相似性、因次分析、模型建胥 7

然大部分有關流體力學上的工程問題，可以利用前述章節的方程式與鍵 析過程得到鍵答，但仍然有許多的問題，必須依靠實驗數據方能求鍵。

實驗顯然的目的是在於將所得到的結果廣泛加以應用。為了達到此目的，而常 使用相似性鍵similitude鍵的觀念，就是將系鍵鍵例如在實驗室中做的實驗鍵測 量所得的數據，用來描述其他類似的系鍵鍵例如在實驗室外所做的實驗鍵的方 法。我們通常以模型鍵model鍵來表示實驗室的系鍵，並且在嚴謹的控制條件下 探討所關注的現象。從這些系鍵模型的研究中，我們可以推導出所需的半鍵驗 公式，或者可以預測其他類似系鍵的一些特性。我們為了達成這個目標，有必 要建鍵出實驗室模型與「其他」系鍵之間的關聯。在本章中我們將說明如何系 鍵性地建鍵這個關聯。

為了描述需以實驗處理之典型流體力學問題，讓我們考慮一不可壓縮之鍵 定牛頓流體，此流體流鍵一支水平、長直，且具有光滑壁面的圓形導管，鍵流

相似性、因次分析、模型建胥

Similitude, Dimensional Analysis, and Modeling

通過圓柱且 Re
2000 的流動。圖示為通過一圓柱且 Re
2000 的流動之流跡。 Re 為一無因次參數稱為雷諾 數（Reynolds number）。在 Re 為其他值的情況下，流動圖案將有所不同（例如水中將有氣泡）（感謝法國 ONERA 公司提供本照片）。

7.1 因次分析

Dimensional Analysis

7

CHAPTER

鍵

動系鍵具有一個令管線設計工程師所關注重點，亦即由沿著管路之摩擦所鍵成 的單位長度壓降。鍵然這種流場型態是個相當簡單的流動問題，但是要在沒有 完整實驗數據的條件下，即使有大型電腦的協助，也難以獲得鍵析。

探討鍵問題的實驗規劃，首先必須找出影鍵單位長度壓降p
的因鍵鍵fac- tors鍵或鍵數鍵variables鍵。我們預期這些因鍵包括管徑 D、流體密度 、流體鍵 度 及平均鍵度 V。如此我們以函數表示其關係為

鍵式僅以數學表示「單位長度壓降」為括弧中因鍵的函數。鍵此，鍵函數為一 特定函數，而後續實驗的目的便在於決定鍵函數。

一個有意義且具系鍵性的實驗執行過程，應鍵是先改鍵其中的一個鍵數，

例如鍵度，而其他鍵數保持不鍵，然後測量對應此鍵數之壓降值。這種分別改 鍵鍵數以決定壓降與其他影鍵因鍵的函數關係，觀念上鍵然合乎邏鍵，但方法 上卻充滿困難。有些實驗甚鍵窒礙難行－例如，如何能改鍵流體密度，又同時 維持鍵度不鍵？最後，即使我們能獲得各種曲線，又如何將這些數據加以鍵合 成描述p
、D、、、V 關係應用於任何相似的導管系鍵？

幸運地，在這個問題中我們有一個更簡單的方法可以排鍵上述的困難。下 面各節中，我們將敘述以 7.1 式中的鍵數合併成兩個無因次鍵的方法鍵鍵為無 因次積鍵dimensionless products 或無因次鍵鍵dimensionless groups鍵並將因鍵表 示為

如此，將考慮 7.1 式中的五個鍵數簡化為處理 7.2 式的兩個。而所需要的實驗僅 為鍵更無因次鍵VD
 以決定對應之 D p

V²，那鍵實驗的結果可為單一且 通用的曲線。

以上提及的簡化過程乃是以考慮鍵數的因次為基礎。在鍵 1 章中，曾提到 我們可對任何物理量以基本因次鍵basic dimensions鍵進行定性描述，如質量 M 、長度 L 與時間 T¹。另外我們也可使用力 F、長度 L 及時間 T 為基本因次，

由牛頓鍵二運動定律

鍵參考鍵 1 章，
代表因次相鍵鍵。在管流範例中，各鍵數的因次分別為 p

FL^2
L
FL^3、D
L、
FL^4T²、
FL^2T 、V
LT^1。將之代入 7.2

1如第 1 章所言，我們將以 T 代表時間之基本因次；雖然 T 亦可代表熱力關係（如理想氣體定律）中的溫 度。

7.2 白金漢 Pi 理論 269

式可鍵定式中的兩個無因次鍵為無因次鍵，

以及

如此我們不僅可以將鍵數由五個簡化成為兩個，同時無因次鍵是由這些相關鍵 數所鍵合，這也意味著所得到的結果將會與我們所鍵用的系鍵單位無關。此種 鍵析的方法鍵為因次分析鍵dimensional analysis鍵，將可以廣泛地應用於各類型 的問題中，而其所應用的理論基礎即為下節所將要介紹的白金漢 pi 理論 鍵Buckingham pi theorem鍵。

因次分析的基本問題是：我們需要多少個無因次鍵以取代原先的鍵數？這 個問題的答案在於因次分析的基本原理，鍵原理敘述如下：

若一個因次均一的方虮式含有 k 個變數膿則該方虮式可轉化成為 k 舐 r 個獨閫的無因次積膿其中 r 為據以描述變數之最小因次數。

無 因 次 鍵 通 常 鍵 為 「 p i 項 」鍵 pi terms鍵， 而 其 理 論 鍵 為 白 金 漢 p i 理 論 鍵Buckingham pi theorem鍵，並以符鍵代表這個無因次鍵。鍵然白金漢 pi 理論極 為簡單但卻不容易證明，因此其證明過程並不會列入本書討論的範圍。完全鍵 力於相似性及因次分析探討的書籍不少，本書末有些相關圖書鍵本章參考文獻 1 鍵 5鍵，讀者若有興趣卻更深入的鍵鍵鍵包括 pi 理論的證明鍵，可自行參鍵。

pi 理論主要的理論依據為鍵 1 章介紹的因次均一性。基本上我們假設對任 一含有 k 個鍵數並具有物理意義的方程式

其鍵鍵左邊的鍵數之因次必須與鍵鍵右邊任一單鍵的因次相同。如此，我們即 可將方程式再重新安排，進而鍵合成為一鍵無因次鍵鍵 pi 鍵鍵，即是

7.2 禁禁漢 Pi 理禁

Buckingham Pi Theorem

其中之 pi 鍵的個數鍵原先鍵數的數目少 r 個，r 為據以描述鍵數之最小因 次數。通常，用來描述鍵數需要的參考因次為基本因次 M 、 L 、 T 或 F 、 L 、 T。不過，有些鍵數可能只需兩個因次，如 L 與 T ，或可能只需要一個因次，

如 L。此外，某些少見的鍵數需要以基本因次的鍵合鍵例如 M
T² 與 L 鍵加以 描述，這種情況下，r 為 2 而不是 3 。鍵然 pi 理論看起來有些困難並且複鍵，

但事實上對任一給定的問題，我們鍵可簡單而有系鍵地推導出 pi 鍵。

鍵成無因次鍵或 pi 鍵的方法有許多種。基本上，我們所尋求的方法能使我 們有系鍵地鍵成 pi 鍵，鍵鍵這些 pi 鍵為無因次、相互獨鍵，並且為正鍵的鍵 數。在本節我們所要鍵述的方法鍵為重複變數法鍵method of repeating vari- ables鍵。

將重複鍵數法細分成一系列步驟對讀者而言是有所助益的。再加上一些鍵 習，讀者便能鍵易地對問題完成因次分析。

步驟 l. 找出問魟中所有的變數。這個步驟是最困難的，當然將所有的相關鍵 數納入考慮亦極其重要，否則將使因次分析失去正鍵性。其中所鍵的

「鍵數」是指包括具因次與不具因次常數的任何物理量，這些鍵數在 現象的研究中均扮演著一定的角鍵。在因次分析中，所有這些鍵數必 須納入「鍵數」名單中並加以考慮。鍵數的決定必須有鍵於實驗者對 問題的鍵鍵，及對決定現象的物理定律的理鍵。這些典型的鍵數將包 括了足以描述系鍵的幾何尺寸鍵如管徑鍵、定義流體性質鍵如鍵度鍵，

及指出影鍵系鍵外力效應鍵如鍵動壓力鍵鍵的物理量。這種對鍵數鍵 鍵的普遍性分類用意為使讀者能舉一反三。不過，有一些鍵數可能並 不容易因此就能鍵定，所以必須小心鍵鍵地進行問題分析。

由於我們希望鍵數的數目越少越好，從而減少實驗的工作量，因 此所鍵定的鍵數應鍵具有獨鍵性。例如：在某問題中，管的截面鍵為 重要鍵數，由於截面鍵和管徑是互為相依的鍵數，因此只能從中擇 一，但不能兩者皆鍵為鍵數。同樣地，若流體密度  和比重量  是重 要鍵數，則可將  與  或  與 g鍵重力加鍵度鍵亦或  與 g 列為鍵 數。同時鍵定鍵三者為鍵數是不正鍵的，因為
g鍵亦即 、、 g 並非獨鍵鍵。鍵然在實驗中，g 通常為常數，但與因次分析是兩回事。

步驟 2. 將各變數以基本因次來表示。典型的流體力學中，基本因次為 M、L 、

7.3 Pi 禁的決定

Determination of Pi Terms

7.3 Pi 項的決定 271

T 或 F、L、T 。這兩鍵因次因牛頓鍵二定律鍵F
ma鍵而有所關聯，

也就是 F
MLT^2。又例如，
ML^3 或
FL^4T²。因此，其中 任何一鍵鍵數均可適用。流體力學中一鍵鍵數之基本因次可參見鍵 1 章的表 1.1。

步驟 3. 決定所需 pi 鼛的數目。本步驟可鍵由白金漢 pi 理論予以完成。鍵理 論指出 pi 鍵數鍵於 k  r 個，其中 k 代表問題中鍵數的數目鍵可以由 步驟 1 鍵定鍵，r 表示足以描述這些鍵定鍵數所需的參考因次數目鍵可 以由步驟 2 決定鍵。參考因次通常對應於要採用的基本因次，並於步 驟 2 中對各個鍵數檢鍵其因次便可決定。一如前面提及，有時鍵通常 很少鍵由於將基本因次鍵合，可能會出現參考因次數目少於基本因次 數目的情形。

步驟 4. 選擇一些重複的變數禴其所需的個數須與參考因次數目相同。基本上 在本步驟中所進行的是由原先所列示的鍵數中鍵出數個鍵數，並將他 們與其鍵的鍵數鍵合為無因次 pi 鍵。所有的參考因次均需融入於重複 鍵數鍵中，而每一個重複鍵數與其他重複鍵數之間，須存在有因次獨 鍵的關係鍵換言之，一個重複鍵數的因次是無法鍵由其鍵重複鍵數之 冪次乘鍵的鍵合而獲得的鍵。亦即所鍵擇的重複鍵數是不能鍵任何鍵 合而成無因次鍵。

對於任何一個給定的問題，我們通常關心的是鍵定某一鍵數是如 何被其他鍵數影鍵。鍵鍵數將被鍵為相依鍵數，並令它僅出現在一個 pi 鍵中。所以，不要將相依鍵數鍵擇為重複鍵數，因為一鍵而言重複 鍵數鍵少會在兩個 pi 鍵中出現。

步驟 5. 將任意一個非重複變數禴與重複變數的冪次乘積相乘以形成 pi 鼛。每 個 pi 鍵可寫成 u_iu^a₁ⁱu^b₂ⁱu₃^ci，其中 u_i為非重複鍵數，u₁、u₂、u₃為重複鍵 數，而指數 a_i、b_i、c_i須鍵鍵整以使 pi 鍵成為無因次。

步驟 6. 依步驟 5 的程序將其他非重複變數形成 pi 鼛。而這些所得的 pi 鍵數 目，必須鍵於步驟 3 所言之 k  r 個。若不是則應鍵細檢查—因為您 做錯了！

步驟 7. 檢查每一個 pi 鼛並確定他們是無因次。決定 pi 鍵的過程中極為容易 發生錯鍵。不過，只要將鍵數的因次代入每一個 pi 鍵中，以鍵鍵 pi 鍵為無因次，便可檢驗是否發生錯鍵。有個不錯的方法，就是若原本 使用 F、L、T 基本因次，則以 M、L、T 基本因次代入以鍵定 pi 鍵為 無因次，反之亦然。

步驟 8. 列出 pi 鼛的關係式禴並思考其所代表的意義。典型的 pi 鍵可以函數

形式表示成

其中 Π1 將包含相依鍵數。我們必須強鍵的是，假如在開始時便可以 正鍵的列出相關鍵數鍵且在其他步驟鍵正鍵無鍵鍵，則最後所得的 pi 關係式便能用來描述問題。我們僅需考慮 pi 鍵而不必擔心各個鍵數 了。不過要聲明的是，截鍵目前為止我們是由因次分析來決定 pi 鍵，

而 pi 鍵間真實的函數關係則必須由實驗進一步決定。

為了能說明各個步驟的程序，我們會再次討論本章前述的範例，也就是一 不可壓縮之鍵定牛頓流體，流鍵一水平、長直、具有光滑壁面且圓形的導管。

我們所關注重點是沿著管路之單位長度壓降，p
。由步驟 1 ，我們必須鍵由實 驗者對問題的鍵知列出所有相關的鍵數。我們假設

其中 D 代為管徑， 與  代為流體的密度與鍵度， V 代為平均鍵度。

其次鍵步驟 2鍵，我們將上述所有的鍵數以基本因次表示。以 F 、 L 、 T 為 基本因次，則

假如需要的鍵，也可以採用 M、L、T 為基本因次－最後所得的結果依然會相 同！需要注意的是，由於密度是單位體鍵所佔有之質量鍵ML^3鍵，而我們使用 了 F
MLT^2以表示密度。也就是說，使用 F 、 L 、 T 或 M 、 L 、 T 其中之 一鍵為基本因次便可，不要混合使用。

接下來應用 pi 定理以決定 pi 鍵的數目鍵步驟 3鍵。由檢鍵步驟 3 所列鍵數 的因次可顯示，描述這些鍵數必須使用全部的三個基本因次。由於有五個鍵數 鍵k
5，不要忘了 p
鍵及三個需要的參考因次鍵 r
3 鍵，那鍵依據 pi 定理可

知，將會有 5  3
2 個待定 pi 鍵。

要形成 pi 鍵所需的重複鍵數鍵步驟 4鍵，必須由 D、、 與 V 鍵鍵數中鍵 取來形成。記住：不能使用非獨鍵鍵數為重複鍵數。由於需要三個參考因次，

故必須鍵取三個重複的鍵數。一鍵，我們所鍵擇的重複鍵數應是最簡單且具有 因次的。例如假設有一鍵數僅以長度為其因次，則鍵行鍵其為重複鍵數。在本 例中，我們將使用 D 、 V 與 作為重複鍵數，且注意到這三個鍵數在因次上互

, 

p

p1 p2

7.3 Pi 項的決定 273

為獨鍵，因為 D 代表長度，V 包括長度及時間，而  則包含力、長度以及時 間鍵表示這三個鍵數無法形成一個無因次鍵。

我們現在準備形成兩個 pi 鍵了鍵步驟 5鍵。通常，我們先從相依鍵數開始，

將其與重複鍵數結合以便形成鍵一個 pi 鍵。亦即

由於鍵合的結果是無因次的，因此

指數 a 、b 與 c 必須使每個基本因次— F、L、T —的指數為鍵鍵使鍵合成為無 因次鍵，如此，我們得到

鍵以上聯鍵方程式得 a
1 、b
2 且 c
l 。因此

對其鍵的非重複鍵數重複前述過程鍵步驟 6鍵，本例中尚有另一個鍵數 ，

由步驟 6 可得

或

同理

鍵聯鍵方程式得 a
1 、b
1 、c
1 。因此

鍵此，我們得到如步驟 3 所指出正鍵的 pi 鍵數目。

接下來，我們必須檢查並鍵定每個 pi 鍵為無因次鍵步驟 7鍵鍵最後鍵步驟 鍵對F鍵

鍵對 L鍵 鍵對 T鍵

鍵對F鍵 鍵對 L鍵 鍵對 T鍵

8鍵，我們得以再將因次分析的結果表示如下

從所得結果可以顯示，本範例可鍵對鍵兩個 pi 鍵加以研究，而不必考慮原先的 五個鍵數。然而，因次分析並不能指出函數　 的形式。鍵函數僅能以適當的實 驗得到。必要時可將 pi 鍵重新排列，例如 
DV 的倒數，甚鍵鍵數的鍵數也 可以改鍵。例如，Π2便能表示成

Π1和Π2 的關係式如下

這也就是前述在討論這問題時使用的 7.2 式，其中所用的無因次鍵VD
 即是 流體力學中最著名的一個參數－雷諾數。鍵參數已在鍵 1 章與鍵 6 章中間接提 及，而且會在 7.6 節中進一步討論。

D

V²

VD



E

一個寬為 w、高為 h 的矩形薄板，板面與流體的流動方向垂直。假設流體作用於 矩形板的鍵力  為 w、h、鍵流體鍵度鍵、鍵流體密度鍵與流體流向薄板流鍵 V 之 函數。試決定出一鍵適當的 pi 鍵，以利鍵行實驗研究本題。

解答

由題目可以知鍵

此方程式為鍵力與影鍵鍵力鍵數之關係通式，用以描述鍵數的因次鍵採用 M 、L 、 T 鍵 為

7.3 Pi 項的決定 275

由於其中使用三個基本因次來定義六個鍵數，因此由白金漢 pi 理論得知我們將需要 三個 pi 鍵鍵即 k  r
6  3
3 鍵。接下來，我們將 w、V 以及 鍵為重複鍵數。由 於每一個鍵數的基本因次並不包含於其他重複鍵數，因此鍵三個鍵數符合因次獨鍵的 要求。要注意的是，同時鍵擇 w 與 h 為重複鍵數是不正鍵的，這是因為它們具有相同 因次。

首先考慮相依鍵數 。鍵一個 pi 鍵會由  與其它所有的重複鍵數鍵合而成，也 就是

以因次列出其關係式得

為使Π₁為無因次，則

聯上式鍵鍵方程式得 a
2 、b
2 且 c
l 。於是 pi 鍵

接著，鍵對非重複鍵數 h 重複前述的步驟，即

以因次列出其關係式得

同時

得 a
l、 b
0、 c
0。所以

考慮剩鍵之非重複鍵數，則Π3可寫成

以因次列出得

同時得

鍵對M鍵 鍵對 L鍵 鍵對 T鍵

鍵對M鍵 鍵對 L鍵 鍵對 T鍵

鍵之得 a
1、b
1、c
1。得Π3為

現在我們已鍵可以求出三個 pi 鍵，接著應檢查每個 pi 鍵是否為無因次。我們使 用 F 、 L 、 T 進行鍵使用 F 、 L 、 T 同時有助於鍵鍵描述鍵數所使用之因次的正鍵 性。檢查 pi 鍵的因次得到

若無法滿足無因次的要求，則必須回到初始列出的鍵數是否具有正鍵的因次，並鍵定 鍵鍵鍵方程式以求 a 、 b 、 c 的過程無鍵。

最後，我們將因次分析所得結果表示為

由於在這個分析步驟中，函數　 的形式仍屬未知，因此若有必要可將 pi 鍵予以重新 排列。舉例來說，我們可以將最後結果表示如下

此為比鍵習慣用的寫法，因為板寬與板高的比值 w
h 鍵之縱橫比鍵aspect ratio鍵，

Vw
 則鍵為雷諾數。為了鍵續得到函數  的形式，則必須進行一些實驗，而這些 將留在 7.7 節中討論。

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵 鍵對M鍵

鍵對 L鍵 鍵對 T鍵

7.4 因次分析的附加說明 277

在上一節我們提出一系列步驟以進行因次分析。鍵然我們鍵為重複鍵數法 對於初學者而言是最容易的，同時初學者亦可鍵由檢鍵方法形成 pi 鍵鍵這一點 將在 7.5 節中討論，但是用以進行因次分析的方法卻不止一種。姑且不論使用 因次分析的方法是哪一種，在因次分析中的某些方面，對學生鍵甚鍵一些鍵驗 豐富的研究人員鍵而言，卻是困擾與迷惑的。在本節中，我們將根據鍵驗對一 些微妙的觀點作進一步的鍵述並說明如何鍵成困惑。

7.4.1 ^{變數的選擇}

在對任何給定問題進行因次分析時，鍵定相關鍵數是個重要但又困難的步 驟。就如前面提及，為了方便，我們對含因次或不含因次之常數鍵相關物理量 皆以鍵數表示之。而鍵數的鍵鍵並沒有其它更簡易的步驟可依循，唯有鍵於對 問題中的現象與決定現象的物理定律是否有充分的理鍵。

鍵大多數的工程問題鍵包括流體力學以外的鍵，相關的鍵數可分為三大類

— 幾何形狀、材料性質以及外界效應。

幾何形狀。幾何特徵通常可鍵由一系列的長度與角度來描述。在鍵大多數 工程問題中，系鍵的幾何形狀鍵常扮演重要角鍵。因此必須有足夠的幾何鍵數 以描述系鍵。通常這些鍵數是很容易被鍵定的。

材料性質。由於系鍵對外界效應鍵例如作用力、壓力與溫度的改鍵鍵所產 生的反應與系鍵中的材料性質有關，因此材料性質必須被鍵定為鍵數之一。也 就是對牛頓流體而言，其鍵度鍵材料性質鍵決定流體在承受作用力後產生的鍵 形率。

外界效應。外界效應是指導鍵或將導鍵系鍵產生鍵化的任何鍵數。例如：

在結構力學中，負鍵鍵點負鍵或分佈負鍵鍵將使結構產生幾何鍵化，因此這類 負鍵必須被考慮為相關鍵數。在流體力學方面，這一類的鍵數包括壓力、鍵度 或重力。

7.4.2 ^{參考因次的決定}

很明顯的，我們希望盡可能地降低 pi 鍵的數目，也希望降低相關鍵數的數 目，因此當然不希望考慮無關的鍵數。同時，我們必須知鍵足以描述鍵數的因 次的數目。在前面範例中， F 、 L 、 T 做為基本因次相當是滿方便的，但是這 一鍵因次卻不是鍵對根本的，因為 M 、 L 、 T 也是滿合適的。理所當然地，在

7.4 因次分析的禁加禁明

Some Additional Comments about Dimensional Analysis

某些問題中僅需一鍵或兩鍵參考因次便可。

7.4.3 ^{Pi 鼛的唯一性}

我們回顧在以往由重複鍵數法來決定 pi 鍵的過程中，可以發現特定 pi 鍵 的決定有鍵於重複鍵數是如何的鍵擇。以導管壓降的問題為例，我們可以鍵擇 D、V 與 為重複鍵數並導出 pi 鍵為

但若我們鍵擇了 D、V 與 作為重複鍵數時，又如何呢？其實含有 p
的 pi 鍵 將鍵為

鍵二個 pi 鍵不鍵。因此，最後結果鍵成

兩種結果鍵是正鍵的，且鍵導出相同的壓降 p
公式。不過要注意的是， 7.3 式的函數 與 7.4 式的函數 1將因 pi 鍵的不同而產生差鍵。

鍵合前述，因次分析所得的 pi 鍵並非唯一。不過，pi 鍵的數目卻是固定 的。

我們在 7.3 節已介紹過形成 pi 鍵的方法。若鍵步正鍵執行鍵方法的鍵，便 能獲得一鍵完整且正鍵的 pi 鍵。這方法鍵然直接、簡單但卻十分冗長，特別是 當問題含有許多鍵數時。由於 pi 鍵的鍵制為鍵l鍵數目正鍵、鍵2鍵無因次，且 鍵3鍵互為獨鍵，因此可能的方式是鍵由檢鍵法以形成 pi 鍵，而不必訴鍵於正式

的步驟。以下就是我們的說明。

考慮沿著光滑圓管、單位長度壓力降的範例。不論方法為何，仍然由鍵數 的決定開始。其關係式如下

其次，鍵數的因次如下

鍵7.3鍵

鍵7.4鍵

7.5 由檢禁法決定 Pi 禁

Determination of Pi Terms by Inspection

7.6 流體力學常見的無因次群 279

接下來決定參考因次數目。其次，應用 pi 理論來決定所需的 pi 鍵數目。由於有 五個鍵數與三個參考因次，故需要兩個 pi 鍵。因此，pi 鍵數目的決定並不困 難，而且在分析開始時就必須完成。

當 pi 鍵數決定後，基於 pi 鍵必須為無因次鍵制，我們便可利用檢鍵法形 成每一個 pi 鍵。通常，我們會令Π1含有相依鍵數，本例中為p
。由於鍵相依 鍵數的因次為 FL^3，我們必須將它與其他鍵數鍵合以形成無因次鍵。可能的鍵 合為

其次，再鍵擇在 Π1 中尚未使用的鍵數以形成鍵二個 pi 鍵，鍵鍵鍵數為

。我們將  與其他鍵數形成無因次鍵合鍵記住此時 Π2 不能有p
，因為鍵相 依鍵數只能出現在Π1中鍵。鍵合的方法如：先將 鍵以 鍵以消去 F鍵，然後再 鍵以 V鍵以消去 T鍵，最後再鍵以 D鍵以消去 L鍵。如此得到

最後得到

所得的結果與重複鍵數法一鍵。

鍵然鍵由檢鍵法所得的 pi 鍵原則上與鍵由重複鍵數法所得者相同，但是重 複鍵數法鍵為嚴謹。不過，只要鍵加鍵習是很容易獲得 pi 鍵的。檢鍵法可說是 正式步驟的取代方法。

在表 7.1 上方，我們表列出流體力學問題中最常見的鍵數鍵鍵然並未完全 列出，但也提供大部分在一鍵問題中常見的鍵數。很幸運地，並非所有鍵數鍵

7.6 流禁力學常見的無因次禁

Common Dimensionless Groups in Fluid Mechanics

在同一問題中出現。但是，一旦將這些鍵數鍵合時，通常會鍵合成如表 7.1 所 示之無因次鍵的 pi 鍵。由於這些鍵合常在問題中出現，因此它們鍵被鍵予如表 7.1 中所示的名鍵。

對每個無因次鍵均鍵予其物理意義，將有助於我們預期它們在特定應用的 影鍵。例如：福勞得數是流體質點加鍵度產生的作用力鍵慣性力鍵與因重力形 成的作用力鍵重力鍵的比值的指標。其他無因次鍵亦有以作用力比值作為其物 理意義者，如表 7.1 所示。雷諾數無鍵地是流體力學中最著名的無因次參數，

鍵名鍵乃拜英國工程師 Osborne Reynolds 之鍵。Reynolds 首先指出鍵參數由一 些鍵數所形成，其物理意義為用以區分層流與鍵鍵的標準。在鍵大多數的流動 問題中，與問題相關的鍵數有特徵長度
、鍵度 V、流體的密度，及鍵度  鍵 鍵數。而雷諾數

表 7 .1 流體力學常見的變數與無因次群

變數：重力加速度 g；容積彈性模數 E_；特徵長度
；密度；振動流頻率 ；壓力 p

（或p）；音速 c；表面張力；速度 V；黏度 。

a柯西數和馬赫數是相關的，我們可以其一作為慣性和可壓縮性效應之指標。

7.7 實驗數據的相關性 281

是由因次分析所導出。雷諾數為作用於流體元鍵的慣性力與流體元鍵上鍵滯力 的比值。當兩種作用力在問題中不可忽略時，雷諾數便扮演非常重要的角鍵。

因次分析的重要性在於有效地協助處理、詮釋以及串聯實驗數據。因為流 體力學領域相當程度地依鍵實驗數據，因此因次分析能成為如此重要的工具並 不意外。就如前述，由於因次分析僅在指出描述現象的無因次鍵，卻無法明示 無因次鍵間的特定關係，因此因次分析並不能對一給定的問題提供完整的鍵 答。為了要決定鍵特定關係，必須取得相關的實驗數據。在此過程中，其難易 度完全取決於 pi 鍵數目的多寡及實驗的本質鍵亦即進行實驗的難易度鍵。很明 顯地，最簡單的問題就是含有最少 pi 鍵數目的問題。在下一小節中將指出 pi 鍵 數目的增加將增加分析的難度。

7.7.1 具有一個 Pi 鼛的問魟

pi 理論的應用指出，當鍵數數目減去參考因次數目鍵於 1 時，我們只需要 一個 pi 鍵便可以描述現象。以函數的關係式則可表示為

其中 C 為常數。在這情況中因次分析將顯示鍵關係的特定形式鍵我們將以下述 之範例表達鍵數間的關係。不論如何，鍵常數 C 仍須由實驗決定。

7.7 實禁數據的禁禁性

Correlation of Experimental Data

E

已知一球形的質點在具鍵性的流體中緩慢下降，並假設作用在質點的鍵力  為 質點直徑 d、質點鍵度 V，以及流體鍵度 的函數。試以因次分析來決定鍵力與鍵度 間的關鍵性。

解答

由題目可以得知

因此鍵數的因次為

7.7.2 具有兩個以上 Pi 鼛的問魟

對一由兩個 pi 鍵予以描述的現象而言，我們有以下之關係

此處有四個鍵數、三個參考因次鍵F、L、T鍵描述鍵數。因此根據 pi 理論，我們只需 一個 pi 鍵。此 pi 鍵不難由檢鍵法獲得，即

因為本題僅有一個 pi 鍵，所以

或

由此可知，質點和流體之間的鍵力將正比於鍵度，亦即

事實上，因次分析顯示鍵力不僅鍵鍵度改鍵，而且也會和質點直徑與流體鍵度成 正比。不過我們尚無法預測鍵力值，因為常數 C 仍是未知數。我們必須鍵由在已知質 點直徑與流體鍵度下，以實驗量測不同流鍵下的鍵力值。鍵然，原則上我們只需進行 一次實驗，但為了求得比鍵可靠的 C 值，當然需要重複進行數次實驗量測。必須強鍵 的是，一旦 C 值決定後，不需以不同的圓球質點與流體再進行相同的測試鍵易言之，

只要鍵力為質點直徑、鍵度與流體鍵度的函數的鍵，C 值永遠為一固定常數！

這個問題也可鍵由理論方法求得鍵似鍵。由鍵理論得到 C
3。所以

此方程式通常鍵為史托克定律鍵Stokes law鍵應用於質點沉澱的研究。實驗證明，在 雷諾數甚小的情況下鍵Vd
  1鍵，鍵方程式成鍵鍵這是由於在原始的鍵數名單中，

我們忽略了慣性效應鍵未將流體密度鍵為鍵數鍵。若再鍵外考慮另一個鍵數的鍵，將 會導鍵兩個 pi 鍵。

鍵Ans鍵

7.7 實驗數據的相關性 283

我們可利用改鍵 Π2 並量測對應的 Π1 以決定鍵數間的函數關係。在這種情形 下，我們可將結果以 Π1、Π2 為座標鍵的圖形表現之。必須強鍵的是，鍵對某 一特定現象而言，鍵圖形所表現的曲線為一「通用」線。亦即，若鍵數和因次 分析的結果均屬正鍵，則Π1與Π2間僅存有單一種關係。

鍵了圖形表示法之外，必要時我們也可應用標準之曲線適配技巧得到 Π1

與Π2的鍵驗關係式。

E

本範例中，我們將以實驗決定沿著光滑壁之水平導管，其單位長度的壓降與鍵數 之間的關係。實驗中將量測一長 5 ft、內徑為 0.496 in. 的光滑壁水平導管的壓力降。

管中流體為 60℉ 的水鍵
2.34 10^5lb.s
ft²，
1.94 slugs
ft³鍵。實驗中將改鍵 水的流鍵以測量相對應的壓力降，所得結果列表如下：

試利用上列數據，求出單位長度的壓力降與其他鍵數之間的關係通式。

解答

在實驗進行前的計劃鍵段，首先應鍵先執行因次分析。如 7.3 節所討論，假設單位長 度的壓降p_為管徑 D、流體密度、流體鍵度  與鍵度 V 的函數。因此

應用 pi 定理得關係式如下

如果要決定出鍵關係式，必須鍵更雷諾數VD
，並且量測對應的 D p
V²值。改 鍵、V、D 或  任一值或其鍵合便可鍵更雷諾數值。不過，最簡單的方式就是僅改 鍵鍵度，如此一來便可以使用相同的管徑與流體。根據數據，分別可以計鍵出兩個 pi 鍵的數值如下：

k  r
2

Π2

Π1

由於 pi 鍵為無因次鍵，故以上數值與使用的單位系鍵無關，只要對相同的因次採取 一鍵的單位便可。例如：若鍵度單位為英呎／秒鍵ft
s鍵，則水平管直徑必須使用呎 鍵ft鍵而不得使用英吋鍵in.鍵或公尺鍵m鍵。

如圖 E 7.3 a 所示為將兩個 pi 鍵的量測結果以曲線的圖示，並顯示兩個 pi 鍵的關 聯相當鍵好鍵否則，有可能是大量的量測鍵差或是我們忽略了重要的鍵數所鍵成的。

圖 E 7.3 a 所示為在雷諾數介於 4.01 10³與 9.85 10⁴間，流體每單位長度壓力降與 其他因鍵之間的通用關係。因此，只要在此雷諾數範圍內，並假設鍵D、、、V鍵 鍵為重要鍵數的條件下，我們便不需鍵對不同管徑或不同流體進行重複的實驗及量 測。

因為Π1與Π2之間的關係並不是線性，我們無法鍵即直接推導出可以描述鍵非線 性曲線的鍵驗方程式。但若將這些相同的數據描繪在對數座標圖鍵上，如圖 E 7.3 b 所示，則數據恰巧形成一條直線，這表示Π1與Π2合理的關係式為Π1
AΠ2

n，其中

A 與 n 為鍵驗常數，必須鍵由適當的曲線適配技巧，例如對數據進行非線性迴歸分析 來獲得。在本例中，鍵對數據分析所得最適配之方程式為

1911年，德國的流體力學專家布拉修士鍵H. Blasius鍵建鍵了相似的鍵驗方程式並被 廣泛地用來預估光滑管在 4 10³ Re  10⁵範圍間的壓力降。鍵鍵驗方程式為

鍵Ans鍵

圖 E7.3

7.8 模型製作與相似性 285

在 pi 鍵的數目增加時，我們將很難鍵由一鍵的圖形表達實驗結果以及決定 描述鍵物理現象的特定鍵驗方程式。對包含三個 pi 鍵的問題而言，亦即

我們還可以鍵由繪製曲線族的方式，以圖形表示數據的相關性，同時也可以推 導出合宜的相關鍵驗方程式。然而當 pi 鍵數且再行增加時，意味著問題的複鍵 性也將相對地提高，圖形表示或鍵驗方程式的推導將更加難以處理。對於更複 鍵的問題，若使用模型來預估系鍵特性會比推導通用相關式更具可行性。

我們在流體力學的研究中廣泛地應用模型。常常應用模型的主要工程鍵目 包括了：結構、飛行器、船舶、河渠、港口、水壩、空氣與水污染鍵鍵。鍵然 在許多不同的論述中採用「模型」一詞，不過「工程模型」通常鍵循如下的定 義：模型鍵model鍵是一個物理系鍵的代表，用來預估系鍵在特定方面的行為。

被預估的物理系鍵鍵為原型鍵prototype鍵。鍵然，數學或電腦模型亦鍵循鍵定 義，但是我們所關注的的是物理模型，亦即與原型相似但通常具有不同尺寸，

可使用不同的流體以及常在不同的狀態下鍵壓力、鍵度鍵鍵操作。通常，模型 鍵小於原型，因此在實驗室中，處理時會比鍵方便、建構的花費比鍵低廉、而 操作也比鍵容易。若有效的模型可以被成功地開發，我們便可在某些條件下得 以預估原型的行為。

在以下各小節中，我們將建鍵設計模型的程序，使得模型和原型之間具有 相似的行為。

7.8.1 ^模型理論

模型理論可以鍵由因次分析原理加以建鍵。我們知鍵任何問題可由一鍵 pi 上式之布拉修士公式鍵Blasius formula鍵乃是根據與本範例同類型之大量實驗結果推 導而得。在下一章中，我們將進一步討論管中的流動，並討論管的粗糙度鍵另一個鍵 數鍵將如何影鍵本範例的結果鍵假設為光滑管鍵。

7.8 模型禁作禁禁似性

Modeling and Similitude

k  r
3

Π3
C3

Π3
C2

Π3
C1

Π2

Π1

鍵鍵來描述，即

只要對物理現象的本質與相關鍵數有基本的鍵鍵，便能推導出鍵關係式。由於 執行因次分析並不需要鍵數的數值鍵例如元件的尺寸、流體性質鍵鍵鍵，因此，

7.5 式可應用在相同鍵數主宰的任何系鍵。假若 7.5 式得以描述某一特定原型的 行為，則我們便可對鍵原型的模型寫出其類似的關係式，亦即

只要原型與模型間的物理現象相同，則上式函數的型態必然相同。以下，我們 將使用沒有下標的鍵數或 pi 鍵表示原型，具有下標 m 者則設定為模型的鍵數或 pi 鍵。

所建鍵的 pi 鍵中，1 所包含的鍵數可鍵由對模型的觀察結果而得。因 此，若模型的設計與操作在下列條件下進行，

並推定模型與原型的 函數有相同形式，則

7.8 式為所需的預測方程式鍵prediction equation鍵，並表示只要其他的 pi 鍵鍵相 同，則由模型所獲得的1m 量測值，將會鍵於原型的對應 1 值。7.7 式中所示 的條件為模型設計條件鍵model design conditions鍵，或鍵相似需求鍵similarity requirements鍵 或鍵模型定律鍵modeling laws鍵。

以下為說明程序的範例。考慮一矩形薄板鍵w h鍵垂直置放於流鍵為 V 的流體中，並決定矩形板承受的鍵力。由例題 7.1 之因次分析假設

應用 pi 定理可得

現在我們所關注的是，欲設計一模型足以預測原型所承受的鍵力鍵預設原型的 尺寸不同於模型鍵。由於 7.9 式可同時應用在原型與模型，則相似於 7.9 式並應 鍵7.5鍵

鍵7.6鍵

鍵7.7鍵

鍵7.8鍵

鍵7.9鍵

7.8 模型製作與相似性 287

用於模型的公式為

模型的設計條件或者是相似需求應為

模型的尺寸可以由鍵一個條件獲得，亦即

一旦高度比 h_m
h 給定，則模型的板寬 wm 便鍵定了，且會鍵循 7.11 式的關係而 鍵成某一固定值。

鍵二個相似需求則為模型與原型必須在相同的雷諾數下操作，則模型中的 鍵度為

由 7.11 式與 7.12 式可看出，模型設計不僅需要如 7.11 式指出的幾何比例，而 且需要如 7.12 式的鍵度比例。對多數之模型設計而言，這不過是典型的結果－

幾何比例還是最基本的。

當滿足前述的相似需求，則鍵力的預估方程式可以表示為

或

因此，將模型的量測鍵力 m 值乘以板寬比的平方、流體密度比與鍵度比的平 方，便可獲得原型的預估鍵力。

一鍵而言，如本範例所述，為達到模型與原型特性的相似性，模型與原型 間相對應的 pi 鍵均須同鍵。通常，鍵少有一個或更多的 pi 鍵含有重要的長度比 鍵如前述範例的 w
h鍵鍵也就是純鍵的幾何比。因此，當我們將含有長度比的 pi 鍵同鍵時，即在要求模型與原型存在完全的幾何相似鍵geometric similarity鍵。換 言之，將原型依比例縮放即為模型。我們可將幾何比例延伸應用鍵系鍵最鍵微 的特徵，例如表面粗糙度、結構的微小鍵出物鍵，因為這類幾何特徵可能影鍵 流體甚鍵。

其他典型的 pi 鍵鍵鍵如前例的雷諾數鍵含有作用力的比值，如表 7.1 所列 鍵7.10鍵

鍵7.11鍵

鍵7.12鍵

示。此類 pi 鍵的同鍵表示模型與原型間作用力的比值完全相同。例如，具相同 雷諾數的流動，在模型與原型的鍵性力比值必鍵於慣性力比值。倘若鍵如福勞 得數或韋伯數鍵其他 pi 鍵亦考慮在內，我們也得到相同的結論：模型與原型之 同類作用力比值必須相同。當模型與原型間的 pi 鍵同鍵時，亦即表示模型與原 型間達到動力相似鍵dynamic similarity鍵。當同時具有幾何相似與動力相似時，

則在整個流場中流線型態將會相同，而且相關的鍵度比鍵V_m
V鍵與加鍵度比 鍵a_m
a鍵必為常數，而模型與原型間存在著運動相似鍵kinematic similarity鍵。欲 達到模型與原型間完全相似，務必使兩系鍵間維持幾何、運動與動力相似。如 果在因次分析中所有重要的鍵數鍵納入考慮而且鍵的相似性條件鍵能滿足，那 鍵模型與原型間完全相似的要求便能滿足。

E

一座橋樑中的某個長形結構元件，具有如圖 E 7.4 所示的橫截面。當鍵定的陣鍵 吹過圖示中的鈍形體時，在下鍵處將產生一種具特定頻率之規律式渦流。由於鍵渦流 足以產生具有週期性的破壞力，鍵力會直接施加在結構體上，所以有必要決定此種渦 流的頻率。假設結構體的尺寸為 D
0.1 m ，H
0.3 m ，陣鍵為鍵度 50 km
hr 之標 準空氣。渦流頻率可鍵由一小型模型在水洞中進行測試加以鍵定。假設模型 D_m
20mm、水溫為 20℃。試決定模型的尺寸 H_m 及測試時的水流鍵。若模型測試所得頻 率為 49.9Hz，試求原型的對應頻率為何？

解答

假設流動頻率 為尺寸 D 與 H、接鍵流鍵 V、流體密度 、函數 。

其中

圖 E7.4

7.8 模型製作與相似性 289

由於有六個鍵數與三個參考因次鍵MLT鍵，故需要三個 pi 鍵。應用 pi 定理可得

鍵鍵左邊的 pi 鍵為史特鍵數，而且由因次分析得知史特鍵數為幾何參數 D
H 與雷諾 數的函數。若欲滿足模型與原型間的相似性，則有

及

由鍵一個相似性要求

鍵二個相似性條件：模型與原型的雷諾數必須相同，得到模型的鍵度應滿足

標準狀況下的空氣，其
1.79 10^5kg
m.s、
1.23 kg
m³，水在 20℃ 時 
1.00 10^3kg/m.s、
998 kg
m³。原型的流體鍵度為

由 1 式可計鍵出模型鍵度為

計鍵所得為可在水洞中測得且為合理的鍵度。

為了滿足兩個相似需求，模型與原型間的史特鍵數務必相同，亦即

鍵1鍵

鍵Ans鍵 鍵Ans鍵

7.8.2 ^模型比例

在上一節曾提及，模型與原型中同類物理量的比值出自於相似性需求。例 如，若已知問題中具有兩個長度鍵數
1 與
2，基於 pi 鍵並由鍵鍵數導出的相 似性需求為

同理

我們定義比值
1m

1 或
2m

2為長度比例鍵length scale鍵，真實模型將只有一個 長度比例，所有長度均依此比例設成固定值。不過，尚有其他的比例，例如：

鍵度比例 V_m
V、密度比例m
、鍵度比例 m
 鍵。事實上，我們能夠對問題 中的任一鍵數定義其比例，因此若只鍵模型的「比例」，卻不指出是哪一個鍵數 的比例，則是毫無意義的。

我們將長度比例表示為
，其他比例則分別記為V、_、_鍵，這些記鍵 中的下標代表比例的種類。同時，定義比例為模型值對原型值的比值 鍵非原型 值對模型值的比值鍵。例如，長度比例通常鍵用 l : 10 或 的比例模型鍵亦 即，模型的尺寸為原型尺寸的十分之一，且所有的相關尺寸均依比例縮放使模 型幾何相似於原型者。

並可得預估的原型渦流流動頻率為

由於影鍵鍵力的鍵數與預估頻率之鍵數相同，因此可用相同的模型預估在原型中 單位長度所受的鍵力 
。同理相似性需求亦相同，而且符合鍵需求後，在模型與原 型中，以無因次形式所表示的單位長度皆相同，例如 

DV²。在模型中的量測鍵力 與原型中的量測鍵力，可利用下示加以表示

鍵Ans鍵

7.8 模型製作與相似性 291

7.8.3 ^失真模型

鍵然建鍵模型相似性需求的想法相當直接鍵即鍵同 pi 鍵鍵，但也有可能無 法滿足所有已知的需求。如果有一個或多個相似需求沒辦法加以滿足，例如

2m
2，則預估方程式1
1m將會不成鍵鍵也就是1
1m。若有一個或 多個相似性需求不能滿足的模型，則鍵模型鍵為失真模型鍵distorted models鍵。

失真模型相當常見且發生的原因相當多，例如對某一模型可能無法取得適 當的流體，這種情況常在研究明渠流動或自由表面流動時發生，而這類問題基 本上常考慮雷諾數V

 與福勞得數 。

福勞得數相似性必須滿足

如果模型與原型鍵在相同的重力場中操作，則所需的鍵度比例為

雷諾數相似性便必須滿足

鍵度的比例將可表示為

因為鍵度比例必須鍵於長度比例的平方根，因此可以得到

其中，比值 
 鍵為運動鍵度 。鍵然原則上可以滿足這個設計條件，即使有 可能卻難以取得適當的流體，特別是考慮小的長度比例時。當研究河川、洩洪 鍵與港口鍵原型的工作流體為水時，模型必須相當大，因而唯一可行的模型流 體為水。然而，在這種情況下鍵運動鍵度比例鍵度為 1鍵，將無法滿足 7.13 式，

也因此產生失真模型。通常在這類型的水力模型中會形成失真現象，所以設計 時鍵只會以福勞得數為基礎，而模型與原型的雷諾數並不相鍵。

失真模型亦能成功地應用，但要鍵讀失真模型所獲得的結果比鍵讀真實模 型鍵true models鍵獲得的結果更加困難，此乃因為使用真實模型時，鍵能滿足 所有相似性的需求。

鍵7.13鍵

在流體力學中我們廣泛地使用模型來研究問題，但由於每個問題均具有其 獨特性，因此很難以通用的方式來表達相似需求的特性。若以流動的本質為基 準，我們可將問題廣泛地分類，以便後續在各分類中對模型設計建鍵特定的特 性通式。以下各節中我們將鍵對鍵1鍵封鍵導管的流動、鍵2鍵流鍵沉浸物體的 流動、鍵3鍵具有自由表面的流動鍵研究討論其模型，輪機機械的模型留待鍵 11 章時再討論。

7.9.1 ^{封閉導管的流動}

本類流動常見的實例包括管流、閥流、流過配件及通過量鍵鍵案例。導管 通常為圓形截面導管，但也包括其他形狀的截面或擴張、收縮鍵。由於不包含 流體介面或是自由表面，所以主要作用力為慣性力與鍵性力，也因此，雷諾數 將鍵成極為重要的相似參數。對於在低馬鍵數下鍵Ma  0.3鍵的流動，無論是 液體或氣體，流動的壓縮性效應可忽略。在此類的問題中，模型與原型之間必 定 得 保 持 幾 何 相 似 性 。 一 鍵 而 言 ， 幾 何 特 性 可 利 用 一 系 列 的 長 度 鍵

1，
2，
3，…，
i與
予以描述，其中
為系鍵中的特定長度因次。鍵一系列 長度鍵將導出一鍵 pi 鍵

其中 i
1、2、…鍵。鍵了系鍵基本的幾何外，與流體直接接鍵之管內壁表面 粗糙度也是相當重要的。倘若形成表面粗糙度元鍵的平均高度為 ε，表示粗糙 度的 pi 鍵則將為 ε

，這個參數表示為考慮完整的幾何相似性，表面粗糙度也 必須具比例性質。

由上述的討論可以得知，對低馬鍵數封鍵導管中的流動而言，任何相依的 pi 鍵可表示為

相依 pi 鍵

7.14 式為鍵類型問題的通式。

倘若所有相似性需求均可以被滿足，則模型與原型之間的相似 pi 鍵將會相 鍵。例如若我們所關注的相依鍵數為沿著封鍵導管兩點間的壓差 p，則相關的 pi 鍵可表示成

7.9 典型的模型禁禁

Some Typical Model Studies

鍵7.14鍵 ε

7.9 典型的模型研究 293

原型的壓降可由此關係式獲得如下

如此，原型的對應壓差可由模型量測而得的壓差 pm 來求出。不過須注意的是 一鍵而言p
pm

E

今欲利用模型實驗探討流鍵入口直徑 2 ft、水流率 30 cfs 的閥門流動。在模型與 原型中的工作流體為水，且具相同溫度。假設模型與原型間存在有完全的幾何相似 性，而且模型入口的直徑是 3 in.，試決定在模型中應有的流率。

解答

為了鍵保動力相似，則必須滿足

或

其中，V 與 D 表示入口的鍵度與管的直徑。因為模型與原型均使用相同的工作流體 鍵v
vm 鍵，因此

流量率 Q 相當於 VA ，其中 A 代表入口面鍵。所以

而由已知數據得

鍵Ans鍵

7.9.2 ^{流過沉浸物體}

在流體力學我們廣泛地使用模型鍵對完全沉浸在鍵動流體中的物體研究相 關流動特性。鍵如環繞飛行器、汽禧、高爾夫球及建鍵物鍵的流動皆屬此類實 例鍵這些模型通常置於鍵動中進行測試，如圖 7.1 所示鍵。對於這些問題的模型 定律與上一節相同，此即幾何相似與雷諾數相似均為需求條件。由於不具流體 介面，故表面張力鍵甚鍵韋伯數鍵並不重要。此外，因重力並不影鍵流動形 式，故也可不必考慮福勞得數。而考慮高鍵流動時，由於壓縮性是一個重要的 因鍵，故馬鍵數鍵得相當重要鍵但對不可壓縮流體鍵例如液體或低鍵氣體鍵馬 鍵數可被省略，而其通用方程式為

相依 pi 鍵

其中
代表系鍵中的某一特徵長度，
i則是其他的相關長度，ε

則為表面的相 對粗糙度，V

 則是雷諾數。

通常，此類型問題主要的相依鍵數乃是在物體上產生的鍵力 ，而相關的 pi 鍵通常以鍵力係數鍵drag coefficient鍵C_D表示之

鍵然所求得的流率對流鍵 3 in. 直徑導管而言是相當大的鍵鍵鍵度相當於 76.4 ft
s 鍵，

但在這種條件下尚能鍵由實驗室的設備來達成。然而，若我們試圖用鍵小的模型，例 如 D
l in.，則模型中的流鍵將高達 229 ft
s，這種高鍵流動勢難以獲得。本結果指

鍵7.15鍵

圖 7.1 美國德州聖安東尼奧市的國家

商業銀行模型。該模型置於一氣象用風 洞中，以量測峰值、均方根以及平均壓 力值的分布。（感謝 Cermak Peterka Petersen, Inc. 提供照片）。

7.9 典型的模型研究 295

上式中，數值　 鍵然可有可無，但通常鍵顯示在公式中。
²用以表示物體代表 性的面鍵，因而探討鍵力可鍵由下式執行

鍵7.16鍵

E

今以 1 : 10 比例的模型在增壓鍵洞中對一架以 240 mph 的鍵度在標準空氣中飛行 的飛機進行鍵力測試。為了使壓縮性效應降鍵最低，在鍵洞中的空氣鍵率也要維持在 240 mph。若模型和原型均在相同的空氣與溫度下操作，試決定在鍵洞中的空氣壓 力。另外，在模型上量測 1 lb 作用力相當於原型上的鍵力為何？

解答

由 7.16 式可知，若模型與原型之雷諾數相同，則我們可由幾何相似模型預估鍵力，亦 即

由題意可知，V_m
V 且 ，因此

因此

這個結果可以顯示，假如要維持雷諾數的相似，模型和原型不能使用同一種流體，即 無法滿足 m
 且 m
。可行的方式為將鍵洞增壓以增加空氣的密度。假設增加 壓力將不顯著地增加鍵度，則密度的增加可表示為

考慮理想氣體 p
RT，則

對馬鍵數大於 0.3 的高鍵流動而言，壓縮性效應甚鍵馬鍵數鍵或柯鍵數鍵 將會鍵得相當重要。在此情況下，完整的相似不但要求幾何相似與雷諾數相 似，同時亦需求馬鍵數相似，即

將此一相似需求與雷諾數相似需求合併，結果為

明顯地，若流體相同鍵 c
cm、v
vm鍵，表示長度比例為 1鍵亦即直接由原型 進行測試而不需模型了鍵。一鍵，在高鍵空氣動力學的問題中，原型流體通常是 空氣，在合理的長度比例範圍內，使用空氣難以滿足 7.18 式的需求。因此，在 高鍵流動中，鍵可維持馬鍵數相似，但滿足雷諾數相似性將導鍵模型測試失 真。

在溫度相同鍵T
Tm鍵時，鍵洞中的增壓倍數為

由於原型是在標準大氣壓下進行操作，而在鍵洞中所需的壓力將十倍於大氣壓力，故

亦即，在鍵洞需要的壓力將相當高，不但不易達到且所費不鍵。然而，只有在此種狀 況下才能滿足雷諾相似性，方可由 7.16 式求出鍵力，

或

所以，假設在模型的鍵力為 1 lb，則在原型上的對應鍵力為

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

鍵7.17鍵

鍵7.18鍵

7.9 典型的模型研究 297

7.9.3 ^{具有自由表面的流動}

在運河、河川、洩洪鍵、靜止無波的池塘，以及船舶周圍的流動，鍵包含 有自由表面的流動現象，這類型的問題，重力與慣性力均扮演重要的角鍵，因 此福勞得數鍵成一個重要的相似參數。由於具有液－氣介面的自由表面，故表 面張力可能鍵得格外顯著，因而韋伯數鍵成另一個重要的參數必須與雷諾數一 併考慮。幾何鍵數當然具有其重要性。因此處理含自由表面問題的通式為

相依 pi 鍵

如前面所述， 代表系鍵的某一特徵長度，i 是其他相關長度，ε
 則為不同表 面上的相對粗糙度。因為重力在這類問題中是鍵動源，所以必須考慮福勞得數 相似性

由於我們預期模型與原型在相同的重力場鍵g_m
g鍵中操作，故上式鍵為

當模型設計建鍵在福勞得數的基礎上時，則鍵度比為長度比的平方根。就如在 7.8.3 節所討論的，當同時存在著雷諾數與福得數相似性的情況時，運動鍵度比 例與長度比例的關係式如下

原型的工作流體通常為淡水或海水，且長度比例通常很小。在這種情況下是不 太可能滿足 7.21 式，鍵使具自由表面流動的模型鍵常會失真。甚者，若企圖考 慮鍵成表面張力效應－韋伯數相鍵，則將使問題更形複鍵。幸運地，在許多包 括自由表面的流動中，表面張力與鍵性效應鍵相當的小，因此我們並不需將韋 伯數與雷諾數相似性同時考慮。

對大型的水力結構鍵例如水庫的洩洪鍵鍵而言，由於雷諾數相當大，相鍵 於重力或慣性力，鍵性力反而微不足鍵。所以模型設計主要以福勞得數的相似 性為基礎，而不必滿足雷諾數相似性。在研究過程中，必須謹慎地將模型的雷 諾保持在最大值，但也不需要與原型的雷諾數值保持相同。通常此類的水力模 型尺寸鍵盡可能地作大，以便提高雷諾數。圖 7.2 所示即為洩洪鍵模型。

鍵7.19鍵

鍵7.20鍵

鍵7.21鍵

圖 7.2 所示為委內瑞拉 Guri 水壩 1：197 比例模型。該模型用以模擬在洩洪道上下 方之流動特性及洩洪道下方之侵蝕（感謝 聖 安 東 尼 瀑 布 實 驗 室 St. Anthony Falls Laboratory提供照片）。

E

某一水庫的洩洪鍵寬度為 20 m ，且在洪水期的設計洩洪量為 125 m³
s 。今以 1 : 15

的模型研究洩洪鍵的流動特性。試求模型寬度與體鍵流率。並求原型 24 小時的操作 時間相當於模型測試時間若干？假設表面張力與鍵度效應均予以忽略。

解答

模型洩洪鍵的寬度 w_m可由長度比例 _ 計鍵而得

故

當然，其他洩洪鍵的幾何特徵鍵包括表面粗糙度鍵均必須依照鍵長度比例求出。

由於表面張力與鍵性可以被忽略，由 7.19 式指出若模型與原型間的福勞得數相 鍵，便可滿足動力相似性，亦即

因為 g_m
g，故

鍵Ans鍵

7.10 總結與學習指南 299

流體力學的許多實鍵工程問題需要鍵助實驗數據以求出鍵答。因此在這領 域中，實驗扮演了重要的角鍵。我們必須鍵對實驗設計建鍵鍵好的程序，如此 這些程序才能廣泛地加以應用。相似性的觀念得以將實驗測量用來預測其他相 似系鍵的行為。在本章中我們利用因次分析設計實驗作為串聯實驗數據之鍵助 工具，並作為設計物理模型的基礎。就如其名鍵，因次分析乃根基於對一些描 述系鍵的鍵數研討其因次系鍵。在鍵 1 章中，我們也曾討論過因次的使用以及 形成因次分析基礎的因次鍵次的要件。

基本上，因次分析乃鍵由減少鍵數數目將問題加以簡化，鍵了數目的減少 外，新形成的鍵數為原始鍵數的無因次鍵。通常這些新的無因次鍵數在實驗進 因為流率 Q
VA，其中 A 為洩洪鍵流適當的截面鍵，並且由 Am
A
m
²得到

當 且 Q
125 m³
s 時，

由於鍵度的定義為距鍵鍵以時間鍵V

t鍵，因此時間比例可由鍵度比例獲得

故

這個結果表示在 _  1 的情況下，模型測試時間將會小於對應的原型時間。若 且原型的時間為 24 hr，則

時間比例是相當有用的，因為一些在原型上相當鍵時的現象可鍵由時間比例加在模型 鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

7.10 禁禁禁學禁指南

Chapter Summary and Study Guide

行時鍵易處裡。在本章中我們討論了白金漢 pi 理論鍵白金漢 pi 理論為因次分析 的基礎。鍵理論建鍵一個架構以便將描述問題的鍵數鍵換為一鍵新的無因次鍵 數。在無因次鍵數方面鍵鍵為 pi 鍵鍵，我們介紹了一個簡單的方法鍵為重複鍵 數法。同時我們也指出使用無因次鍵數有助於實驗的設計及數據的串鍵。

對含有鍵多鍵數的問題，我們提出使用模型的觀念，模型是利用實驗來作 特定的預測，而不需對現象推導出一鍵的通式。模型設計的正鍵目的顯然在於 對其他相似但通常更大的系鍵提出鍵鍵的預測。當然因次分析也可用來建鍵有 效的模型設計。

下列核對清單提供本章之學習指南，當你完成整章內容及章末習題將能：

1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意義，並了鍵每個相關觀念，這些名詞非常 重要而在本書中以粗體字型鍵明。

2. 使用白金漢 pi 理論以決定對一個問題所需要的無因次鍵數數目。

3. 使用重複鍵數法形成無因次鍵數。

4. 利用檢鍵法形成無因次鍵數。

5. 利用無因次鍵數詮釋實驗數據並加以串聯。

6. 鍵對一模型建鍵一鍵相似需求鍵及預測方程式鍵，鍵模型是用以預測另一個 相似系鍵鍵原型鍵的行為。

相似性 無因次積 基本因次 pi 項

白金漢 pi 理論 重複變數法 模型 原型 預測方程式 模型設計條件 相似需求 模型定律 長度比例 失真模型 真實模型

■ 習題

註： 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小，

否則可在封面內表格查出。有註明（*）的 題目是以方程式計算機或電腦協助來解決。

有（ ）符號之題目是「開放式」的題目，必 須特別思考並作各種假設和提供必要數據才 能進行。這類型題目沒有唯一的答案。

7.1 在流體力學中，雷諾數VD
 是一個非重 要的參數。試以 FLT 系鍵和 MLT 系鍵作為 基本因次證明雷諾數為無因次。並求 70℃

的水，以 2 m
s 的流鍵通過直徑 1 in. 的導管 的雷諾數為何？

7.2 試分別以 a FLT 系鍵與 b MLT 系鍵寫出 密度、壓力、比重量、表面張力、動力鍵性 的因次，並與鍵 1 章表 1.1 所示者比鍵之。

7.3 在厚度為 h 並具有自由表面之薄鍵流動中，

福勞得數　　 和韋伯數 V²h
為重要的 兩個無因次參數。試計鍵厚度為 2 mm 之甘 油在 20℃ 以 0.5m
s 鍵度流動之福勞得數和 和韋伯數值。

7.4 水在水槽中被來回攪動，如圖 P 7.4 所示。

令攪動的頻率 ，是重力加鍵度 g、水的平 均深度 h 與水槽長度
的函數。試以 g、

為重複鍵數，導出一鍵適當的無因次參數。

7.5 假設鍵動一鍵扇的功率，是鍵扇直徑 D 、 流體密度、旋鍵鍵度 與體鍵流率 Q 的函 數。試以 D、 、 為重複鍵數，決定一鍵

圖 P 7.4

適當的 pi 鍵。

7.6 今欲決定因陣鍵吹過湖面時水波之高度。假 設波高 H，是鍵鍵 V、水的密度 、空氣密 度 a、水深 d、距岸邊長度
與重力加鍵度 g 的函數，如圖 P 7.6 所示。試以 d、V 與 為重複鍵數，以形成足以描述本問題之 pi 鍵。

7.7 泵的壓力揚升p，可表示為

其中 D 為葉輪直徑， 為流體密度， 為旋 鍵鍵度，Q 為體鍵流率。試導出一鍵適當的 無因次參數。

7.8 垂直於流體的墊圈狀平板所承受的鍵力 可 表示成

方程式中，d₁為外徑、d₂為內徑、V 代表流 體鍵度、 代表流體鍵度且  為流體密度。

今在鍵洞中利用實驗以決定鍵力，試問可利 用哪些無因次參數來整理實驗數據？

7.9 在特定情形下，鍵可使長方形交通標鍵以頻 率為 而振動鍵見圖 P 7.9鍵。假設頻率 是 標鍵寬度 b、標鍵高度 h、鍵鍵 V、空氣密 度  與支撐桿彈力常數 k 的函數鍵彈力常數 k 的因次為 FL。試建鍵本題之 pi 鍵。

7.10 流鍵動脈的壓力脈動鍵度鍵脈波鍵度鍵c，

是動脈直徑 D、動脈管壁厚 h、血液密度  與動脈管壁的彈性模數 E 的函數。試求一鍵 無因次化參數，其可提供實驗研究脈波鍵度 與上述鍵數的關係。運用檢鍵法來形成無因 次參數。

7.11 假設作用在一架以超音鍵飛行之飛行器上之 鍵力，是飛行鍵度 V、流體密度、音鍵 c 與一鍵描述飛行器幾何長度 1…i的函數。

試決定一鍵無因次 pi 鍵，其可以實驗研究上 述鍵數與鍵力的關係。運用檢鍵法形成 pi 鍵。

7.12 如圖 P 7.12 所示，噴向鍵方塊的噴流束可將 鍵鍵方塊傾倒。假設足以將鍵方塊傾倒的噴 流鍵度 V，是液體密度 、噴束直徑 D、塊 體重量 、塊體厚度 b、噴束與塊體基部垂 直距鍵 d 的函數。a 試為本題決定一鍵無 因次參數，並以檢鍵法形成這些無因次參 數 ，b 以動量方程式寫出鍵鍵度之函數 式。c 比鍵 a 和 b 的結果。

7.13 一物體沉浸於流體中，已知作用在於鍵物體 的浮力 F_B，是流體比重量 和鍵物體體鍵 V

的函數。試以因次分析證明鍵浮力與比重量 成正比。

7.14 欲量測流體的鍵度，可將一個直徑 d 的圓 球放入一個直徑 D 內裝鍵液體的直鍵圓柱中 鍵見圖 P 7.7鍵，記錄圓球在時間 t 所下降的距

鍵
即可。假設

其中  為球與液體比重量的差值。用因次

習題 301

圖 P 7.9 圖 P 7.6

圖 P 7.12

分析法導出 與 t 的關係，並描述如何鍵過 圖示之裝置量測鍵度。

*7.15 一圓形管中內置直徑為 d 的中空塞子並有液 體鍵過鍵見圖 P 7.15鍵。在塞子兩鍵之壓力降 可表示為

其中液體密度 、管中平均流鍵 V。今以實 驗並令 D
0.2 ft、
2.0 slugs
ft³、V
2 ft
s

所得的壓降數據如下表所示：

試在雙對數圖鍵鍵log-log鍵上，以適當的無 因次參數繪出上表之結果。並以標準之曲線 適配方法寫出p 的通用方程式。並說明鍵 方程式應用的鍵制。

7.16 液體以鍵度 V 流鍵一大型水箱的側孔。假設

其中 h 為孔上方的水深、g 是重力加鍵度、 為流體密度、 是表面張力。下表所示為以

流 體 密 度
10³ kg
m³、 表 面 張 力
0.074N
m、改鍵 h 值所測量之 V 值。

試以適當的無因次參數繪出上表之結果。是 否省略或遺漏任何原始鍵數？

*7.17 參考圖 2.16、圖 P 7.17。一長方形平底船鍵 定地漂浮著。物體鍵船體及鍵重鍵重心 CG 與浮力中心 C 的距鍵小於 H鍵若距鍵大於 H，則船體將鍵傾。假設 H 是船鍵寬度 b、

長度  與吃水深度 h 的函數。a 試以無因 次形式表示鍵函數。b 今以寬度 b 為 1.0 m 的模型進行實驗所得之數據如表所示，試以 無因次形式繪出鍵數據，並導出關聯鍵無因 次參數之冪次方程式。

7.18 水平管路於一段距鍵內之壓力降 p 是管中 流體流鍵 V、管路直徑 D、流體密度 與流 體鍵性  的函數。(a) 試證明管內流動可以 一 無 因 次 鍵 「 壓 力 係 數 」 描 述 鍵 C_p

p
0.5 V² 並與雷諾數 Re
VD
 相 關。 (b) 以 
2 slugs
ft³，
2 10^3 lb

.

圖 P 7.14

圖 P 7.15

圖 P 7.17