4-1 概論
在這一章我們將利用程式的模擬來驗證我們所提出的測試方法，我們會進行 四種不同情況模擬。首先我們會模擬在不加雜訊及取樣點數相同的情形下，隨機 取樣及均勻取樣的結果。接下來我們會觀察在不同的取樣點數下隨機取樣方式的 結果。第三種情形我們會模擬雜訊大小對系統的影響。最後，我們比較在不同的 取樣點數下，雜訊的大小跟取樣點數的關係。
4-2 隨機取樣及均勻取樣的模擬
在這一節裡，我們首先比較隨機取樣及均勻取樣的不同。在模擬程式裡，我 們設定三角波的振幅V 為 1V，比較器的參考電壓A VR、VR為0.5V，取樣 點數為 1024 點，三角波的偏壓電壓值V 以每次 0.1V 的間隔由 X 1V增加到 1V。
兩種取樣方法各做 64 次，取其平均值及標準差並反推其V 及 A V 值，計算X VA 及 V 的誤差。 X
Figure 4.1 是均勻取樣的機率圖，我們可以看到均勻取樣的機率圖跟我們用 公式推導所產生的機率圖非常相像，它的機率曲線幾乎都是平的。Figure 4.2 是 隨機取樣的機率圖，因為量化誤差的關係，隨機取樣的機率圖形會有一些抖動，
沒有辦法像均勻取樣那樣的平坦。Figure 4.3 是均勻取樣的標準差圖，均勻取樣 的標準差幾乎都為 0。Figure 4.4 是隨機取樣的標準差圖，跟均勻取樣比起隨機取 樣的標準差相對較大。Figure 4.5，Figure 4.6 是均勻取樣與隨機取樣的V 及 A VX 誤差的比較圖，我們可以清楚看到隨機取樣的誤差大於均勻取樣的誤差。
Fig. 4.1 均勻取樣的機率圖 Uniform sample
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800
-1 -0.8 -0.6
-0.4
-0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Vx
Probability
PL1 PL2 PL3
Fig. 4.2 隨機取樣的機率圖
Fig. 4.3 均勻取樣的標準差圖 Random Sample
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Vx
Probability
PL1 PL2 PL3
Uniform sample std
0.000E+00 5.000E-09 1.000E-08 1.500E-08 2.000E-08
-1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8
Vx
STD
PL1 Std PL2 Std PL3 Std
Fig. 4.4 隨機取樣的標準差圖
Fig. 4.5 V 的誤差圖 A Random sample std
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Vx
STD
PL1 Std PL2 Std PL3 Std
Va error
0 0.002 0.004 0.006 0.008
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V Random
Uniform
Fig. 4.6 V 的誤差圖 X
4-3 不同的取樣點數模擬
這一節裡，我們主要是模擬在取樣點數不同的情況下，隨機取樣方法的結果 為何，模擬的參數幾乎都跟前一節一樣，不同點為我們這裡的取樣點數分別設為 256 點，1024 點及 4096 點。
Figure 4.7 是三個不同取樣點數的機率圖，我們可以發現當取樣點數由 256 點增加到 4096 點時機率曲線愈平坦，也就是說當取樣點數愈多時其圖形愈接近 理論值。Figure 4.8 是三個不同取樣點數的標準差圖，256 點的標準差大約是 1024 點的 2 倍，而 1024 點的標準差大約是 4096 點的 2 倍。所以當取樣點數增加四倍 時，標準差會減少為原來的一半，這符合了
n n
的公式。Figure 4.9、Figure 4.10 是三個不同取樣點數的V 及 A V 的誤差比較圖，由圖可清楚看出誤差的大X 小依序為 256 點＞1024 點＞4096 點，也就是說當取樣的點數越多所量測出來的 結果誤差會越小。
Vx error
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V Random
Uniform
Fig. 4.8 256, 1024,4096 標準差的圖
Fig. 4.9 V 的誤差圖 A
Fig. 4.10 V 的誤差圖 X Va error
0.000 0.005 0.010 0.015
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V
256 1024 4096
Vx error
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V
256 1024 4096
4-4 雜訊影響的模擬
這一節裡，我們主要是模擬雜訊對系統的影響，我們加入的是具有常態分佈 特性的雜訊，其訊號與雜訊比 SNR 分別為 6db、12db 及 18db，其相對應的雜訊 標準差為6db 0.2893，12db 0.145，18db 0.0727。
Figure 4.11 是三個不同雜訊的機率圖，我們可發現訊號與雜訊比為 6db 的機 率曲線較訊號與雜訊比為 18db 的機率曲線彎曲，所以當雜訊愈大其圖形失真的 越嚴重。Figure 4.12 是三個不同雜訊的標準差圖，由於我們設定的取樣方法是隨 機取樣 1024 點其量化誤差較大，所以這裡比較看不出雜訊對標準差的影響。
Figure 4.13、Figure 4.14 是三個不同雜訊的V 及 A V 誤差比較圖，我們很明顯X 的可以看出訊號與雜訊比為 6db 的誤差大於訊號與雜訊比為 18db 的誤差，也就 是說當雜訊愈大其誤差也愈大。
Uniform sample 6db
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800
-1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8
Vx
Probability PL1
PL2 PL3
Uniform sample 12db
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800
-1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8
Vx
Probability PL1
PL2 PL3
Uniform sample 18db
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800
-1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8
Vx
Probability PL1
PL2 PL3
Fig. 4.12 SNR= 6dB, 12dB, 18dB 標準差的圖
Fig. 4.13 SNR= 6dB, 12dB, 18dB V 的誤差圖 A
Fig. 4.14 SNR=6dB, 12dB, 18dB V 的誤差圖 X Va error
0 0.05 0.1 0.15
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Vx
V
6db 12db 18db
Vx error
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V
6db 12db 18db
4-5 雜訊與取樣點數的關係
再前面三節裏，我們知道當取樣點數越多則所得到的測試結果越準確，當 雜訊越大時測試結果的誤差越大。這一節我們將討論雜訊的大小跟取樣點數間的 關係。這裡取樣點數依序設為 256、1024 及 4096 點，加入的雜訊大小為 SNR = 6dB、12dB 及 18dB，其相對應的雜訊標準差為6db 0.2893、12db 0.145 及
0725 .
db 0
18
。
Figure 4.15 表示不管雜訊大小為何，其標準差皆會隨著取樣點數的增加而 減少。Figure 4.16 顯示當雜訊固定時，誤差的大小與取樣點數沒有太大的關係，
這是因為我們取樣的方法為均勻取樣，當我們取 256、1024、4096 點時所取到的 點都不同，故無法看到重複取樣的效果。一般來說，當取樣點數增加一倍時 SNR 將增加 3dB，也就是說 SNR=12dB 取樣點數為 256 的條件，跟 SNR=6dB 取樣點 數為 1024 的條件所造成的誤差一樣。但由 Figure 4.17 我們發現其誤差並不相同，
SNR 較大的條件下誤差還是較大，也就是說雜訊的大小主宰了誤差的大小，這 是因為我們剛剛所提到的，不同的取樣點數所取到的點不同所造成的。
Fig. 4.15 不同的雜訊與取樣點數的標準差圖
Fig 4.16 不同的雜訊與取樣點數的誤差圖 6db Va error
0
12db Va error
0
18db Va error
0
Fig 4.17 誤差比較圖
Va error
0 0.05 0.1 0.15
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V 256 12db
1024 6db
Vx error
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5
Vx
V 256 12db
1024 6db
第五章 結論
在這一篇論文裏，我們提出了一個以 IEEE std. 1149.4 DFT 架構為基礎的數 位化類比動態測試方法。我們主要是利用一對設定好參考電壓的比較器對一個待 測的三角波信號進行取樣，當完成適當的取樣點數後，我們可從比較器的二元輸 出得到相關的機率值。經由計算一次聯立方程式我們便可得到待測三角波的偏壓 電壓及振幅大小。為了探討我們提出的測試方法，我們對相關的機率進行公式推 導，並且對影響機率值的各項參數進行個別的分析，進而了解各項參數對機率值 的影響。對於一般系統最關心的雜訊影響方面，我們針對三角波與參考電壓的相 對關係，將信號分成三個區域進行雜訊的分析，最後將這三個區域的雜訊影響整 合起來得到了雜訊對三角波的整體影響。由公式推導及程式的模擬結果，我們發 現雜訊對我們所提出的測試方法影響並不大，在訊號與雜訊比為 6dB 時其機率 誤差值最大為 0.036。在測試準確度上面，我們介紹了信賴水準及信賴區間的觀 念，並依據指定的信賴水準推導出最小誤差值與需要取樣的點數關係式。
為了驗證我們所提出的測試方法的可行性，我們進行了四種情況的程式模 擬，首先，我們針對不同的取樣方法進行模擬。我們比較隨機取樣及均勻取樣兩 種不同的取樣方式，結果證明隨機取樣因為有量化的誤差存在，其機率的標準差
及計算出來的振幅及偏壓電壓的誤差都比均勻取樣大。再來我們對不同的取樣點 數進行模擬，我們分別取 256 點、1024 點及 4096 點，模擬結果告訴我們，當取 樣的點數越多時機率的標準差及誤差會比取樣點數少時為佳，這符合我們的統計 觀念。第三種模擬是雜訊的影響，我們加入了訊號與雜訊比為 6dB、12dB 及 18dB 的雜訊到訊號中，模擬結果與我們預期的一樣，當雜訊越大時所產生的誤差就越 大。最後一個模擬是雜訊與取樣點數的關係，我們在個別的取樣點數上加入雜 訊，一般而言當取樣點數增加一倍時 SNR 會改進 3dB，模擬的結果也證明了這 個論點。最後的結論，由以上的模擬我們確定了本論文所提出的測試方法不僅簡 單而且是可行的