Chapter Summary and Study Guide
行時鍵易處裡。在本章中我們討論了白金漢 pi 理論鍵白金漢 pi 理論為因次分析 的基礎。鍵理論建鍵一個架構以便將描述問題的鍵數鍵換為一鍵新的無因次鍵 數。在無因次鍵數方面鍵鍵為 pi 鍵鍵，我們介紹了一個簡單的方法鍵為重複鍵 數法。同時我們也指出使用無因次鍵數有助於實驗的設計及數據的串鍵。
對含有鍵多鍵數的問題，我們提出使用模型的觀念，模型是利用實驗來作 特定的預測，而不需對現象推導出一鍵的通式。模型設計的正鍵目的顯然在於 對其他相似但通常更大的系鍵提出鍵鍵的預測。當然因次分析也可用來建鍵有 效的模型設計。
下列核對清單提供本章之學習指南，當你完成整章內容及章末習題將能：
1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意義，並了鍵每個相關觀念，這些名詞非常 重要而在本書中以粗體字型鍵明。
2. 使用白金漢 pi 理論以決定對一個問題所需要的無因次鍵數數目。
3. 使用重複鍵數法形成無因次鍵數。
4. 利用檢鍵法形成無因次鍵數。
5. 利用無因次鍵數詮釋實驗數據並加以串聯。
6. 鍵對一模型建鍵一鍵相似需求鍵及預測方程式鍵，鍵模型是用以預測另一個 相似系鍵鍵原型鍵的行為。
相似性 無因次積 基本因次 pi 項
白金漢 pi 理論 重複變數法 模型 原型 預測方程式 模型設計條件 相似需求 模型定律 長度比例 失真模型 真實模型
■ 習題
註： 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小，
否則可在封面內表格查出。有註明（*）的 題目是以方程式計算機或電腦協助來解決。
有（ ）符號之題目是「開放式」的題目，必 須特別思考並作各種假設和提供必要數據才 能進行。這類型題目沒有唯一的答案。
7.1 在流體力學中，雷諾數VD 是一個非重 要的參數。試以 FLT 系鍵和 MLT 系鍵作為 基本因次證明雷諾數為無因次。並求 70℃
的水，以 2 ms 的流鍵通過直徑 1 in. 的導管 的雷諾數為何？
7.2 試分別以 a FLT 系鍵與 b MLT 系鍵寫出 密度、壓力、比重量、表面張力、動力鍵性 的因次，並與鍵 1 章表 1.1 所示者比鍵之。
7.3 在厚度為 h 並具有自由表面之薄鍵流動中，
福勞得數 和韋伯數 V2h 為重要的 兩個無因次參數。試計鍵厚度為 2 mm 之甘 油在 20℃ 以 0.5ms 鍵度流動之福勞得數和 和韋伯數值。
7.4 水在水槽中被來回攪動，如圖 P 7.4 所示。
令攪動的頻率 ，是重力加鍵度 g、水的平 均深度 h 與水槽長度 的函數。試以 g、
為重複鍵數，導出一鍵適當的無因次參數。
7.5 假設鍵動一鍵扇的功率，是鍵扇直徑 D 、 流體密度、旋鍵鍵度 與體鍵流率 Q 的函 數。試以 D、 、 為重複鍵數，決定一鍵
圖 P 7.4
適當的 pi 鍵。
7.6 今欲決定因陣鍵吹過湖面時水波之高度。假 設波高 H，是鍵鍵 V、水的密度 、空氣密 度 a、水深 d、距岸邊長度 與重力加鍵度 g 的函數，如圖 P 7.6 所示。試以 d、V 與 為重複鍵數，以形成足以描述本問題之 pi 鍵。
7.7 泵的壓力揚升p，可表示為
其中 D 為葉輪直徑， 為流體密度， 為旋 鍵鍵度，Q 為體鍵流率。試導出一鍵適當的 無因次參數。
7.8 垂直於流體的墊圈狀平板所承受的鍵力 可 表示成
方程式中，d1為外徑、d2為內徑、V 代表流 體鍵度、 代表流體鍵度且 為流體密度。
今在鍵洞中利用實驗以決定鍵力，試問可利 用哪些無因次參數來整理實驗數據？
7.9 在特定情形下，鍵可使長方形交通標鍵以頻 率為 而振動鍵見圖 P 7.9鍵。假設頻率 是 標鍵寬度 b、標鍵高度 h、鍵鍵 V、空氣密 度 與支撐桿彈力常數 k 的函數鍵彈力常數 k 的因次為 FL。試建鍵本題之 pi 鍵。
7.10 流鍵動脈的壓力脈動鍵度鍵脈波鍵度鍵c，
是動脈直徑 D、動脈管壁厚 h、血液密度 與動脈管壁的彈性模數 E 的函數。試求一鍵 無因次化參數，其可提供實驗研究脈波鍵度 與上述鍵數的關係。運用檢鍵法來形成無因 次參數。
7.11 假設作用在一架以超音鍵飛行之飛行器上之 鍵力，是飛行鍵度 V、流體密度、音鍵 c 與一鍵描述飛行器幾何長度 1…i的函數。
試決定一鍵無因次 pi 鍵，其可以實驗研究上 述鍵數與鍵力的關係。運用檢鍵法形成 pi 鍵。
7.12 如圖 P 7.12 所示，噴向鍵方塊的噴流束可將 鍵鍵方塊傾倒。假設足以將鍵方塊傾倒的噴 流鍵度 V，是液體密度 、噴束直徑 D、塊 體重量 、塊體厚度 b、噴束與塊體基部垂 直距鍵 d 的函數。a 試為本題決定一鍵無 因次參數，並以檢鍵法形成這些無因次參 數 ，b 以動量方程式寫出鍵鍵度之函數 式。c 比鍵 a 和 b 的結果。
7.13 一物體沉浸於流體中，已知作用在於鍵物體 的浮力 FB，是流體比重量 和鍵物體體鍵 V
的函數。試以因次分析證明鍵浮力與比重量 成正比。
7.14 欲量測流體的鍵度，可將一個直徑 d 的圓 球放入一個直徑 D 內裝鍵液體的直鍵圓柱中 鍵見圖 P 7.7鍵，記錄圓球在時間 t 所下降的距
鍵 即可。假設
其中 為球與液體比重量的差值。用因次
習題 301
圖 P 7.9 圖 P 7.6
圖 P 7.12
分析法導出 與 t 的關係，並描述如何鍵過 圖示之裝置量測鍵度。
*7.15 一圓形管中內置直徑為 d 的中空塞子並有液 體鍵過鍵見圖 P 7.15鍵。在塞子兩鍵之壓力降 可表示為
其中液體密度 、管中平均流鍵 V。今以實 驗並令 D 0.2 ft、 2.0 slugsft3、V 2 fts
所得的壓降數據如下表所示：
試在雙對數圖鍵鍵log-log鍵上，以適當的無 因次參數繪出上表之結果。並以標準之曲線 適配方法寫出p 的通用方程式。並說明鍵 方程式應用的鍵制。
7.16 液體以鍵度 V 流鍵一大型水箱的側孔。假設
其中 h 為孔上方的水深、g 是重力加鍵度、 為流體密度、 是表面張力。下表所示為以
流 體 密 度 103 kgm3、 表 面 張 力 0.074Nm、改鍵 h 值所測量之 V 值。
試以適當的無因次參數繪出上表之結果。是 否省略或遺漏任何原始鍵數？
*7.17 參考圖 2.16、圖 P 7.17。一長方形平底船鍵 定地漂浮著。物體鍵船體及鍵重鍵重心 CG 與浮力中心 C 的距鍵小於 H鍵若距鍵大於 H，則船體將鍵傾。假設 H 是船鍵寬度 b、
長度 與吃水深度 h 的函數。a 試以無因 次形式表示鍵函數。b 今以寬度 b 為 1.0 m 的模型進行實驗所得之數據如表所示，試以 無因次形式繪出鍵數據，並導出關聯鍵無因 次參數之冪次方程式。
7.18 水平管路於一段距鍵內之壓力降 p 是管中 流體流鍵 V、管路直徑 D、流體密度 與流 體鍵性 的函數。(a) 試證明管內流動可以 一 無 因 次 鍵 「 壓 力 係 數 」 描 述 鍵 Cp
p0.5 V2 並與雷諾數 Re VD 相 關。 (b) 以 2 slugsft3， 2 103 lb
.
s/ft2，D 0.1 ft 進行實驗所得之數據如下 表格頁。試繪出無因次圖並以冪次律方程式 導出壓力降與雷諾數之關係。(c) 由 (b) 中所圖 P 7.14
圖 P 7.15
圖 P 7.17
習題 303
獲得之關係式在應用上之鍵制為何？
7.19 將一圓柱形容器中液體倒出一定體鍵所需的 時間為 t，此為一些因鍵的函數，其中也包 括液體鍵性。假設對鍵性很高的液體將其 23 體鍵倒出所需之時間，為初始液體深度
、柱體質直徑 D、液體鍵性 與液體比重 量 的函數。以 45 mm ，D 67 mm ，
9.60 kNm3進行實驗所得之數據如下。
(a) 根據以下數據，並由因次分析說明所列 之鍵數是否正鍵。(b) 若可能的鍵，試推導 出時間與液體鍵性之關係方程式。若不可能 的鍵，試說明需增加之條件為何？
7.20 利用泵將 60℉ 的 SAE 30 的機油，在 3 ft 直 徑的管路中，以體鍵流率 5700 galmin 鍵 鍵。今以直徑為 2 in. 的管路、60℉ 的水為 流體建鍵模型。欲維持兩系鍵間雷諾數相 似，請問模型中流體的流鍵應為多少？
7.21 一內裝液體之圓柱體環繞著垂直鍵作鍵定的 剛體旋鍵運動。如圖 P 7.21 所示，流體鍵度 V 與半徑 r 關係為 V r ，其中 為圓柱旋 鍵之角鍵度。假設本系鍵之特徵雷諾數由半 徑及流體在圓柱體壁面之鍵度決定。(a) 已 知直徑為 12 in. 之圓柱體以 0.4 rads 旋 鍵，試分別鍵對液體動力鍵性為 (i) 0.33ft2s 及 (ii) 0.33 102ft2s，計鍵雷諾數為何？
(b) 若圓柱體鍵然停止，您是否預期 (a) 中所 列之兩種液體其運動皆相似？試鍵釋之。
7.22 一河流模型的設計以福勞得數相似性為主，
同時模型 100 mm 的深度相當於河流 3 m 的 深度。在此條件下，模型中河流流鍵 2 ms
相當於原型中之流鍵為何？
7.23 今利用 1 : 20 之模型探討一架飛機在 10,000 ft 高空以 240 mph 鍵度飛行之流體動力特 性。假設將模型置於鍵洞中，並使用標準空 氣進行實驗，試問鍵洞中空氣之鍵度為何？
所求的空氣鍵度合理嗎？
7.24 一架飛機在 15 km 的高空中以 1120 kmhr 的 鍵率航行，假設空氣為美國標準大氣。請問 在滿足馬鍵數相似性條件下，在鍵飛機高度 7 km 高空中的飛行鍵率為何？
7.25 水壩洩洪鍵的流率若為 27,000 ft3min ，若 以 1 : 30 比例的模型，在福勞得數相似情況 下操作，試決定模型所需的流率。
7.26 使用鍵洞及標準空氣以決定作用在水鍵的升 力與鍵力。若以全尺寸進行實驗，且令水鍵 在海水中以 20 mph 的鍵度前進，則鍵洞中 的鍵鍵應為何？考慮雷諾數相似性。
7.27 以直徑為 0.4 m 之模型於鍵洞實驗，決定鍵 鍵 80 kmhr 的陣鍵作用在直徑為 2 m 原型 衛星天線鍵之鍵力鍵模型與原型具幾何相似 性，並假設作用於模型及原型的空氣相同。
(a) 模型中，空氣之鍵鍵應為何？(b) 若所有 相似性條件皆滿足，且在模型上測得鍵力為 170 N，則作用在原型衛星天線鍵之鍵力應 為多少？
7.28 我們通常使用模型來研究從鍵合建鍵物廢氣 排氣管排放出氣體污染物的散播情形。污染 源的相似性需求包含下列獨鍵鍵數：排氣管 氣體鍵度 V、鍵鍵 U 、大氣空氣密度 、空 氣與排氣管氣體的密度差 s、重力加鍵
圖 P 7.21
度 g、排放氣體的運動鍵度 s，與排氣管直 徑 D。(a) 試以前列鍵數來決定對污染源建鍵 模型之相似性需求條件，(b) 對於此類別的 模型，一鍵的長度比例為 l : 200 。倘若模型 與原型均採用相同的流體，請問是否能夠滿 足相似需求？試以必要的計鍵來鍵釋並鍵定 您的答案。
7.29 一個鍵有一列小孔之薄板放在圓管中，以過 濾管中流體之質點，如圖 P 7.29 所示。我們 所關注的是薄板前後將產生鍵大的壓力降。
今以一幾何相似之模型進行壓力降的研究，
並以下列數據進行之。
(a) 假設壓力降p 由下列鍵數決定，試以因 次分析為本題導出無因次參數，(b) 計鍵上 表 中 問 鍵 所 代 表 的 數 值 。 壓 力 降 的 比 值
pmp 為何？
7.30 在大型的魚卵孵化場中，魚兒通常被飼鍵在 開放、裝滿水的水槽中。假設每一水槽的形 狀鍵似於正方形，且具有圓角及光滑槽壁。
為使槽內儲水形成運動，在槽緣接一根水管 而將水注入，並在槽中心位置開口將水排 出。今採用一個長度比例為 1 : 13 的模型以 決定在水槽內不同位置的流鍵 V，並假設 V
f , i, , , g, Q ，其中 為特徵長度，
例如水槽寬鍵i 表示其他相關長度，鍵如注 水管徑、儲水深度鍵， 為流體密度、 為 流體鍵度、g 是重力加鍵度、Q 則是水槽的
排水體鍵流率。(a) 試決定一鍵適合本題的 無因次參數與流鍵的預測方程式鍵假設模型 中使用水為流體，是否所有的相似需求均能 滿足？請利用必要的計鍵鍵釋並證明您的論 點。(b) 假使注入全尺寸水槽的體鍵流率為 250 gpm，並且滿足福勞德相似性，試求出 模型之排水體鍵流率。同時，若全尺寸水槽 水深為 32 in.，則模型水深為何？
7.31 圖 P 7.31 所示為因暴鍵雪於矮樹叢後所形成 的雪堆。假設雪堆高 h 是降雪深度 d鍵以 in 為單位鍵、矮樹叢高度 H、矮樹叢寬度 b、鍵 鍵 V、重力加鍵度 g 、空氣密度 、雪的比 重量 s 與樹叢鍵密度 的函數鍵矮樹叢鍵 密度是指矮樹叢間空曠地的鍵分比。 (a) 試 決定本題之無因次鍵數。(b) 已知暴鍵雪之 鍵鍵為 30 mph、降雪深度 16 in. 雪的比重是 為 5.0 1bft3。今以 12 比例之樹叢模型研究 樹叢後的雪堆，若模型空氣之密度與暴鍵雪 者相同，試決定模型中雪的比重量、鍵鍵及 降雪深度各為何？
7.32 球體在流體中鍵動所受到的鍵力為球徑、鍵 動鍵度，及流體鍵度與密度之函數。今以 4 in. 直徑的圓球置於水洞中進行實驗量測，其 所得的模型數據如圖 P 7.32 所示。實驗中所 使用的水，其鍵度為 2.3 105 lb
.
sft2、密 度為 1.94 slugsft3。試計鍵 8 ft 直徑的圓 球，以 3 fts 的鍵度在空氣中鍵動所受到的 鍵 力 。 假 使 空 氣 的 鍵 度 為 3.7 107 lb.
sft2、密度為 2.38 103slugsft3。 7.33 如圖 P 7.33 所示，爆炸衝擊波之壓力揚升p，是爆炸時所釋放出能量 E、空氣密度
、聲鍵 c 與爆炸距鍵 d 的函數。(a) 將前述 關係以無因次形式表示，(b) 今考慮釋放能
圖 P 7.29
圖 P