由於空載重力測量的過程中，並非所有的觀測量皆在相同的坐標系統下取 得，因此坐標系統間的轉換，在整個空載重力測量的觀測資料解算過程扮演著關 鍵的角色，在本章節中將對空載重力測量過程當中所使用到的坐標系統，作簡短 的說明，並詳細的描述空載重力測量的基本原理，然後介紹重力儀的種類並比較 其特點。
3-1 坐標系統
在一個完整的空載重力測量的過程中，各個觀測量皆是在自己的參考坐標系 統下得到觀測值，為瞭解算的這些不同坐標系統下的觀測資料，必須將這些觀測 資料皆轉換至相同的坐標系統下，以有利於求解。在測量過程中會使用到的坐標 系統共分為 3 種：慣性坐標系統(i-frame)、地心地固坐標系統(e-frame)及區域坐標 系統(n-frame)，以下對這些使用到的坐標系統作簡短說明：
3-1-1 協議坐標系統
GPS 所使用的坐標系統，是美國國防部在 1984 年定義的全球坐標系統，稱為 WGS84 大地坐標系統，為一地心地固坐標系統，此一坐標系統包含了一個三維卡 式直角坐標系統與一個參考橢球體。此坐標系統之原點在地球的質量中心，Z 軸與 IERS(International Earth Rotation Service) 所 定 義 的 慣 用 地 球 北 極 (Conventional Terrestrial Pole, CTP)方向相平行，X 軸與 IERS 所定義之零子午圈相平行之參考子 午面與 CTP 赤道平面之交線方向，Y 軸則為與 X 軸垂直並在赤道面上，形成一右 旋的地心地固直角坐標系統。由 WGS84 所提供的參考橢球體的相關參數如表 3-1 所示，而地心地固坐標系統與天球固定坐標系統間的關係，則如圖 3-1 所示。
表 3-1 WGS84 參數及常數(Seeber，1993)
參數及常數 符號 數值
長半徑 a 6378137±2m
地球引力常數 GM (3986005±0.6)×108m3s−2 正規化之第二階引力係數 C2,0 (−484.16685±0.00130)×10−6 地球自轉角速度 ω (7292115±0.1500)×10−11rads −1 真空中之光速 c 299792458±1.2ms−1
扁率 f 1 298.257223563
圖 3-1 地心地固坐標系統(X,Y,Z)與天球固定坐標系統(X ′,Y ′,Z′)之關係圖
GSAT X
X ′
Z ′ Z 格林威治子午圈
γ春分點 真赤道
協議地 球赤道
Y
Y ′
3-1-2 協議慣性坐標系統
由重力儀測得之觀測量為重力和儀器每單位質量所受之力的總合，重力屬於 引力，因此可知是屬於慣性坐標系統下的觀測量，慣性坐標系統乃符合牛頓運動 定律的原則，一般稱為協議的慣性坐標系統(Conventional Inertial System, CIS)，或 稱 為 恆 參 考 坐 標 系 統 (Inertial Frame, I-Frame) ， 亦 稱 為 天 球 固 定 坐 標 系 統 (Space-Fixed Coordinate System)。
協議慣性坐標系統是由 IAU(International Astronomocal Union)之決定，從 1984 年 1 月 1 日起的一新天文參考坐標系統，稱之為 FK5，在 FK5 的系統中，包含了 能組成兩者之間的轉換矩陣，轉換公式如下(Mortiz and Mueller，1987):
CIS
3-1-3 區域坐標系統
由 GPS 定位解算得之定位點坐標為 WGS84 坐標系下之三維坐標(x,y,z)或表示 為緯度，經度，橢球高(φ , λ ,h)，計算上雖然便利，但是與平常測量時的使用空間 概念不合，為了能夠清楚的了解待定點的空間關係，就須將 WGS84 坐標系統轉換 到以主站為原點的區域地平卡式直角坐標系統(Cartesian Local Level System)，其三 軸之方向分別為 n、e 及 u，其中 n 軸指向北方，e 指向東方，u 軸指向橢球法線方 向。由 WGS84 坐標系統轉換至區域坐標系統的轉換公式如下(Seeber，1993)：
( ) ( )
3-2 空載重力測量起源與基本原理
空載重力測量是以飛機空載重力儀，求出地面重力值的技術，早在 1960 年代 已有學者提出(Thompson and LaCoste，1960)，但因飛機速度甚快，在當時無法精 確定出其位置及加速度而未被實際為測量重力之用。直到 1990 年初，GPS 定位技 術逐漸成熟後，才被開始大量測試而臻成熟。空載重力儀分純量式(scalar type)及 向量式(vector type)兩種。純量式重力儀只量測在飛機位置之垂線方向重力分量，
使用儀器一般以船載重力儀改裝而成，純量式重力儀的精度頗高，可低於 1mgal 的精度；向量式重力儀乃由慣性導航系統(INS)發展而成，於 1990 年代啟始於加拿 大的卡加利(Calgary)大學測量系，其原理為利用 INS 中的慣性測量儀(IMU)量測飛 機飛行所受到三維的加速度(含飛機加速度及離心加速度)，因而稱向量式重力儀。
向量式重力儀精度較差，約 3-4mgal，但可同時觀測三維之重力分量，因而理論上 同一點上向量式之觀測量為純量式之三倍(圖 3-2)，更詳細的介紹將於 3-3 節討論。
在實施空載重力測量時所需要的裝備如圖 3-4(Forsberg et al.，2003)，飛機基 本配備為重力儀、GPS 接收儀、GPS 天線、INS 慣性測量儀，若是向量式空載重 力測量，則重力儀與 INS 慣性測量儀合而為一，有時空載重力測量會搭配雷射掃 描、測海水面高等技術，則此時機腹會裝置雷射掃描儀(Laser Scanner)或測高儀 (Altimeter)(圖 3-4(b))，其結果可用於近岸大地水準面及海流的測定。
由空載重力測量得之觀測量分別是在不同的坐標系統，因此必須先瞭解系統
從地心地固坐標系統(e-frame)旋轉至導航坐標系統(n-frame)間的旋轉矩陣：
n (Schwarz and Li，1996)，導航坐標系統則如圖 3-3 所示：
(
2Ω P)
v (Torge, 1989)，故此效應的影響必須去除。更詳細的Eto&&vo&&s改正可參考(Harlan，1968)。因此，將(3-10)式依照導航坐標系統的三軸方向(n,e,u)展開後，可得到向量 式觀測在這三軸方向上的重力分量(g ,n g ,e g )，若只考慮垂直方向的重力分量，即u 純量式重力觀測模式，則(3-13)式為所需的純量式空載重力測量的觀測方程式：
h
圖 3-2 純量式(上)與向量式空載重力儀觀測概念圖。
圖 3-3 導航坐標系統示意圖 h North(n)
East(e) Up(u)
g φ
λ
airplane
圖 3-4(a) 飛機內部配置
圖 3-4(b) 飛機儀器配置圖
圖 3-4 空載重力測量的各種儀器裝備及於飛機中之空間配置圖
重力儀
GPS 接收儀
供電系統
3-3 空載重力儀
在 3-2 節提到，空載重力儀分純量式與向量式兩種，目前用於空載重力的純量 式重力儀，以 LaCoste & Romberg 出產居多，包括 S-99 type(圖 3-5(a))與 Air-Sea type 等，目前 LaCoste & Romberg 已出產出新一代相對重力儀，名為 L&R Air-Sea Gravity System II(圖 3-5(b))，這部儀器也是預計今年使用於台灣地區空載重力測量的儀 器，這是一台專門用於船測或空載測量的儀器，能於高速行進時收集到高精度的 重力值。
L&R Air-Sea Gravity System II 基於零長彈簧感測器技術上，同時包含先進的 電子系統、易操作的軟體和獨立感應平臺設備。且它提供的性能是目前其他穩固 平臺系統所比不上的，性能特色有科技中最先進的飛機加速度計、緊密結合的數 位控制系統和現代化的數位濾波器，現代化的數位濾波器可提供增強精確度與提 高可靠度。以下是 L&R Air-Sea Gravity System II 的規格簡單介紹(表 3-2)，此儀器 最高的施測頻率可達 100Hz，若在一高速飛行的飛機內裝置 L&R Air-Sea Gravity System II，假設飛機時速 400 公里，在 100Hz 的頻率下，平均約每飛行 1 公尺，
就能測得一筆重力值，但由於必須配合 GPS 定位的頻率，故往往僅採用 0.5Hz 或 1Hz。
向量式重力儀是利用INS導航系統中的慣性測量元件(Inertial Measurment Unit, IMU)來量出重力值，IMU有兩個主要的元件，陀螺儀(Gyroscope)(圖3-6(a))和加速 儀(Accelerometer) (圖3-6(b))，陀螺儀可用來定出載具的姿態(pitch, roll, heading)，
加速儀則可測出三個方向的加速度(即重力)，其測量原理可參考Jekeli(2001)或邱 (2002)。陀螺儀和加速儀一般體積都很小，故向量式重力儀的體積較純量式重力儀 小得多。表3-3是兩種重力儀的比較(Wei and Schwarz，1998)。由表中可看出向量 式重力儀雖然精度較低，但在尺寸大小、儀器價格、電力供應等方面均較純量式 重力儀佔優勢。
表3-2 L&R Air-Sea Gravity System II規格簡介(LaCoste & Romberg Website)
觀測資料記錄頻率 1Hz(可調整)
最高頻率 100Hz
輸出介面 RS-232
解析度 0.01 mGal
統計可靠度 0.05 mGal
精度 <0.01 mGal
操作時溫度 0oCto40oC 貯藏溫度 −30oCto50oC
電力供應 240 watts(avg)，450 watts(max)
尺寸 71 x 56 x 84 cm
重量 116 kg
表3-3 純量式、向量式重力儀的比較
測量精度 儀器尺寸 電力供應 儀器價格
純量式重力儀 較高 較大 較多 較貴
向量式重力儀 較低 較小 較少 較低
(a) (b)
圖 3-5 空載重力儀，其中(a)L&R S-99 重力儀。(b) L&R Air-Sea Gravity System II 重 力儀
(a) (b)
圖 3-6 IMU 測量元件，(a)陀螺儀 (b)加速儀。由圖可看出陀螺儀與銅板一般大
3-4 空載重力測量飛機
由於空載重力測量所需的儀器設備、人力並不算多，故一般飛行用的飛機以 中小型為主，最常見的是螺旋槳飛機。DHC-6“雙水獺”(Twin Otter airplane)，如圖 3-7 是歐洲實施空載重力最常用的機型，它是加拿大 De Haviland 飛機公司（現屬 加拿大龐巴疊公司）研製的雙發渦輪螺槳式多用途短距起落輕型運輸機，其中為 了計算飛機飛行時的姿態角或預防 GPS 接收器故障，故在飛機上架設多個 GPS 天 線，機頂、機尾、機翼等處，均架設天線，如圖 3-7 黑圈部分。由於國內目前並無 空載重力專用飛機，故將以航測飛機改裝使符合空載重力測量用途，預計西元 2004 年將用於台灣空載重力測量的飛機，機型為 BE-350，是美國 BEECHCRAFT 公司 研發製造。採用兩具 PT-6A-50A TURBO PROPELLER 發動機，馬力為 1050 HP×2。座艙可容納照相機×2，組員 6，遙感測儀×1，使用燃油種類為 JP-4 或 JP-5。
最大空速可達 487 公里/小時，可飛達 35000 呎的高度。有關飛機的相關資訊見表 3-4。
圖 3-7 空載重力測量飛機，DHC-6“雙水獺”
表 3-4 DHC-6 與 BE-350 飛機簡介
飛機性能項目 BE-350 DHC-6
飛機長度 14.22m 15.77m
機身高度 4.37m 5.94m
翼寬 17.65m 19.81m
最大續航時間 4.7H 7.09H
最大起飛重量 6849.21kg 5670.00kg
最大載油量 1637.91kg 1446.00kg
最大航程 3763.00km 1700.00km
空機重量 4644.31kg 3363.00kg