第五章、 運用頻域有限差分求解波導場型
5.4 空心波導數值模擬結果
以空心波導的模擬，來驗證吸波邊界條件是否正確以下面的兩個 例子驗證：
使用參數，其介質為空氣，入射波長λ =3×10−2，計算寛度(x方向)Lx=5λ
長度(z方向)Lz=5λ，入射波為垂直正向入射，計算點數大小100x100，
一個波長約20 點，上下邊界為電牆，如圖 5-7：
圖5-7、空心波導上下邊界電牆場形圖 場量顏色尺度 其中：
前五個模態反射係數絕對值0.0012、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000，
前五個模態穿透係數絕對值1.0000、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000。
將上下邊界改為磁牆，如圖5-8：
圖 5-8、空心波導上下邊界磁牆場形圖 場量顏色尺度 其中：
前五個模態反射係數絕對值0.0019、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000，
前五個模態穿透係數絕對值1.0000、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000。
接著，我們模擬點波源於空心波導內的場型圖：
使用參數，其介質為空氣，入射波長λ =3×10−2，計算寛度(x方 向)Lx =8.33λ長度(z方向) 8.33Lz = λ，波源位於波導中心，計算點數 大小250x250，一個波長約 30 點，上下邊界為電牆，如圖 5-9：
圖5-9、點波源空心波導上下邊界電牆場形圖 接下來，將上下邊界改為磁牆，如圖5-10：
圖5-10、點波源空心波導上下邊界磁牆場形圖
並可透過將兩種解（電牆、磁牆）相加可達到另一類理想吸波效果。
如圖5-11：
圖5-11、點波源空心波導上下邊界理想邊界場形圖
5.5 模擬介質波導場型 STEP1：By Maxwell eq. 介
2 2
( )
算寛度(x 方向 λ，計算長度(z 方向)Lz=6.67λ；入射波長 .03，入射波為垂直正向入射，波核寬度為 0.06。
)Lx=6.67 λ=0
tan 2 2
X X = V −X ，如圖5-13，其中垂真線相交點為假根，
代入 水平線也是。
圖5-13 介質波導正解之找根圖
由圖可得共五個根。代回原式，求解，並繪場型如圖5-14：
圖5-14 介質波導正解之場型圖
並由以上 5.1~5.4 各節推導，繪出介質波導頻域有限差分的場型解，
如圖5-15：
圖 5-15 介質波導頻域有限差分解之場型圖
比較兩圖，可了解頻域有限差分法配合吸波邊界已可有效模擬介質波 導場型圖。
5.6 波核漸細波導數值模擬結果
接著，我們由上一節可證明吸波邊界處理和有限差分式的作法；
下來考慮特殊的波導結構，給一波導結構波核漸細波導(Tarpered ave)，示意圖如圖 5-16，
圖5-16 Tapered Waveguide 示意圖
使用參數為波核(core)參數 n=1.5，波覆(cladding)參數 n=1.0，計 算
λ 寬 接 W
clad = 1 n
= 1.5 ncore
寛度(x 方向)Lx=13.3λ，計算長度(z 方向)Lz=23.3λ；入射波長
=0.03，入射波為垂直正向入射，共使用 140000 個變數。寬邊波核 度=3.99λ，窄邊波核寬度=1.33λ，並且中間的斜率變化為常數 且左右各有長度2.5
， λ有等寬的波核。
如圖 5-17，首先可將計算區域劃分為入射解析區、穿透解析區、
計算有限差分區，並 域化簡成一
半；如
且可利用對稱的原理，將計算的區 此劃分法，可有效化減計算量。
域劃分示意圖
為基模態、第二高 階模態、第四高階模態場型圖。圖中藍色實線，代表解析區及有限差
分區的界限，以及波覆和波核的界限。並透過5.1 節的方法，可得到
波覆及波核邊界的等效介電常數。
圖 5-17 Tapered Waveguide 區
模擬結果如圖 5-18、圖 5-19、圖 5-20，分別
圖5-17 Tapered Waveguide 基模態場型圖
有限差分區 有限差分區
入射反 穿透解 射解析 區
析區
圖 5-18 Tapered Waveguide 第二高階模態場型圖
圖 5-19 Tapered Waveguide 第四高階模態場型圖
以基模態為例，計算反射及穿透係數如下，可觀察到其誤差皆極 小，與理論結果是符合的。
反射係數前五個模態絕對值
-0.0001、0.0065、0.0122、0.0012、0.0025 穿透係數前五個模態絕對值
1.0191、0.0201、0.0379、0.0359、0.0255
如圖5-20，最上層電牆將會百分之百反射入射的波；而現在希望其反
C x1
e
1
1 2
2
2
ln(1 ( )) 1 ( )
( ) C x
j x C x C j x C
x C e j
α α α
− = +
− =
= −
如圖5-17，於上下加吸收區，並令α( )x =eα0x − ，j α0=-j*0.002，共一 百層；結果如圖5-20；
圖5-21 Tapered Waveguid 加 PML 第四高階模態場型圖
如圖5-21，我們可以看到，在上下邊界還有會有高階模態存在，是以
吸收區尚且無法完全吸收。
第六章 結論
一般我們對光波導的特性要求皆是要求其頻域特性，例如其適用 頻段、高階模態特性等等；所以頻域有限差分特別適用於光波導的模 擬分析。
而頻域有限差分法，其所需處理的要點包括如何推導波動方程式
的頻域有限 理；
。
在第二章“理論與公式之推導”，我們一步步推導並簡化得到所需 用的波動方程式；並於第三章“以有限差分法近似波動方程式”介紹 限差分的概念，以及將其代入波動方程式。
在第四章“一維有限差分”，正式進行模擬分析，並著重在邊界值 理和有限差分式的推導。其使用的數值是有限差分法，以單一界面
例和正解的結果比較，在波長較密區以一個波長取 50 點進行模擬
算，誤差為千分之一。使用一維模型主要在於探討不連續介質分析 的精確度，找出有效的有限差分係 ，滿足對大對比、大角度、還有 不同
到最佳的邊界條件，結果發表於 2003 年的台灣光電科技 差分式，如何處理等效其介電常數，其邊界值如何處 而頻域有限差分必須處理(Nx ×Nz)2的大矩陣，如何求解大矩陣，即 是頻域有限差分法的重要課題
使 有
處 為 計
數
極化的電磁波，對於邊界條件的處理方法也有別於一般情形。
於第五章“二維頻域有限差分模型推導”，找出最適用的等效介電 常數，並找
研討
、磁牆）相
大的矩陣，而以 block tri-diagonal 矩陣
會；其中，傳統上，電牆為令平行邊界之電場為零，而磁牆則無 法處理。而在此吸波邊界的處理可完全處理電牆及磁牆，且在對稱性
的情況下可將兩種解（電牆 加以達到另一類理想吸波效果。
其中頻域有限差分法將產生極
法於求解場型時可有效減少計算量。吸波邊界亦使其反射量極 少，並且不需設定額外的吸波區域；這些方法使我們可精確模擬空心 波導、tapered WG 等的場型。
參考文獻
航空級EMI/EMC 材料之
[1] 中山科學研究院合作學術合作協調小組研究計畫成果報告：
評估與理論模型建立（I）, 國立中山 大學光電工程研究所, 2000, 8.
[2] 中山科學研究院合作學術合作協調小組研究計畫成果報告：
航空級 EMI/EMC 材料之評估與理論模型建立（II）, 國立中 山大學光電工程研究所, 2001, 2.
[3] 中山科學研究院合作學術合作協調小組研究計畫成果報告：
寛頻電磁波吸收材料研製, 國立中山大學光電工程研究所, 2003, 3
[4] 中山科學研究院合作學術合作協調小組研究計畫成果報告：
寛頻電磁波吸收材料之設計, 國立中山大學光電工程研究所, 2004, 3
[5] 張永豐，“寬頻電磁波吸波材料設計與數值模擬”，國立中山大 學光電工程研究所碩士論文，2003 年 6 月。
[6] Tso-Lun Wu and Hung-Wen Chang, “Guiding Mode Expansion of a TE and TM Transverse-Mode Integral Equation for Dielectric Slab Waveguides with an Abrupt Termination,” J. Opt.
Soc. Amer. A, vol. 18, pp. 2823-2832, Nov. 2001.
[7] 游能忠撰，”應用電場或磁場耦合方程式來設計多層大角度抗 反射膜”，國立中山大學光電工程研究所碩士論文，2000, 7.
[8] Hung-Wen Chang and Tso-Lun Wu: “Matrix Riccati equation formulation for radiativ el geometry,”
Waves in Random Media, 1997, 7, pp. 129-145.
e transfer in a plane-parall
[9] Hung-Wen Chang and Tso-Lun Wu: “Numerical solutions of Matrix Riccati equations for radiative transfer in a plane-parallel geometry,” Waves in Random Media, 1997, 7, pp. 147-168.
[10]
[12] . Cheng, Field and Wave Electromagnetics, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass., 1989.
[13]
des: Taking Account of the Curved Phase-Front Effect in Paraxial Approximation, Journal of Lightwave Technology, VOL.
Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media, 10th ed., Wiley, Singapore, 1991.
[11] Ishimaru Akira, Electromagnetic Wave Propagation on, Radiation, and Scattering, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1991.
David K
Ching-Ting Lee, Beam Propagation Analysis for Tapered Wavegui
15, NO. 11, November 1997
中英對照表 ics . . .
ray opt . . . 幾何光學 ave optics . . . 波動光學 lectromagnetic optics . . . 電磁光學
artial different equation . . . 偏微分方程 oundary condition . . . 邊界條件 me step . . . 時間階數 ource point . . . 源點 lectric field intensity . . . 電場強度
agnetic field density . . . 磁場強度 lectric displacement . . . 電位移
agnetic flux . . . 磁通密度 lectric current density . . . 電流密度 olume charge density . . . 體電荷密度 otropic . . . 等方向性 homogeneous . . 均勻 w
e p b ti s e m e m e v is
. . .
nondispersive . . . 非色散 source free region . . . 無源區域 finite difference . . . 有限差分
fundamental mode . . . 基模態 dense matrix . . . 密矩陣 index . . . 折射率 left off-diagonal . . . 左對角線 Maxwell’s equations . . . 馬克斯威爾方程式 permeability . . . 絕對導磁係數 permittivity . . . 絕對介電係數 propagation constant . . . 傳播常數 reflection coefficient . . . 反射係數 relative dielectric . . . 介電常數 relative permeability . . . 導磁係數 time-harmonic . . . 時間諧和 transmission coefficient . . . 穿透係數 tri-diagonal matrix . . . 腰寛為三的對角矩陣 wave impedance . . . 波阻抗 core . . . 波核 cladding . . . 波覆