7，…21」，此外，Ria
「不知道」3 的乘法表能否代替 7 的乘法表。Karin 已經背熟所有乘法表，但 表示「因為乘法表只到10，所以我不知道 12×6 的答案，也無法計算出來」。
3. 迷思概念（乘會變大、除會變小）（Greer, 1994)：邱裕淵（2000）指出，從數 學的概念發展歷史到最近的研究都顯示，如同 Pacioli（1969）曾以整數乘法 的經驗證明分數乘法會變大，學童的學習在整數乘法擴展到小數和分數乘法 時也常認為答案應該要變大。陳淑琳（2000）對六年級學童的乘除法概念晤
談發現，雖然學童已經算過分數和小數的乘法，歸納過「乘數＜1 時，積會 變小」，但仍有不少學童存有「乘會變大，除會變小」的想法。呂玉琴（1996）
研究六年級學童的乘除概念發現「乘法一定使積數變大」的答對率是81%，「除 法一定使商數變小」的答對率是41%。劉湘川、許天維、林原宏（1995）研 究國小高年級學生乘除問題解題策略也發現，學生會使用「以預期結果量作 為選擇運算符號的依據：欲使結果量變大就用乘法，欲使結果量變小就用除 法」的策略及概念來列算式。
4. 數字影響：Greer（1994）綜合各項研究後認為，要求學童以適當的文字題詮 釋乘法算式時，除了簡單數字外學童的表現多不佳；即使文字題只有數字改 變（例如由整數變成小數或帶小數），學童卻常不瞭解其運算是相同的
（nonconservation of operations）；要求學童為文字題選出適當的運算符號而不 需運算時，數字是整數或小數會影響答題的成功率。劉湘川、許天維、林原 宏（1995）從試題的層次分析中發現，影響乘法問題理解層次的因素是乘數 的數值型態，乘數若為整數則試題最簡單，乘數若為純小數則試題最難。陳 淑琳（2000，2002）指出，數值大小會影響解題方式的選用，當乘數變大時 學童會選擇他能瞭解的方式解題；而且，二年級學童的解題表現會受數值大 小的影響，乘數數值的影響比被乘數的數值要大。呂玉琴（1996）在乘數為 純小數的乘法問題中成功答對的有40%，錯誤的學童中有 39%認為因為乘數 為純小數所以要選擇除法。許美華（2000b）研究結果也發現，不同大小的數 字範圍（一位數乘以一位數、一位數乘以二位數與二位數乘以一位數）對學 童的解題活動會造成影響。
5. 單位量轉換困難：82 年版課程強調乘法是單位量轉換的問題，學童在某些問 題情境能夠很快的將原有單位轉換成新單位，但是在某些問題上則發生轉換 困難。許清陽（2001）發現三年級學童通常已熟悉乘法交換律，但是，卻因 此對乘數和被乘數的關係產生混淆，例如因為答案都是14 而將 2 的 7 倍和 7 的2 倍看成相同的意義。劉湘川、許天維、林原宏（1995）研究國小高年級
學生乘除問題解題策略，也發現學童列算式時會由題目中選擇整數作為乘 數，顯示學童無法分辨何者是單位量或單位數。
6. 不同文字情境的影響：林碧珍（1991）研究發現，學童對於乘除法應用問題 的瞭解由易而難是量數同構、叉積、比較和多重比例。在比較、叉積和多重 比例三種結構受到情境因素而影響解題，比較型由易而難依次是比例尺問 題、倍數問題、折扣問題；叉積型是面積問題、陣列問題和組合問題；多重 比例型所涉及的有四個已知量則以離散量比連續量容易，涉及五個已知量以 連續量比離散量容易。呂玉琴（1996）研究六年級學童的乘、除法概念，在 組合問題中成功答對的有51%，學童最常見的錯誤是認為一一配對完不可重 複使用，所以使用減法(29%)；另有 19%學童因為知道配對數會比兩個用來組 合的數量更多，所以選用加法。她的結果說明即使是六年級的學童，當題目 呈現乘法的配對概念而非連加概念時，大約只有一半的學童答對，顯示乘法 的教材不宜只偏重連加的意義。陳淑琳（2002）探討國小二年級學童乘法文 字題的解題歷程時發現，最容易的是等組型問題，最難的是組合型問題；學 童能找出各類型問題的已知條件，找出解題目標的表現較遜色，可以了解等 組型、陣列型、比較型問題的題意，但是較不了解組合型的題意；可以正確 表徵乘數為一位數之等組型問題、陣列型問題和比較型問題。許美華（2000a）
研究結果也發現不同類型的乘法問題（等組型、直積型與比較型三種）對學 童的解題活動會造成影響。
綜合以上所述，學童在二年級引入乘法概念時可能出現的困難為：「不理解 乘法問題情境，以加法代替乘法」、「背誦九九乘法表卻無法應用」以及「單位量 轉換困難」，而向上銜接三年級以後的課程則可能又有「迷思概念」、「數字影響」
以及「不同文字情境的影響」等困難。這些學習困難顯示，學童最初由加法思考 進入乘法思考若並非真正理解情境的意義，則很容易選擇錯誤的解法；連加雖然 在整數乘法中讓學童很容易由加法進入乘法的情境，但是，若單單接觸連加的情
境學童卻可能無法瞭解乘法的全貌，並對未來小數、分數乘法的學習產生「乘變 大、除變小」的干擾；而在不了解的情況下背誦九九乘法表，則可能妨礙學童發 現以及運用關係（例如12×6=10×6+2×6）並產生對乘法交換律的誤解。因此，乘 法的引入方式能否改變？以及，如何讓學童理解問題情境的意義？可能是二年級 乘法概念教學成功與否的關鍵。
第三節 乘法概念的教學
以下由數學教學的相關理論和實徵研究兩方面來探討乘法概念的教學。
一、 數學教學的相關理論
教師能瞭解學生需要什麼和學到什麼，並鼓勵、支持他們去完成，這樣才是 有效的數學教學（NCTM, 2000）。Piaget 理論認為認知衝突（cognitive conflict）
是成長的原動力，Vygotsky（林文生、鄔瑞香，1999）提出教師搭設鷹架（scafolding）
以協助學童在ZPD 中發展，Bell（1993a, 1993b）的診斷教學（diagnostic teaching）
理論以及認知引導教學（Cognitively Guided Instruction, 簡稱 CGI ）（Carpenter et al., 1988）則認為，教師若能掌握教學單元的主要概念和學童的迷思概念並瞭解 學童學習的可能路徑，那麼，教學將更具成效。P-K 理論認為，教師利用內延、
外塑、鞏固的方式，可協助學童在理解的動態過程中逐漸建構知識。Fennema 及 Franke （1992）指出，學校的活動、脈絡和文化似乎脫離學童的校外生活經驗 而無法自然應用。真實數學教育（Realistic Mathematics Education, 簡稱 RME）
（Treffers, 1987）則提倡，在似真（experientially real）情境中協助學童由生活經 驗連結學科經驗。以下分別討論Piaget 的認知衝突、Vygotsky 的鷹架教學、Bell
的診斷教學以及P-K、CGI 與 RME 的教學啟示。
（一） Piaget 的認知衝突
Siegler 及 Alibali （林美珍編譯，2004）提出，Piaget 認為發展是平衡狀態 的改變，兒童由一個階段進入下一個階段發展的主要歷程是，經由同化和調適達 到平衡而將概念內化。發展是為了適應現實，當問題困擾著兒童現存心理平衡 時，平衡的機制才會產生，他們解決問題的策略會顯示出自己的邏輯，使我們可 以了解他們適應生活的方式。兒童由熟練一種新技能所得到的真正快樂，同化和 調適彼此相互影響，而平衡包含同化與調適，使兒童認知系統逐漸接近現實。
Piaget（邱上真，2003）視兒童為科學問題的解決者，接觸有挑戰的問題，
在衝突的相反意見刺激下成長，在晤談中提昇層次。他鼓勵學童比較處理同一個 問題可能的不同途徑，認為觀點的改變對高層次思考的結構有顯著的影響。教育 應以兒童為中心、以環境為中心，體認兒童發展的階段性特徵，配合認知水準以 及學習特性設計教學，使兒童產生認知結構的改變，並透過觀察與臨床晤談探討 認知發展上「質」的變化；教學設計上應找出可提供操作的主題來發展班級活動，
選擇適當解決問題的時機並評鑑實施結果以改進教學；利用臨床晤談呈獻與認知 發展階段相關聯的作業，引發學生反應、給予適當提示，以決定學生思考的層次、
提供遷移的機會。
（二） Anghileri 鷹架數學學習
Lave 及 Wenger （1991）認為，合作積極解決問題是最具成效的學習方式，
真正需要評量的是學童在他人幫助下的表現及學習潛力。Wood, Bruner 及 Ross (1976)提出「鷹架」的概念，說明學童的學習是可以被支持的；當學習者的理解
越來越穩固時，增加學習者的獨立性是鷹架的主要意圖，教師的教學方式改變為 引導學童發展獨立思考為主，鷹架的概念反應成人的支持是適應學童學習，且當 學習者可以獨立時最終將移除。因此，教育的角色是在學童的ZPD 裡提供經驗，
教師搭設學習的鷹架，作為引渡學童學習知識的橋樑(林文生、鄔瑞香，1999)。
Anghileri（2006)提出有效的數學教學的教室互動 3 層次鷹架，Level 1 佈置學 習環境使學習自然發生，教師的介入在 Level 2 和 Level 3 逐漸增加，透過說明、
回顧、再建構和發展概念的思考來支持數學的學習。教師在支持數學學習中的角 色是為討論做總結，以及將學生的注意力集中於尚未被理解的批判點（Wood, 1994）。Berk 及 Winsler （谷瑞勉譯，1999）認為，有效的鷹架行為必須包含：
(1)參與有趣、具文化意義和合作的問題解決活動（joint problem solving）；(2)相 互主觀性（intersubjectivity），以學童的 ZPD 為起點，在情境中利用社會互動協 商達成共識；(3) 口頭讚美、溫暖與回應，使學童參與活動和挑戰自己的意願達 到最高成效；(4)將學童保持在 ZPD 中，建構學習活動和環境讓學童時時保持在 合理的挑戰程度內，針對學童的需求和能力調整介入的程度；以及，(5)促進自 我規範（self-regulation），在學童能獨立工作時教師應主動退出讓學童積極取代。
當學童參與問題解決時，鷹架行為包含一種快樂溫暖的互動關係，在合作的 過程中教師支持學習的自動性，在學童能力增加時讓他負起更多的學習責任，學 童學習新知同時也進入高層次的心智發展，進而產生自發性的概念（spontancous concepts）。所以，Berk 及 Winsler （谷瑞勉譯，1999）認為 Vygotsky 的教育取 向是一種協助的發現（assisted discovery）。林文生、鄔瑞香（1999）提出，根據 Vygotsky 的想法，教師應扮演引導者（initiator）、觀察者（watcher）和學習仲介 者（mediator），教師能掌握學生的 ZPD 才有可能設計適當的問題或教學情境，
所以，鷹架是支持學生走過ZPD 的歷程，也就是由社會支持到自我支持的歷程。
（三） Bell 診斷教學
數學家的本質便是由真實複雜的情境中分離出關係，運用關係而發現進一步 關 係 ； 數 學 活 動 是 數 學 化 （mathematization）、操作（manipulation）和解釋
（interpretation）的循環，應該由真實的數學活動導入一般的數學策略。因此，
數 學 教 育 必 須 在 情 境 中 提 供 真 實 數 學 經 驗 幫 助 學 童 察 覺 理 性 思 考(rational thought) ，教師應關注學習者能力的改進而不只是當前任務（tasks）的成功。所 以，課程設計必須考慮數學活動的本質、概念的內容和學習的本質，選擇一個可 以嵌入脈絡（contexts）的情境(situation)，學習者必須聯結概念體(conceptual field) 中概念和關係、察覺結構和脈絡、經歷折回、反思和回顧，才能在情境中正確完 成任務。教師可以彈性地調整個別任務的差異，在學生發生迷思概念時介入 (intervention)並揭露認知衝突(cognitive conflict)，協助學習者折回、改變結構和 脈絡再次解題。教學中應重視學習經驗強度(intensity)以及反思和回顧的過程，讓 學童除了洞察任務中基本的概念和關係之外，也能察覺不同形式問題的特性以及 解題方法（Bell, 1993a）。
典型的衝突討論課程以可能誘發迷思概念的問題開始，在充分的討論之後繼 續處理進一步的問題，診斷的方法主要目標是引導人們透過對困難問題的討論，
明確地建立出概念的一般特性。學習者時時折回（foldback）、反思，透過討論重 新解決矛盾衝突，形塑個人的察覺（awareness）而獲得新知。因此，診斷教學設 計的四步驟是：聚焦在主要概念和迷思概念、提出真實而開放的問題、引發概念 衝突以及充分討論再解題。認知衝突研究結果顯示，蓄意揭露迷思概念的衝突教 學比只有一種正確方法並告知防備迷思概念以避免發生的教學有效；從遊戲或其 他牽涉概念的活動學習可以非常有效地加強討論，以便清晰明確地表達出概念和 原則（Bell, 1993b）。
（四） P-K 理論的教學啟示
P-K 理論說明概念成長經歷多個不同時期，理解是連續來回穿越知曉層次的 路徑(Pirie & Kieren, 1994b)。學童的數學結構從依賴具體心像和特性開始成長 (Pirie & Kieren, 1994a)，經歷深而廣、要求折回再建構外層知曉基礎的數學理解 成長過程（Pirie & Kieren, 1991）。教師測試並探索學童最初的起點，學童在教師 的建議下可能以新的心像取代原先的心像，適當的刺激使學生移動到外層，發展 的過程造成學生折返擴大或改變他的心像，教師藉由問問題讓學童產生正式、結 構化的數學理解，再逐步發展更一般化且正式的數學概念，進一步做出更符合結 構、有條理的觀察，最後進入創造「新」數學的階段(Pirie & Kieren, 1991, 1994b)。
因此，教師可以透過外延(provocative)、內塑(invocative)和鞏固(validating)三種介 入方式，幫助學童產生向外的力量或折返重塑心像，最後，在教師察看或學童證 實之下確定並鞏固數學概念(Pirie & Kieren, 1994b)。
（五） CGI 研究的教學啟示
CGI 是一系列幫助教師了解學童想法並應用此學生知識做出教學決策的計 畫（Carpenter & Fennema, 1992）。Carpenter et al.（1988）的研究發現，教師的數 學知識似乎是不完整的，而且，並未適當地組織成學生知識和教學內容知識，如 果教師具有區分問題型態和學童解題歷程的知識，教學可能更有成效。Carpenter, Fennema, Peterson, Chiang 及 Loef (1989)的研究接著將教師分為實驗組和對照 組，提供關於學童如何學習加減法的知識給實驗組教師，對照組則否。他們發現，
實驗組教師會在課堂上增加解題活動的時間、花較多時間聆聽學童的想法並期待 接納學童許多不同的解題策略、能掌握較多學童解題的思考過程並可以用實際數 據來說明；而且，實驗組的學童在計算技巧及解題上學到更多。CGI 的研究顯示：
當數學教師擁有恰當且組織化的知識時，可以照顧更多不同的學童；而且，教師 的學生知識可以使教師更接近學童的想法並設計適應個別差異的教學，關照許多
不同的層次的個別學童，而學童的學習也增加教師對學生知識的了解。因此，教 師可以透過瞭解學童在課室情境中使用的策略，並將這些策略引進教學。
（六） RME 理論的教學啟示
RME 的觀點認為，數學問題在學科的脈絡中也在生活情境中，數學教育是 一連串「引導學生重新發現」的過程（林文生、鄔瑞香，1999）。由似真的感覺、
真實的經驗逐漸去脈絡化之後，學生就能逐漸脫離情境，進入抽象化和一般化的 數學概念思索（黃乃文，2005）。教師是教學情境掌握者也是學習的協調者，配 合學童生活經驗有意圖地安排學習情境，學童在其中探索知識、挑戰潛能，發展 自己的數學工具以及對數學的了解（Streefland, 1991）。
Level 3 reflective/formal
Level 2 rescriptive
Level 1 intuitive/informal
圖2-3-1 數學化的微層次歷程 資料來源：Treffers, 1987: 248
個體數學化的過程可區分為將情境形式化（formalising）的水平(horizontal) 過程和一般化（generalising）的鉛直(vertical)過程。逐次數學化（progressine mathematising）包括現象的探究（phenomenological exploration）、不同層次的橋 接（bridging by vertical instruments）、自主（self-reliance）、互動學習（interactivity）
以及關聯（intertwining）五項原則。RME 主張，數學的學習應該在具體脈絡中 進行數學活動的探索，廣泛地收集直覺的想法以形成最初的概念和結構；從非正
規（informal）到形式（formal）的過程在微層次（micro-level）網絡中一階一階 地逐次進化（如圖2-3-1），典範例、模式、圖表和符號是逐次數學化的媒介；在 不同的微層次中解決問題，建構和產出自己的想法；互動的學習過程結合討論、
回顧、成果展現以及教師的評估和說明；經由豐富地察覺每一個學習成分之間的 關聯，編織整體學習路徑。數學的結構和現象的探究是一個循環的過程，逐步連 接教學和學習。五原則間可互為反思（reflective）和遞迴（recursive），在反思和 遞迴中領悟、前進（Treffers, 1987）。
鍾靜（2005）指出，九年一貫課程凸顯「連結」為核心，連結的五個主要能 力為察覺、轉化、解題、溝通及評析。強調的就是，教師在似真或擬真的情境中 搭設鷹架，使學生在情境中察覺、轉化，協助學生在解題與溝通的社會互動中產 生概念的內延、外塑及鞏固，由其 ZPD 向上攀升，最後能去脈絡化產生抽象的 概念以及概念間的連結。教學設計中應關注教學單元的主要概念及其迷思概念，
針對這些點給學生真實的挑戰或質疑，揭露迷思概念激發概念衝突，透過討論再 次解題（Bell, 1993a）。教師擁有適當和組織完善的教學知識，就可以注意到個別 學童的狀況；擁有越多的學生知識，越能幫助學生在解題能力和計算技巧上皆達 到更高的學習成就（Carpenter et al., 1989）。
綜合以上所述，教師在教學前應先探討學童在該單元可能出現的解題策略及 學習困難，而後搭設鷹架協助學童在其 ZPD 中發展數學概念。在教學中應時時 觀察學童的學習狀況，適時找出其迷思概念，並據此製造認知衝突以達診斷教學 之效。教學應協助個別學童經歷知識理解的內延、外塑、鞏固的動態歷程。而教 學活動的設計應依據RME 的原則，在似真、擬真的情境中拉近學前經驗與抽象 數學概念之間的距離，讓學童生活情境中的實用算術經驗順理成章地成為學科脈 絡中學習的預備知識，讓數學教學成為引導學生重新發現（re-invention）的歷程。
