ś ྋ !!! 由弧長公式，得
2. 符合某個條件 C 的每一個點，都在圖形 F 上。
那麼，圖形 F 是符合某個條件 C 的點之軌跡。
在平面內，這裡的圖形 F 一般是指某些線。
要注意上面的命題 1 與 2 互為逆命題，兩個不能互相代替，
必須 1、2 兩個命題都是正確的，圖形 F 才是符合條件 C 之點的 軌跡，兩個缺一不可。
因為原命題與它的逆否命題是等價的，所以上面兩個條件也 可以說成：「不符合某個條件 C 的點，都不在圖形 F 上」與「不 在圖形 F 上的點，都不符合條件 C」。
下面，我們討論一些常見的平面內之點的軌跡。
從上面對圓的討論，我們知道，圓上每一點到定點(圓心)的 距離都等於定長(半徑)；反過來，到定點的距離等於定長之點都 在圓上。所以我們可以得出：
軌跡 1 到定點的距離等於定長之點的軌跡，是以定點為圓 心，定長為半徑的圓。
在第一冊裡我們學過，線段垂直平分線上的每一點，與線段 兩個端點的距離相等；反過來，與線段兩個端點距離相等的點，
都在這條線段的垂直平分線上。所以有下面軌跡：
軌跡 2 與已知線段兩個端點距離相等的點之軌跡，是這條 線段的垂直平分線。
由角平分線定理與逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：
軌跡 3 到已知角兩邊的距離相等的點之軌跡，是這個角的 平分線。
如果一個動點 P 在平面內運動，它到已知 直線 l 的距離始終等於定長 d。我們發現，這個 動點運動所形成的圖形，是在 l 兩側的兩條平行 線 l′ 、 l′′ ，它們到 l 的距離都等於 d (圖 7-81)。
圖 7-81 d
l P
P′
l′
l′′
d
因為直線 l′ 、 l′′ 上的每一個點 P，到 l 的距離都等於 d (夾在 兩條平行線間的平行線段相等)；反過來，容易證明，如果 P′ 到 l 的距離等於 d，那麼點 P′ 一定在 l′ (或 l′′ )上。這樣，我們得到下 面軌跡：
軌跡 4 到一條已知直線距離等於定長的點之軌跡，是平行 於這條直線，並且到這條直線的距離等於定長之兩 條直線。
類似地可以得到：
軌跡 5 到兩條平行線距離相等的 點之軌跡，是與這兩條平行 線 距 離 相 等 的 一 條 平 行 線。(圖 7-82)。
在 7.5 節我們學過，同弧上的圓 周角相等。如圖 7-83 中， AMB 與 ANB 上每一點，與 A、B 兩個端點 連線的夾角，都等於已知角；反過 來，在 7.5 節例 2 中我們又證明了，
不在 AMB 與 ANB 上的點與 A、B 兩 點連線的夾角都不等於已知角。於 是有下面軌跡：
軌跡 6 與已知線段兩個端點 連線的夾角等於已知 角的點之軌跡，是以
已知線段為弦，所含圓周角等於已知角的兩段弧。
(圖 7-83)。
要求出同時滿足幾個條件的點，可以利用上面幾個已知軌 跡，求滿足各個條件的軌跡之交點。
圖 7-82 P l 2 d
l1
l2
2 d
圖 7-83 N A B
M α
α α
【ּ】 如圖 7-84，已知 AOB∠ 。以已知 長 R 為半徑，作圓與 OA、OB 都相切。
分析： 要符合條件的圓，關鍵 在於確定圓心的位置。
要 使 圓 與 ∠AOB 的 兩 邊 都 相 切，這樣的圓之圓心的軌跡是 ∠AOB的平分線；
要使半徑等於 R 的圓與 OA(或 OB)相切，這樣的圓心之 軌跡是距離 OA(或 OB)等於 R 的一條平行線(另一條在角 外，不合題意)。
這兩個軌跡的交點就是所求圓的圓心。
作法： 1. ∠AOB的平分線 OC (圖 7-84)。
2. 作直線DE//OA ，並且使 DE 與 OA 的距 離等於 R，DE 與 OC 交於點 F。
3. 以 F 為圓心，以 R 為半徑作 F 。 F 就是所求的圓。
上面的作圖可以用來解決一些實際問題。例如，有兩段直路 l 與1 l ，它們的位置已經測定，需要築一段半徑為 R 的圓弧形道2 路把它們連接起來(圖 7-85)。用上面例題的方法，就可以在圖紙 上畫出這段圓弧 AB 。
圖 7-85 R
O
l1
l2
A B
圖 7-84 D
C
O
B
A E R
R
F
ቚ ௫!
1. 說明並作出下列點的軌跡(不要求證明)：
(1) 到點 A 的距離等於 5 cm 之點的軌跡；
(2) 半徑為 1 cm，並且與半徑為 1.5 cm 的圓外切之圓心的 軌跡；
(3) 斜邊為 AB 的直角三角形之頂點的軌跡；
(4) 經過已知點 A 與 B 的圓之圓心的軌跡；
(5) 半徑為 2.5 cm，且與已知直線 l 相切的圓之圓心的軌跡；
(6) 與兩條已知直線l 及1 l 相切的圓之圓心的軌跡； 2
(7) 對已知線段 AB 的視角等於 135° 的角之頂點(就是使 135
∠APB = °的點 P)的軌跡。
2. 作半徑為 R，並且與已知 O 與1 O 都相外切的圓。 2
௫ ᗟ ˟ Ȉ ˣ
1. 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，並判定它們是 否正確：
(1) 全等三角形一定是相似三角形；
(2) 如果△ABC 中，∠ = ∠ ，那麼C Rt c2 = a2 + 。 b2 2. 作圖說明符合下列條件之點的軌跡(不要求證明)：
(1) 底邊給定的等腰三角形之頂點的軌跡；
(2) 與直線 l 相切於圓上一點 A 的圓之圓心的軌跡；
(3) 與 O 相切於圓上一點 A 的圓之圓心的軌跡；
(第 2 題) R
O1 O2
(4) 底邊給定，高為 h 的三角形之另一個頂點的軌跡；
(5) 與距離為 h 的兩條平行線都相切的圓之圓心的軌跡；
(6) 一邊給定，它的對角等於已知角
α
的三角形之另一個頂 點的軌跡；(7) 半徑為 3 cm 的圓中，長 4.8 cm 的弦之中點的軌跡；
(8) 與兩個已知同心圓都相切的圓之圓心的軌跡 (9) 向已知 O 所做的切線長為 l 之點的軌跡。
3. 已知直線 l 與 l 外一點 A。求作半徑為 5 cm 的圓，使它經過 點 A，並且與 l 相切(寫出作法，不要求證明)。
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̈ ඕ!
一、本章研究圓的有關知識。主要內容有：圓的概念與性質，
圓與點、圓與直線、圓與圓、圓與角以及圓與三角形、四邊形、
正多邊形的位置關係，以及它們的應用。同時介紹了四種命題的 關係，軌跡的概念與常見的六種軌跡。
二、圓是到定點的距離等於定長的點之集合。不在同一直線 上的三點確定一個圓。
圓是軸對稱圖形，而且它的任意一條直徑所在的直線都是對 稱軸。圓也是中心對稱圖形，並且繞圓心旋轉任意大小的角度，
都能夠與原圖形重合。由圓的對稱性，可得出圓的有關性質：垂 直於弦的直徑必平分弦；在同圓與等圓中，兩個圓心角、圓心所 對的弧、弦、弦心距中任何一對量相等時，其餘對應的量也相等。
三、由圓心到直線的距離與半徑的大小關係，能夠確定直線 與圓的位置關係。特別是當圓心到直線的距離等於半徑時，直線 與圓相切。圓的切線垂直於過切點的半徑(逆命題也正確)，從圓 外一點引圓的兩條切線，切線長相等。
由圓心距與半徑的大小關係，能夠確定圓與圓的位置關係。
兩圓相交時，連心線垂直平分公共弦；兩圓相切時，連心線經過 切點。兩圓的外(內)公切線長相等。
由角的頂點在圓心、圓上以及一邊與圓相切等不同的情形，
分別得到圓心角、圓周角、弦切角。圓周角等於同弧所對的圓心 角之一半，弦切角等於它所夾的弧所對之圓周角。
三角形有且恰只有一個外接圓與一個內切圓。圓的內接四邊 形對角互補，外角等於它的內對角。圓的外切四邊形兩組對邊之 和相等。正多邊形必有外接圓與內切圓。利用正多邊形與圓的關 係，可以求得圓的周長與面積公式，從而得到弧長與扇形面積公 式。
四、從一點引兩條直線與圓相交，直線被這一點與交點分成 一些比例線段，有相交弦定理、切割線定理與推論。
五、軌跡是幾何中一個很重要的概念。當圖形 F 上的每一點 都符合某個條件 C；符合條件 C 的每一個點都在圖形 F 上時，圖 形 F 就是符合某個條件 C 的點之軌跡(或集合) 。
原命題與它的逆否命題是等價命題。在證明軌跡問題時，常 用證明逆否命題來代替證明原命題。
六、反證法是一種間接證明命題的方法。當命題不易用直接 證法證明時，常用反證法。用反證法證明時，首先否定命題的結 論，由此推出矛盾，從而肯定命題的結論正確。
ኑ௫ણ҂ᗟ˛!
1. 半徑為 r 的圓之弦長為 l，弦心距為 d、弓形高為 h。
(1) 用 r 與 d 表示l ； 2 (2) 用 r 與 h 表示l 。 2
2. 以 等 邊 三 角 形 的 一 邊 為 直 徑 作 圓 。 求 證：這個圓平分其它兩邊，其它兩邊三 等分半圓之弧長。
3. 如圖， AC =CB，D、E 分別是 OA 與 OB 的中點。求證： DC =CE。
(第 3 題) A
B
D C
E O
4. △ABC 的高 AD、BE 相交於點 H，AD 的延長線交外接圓於點 G。求證：D 為 HG 的中點。
5. △ABC 中，BC = 2.4cm、∠ = ° 。利用三角函數表計算△A 31 ABC 的外接圓直徑(精確到 0.1 cm)。
6. △ABC 中， BC = 、 CA ba = 、 AB c= ，外接圓半徑為 R。求
證： 2
sin sin sin
a b c
A = B = C = R。
7. 已知：a、b、c 為△ABC 的三邊之長，R 為其外接圓的半徑。
利用 2
sin sin sin
a b c
A = B = C = R證明：
2 2 sin sin sin
ABC 4
S R A B C abc
= = R
△ 。
8. 內接於圓的四邊形 ABCD 之對角線 AC 與 BD 垂直相交於點 K。過點 K 的直線與邊 AD、BC 分別相交於點 H 與 M。
求證： (1) 如果 KH ⊥ AD，那麼 CM = MB； (2) 如果 CM = MB，那麼 KH ⊥ AD。 9. 求證：四邊形各內角平分線所成的四邊形內接於圓。
10. 如圖，延長圓的內接四邊形 ABCD 之兩組對邊，分別相交於 點 M、N。求證：所成的 AMD∠ 與 ANB∠ 之平分線互相垂直。
(提示：證明圖中∠ = ∠ 。) 1 2
11. 過正方形對角線上任意一點，引兩直線平行於邊，那麼這兩 直線與邊的四個交點同在一個圓上。
(第 6 題) A
B a
C O
A
B a C
O
A
B a C
O
12. 從 O 外的定點作 O 之兩條切線，分別切 O 於點 A 與 B。
在 AB 上任取一點 C，經過點 C 作 O 的切線，分別交 PA、
PB 於點 D 與 E。
求證： (1) △PDA 的周長是定值 PA PB+ ； (2) ∠DOE 的大小是定值1
2∠AOB。
13. 以直角三角形 ABC 的直角邊 AC 為直徑作圓，交斜邊 AB 於點 D，過點 D 作圓的切線。求證：這條切線平分另一條直角線 BC。
14. 如圖，△ABC 的三條邊所在之直線分全平面成七個區域，在 其中的四個區域裡各有一個與三邊所在的直線都相切之圓 ( I 、 I 、a I 、b I )。這四個圓的圓心各在哪些角平分線c 上？
15. A 是 O 直徑上的一點，OB 是與這條直徑垂直的半徑，BA 與 O 相交於另一點 C，過點 C 的切線與 OA 的延長線相交於點 D。求證： DA= DC 。
16. 作等邊三角形的外接圓與內切圓。如果外接圓的半徑為 R，求 內切圓的半徑。
F
(第 10 題) A
B
D
C E
K
M G N
1 2
(第 14 題) I Ia Ib
Ic
B A
C
17. Rt△ABC 中，CD 為斜邊 AB 上的高，G 為 CD 上的一點，AG 的延長線與△ABC 的外接圓相交於點 H。求證： AG AHi =
AD ABi 。
18. 求證：經過相交兩圓一個交點的那些直線，被兩圓所截得的 線段中，平行於連心線的那一條線段最長。
19. 兩圓相交於點 A 與 B，經過交點 B 的任意一直線與兩圓分別 相交於點 C 與 D。求證：AC 與 AD 的比等於兩圓直徑之比。
20. (1) 兩圓內切於點 P，大圓的弦 AD 交小圓於點 B 與 C。
求證： APB∠ = ∠CPD。
(2) 兩圓內切於點 P，大圓的弦 AB 交小圓於點 C。
求證： APB∠ = ∠CPB。
21. 如圖，用直徑為 120 mm 的兩根圓鋼棒嵌在大型工件之兩側，
測量大的圓形工件之直徑。已測量得兩圓鋼棒外側距離為 1574 mm，求工件的直徑 D (精確到 1 mm)。
22. 半徑為 R 與 r (R > )的兩圓相外切。求一條外公切線的長。 r
22. 半徑為 R 與 r (R > )的兩圓相外切。求一條外公切線的長。 r