第七章 圓

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7.1 ᕇᄃ๪۞Ҝཉᙯܼ

在日常生活中，我們到處都會見到圓形的物體。如各種車 輪、茶杯的杯口等都是圓形的。人們為什麼把它們做成圓形的 呢？這是因為圓形具有許多有用的性質。在本章中，我們將詳細 研究圓的性質及其應用。 如圖 7-1，線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉一周，另一個端點 A 所經過的封閉曲 線叫做圓。固定的點 O 叫做圓心；線段 OA 叫做半徑。 從上面的定義可以知道： (1) 圓上各點到定點(圓心 O)的距離都等 於定長(半徑的長 r)； (2) 到定點的距離等於定長的點都在圓上。 也就是說，圓是那些到定點的距離等於定長的所有點組成之 圖形。 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點之集合。定點就是 圓心，定長就是半徑的長，通常也稱為半徑。 從畫圓的過程中，還可以知道： 圓內各點(如圖 7-2 中的點 P)到圓心的距 離都小於半徑；到圓心的距離小於半徑的點都 在圓內。也就是說，圓的內部可以看作是到圓 心的距離小於半徑的點之集合。圓外各點(如 圖 7-2 中的點 Q)到圓心的距離都大於半徑；到 圓心的距離大於半徑的點都在圓外。也就是 說，圓的外部可以看作是到圓心的距離大於半徑的點之集合。 以點 O 為圓心的圓，記作「 O 」，讀作「圓 O」。 圖 7-1 r O A 圖 7-2 r O P Q

連結圓上任意兩點的線段(如圖 7-3 中 的 CD)叫做弦，經過圓心的弦(如圖 7-3 中 的 AB)叫做直徑。直徑等於半徑的 2 倍。 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡 稱弧。弧用符號「 」表示。以 A、B 為 端點的弧記作 AB，讀作「圓弧 AB」，或「弧 AB」。圓的任意一條直徑之兩個端點分圓成 兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大於半圓 的弧(用三個字母表示，如圖 7-4 中的 BAC ) 叫做優弧；小於半圓的弧(如圖 7-4 中的 BC ) 叫做劣弧。 圓心相同、半徑不等的兩個圓叫做同 心圓。圖 7-5 中的兩個圓是以點 O 為圓心 的同心圓。 能夠重合的兩個圓叫做等圓。半徑相等的兩個圓是等圓。如 圖 7-6 中， O 與₁ O 的半徑都等於 r，所以它們是兩個等圓。₂ 反過來，同圓或等圓的半徑相等。 在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

ቚ ௫!

1. 設AB = cm，畫圖說明具有下列性質的點之集合是怎樣的圖3 形： (1) 與點 A 的距離等於 2 cm 的點之集合； (2) 與點 B 的距離等於 2 cm 的點之集合； (3) 與點 A、B 的距離都等於 2 cm 的點之集合； (4) 與點 A、B 的距離都小於 2 cm 的點之集合。 圖 7-3 O B A C D 圖 7-4 O B A C 圖 7-5 O 1 r 2 r 圖 7-6 r 1 O r 2 O

ቚ ௫!

2. 下列各題中的兩句話都對嗎？如果不對，為什麼？ (1) 「直徑是弦」、「弦是直徑」； (2) 「半圓是弧」、「弧是半圓」。 3. 適合下列條件的圓，各畫三個： (1) 以已知點 O 為圓心的圓； (2) 半徑等於 2.5 cm 的圓； (3) 經過已知點 A 的圓； (4) 經過已知點 A 與 B 的圓。

7.2 གྷ࿅ˬᕇ۞๪

我們知道，經過一個點 A 作圓很容易，只要以點 A 以外的任 意一點為圓心，以這一點與點 A 的距離為半徑就可以作出。這樣 的圓有無數多個(圓 7-7)。如果要作通過兩個點 A、B 的圓，那就 要找這樣一個點作圓心，使它與點 A、B 的距離都相等，這樣的 點在線段 AB 的垂直平分線上。因此，以線段 AB 的垂直平分線 上任意一點為圓心，以這一點與點 A 或點 B 的距離為半徑就可以 作出。這樣的圓也有無數多個(圖 7-8)。 現在來討論，經過三個已知點的圓。 圖 7-7 A 1 O 2 O 3 O 圖 7-8 B A 1 O O₂ O3

作圓，使它經過不在同一直線上的三個已知點。 已知： 不在同一直線上的三點 A、B、C (圖 7-9)。 求作： O ，使它經過點 A、B、 C。 分析： 要作一個圓經過三個已 知點 A、B、C，就要確定一個點作圓心， 使它到這三點的距離相等。以前我們學 過，三角形三邊的垂直平分線相交於一 點，這個點到三角形三個頂點的距離相 等。因此可以把△ABC 三邊的垂直平分 線之交點作為圓心。 作法： 1. 連結 AB，作線段 AB 的垂直平分線 DE。 2. 連結 BC，作線段 BC 的垂直平分線 FG，交 DE 於點 O。 3. 以 O 為圓心，OB 為半徑作圓。 O 就是所求作的圓。 證明： 因為 O 的半徑等於 OB，所以點 B 在 O 上，就是 O 經過點 B。 因為 O 在 AB 的垂直平分線上，所以 OA OB= ，因 此 O 經過點 A。同樣可證 O 經過點 C。 我們知道，過 A、B 兩點的圓與過 B、C 兩點的圓，它們的 圓心分別在 AB 與 BC 的垂直平分線上。從上面的作法又可以知 道：當已知點 A、B、C 不在同一直線上時，△ABC 三邊的垂直 平分線有一個且恰只有一個交點，所以經過點 A、B、C 可以作 一個且恰只可作一個圓，這就得到： 定理 不在同一直線上的三個點確定一個圓。 當點 A、B、C 在同一直線上時，不能作一個圓經過這三點。 (為什麼？) 由定理可知，經過三角形三個頂點可以作一個圓。經過三角 圖 7-9 C B A D G F E O

形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的 外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。 一般地，如果一個圓經過多邊形的各頂 點，這個圓叫做多邊形的外接圓，這個多邊 形叫做這個圓的內接多邊形。 圖 7-10 中，四邊形 ABCD 是 O 的內接 四邊形； O 是四邊形 ABCD 的外接圓。 注意：經過任意四點不一定能作一個 圓。所以多於三邊的多邊形不一定有外接圓。

ቚ ௫!

1. (口答) 如圖，CD 所在直線垂直平分線段 AB。為什麼使用這樣的工具可以找到圓 形工件的圓心？ 2. 作邊長分別為 2 cm、2.5 cm、3 cm 的三 角形，再作出這個三角形的外接圓，量 出這個圓的直徑(精確到 0.1 cm)。 3. 作一直角三角形，作它的外接圓；作一 個鈍角三角形，作它的外接圓。這兩個 三角形的外心之位置各是怎樣的？ 4. 按圖填空： (1) △ABC 是 O 的 接三角形； (2) O 是△ABC 接圓。

7.3 ݬۡٺؽ۞ۡश

把一張圓形的紙片沿著一條直徑對摺，可以看到，直徑兩側 的兩個半圓能夠互相重合。這說明圓是軸對稱圖形，而直徑所在 的直線就是它的對稱軸。下面我們來證明這個結論。 圖 7-10 B O A C D (第 1 題) A B C D (第 4 題) A B C

如圖 7-11，設 CD 是 O 的任意一條直徑，

A 為 O 上任意一點。過點 A 作 AA′ ⊥ CD，交 O

於點 A′ ，垂足為 M。連結 OA、 OA′ 。

在△AOA′中， ∵ OA =OA′、 AA′ ⊥ CD ∴ AM = MA′ 即 CD 是 AA′ 的垂直平分線，這就是說，對 於圓上任意一點 A，在圓上都有關於直線 CD 的 對稱點 A′ ，因此 O 關於 CD 對稱。即 圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是對稱軸。 從上面的證明，我們知道，如果 AA′ ⊥CD，那麼點 A 與點 A′ 是對稱點，所以 AM 與 A M′ 、 AD 與 A D′ 能夠互相重合。於是有 下面的定理： 垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對 的弧。 由垂徑定理，可以推出下面的推論： 推論 1 (1) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分 弦所對的弧； (2) 平分弦所對的一條弧之直徑，垂直平分弦； (3) 弦的垂直平分線經過圓心，並平分弦所對的弧 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 如圖 7-12 中， AB CD ，則 AC// = BD。 圖 7-11 M O A D C A′ 圖 7-13 圖 7-12 A D O C B N M A D C B E

【ּ 1】 平分已知 AB 。 已知： AB (圖 7-13)。 求作： AB 的中點。 作法： 1. 連結 AB。 2. 作 AB 的垂直平分線 CD，交 AB 於點 E。 點 E 就是所求 AB 的中點。 證明： 略。 【ּ 2】 隋代建造的趙州石拱橋(圖 7-14，安濟橋，位於河北省 趙縣，設計者是傑出的工匠李春，建造於公元 610 年）的橋拱是 圓弧形，它的跨度(弧所對的弦之長)為 37.4 m，拱高(弧的中點到 弦之距離，也叫弓形高)為 7.2 m，求橋拱的半徑(精確到 0.1 m)

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ྋ !! 如圖 7-15，橋拱 AB 的圓心為 O、半徑為 R m。經過圓心 O 作弦 AB 的垂線 OD，D 為垂足，與 AB 相交於點 C。根據垂 徑定理，D 是 AB 的中點，C 是 AB 的中點，CD 就是拱高。 由題設 AB =37.4、CD = 7.2 1 1 37.4 18.7 2 2 AD = AB = × = OD =OC −DC = −R 7.2 在 Rt△OAD 中，由勾股定 理，得 圖 3-14 圖 7-15 C B A D R O 37.4 7.2

OA2 = AD2 +OD2 即 R2 =18.72 +(R−7.2)2 解這個方程，得R ≈ 27.9m 答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為 27.9 m。

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1. (口答) (1) 平分一條弧的直徑有什麼性質？ (2) 平分弦與它所對的一條弧之直線有什麼性質？ (3) 垂直弦，並平分弦所對的一條弧之直線有什麼性質？ 2. 在半徑為 50 mm 的 O 中，有長 50 mm 的弦 AB。計算： (1) 點 O 與 AB 的距離； (2) ∠AOB的度數。 3. 以點 O 為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦 AB 與小圓相交於 點 C 與 D。求證： AC = BD。

7.4 ๪͕֎ăؾăؽăؽ͕෼̝ม۞ᙯܼ

如圖 7-16 甲，在 O 上任取一點 A，作直徑 AB，則 OA=OB。 就是說，點 B 是點 A 關於點 O 的對稱點。因此，圓是以圓心為 對稱中心的中心對稱圖形。 圓不僅是中心對稱圖形：繞圓心旋轉180° 後能夠與原來的圖 形重合，並且它還有另外一個重要性質。如圖 7-16 乙中，讓圓繞 圖 7-16 O B A α O B A 乙 甲

中心 O 旋轉任意一個角度α，圓上任意一點 A 都能夠與圓上一點 B 重合。因此，圓繞圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形 重合。利用這個性質，我們還可以推出圓的其它一些性質。 頂點在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心 距。現在用上面的性質來研究在同一個圓中，圓心角、圓心角所 對的弦、弧、弦心距相互之間的關係。 如圖 7-17，在 O 中，當圓心角 AOB∠ A OB′ ′ = ∠ 時，它們所對的弧 AB 與 A B′ ′、弦 AB 與 A B′ ′ 弦心距 OM 與OM ′ 是否也相等 呢？ 我們把∠AOB連同 AB 繞圓心 O 旋轉， 使射線 OA 與 OA′ 重合。 ∵ ∠AOB = ∠A OB′ ′ ∴ 射線 OB 與 OB′ 重合 又 ∵ OA=OA′、 OB OB′= ∴ 點 A 與點 A′ 重合、點 B 與點 B′ 重合。 這樣， AB 與 A B′ ′ 重合，AB 與 A B′ ′ 重合，從點 O 到 AB 的垂 線段 OM 與點 O 到 A B′ ′ 的垂線段OM ′ 也重合。即 AB = A B′ ′、 AB = A B′ ′、 OM =OM ′。 上面的結論，在兩個等圓中也成立。於是有下面的定理： 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對之弧相等，所 對的弦相等，所對的弦之弦心距相等。 由上面的定理，可以得到下面的推論： 推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條 弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所 對應的其餘各組量都分別相等。 我們知道，把頂點在圓心的周角等分成 360 份時，每一份的 圓心角是1° 之角。因為同圓中相等的圓心角所對之弧相等，所以 整個圓也被等分成 360 份。我們把每一份這樣的弧叫做1° 之弧。 由上述定義可知，1° 的圓心角對著1° 的弧，1° 的弧對著1° 的 圖 7-17 O B A A′ M ′ B′ M

圓心角。一般地， n°的圓心角對著 n°的弧， n°的弧對著 n°的圓 心角(圖 7-18)。即圓心角的度數與它所對的弧之度數相等。 【ּ】 如圖 7-19，AB、DE 是 O 的直徑，AC //DE ，交 O 於 點 C。求證： BE = EC 。 證明： 在 O 中， // AOD BOE AD BE BE EC BE EC AC DE AD EC ⎫ ∠ = ∠ ⇒ = _{⎪ ⇒ =} ⇒ = ⎬ ⎪ ⇒ = _⎭

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1. 如圖， O 的弦 AB >CD，AB、CD 的弦心距分別為 OM 與 ON。求證： OM < ON 。 2. 設 O 是∠EPF 的平分線上的一點，以 O 為圓心的圓與角的兩 邊分別相交於 A、B 與 C、D。求證： AB = CD 。 3. (口答) 在半徑不相等的 O 與 O′ 中， AB 與 A B′ ′ 所對的圓 心角都是 60° 。 (1) AB 與 A B′ ′ 各是多少度？ (2) AB 與 A B′ ′ 相等嗎？ 圖 7-18 A 1° 弧 O B 1° 圓心角 n° 弧 n° 圓心角 圖 7-19 A D C B E O (第 1 題) B C O N A M D (第 2 題) B C E A D O P F

7.5 ๪׹֎

頂點在圓上並且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圖 7-20 各圓中的 BAC∠ 都是圓周角。 定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角之一半。 已知： O 中， BC 所對的圓周角是∠BAC，圓心角是 ∠BOC (圖 7-20)。 求證： 1 2 BAC BOC ∠ = ∠ 。 證明： 分三種情況討論。 (1) 圖 7-20 甲中，圓心 O 在 BAC∠ 的一條邊上。 1 2 OA OC C BAC BAC BOC BOC BAC C = ⇒ ∠ = ∠ _⎫⎪ ⇒ ∠ = ∠ ⎬ ∠ = ∠ _{+ ∠ ⎪⎭} 。 (2) 圖 7-20 乙中，圓心 O 在 BAC∠ 的內部。 作直徑 AD，利用(1)的結果，有 1 2 1 2 BAD BOD DAC DOC ⎫ ∠ = ∠ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ∠ = ∠ _⎪⎭ 1 ( ) 2 1 2

BAD DAC BOD DOC

BAC BOC ⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ = ∠ 圖 7-20 A D O B C A O B C A D O B C 甲 乙 丙

(3) 圖 7-20 丙中，圓心 O 在 BAC∠ 的外部。 作直徑 AD，利用(1)的結果，有 1 2 1 2 DAB DOB DAC DOC ⎫ ∠ = ∠ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ∠ = ∠ _⎪⎭ 1 ( ) 2 1 2

DAC DAB DOC DOB

BAC BOC ⇒ ∠ − ∠ = ∠ − ∠ ⇒ ∠ = ∠ 由定理可推得下面一些推論： 推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相 等的圓周角所對的弧也相等(圖 7-21)。 推論 2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角； 90° 的圓周角 所對的弦是直徑(圖 7-22)。 如圖 7-23，在△ABC 中，如果中線 1 2 CO = AB，以 AB 為直徑作 O，則點 C 在 O 上。由推論 2 可知， ACB∠ = ∠ 。Rt 由此得到： 推論 3 如果三角形一邊上的中線 等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角 三角形。 圖 7-21 A B O 1 C 2 C 3 C 圖 7-22 A _B 1 C 2 C 3 C O 圖 7-23 A O B C

由弦及其所對的弧組成之圖形叫做弓形。如圖 7-21，弦 AB

與 AC B 組成弓形₂ AC B。圖中的₂ ∠AC B₂ 也可以叫做 AC B 所含的₂

圓周角，或 AC B 所含的弓形角。 ₂

【ּ 1】 如圖 7-24，AD 是△ABC 的高，AE

是△ABC 的外接圓直徑。 求證： AB ACi = AE ADi 證明： 連結 BE。 ∵ ∠ADC = ∠ABE = ∠ Rt ∠ = ∠ C E ∴ △ADC ~△ABE ∴ AC AD AE = AB ∴ AB ACi = AE ADi 【ּ 2】 已知： 如圖 7-25，P 是弓形 AMB 內任意一點，Q 是弓形外 任意一點，並且與 P 在 直線 AB 的同側。弓形角 等於α 。 求證： (1) APB∠ > ； α (2) ∠AQB < 。 α 證明： (1) 延長 AP 交 AMB 於點 P′ 。連結 BP′ 。 ∵ 點 P′ 在弓形弧上 ∴ ∠AP B′ = α 又 ∵ ∠APB是△PP B′ 的外角 ∴ ∠APB > ∠AP B′ = α (2) 設 AQ 與 AMB 交於點Q′ 。連結 BQ′ 。 ∵ 點 Q′ 在弓形弧上 ∴ ∠AQ B′ =

α

又 ∵ ∠AQ B′ 是△BQ Q′ 的外角 ∴ ∠AQB < ∠AQ B′ = α 圖 7-24 C B A D O E 圖 7-25 P B A M Q P′ Q′

例 2 的結果，可以用來解決一些實 際的問題。例如，臨近暗礁的海岸上， 可以建兩個燈塔 A、B(圖 7-26)，使暗 礁包圍在以 AB 為弦的弓形 AMB 內。 那麼只要航船 S 能從所收到信號中知 道弓形角α 的大小，在航行中保持對兩 個燈塔的視角 ASB∠ < ，航行的船就α 不會觸礁。

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1. 找出圖中圓內接四邊形對角線把 4 個內角分成的 8 個角中， 哪些是相等的角。 2. (口答)怎樣運用三角板(或曲尺)做出圓形工件表面上的直 徑、定出圓心？說明理由。 3. OA 是 O 的半徑，以 OA 為直徑的 C 與 O 的弦 AB 相交於 點 D。求證：D 是 AB 的中點。 4. 已知：CD 是△ABC 的中線， AB = 2CD ，∠ = ° 。 B 60 求證：△ABC 外接圓的半徑等於 CB。

7.6 ๪۞̰ତαᙝԛ

我們知道，圓的內接四邊形的四個頂點都在同一個圓上，所 以它的四個內角都是圓周角。這樣，我們就可以利用圓周角定 理，來研究圓的內接四邊形之角。 圖 7-26 B A M S α (第 3 題) B A _O C D (第 2 題) B A _C (第 1 題) B C D A

如圖 7-27，四邊形 ABCD 是 O 的 內接四邊形。 ∵ BAD 與 BCD 所對的圓心角之 和是周角 ∴ ∠ + ∠A BCD =180° 同理∠ + ∠ =B D 180°。 如果延長 BC 到 E，那麼 ∠BCD+ ∠DCE =180° ，所以 A DCE ∠ = ∠ A ∠ 是與 DCE∠ 相鄰的內角 DCB∠ 之對角(簡稱為 DCE∠ 的 內對角)，於是我們得到圓的內接四邊形之性質定理。 定理 圓內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等 於它的內對角。 【ּ 1】 如圖 7-28， O 與₁ O 相交於 A、B 兩點，經過點 A 的₂ 直線 CD 與 O 交於點 C，與₁ O 相交於點 D。經過點 ₂ B 的直線 EF，與 O 交於點 E，與₁ O 交於點 F。 ₂ 求證： CE// DF 證明： 連結 AB。 ∵ ABEC 是 O 的內接四邊形 ₁ ∴ ∠BAD = ∠ E 又 ∵ ADFB 是 O 的內接四邊形 ₂ ∴ ∠BAD+ ∠ =F 180° ∴ ∠ + ∠ =E F 180° ∴ CE// DF 圖 7-27 B A E C D O 圖 7-28 C B A D F E O1 O2

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1. 求證：圓內接平行四邊形是矩 形。 2. 如圖，經過圓外一點 P 的兩條直 線與 O 相交於 A、B 與 C、D 四點，在圖中有幾對相似三角 形？為什麼？ 圓內接四邊形的性質定理有下面的逆定理： 定理 如果一個四邊形的一組對角互補，那麼這個四邊形 內接於圓。 已知： 四邊形 ABCD 中，∠ + ∠ =B D 180°。 求證： 四邊形 ABCD 內接於圓。 分析： 要證明四邊形 ABCD 內接於圓，就是要證明 A、B、 C、D 四點在同一個圓上。因為 A、B、C 三點不在同一直線上， 可以確定一個圓，所以只要證明第四點 D 也在這個圓上就可以 了。但直接證明點 D 在圓上比較困難。現在我們採用一種間接證 明的方法，就是假設點 D 不在圓上，經過推理論證，得出錯誤的 結論，這說明假設點 D 不在圓上是錯誤的，從而證明點 D 在圓 上。 證明： 經過四邊形三個頂點 A、B、C 作 O 。假設點 D 不在圓上，那麼只有兩種情況：(1) 點 D 在圓外； (2) 點 D 在圓內。 (第 2 題) B C D A P O 圖 7-29 C B A D D′ C B A D D′ 甲 乙

(1) 假設點 D 在圓外(圖 7-29 甲)。連結 BD 交 O 於點 D′ 。連結 AD′ 、 CD′ 。 ∵ ∠AD B′ 、 BD C∠ ′ 分別是△AD D′ 、 CD D△ ′ 的外角 ∴ ∠AD B′ > ∠ADB BD C′ BDC ∠ > ∠ ∴ ∠AD B′ + ∠BD C′ > ∠ADB + ∠BDC 即 ∠AD C′ > ∠ADC 又 ∵ ∠ADC + ∠ABC =180° ∴ ∠AD C′ + ∠ABC >180° 這與圓內接四邊形性質定理矛盾。 所以點 D 不能在圓外。 (2) 同(1)類似可證明點 D 不能在圓內(圖 7-29 乙)。 ∴ 點 D 在 O 上 即四邊形 ABCD 是 O 的內接四邊形。 這個定理的證明，不是直接去證明命題的結論，而是先提出 與結論相反(相排斥)的假設，然後推導出與已經證明的定理或公 理、定義、題設等相矛盾的結果，這就證明了與結論相反的假設 不能成立，從而肯定了原來的結論必定成立，這種間接證明命題 的方法叫做反證法。 用反證法證明命題一般有下面三個步驟： (1) 假設命題的結論不成立； (2) 從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。 【ּ 2】 求證：圓的兩條相交弦(直徑除外) 不能互相平分。 已知： 如圖 7-30，弦 AB、CD 相交於點 P。 求證： AB、CD 不能互相平分。 證明： 用反證法。 _{圖 7-30} C B A D O P

假設 AB 與 CD 互相平分。 因為 AB、CD 不是直徑，所以點 P 與 O 不重 合。連結 OP。 ∵ AP = PB ∴ OP ⊥ AB 同理 OP ⊥CD 這就是說點 P 有兩條直線 AB、CD 都垂直於 OP，這與過一點恰只有一條直線與已知直線垂 直相矛盾。 所以 AB 與 CD 不能互相平分。 【ּ 3】 如果兩個三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等， 並且在公共邊的同側，那麼這兩個三角形有公共的外接 圓。 已知： 如圖 7-31， C∠ 、 D∠ 在 AB 同側，∠ = ∠ 。 C D 求證： △ABC 與△ABD 有公共 外接圓。 證明： 用反證法。 假設△ABC 與△ABD 沒 有公共外接圓，即 A、B、 C、D 四點不在同一個圓上。 過 A、B、C 三點作 O ，則點 D 不在 O 上。同 7.5 節例 2 的證明一樣可得， ∠ADB ≠ ∠ACB 這與題設相矛盾。 ∴ △ABC 與△ABD 有公共外接圓。

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1. 按照圖 7-29 乙，證明定理。 2. 否定下列各結論，並寫出由此可能出現的情況： (1) a = ； b (2) ∠ > °； (3) A 60 AB CD ； // (4) 點 A 在 O 上； (5) 點 A 在直線 a 上。 圖 7-31 C B A D O

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3. 已知：如圖， ABCD 中，過點 A、B 的圓與 AD、BC 分別

交於點 E、F。 求證：C、D、E、F 四點在同一個圓上。 4. 已知：如圖，BE 與 CF 是△ABC 的高。 求證：F、B、C、E 四點在同一個圓上。

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1. (1) 求證：直徑是圓中最長的弦； (2) 如圖，將卡鉗的兩腳張開，使兩腳尖 的距離等於規定之尺寸。當工件恰好 通過兩腳尖的張口時，表示它的直徑 符合規定；當工件不能通過或留有空 隙時，它的直徑不符合規定。為什麼？ 2. O 的半徑r = cm，圓心 O 到直線 l 的距5 離d =OD = cm。在直線 l 上有 P、Q、R3 三 點 ， 且 有 PD = cm ；4 QD > cm ；4 4 RD< cm。它們對於 O 的位置各是怎樣 的？ 3. 求證：菱形各邊上的中點在同一個圓上。 (第 3 題) B _C D A E F (第 4 題) B C A E F (第 1 題)

4. 已知：AB = cm。以 3 cm 為半徑作圓，使它經過點 A 與 B。 4 5. 作一個圓，使它經過已知點 A 與 B，且圓心在已知直線 l 上。 (1) 當直線 l 與 AB 斜交時，可作出幾個？ (2) 當直線 l 與 AB 垂直但不經過 AB 的中點時，可作出幾 個？ (3) 當直線 l 是線段 AB 的垂直平分線時，怎樣呢？ 6. O 的半徑r = cm，弦5 AB CD ，// AB = cm、6 CD = cm。8 求 AB 與 CD 的距離(有兩解)。 7. 經過已知 O 內的已知點 A 作弦，使它以點 A 為中點。 8. 如圖，AB 是 O 的直徑，CD 是弦， AE ⊥CD，垂足為 E； BF ⊥CD，垂足為 F。求證： EC = FD。 9. 在直徑為 130 mm 的圓鐵片上切去一塊高為 32 mm 的弓形鐵 片(如圖)。求弓形的弦 AB 之長。 10. 破殘的輪片上，弓形的弦 AB 長 480 mm，高 CD 為 70 mm(如圖)。求圓 輪片的直徑。 11. 弦 AB 與 CD 相交於圓內的點 P，並 且與經過點 P 的直徑成等角。求 證： AB CD= 。 12. (1) 求證：經過 O 內一點 P 的所 有弦中，與 OP 垂直的弦最短； (2) 已知 O 的半徑為 6 cm，OP =3.6cm。求經過點 P 最短 的弦長。 (第 8 題) D E O F C B A (第 9 題) O B A 32 130 φ (第 10 題) A B C 480 70 O D R

13. 圓內接六邊形 ABCDEF 的各邊相等，求各邊所對的圓心角之 度數。 14. 已知：如圖，∠APC = ∠CPB = ° 。60 求證：△ABC 是等邊三角形。 15. 圓上一點P 到直徑 AB 的垂線之垂足為 D。求證：△BPD ~ △PAD。 16. △ABC 中，∠BAC 的平分線與邊 BC 與外接圓分別相交於點 D 與 E。求證： ~ ABD AEC △ △ 。 17. 求證：以等腰三角形的一腰為直徑之圓，平分底邊。 18. 圓內接三角形 ABC 中， AB = AC，經過點 A 的弦與 BC、BC

分別相交於點 D 與 E。求證：△ABD ~ △AEB。

19. 使用曲尺檢驗工件的凹面，成半圓形時為合格。如圖所示的 三種情況中，哪種是合格的？哪種是不合格的？為什麼？ 20. 已知線段 AB，怎樣作出幾個點C 、₁ C 、…，使它們對 AB₂ 所張的角∠AC B₁ 、∠AC B₂ 、…都是直角？ 21. 圓內接四邊形 ABCD 中，∠ 、 BA ∠ 、 C∠ 的度數之比是 2：3：6。求四邊形各內角 的度數。 22. 如圖，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分 線，與三角形的外接圓交於點 D。求證： DB = DC 。 (第 14 題) A B C O P (第 19 題) 曲尺 (第 22 題) A B C D E

23. 已知：BE、CF 是△ABC 的兩條高。 求證： AEF∠ = ∠ABC。 24. 用反證法證明： (1) 一個三角形的內角中，不能有兩 個鈍角或直角； (2) 在同圓內，如果兩條弦不等，那 它們的弦心距也不等； (3) 在同一平面內，一條直線與兩條平行線中的一條相交， 必定與另一條也相交。

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7.7 ۡቢᄃ๪۞Ҝཉᙯܼ

在黑板上畫一個圓，把直尺當作一條直線在黑版面上移動。 我們可以看到，直線與圓的位置關係有下面三種： (1) 直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離(圖 7-32 乙)。 (2) 直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切(圖 7-32 甲)。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。 (3) 直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交(圖 7-32 丙)。這時直線叫做圓的割線。 P O l 甲 圖 7-32 乙 丙 P O l P O l (第 23 題) A B C E F

根據直線與圓相離、相切、相交的定義，容易看出： 如果 O 的半徑為 r，圓心 O 到直線 l 的距離為 d，那麼 (1) 直線 l 與 O 相離⇔ > ； d r (2) 直線 l 與 O 相切⇔ = ； d r (1) 直線 l 與 O 相交⇔ < ； d r

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已知 Rt△ABC 的斜邊 AB = cm，直角邊6 AC = cm。圓心為 C，3 半徑為 2 cm、4 cm 的兩個圓與 AB 有怎樣的位置關係？半徑多 長時。AB 與圓相切？

7.8 ̷ቢ۞ҿؠᄃّኳ

如圖 7-33，在 O 中，經過半徑 OA 的外 端點 A，作直線 l ⊥OA，則圓心 O 與直線 l 的 距離就是半徑 r。由上一節我們知道，這樣的 直線與圓一定相切。因此有下面的定理： 切線的判定定理： 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑之直 線是圓的切線。 【ּ 1】 已知： 直線 AB 經過 O 上的點 C，並且 OA=OB、CA CB= (圖 7-34)。 求證： 直線 AB 是 O 的切線。 證明： 連結 OC。 ∵ OA OB= 、 CA CB= ∴ OC 是等腰三角形 OAB 底邊 AB 上的中線 ∴ AB ⊥OC 因此，直線 AB 經過半徑 OC 的外端 C，並且 垂直於半徑 OC，所以 AB 是 O 的切線。 圖 7-33 A O l 圖 7-34 C B A O

切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑。 已知： 如圖 7-35，直線 AT 是 O 的 切線，A 為切點。 求證： AT ⊥OA。 證明： 假設 AT 與 OA 不垂直。 過圓心 O 作 OM ⊥ AT，交 AT 於點 M。由垂線段最短，得 OM < OA。 因為圓心到直線 AT 的距離小於半徑，所以 AT 與 O 相交。這與已知矛盾。 ∴ AT ⊥OA 由於過已知點恰只有一條直線與已知直線垂直，所以經過圓 心垂直於切線的直線一定過切點；反過來，過切點垂直於切線的 直線也一定經過圓心。由此得到： 推論 1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。 推論 2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。 【ּ 2】 已知： AB 是 O 的直徑，BC 是 O 的切線，切點為 B， OC 平行於弦 AD 。 (圖 7-36)。 求證： DC 是 O 的切線。 證明： 連結 OD。 1 2 1 3 // 2 4 OA OD AD OC = ⇒ ∠ = ∠ ⎫ ⎪⎪ ∠ = ∠ ⎧ ⎬ ⎪ ⇒ _{⎨ ⎪} ∠ = ∠ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⇒ ∠ = ∠ 3 4 圖 7-35 T M A O 圖 7-36 C B A D O 1 2 3 4

3 4

OB OD

OBC ODC OBC ODC

OC OC = ⎫ ⎪⎪ ∠ = ∠ _⎬⇒ ≅ ⇒ ∠ = ∠ ⎪ = _⎪⎭ △ △ ∵ BC 是 O 的切線 ∴ ∠OBC = ° 90 ∴ ∠ODC = ° 90 ∴ DC 是 O 的切線。

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1. 如圖，AB 是 O 的直徑，∠ABT = 45°， AT AB= 。求證：AT

是 O 的切線。 2. AB 是 O 的直徑，點 D 在 AB 的延長線上， BD =OB，點 C 在圓上，∠CAB = ° 。求證：DC 是 O 的切線。 30 3. 求證： (1) 經過圓的直徑兩端點之切線互相平行； (2) 圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點的線段是直徑 4. 已知： OC 平分∠AOB，D 是 OC 上任意一點， D 與 OA 相 切於點 E。 求證： OB 與 D 相切。 (第 1 題) T B A O (第 2 題) C B A O D (第 4 題) C D B A O E

7.9 ๪۞̷ቢ̝үڱĂ̷ቢܜؠந

根據切線的判定定理，可以得到經過一個已知點作已知圓的 切線之方法。分已知點在圓上與圓外兩種情況。說明如下： (1) 已知： O 及 O 上的一點 P (圖 7-37) 求作： 經過點 P 的 O 的切線。 作法： 1. 連結 OP。 2. 經過點 P 作 BC ⊥OP。 直線 BC 就是所求的切線。 由作法可以知道，經過 O 上的一點 P， 可以作出並且恰只可以作出一條 O 的切線。 (2) 已知： C 及 O 外的一點 P (圖 7-38) 求作： 經過點 P 的 O 之切線。 分析： 設 PA 是經過點 P 與 O 相 切於點 A 的直線，由切線的性質定 理，可知 OA ⊥ AP，點 A 必在以 OP 為直徑的圓上。 作法： 1. 連結 OP。 2. 以 OP 為直徑作 C ， C 與 O 相交於兩點 A、B。 3. 作直線 PA、PB。 直線 PA、PB 就是所求的切線。 證明： 連結 OA、OB。 ∵ OP 是 C 的直徑 ∴ ∠OAP、 OBP∠ 都是直角 因此，PA、PB 是 O 的切線。 由作法可以知道，經過 O 外的一點 P，可以作出 O 的兩 條切線。 經過圓外一點的切線上，這一點與切點之間的線段之長叫做 這點到圓的切線長。 圖 7-37 C P B O 圖 7-38 C P B O A

在圖 7-38 中， ∵ OA =OB、 OP OP= ∴ Rt△AOP ≅ Rt△BOP ∴ PA= PB、∠OPA = ∠OPB 由此得到下面的定理： 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相 等，圓心與這一點的連線平分兩條切線之夾角

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1. 作已知圓的切線，使它： (1) 與一條已知直線平行； (2) 與一條已知直線垂直。 2. 已知： O 的半徑為 3 cm，點 P 與圓心 O 的距離為 6 cm。 (1) 經過點 P 作 O 的切線； (2) 求兩條切線的夾角及切線長。。 3. PA 與 PB 是 O 的切線，A 與 B 為切點。求證：OP 垂直平分 弦 AB。

7.10 ˬ֎ԛ۞̷̰๪

從一塊三角形的材料上裁下一塊圓的用料，怎樣才能使圓的 半徑盡可能大呢？這實際是下面的問題。 作圓，使它與已知三角形的各邊都相切。 已知： △ABC (圖 7-39)。 求作： 與△ABC 各邊都相切的圓。 分析： 要作一個圓與△ABC 三邊都相切，就是要求出一點 作為圓心，使它到三邊的距離相等。以前我們學過三角形三 個內角的平分線交於一點，這一點到三邊的距離相等。由此 可得三角形內切圓的作法。

作法： 1. 作∠ 、 CB ∠ 的平分 線 BM 與 CN，交點 為 I。 2. 過點 I 作 ID ⊥ BC ， 垂足為 D。 3. 以 I 為圓心，ID 為 半徑作 I 。 I 就是所求的圓。 證明： 過點 I 分別作 CA、AB 的垂線，垂足為 E、F。 ∵ I 在 ABC∠ 、 ACB∠ 的平分線上 ∴ IF = ID、 IE = ID ∴ D、E、F 都在 I 上。 又因為 BC、CA、AB 經過點 D、E、F，且 BC ⊥ ID、 CA⊥ IE、 AB ⊥ IF，所以△ABC 的三邊 BC、CA、 AB 都與 I 相切。 因為三角形的三條角平分線有一個且恰只有一個交點。所以 與三角形的各邊都相切之圓可以作出一個且恰只可作出一個。 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓 心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。 一般地，與多邊形的各邊都相 切之圓叫做多邊形的內切圓，這個 多邊形叫做圓的外切多邊形。 圖 7-40 中， O 是四邊形 ABCD 的內切圓，四邊形 ABCD 是 O 的 外切四邊形。 【ּ】 圓的外切四邊形的兩組對 邊之和相等。 已知： 四邊形 ABCD 的邊 AB、BC、CD、DA 與 O 分 別相切於點 L、M、N、P (圖 7-40)。 求證： AB CD+ = AD+ BC。 圖 7-39 C B A F _E I D M N 圖 7-40 C B A N M L O D P

證明： 因為 AB、BC、CD、DA 都與 O 相切，L、M、 N、P 是切點， ∴ AL = AP、 LB = MB、 DN = DP、 NC = MC ∴ AL LB DN+ + + NC = AP+MB+ DP+ MC AP DP MB MC = + + + 即 AB CD+ = AD+ BC

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1. 設△ ABC 的內切圓 I 與各邊分別相切 於點 D 、 E 、 F ， 118 DIE ∠ = ° ，∠FID =144°，求△ABC 各內角的度數。 2. 設△ABC 的邊 BC = 、 CA ba = 、 AB c= ， 1( ) 2 s = a b c+ + ， 內切圓 I 與 BC、AC、AB 分別相切於點 D、E、F。求證： AE = AF = − 、 BF BD s bs a = = − 、 CD CE s c= = − 。 3. △ABC 中，∠ 是直角，內切圓 I C 與邊 BC、CA、AB 分別相切於點 D、E、F。 (1) 求證：四邊形 CDIE 是正方形； (2) 設 BC = 、 CA ba = 。 用 a、b 表示內切圓半徑 r。 (第 2 題) C D B A (第 1 題) C D B A I F E 144° _118° I F _E (第 3 題) C D B A E I F

7.11 ؽ̷֎

頂點在圓上，一邊與圓相交、另一邊與圓相切的角叫做弦切 角。圖 7-41 甲、乙、丙中， BAC∠ 是弦切角。弦切角也可看作圓 周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角。 弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧所對之圓周角。 已知： AC 是 O 的弦，AB 是 O 的切線， AmC 是弦切角 ∠BAC 所夾的弧， P∠ 是 AmC 所對的圓周角。 (圖 7-41)。 求證： ∠BAC = ∠APC 。 證明： 分三種情況討論。 (1) 圓心 O 在∠BAC的邊 AC 上(圖 7-41 甲)。 ∵ AB 是 O 的切線 ∴ ∠BAC = ° 90 又 ∵ AmC 是半圓 ∴ ∠ = ° P 90 ∴ ∠BAC = ∠ P (2) 圓心 O 在∠BAC的外部(圖 7-41 乙)。 作 O 的直徑 AQ，連結 CQ。 ∵ 90∠BAQ = ∠ACQ = ° ∴ ∠BAC = ° − ∠ 、90 1 ∠ = ° − ∠ Q 90 1 ∴ ∠BAC = ∠ Q 又 ∵ ∠ = ∠ Q P 圖 7-41 C P B A O _m C P B A O _m D Q C P B A O _m Q 甲 乙 丙 1

∴ ∠BAC = ∠ P (3) 圓心 O 在∠BAC的內部(圖 7-41 丙)。 作 O 的直徑 AQ，連結 CQ。 ∵ 180∠BAC = ° − ∠DAC ∠ =P 180° − ∠ Q 又由(2)可知， DAC∠ = ∠ Q ∴ ∠BAC = ∠ P 推論 兩個弦切角所夾的弧相等，這兩個弦切角也相等。

【ּ 1】 已知： 如圖 7-42， O 與 O′ 相交於 A、B 兩點，AC

是 O′ 的切線，交 O 於點 C，AD 是 O 的切 線，交 O′ 於點 D。 求證： 2 AB = BC BDi 。 證明： ∵ ∠ = ∠ 、 C 1 ∠ = ∠ 2 D ∴ △ACB ~ △DAB ∴ BC AB AB = BD ∴ AB2 = BC BDi

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1. 如圖，經過 O 上的點 T 之切線與弦 AB 的延長線相交於點 C。 求證： ATC∠ = ∠TBC。 2. 如圖，AB 是 O 的弦，CD 是經過 O 上一點 M 的切線。 求證： (1) AB CD 時， AM// = MB； (2) AM = MB時， AB CD 。// 圖 7-42 C B A O D O′ 1 2 (第 1 題) C O B A T (第 2 題) C D B A M O

因為弦切角與它夾的弧所對之圓周角相等，所以我們可以利 用這個關係作所含圓周角等於已知角的弧。 【ּ 2】 在已知線段上作弧，使它 所含的圓周角等於已知角 已知： 線段 AB、∠ α (圖 7-43)。 求作： 以 AB 為弦的圓 弧，使弧所含的 圓周角等於∠ 。 α 分析： 作弧的關鍵在於 確定它的圓心之位置。 如圖，因為 AB 是 AmB 所 對的弦，弧要經過 A、B 兩 點，所以圓心 O 必在線段 AB 的垂直平分線 MN 上。 設 BD 是經過點 B 的 O 之切線。因為弦切角 ABD∠ 等

於 AmB 所含的圓周角 APB∠ ，所以 ABD∠ 必須等於

∠ ，而圓心 O 必在經過點 B 並且垂直於 BD 的直線 BE

α

上。因此，圓心就是這兩條直線的交點。 作法： 1. 作線段 AB 的垂直平分線 MN。 2. 過點 B 作射線 BD，使 ABD∠ = ∠ 。 α 3. 過點 B 作 BD 的垂線 BE 交 MN 於點 O。 4. 以 O 為圓心，OA 為半徑，在 ABD∠ 的外 部作 AmB 。 AmB 就是所求的弧。 證明： 略。 因為，過點 B 與 BA 成∠ 的射線可以作出兩條，所以，所

α

求的弧可以作出兩條(分別在直線 AB 的兩旁)。

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1. 取線段 AB = cm。在 AB 上作弧，使它所含的圓周角等於 45°3 2. 在線段 AB 上作含 90° 的圓周角之弧得到什麼圖形？ 圖 7-43 m B A D O N M P E α α

7.12 ᄃ๪ѣᙯ۞ּͧቢ߱

相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長 之積相等。 已知： 弦 AB 與 CD 相交於 O 內一點 P (圖 7-44)。 求證： PA PBi = PC PDi 。 證明： 連結 AC、BD。由圓周角定理， 得 ~ A D PAC PDB C B ∠ = ∠ ⎫⎪_⇒ ⎬ ∠ = ∠ ⎪⎭ △ △ ⇒ PA：PD = PC：PB ⇒ PA PB PC PDi = i 由相交弦定理，可以得出下面的推論： 推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑 所成的兩條線段之比例中項。 如圖 7-45，CD 是弦，AB 是直徑， CD ⊥ AB ，垂足是 P，則 2 PC = PA PBi 【ּ 1】 已知： 線段 a、b。 求作： 線段 c，使c2 = ab 。 作法： 1. 作線段 AP = a (圖 7-46)。 2. 延長 AP 到點 B， 使 PB b= 。 3. 以 AB 為直徑作半圓 4. 過點 P 作 PC ⊥ AB 交半圓於點 C。 PC 就是 a、b 的比例中項 證明： 略。 圖 7-44 C D B A P O 圖 7-45 C D B A P O 圖 7-46 C a B A P b a b c

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1. 如圖， AP = cm，3 PB = cm，5 CP = 2.5cm。求 CD。

2. 如圖，O 是圓心，OP ⊥ AB，AP = cm，4 PD = cm。求 OP。2

切割線定理 從圓外一點引圓的切線與割線，切線長是這點 到割線與圓交點的兩條線段長之比例中項。 已知： 點 P 是 O 外一點，PT 是切線，T 是切點，PA 是 割線，點 A、B 是它與 O 的交點(圖 7-47)。 求證： 2 PT = PA PBi 。 證明： 連結 TA、TB。 1 BPT TPA A ∠ = ∠ _⎫⎪ ⎬ ∠ = ∠ ⎪⎭ ⇒ △BPT ~ △TPA ⇒ PB：PT= PT：PA ⇒ 2 PT = PA PBi 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與 圓的交點之兩條線段長之積相等。 如圖 7-47 中， PA PBi = PC PDi 。 【ּ 2】 O 、₁ O 、₂ O 、…都經過點 A 與 B。求證：從線段₃ AB 的延長線上任意一點向各圓引切線，切點在同一圓 上。 (第 1 題) C D B A P O (第 2 題) C D B A O P 圖 7-47 C D B A P O T 1

已知： 如圖 7-48， O 、₁ O 、₂ O 、…都經過點 A₃ 與 B。點 P 是線段 AB 的延長線上任意一點， 且 PC、PD、PE、…分別與 O 、₁ O 、₂ O 、…₃ 相切於點 C、D、E、…。 求證： C、D、E、…在同一個圓上。 證明： ∵ PC 是 O 的切線，PA 是₁ O 的割線 ₁ ∴ PC2 = PA PBi 同理PD2 = PA PBi 、PE2 = PA PBi 、… ∴ PC = PC = PE = ∴ C、D、E、…都在以點 P 為圓心，PC 為 半徑的圓上。

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1. 已知：Rt△ABC 的兩條直角邊 AC、BC 的長分別為 3 cm、 4 cm。以 AC 為直徑作圓與斜邊 AB 交於點 D。求 BD 的長。 2. 運用「切割線定理」，作已知線段 a、b 的比例中項。 圖 7-48 C B A D E P 1 O O₂ O₃ (第 1 題) C B A D O

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1. 已知圓的半徑等於 5 cm，圓心到直線 l 的距離是：(1) 3 cm； (2) 5 cm；(3) 7 cm。直線 l 與圓有幾個交點？為什麼？ 2. 如圖，可以利用刻度尺與三角板測量圓形工具的直徑。說明 測量的道理。 3. 已知：如圖，△ABC 內接於 O ，∠CAE = ∠ 。如果(1) ABB 是直徑；(2) AB 為非直徑的弦，求證：AE 與 O 相切於點 A。 4. O 經過₂ O 的圓心，與₁ O 相交於₁ A、B 兩點。直線O O 交_{1 2} O 於點 C。₂ 求證：AC 是 O 的切線。 ₁ 5. 兩個同心圓中，大圓的弦 AB 與 AC 分 別與小圓相切於點 D 與 E。 求證： 1 2 DE BC 。 (第 2 題) (第 3 題) A B C O E A B C O E (第 4 題) C B A 1 O 2 O

6. MN 是 O 的切線，AB 是 O 的直徑。求證：點 A、B 與 MN 的距離之和等於 O 的直徑。 7. 設 AB 為 O 的直徑，C 是 O 上一點，AD 與 O 在點 C 的 切線相垂直，垂足為 D。求證：AC 平分 DAB∠ 。 8. 求證：以等腰三角形底邊的中點為圓心，並且與一腰相切的 圓，也與另一腰相切。 9. (1) 作一個半徑為 3 cm 的圓，使它與已知直線 l 相切於 l 上 一點 A； (2) 以直線 l 外一點 A 為圓心，作圓與直線 l 相切。 10. 已知：等腰梯形各邊都與 O 相切， O 的直徑為 6 cm，等 腰梯形的腰等於 8 cm。求梯形的面積。 11. PA、PB 是 O 的切線，A、B 是切點，延長半徑 OB 到 C， 使 BC =OB。求證：∠APC = ∠3 BPC。 12. AB、CD 是 O 的切線， AB CD ；EF 也是// O 的切線，它 與 AB、CD 分別相交於點 E 與 F。求證：∠EOF = ° 。 90 13. PA、PB 為 O 的切線，AC 為經過切點 A 的直徑。求證：切 點 B 與點 C 的連線平行於 PO。 14. 過 O 外一點 P 的直線 PA 與 PB 與 O 相切於點 A 與 B。點 D 是 AB 上任意一點，過 D 的切線與 PA、PB 分別相交於點 E 與 F。已知 P∠ = ，用α α 表示 EOF∠ 。 15. 求證： (1) 等邊三角形的內心也是它的外心； (2) 等邊三角形的外接圓半徑 R 是內切圓半徑 r 的 2 倍。 16. △ABC 中，內切圓 I 與邊 BC、CA、AB 分別相切於點 D、E、

F。求證： 90 1

2

FDE A

∠ = ° − ∠ 。

17. △ABC 中，E 是內心，∠ 的平分線與△ABC 的外接圓相交A

18. 圓外切四邊形的周長為 48 cm，相鄰三條邊的比為 5：4：7， 求四邊形各邊的長。 19. ABCDEF 是 O 的外切六邊形。求證： AB CD+ +EF = BC + DE+ FA。 20. 已知：△ABC 的∠ 之平分線與外接圓相交於點 D，BE 是 OA 的切線。求證：點 D 到 BC 與到 BE 的距離相等。 21. O 的弦 AB 之延長線與切線 EP 相交於點 P，E 為切點。 APE ∠ 的平分線與 AE、BE 分別相交於點 C、D。 求證：△CDE 是等腰三角形。 22. 已知：PA、PB 與 O 相切於點 A、B，AC 是 O 的直徑。求 證：∠APB = ∠2 BAC 。 23. 圓內相交兩弦中，一弦被交點所分成的兩條線段之長為 4 cm 與 7 cm，另一弦全長為 11.5 cm。求這弦被分成的兩條線段 之長。 24. 兩個同心圓中，A、B 為大圓上的任意兩點，過 A、B 作小圓 的割線 AXY 與 BPQ。求證： AX AYi = BP BQi 。 25. 作一個正方形，使它的面積等於已知矩形的面積。 26. 設 C 為線段 AB 的中點，BCDE 是以 BC 為邊的正方形。以 B 為圓心，BD 為半徑的圓與 AB 即其延長線段相交於點 H 及 K。求證： (1) HC CKi = AC2； (2) AH i AK = 2AC2。 (第 22 題) A B C O P (第 24 題) Q P O B A X Y

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7.13 ๪ᄃ๪۞Ҝཉᙯܼ

從圖 7-49 的一些圓形部件之間的相互位置關係中可以看出， 同一平面的兩個圓，可能有下面幾種位置關係： (1) 兩個圓沒有公共點，並且每一個圓上的點都在另一個圓 的外部時，叫做這兩個圓外離(圖 7-50 甲)。 (2) 兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，每 個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切(圖 7-50 乙)。這個唯一個公共點叫做切點。 (3) 兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩個圓相交(圖 7-50 丙)。 自行車 _{圖 7-49} 滾珠軸承 甲 r R 1 O 2 O R 乙 r 1 O 2 O T R 丙 r 1 O 2 O B A R 丁 r 1 O 2 O T 1 O 2 O r R 戊 O r _R 圖 7-50

(4) 兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，一 個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切(圖 7-50 丁)。這個唯一個公共點叫做切點。 (5) 兩個圓沒有公共點，並且一個圓上的點都在另一個圓的 內部時，叫做這兩個圓內含(圖 7-50 戊)。兩個同心圓是兩圓內含 的一種特例。 從圖 7-50 可以看出，兩圓的位置關係與兩圓半徑、圓心距的 大小有關。如果兩圓的半徑分別為 R 與 r，圓心距為 d，那麼 (1) > + ⇔d R r 兩圓外離； (2) = + ⇔d R r 兩圓外切； (3) R− < < +r d R r (R≥ r) ⇔ 兩圓相交； (4) d = −R r (R > r) ⇔兩圓內切； (5) d < −R r (R> r)⇔兩圓內含。 在圖 7-50 中，設想 O 固定不動，₁ O 從一方移近並進入₂ 1 O ，直到圓心O 與₂ O 重合，就可以看到上面所說的各種情況。 ₁ 關於相交的兩圓，有下面的定理： 定理 相交兩圓的連心線(經過兩個圓心的直線)，垂直平 分兩圓的公共弦。 已知： O 與₁ O 相交於點 A ₂ 與 B (圖 7-51)。 求證： 直線O O 垂直平分線段_{1 2} AB。 證明： 因為經過圓心O 與₁ O ₂ 的直線是 O 的對稱 ₁ 軸，又是 O 的對稱軸，所以，₂ O 與₁ O 的公共₂ 點 A 的對稱點在 O 上，又在₁ O 上。這個對稱點₂ 只能是兩圓的另一個交點 B。這樣，連心線O O 就_{1 2} 是連結對稱點 A、B 的線段之垂直平分線。 圖 7-51 B A 1 O O2

關於相切的兩圓，有下面的定理： 定理 相切兩圓的連心線，經過切點。 已知： O 與₁ O 相切於點 T (圖 7-52)。 ₂ 求證： 連心線O O 經過切點 T。 _{1 2} 證明： 用反證法。 假設O O 不經過_{1 2} O 與₁ O 的切點 T (即點 T 不在 ₂ O O 上)，那麼，點 T 關於_{1 2} O O 的對稱點_{1 2} T ′ 也不在 O O 上。由於直線_{1 2} O O 是_{1 2} O 的對稱軸，又是₁ O₂ 的對稱軸，並且點 T 是 O 與₁ O 的公共點，所以₂ 點 T 的對稱點T ′ 也是 O 與₁ O 的公共點。這與題₂ 設 O 與₁ O 相切相矛盾，因此假設不能成立。連₂ 心線O O 經過切點 T。 _{1 2} 【ּ】 已知：兩個等圓 O 與₁ O 相交₂ 於 A、B 兩點， O 經過點₁ O ₂ (圖 7-53)。求∠O AB₁ 的度數。

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ྋ !!! ∵ O 經過點₁ O 、₂ O 、₁ O₂ 是等圓 ∴ O A₁ =O O_{1 2} =O A₂ ∴ ∠O AO_{1 2} = ° 60 又 ∵ AB ⊥O O_{1 2} ∴ ∠O AB₁ = ° 30 圖 7-52 T 1 O O2 T 1 O 2 O 圖 7-53 B A 1 O O₂

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1. O 與₁ O 的半徑分別為 3 cm 與 4 cm，設 ₂ (1) O O_{1 2} = cm (2) 8 O O_{1 2} = cm (3) 7 O O_{1 2} = cm 5 (4) O O_{1 2} = cm (5) 1 O O_{1 2} = 0.5cm (6) O 與₁ O 重合 ₂ O 與₁ O 的位置關係怎樣？ ₂ 2. 三角形的三邊長分別為 4 cm、5 cm、6 cm，以各頂點為圓心 的三個圓兩兩外切。求各圓的半徑。如果三邊長分別為 a、b、 c 呢？ 3. 已知： O 與₁ O 相交於點 C 與 D，₂ O O 的延長線與_{1 2} O 相₁ 交於點 A，AC、AD 分別與 O 相交於點 E、F。求證：CE₂ = DF 4. 已知： O 與₁ O 相切於點 T，經過切點 T 的直線與₂ O 與₁ 2 O 分別相交於另一點 A 與 B。求證：O A O B 。 ₁ // ₂

7.14 ׌๪۞̷̳ቢ

很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關係，給 我們以一條直線與兩個圓同時相切的形象(圖 7-54)。 與兩個圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。兩個圓的圓心 在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線(如圖 7-54 甲)。兩 個圓的圓心在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線(如圖 7-54 乙)。公切線上的兩個切點之距離叫做公切線的長。 (第 4 題) T B A 1 O 2 O B A T 1 O O2

下面我們說明兩圓公切線的作法。 兩圓外離、外切或相交時，外公切線的作法如下。 已知： O 與₁ O 的半徑分別為 R 與 r₂ (R > ，r) O O_{1 2} > + R r (圖 7-55)。 求作： O 與₁ O 的外公切線。 ₂ 分析： 前 面 已 經 學 過 經 過一點作一圓的切線，這啟 發我們想辦法把作兩個圓 公切線的問題，化為過一個 點作一個圓切線的問題來 解決。假設把 O 與₁ O 的₂ 半徑同時縮短 r，那麼 O ₁ 變為與它同心，半徑是 R r− 的圓，而 O 變為一個點₂ O 。因為過點₂ O 能夠作直線與半 ₂ 徑為 R r− 的圓相切，那麼只要把切線平行移動 r，就可以得 到 O 與₁ O 的公切線(圖 7-55)。 ₂ 圖 7-54 甲 乙 圖 7-55 C F _D r E R B A 1 O O2 R−r

作法： 1. 以O 為圓心， R₁ − 為半徑作圓，從r O 作這個 ₂ 圓的切線O E ，E 為切點。 ₂ 2. 連結O E ，並延長交₁ O 於點 A。 ₁ 3. 經過圓心O 作₂ O B O A ，並交₂ // ₁ O 於點 B。 ₂ 4. 作直線 AB。 AB 就是所求的一條公切線。 證明： 由作法，O E₂ ⊥O A₁ ，O B O A，₂ // ₁ EA=O A O E₁ − ₁ = R−(R− = =r) r O B₂ ，所以四邊形EO BA 是矩形，₂ 於是，O A₁ ⊥ AB、O B₂ ⊥ AB。因此，AB 是 O 的₁ 切線，又是 O 的切線，即 AB 是₂ O 與₁ O 的外 ₂ 公切線。 由作法，還可以知道，從O 向以₂ O 為圓心， R₁ − 為半徑的r 圓，可以作出兩條切線(O E 與₂ O F )，因此，可以作出₂ O 與₁ O₂ 的兩條外公切線(AB 與 CD)。 仿照上面的分析，可以得出兩圓外離(O O_{1 2} > + )時的內公R r 切線之作法(圖 7-56)。 兩圓外切(或內切)時，經過切點作直線垂直於它們的連心 線，就得到它們的內公切線(或外公切線)。 從公切線的作法可知，如果兩個圓有兩條外公切線或內公切 線，那麼它們的長相等。 圖 7-56 C F D r E R B A 1 O O2

定理 兩圓的兩條外公切線之長相等；兩圓的兩條內公切 線之長也相等。 【ּ】 如圖 7-57， O 與₁ O 外切於點 A，BC 是₂ O 與₁ O 的₂ 公切線，B、C 為切點。 求證： AB ⊥ AC 。 證明： 過點 A 作 O 與 ₁ O 的內公切線交₂ BC 於點 O。 因為 OB、OA 是 O 的兩條切線， ₁ ∴ OB OA= 同理 OC =OA ∴ OB OA OC= = ∴ AB ⊥ AC

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1. 已 知 O 與₁ O 的 半 徑 分 別 為₂ R = cm 、4 r =1.5 cm 、 1 2 6.5 O O = cm。 (1) 作 O 與₁ O 的外公切線，量出外公切線的長(精確到 ₂ 0.1 mm)及外公切線與連心線所成的角度(精確到1° )； (2) 計算出(1)中的長度與角度。 2. 已 知 O 與₁ O 的 半 徑 分 別 為₂ R = 2.5 cm 、 r =1.5 cm 、 1 2 6 O O = cm，作 O 與₁ O 的內公切線。 ₂

7.15 ࠹̷дүဦ̚۞ᑕϡ

運動場上的跑道與有些凸輪的輪廓線(圖 7-58)等，是由線段 與圓弧或幾段圓弧平滑的連接起來的。 圖 7-57 C O B A 1 O O2

線段所在的直線(圓弧所在的圓)與圓弧所在的圓相切於某一 點，並且在切點的兩側，就說線段(圓弧)與圓弧在這一點連接。 如圖 7-59 中，線段 AB 與弧 AC 在點 A 連接，圖 7-60 中， AB 與 AC 在點 A 連接。 圖 7-60 甲中， O 與₁ O 外切於點 A，我們稱在連心線₂ O O_{1 2} 兩旁的 AB 與 AC 在點 A 外連接。圖 7-60 乙中， O 與₁ O 內切₂ 於點 A，我們稱在連心線O O 兩旁的_{1 2} AB 與 AC 在點 A 內連接。 由連接的定義可知，在圖 7-60 中， AB 與 AC 在點 A 連接， 就是 O 與₁ O 在點 A 相切，因此點 A 一定在連心線₂ O O 上。_{1 2} 利用這個關係，可畫圓弧與圓弧在某一點連接。 【ּ 1】 已知： 如圖 7-61， AB 的半徑為R ，圓心為₁ O ，線段₁ R 。 ₂ 求作： 半徑為R 的 AC，使 AC 與 AB 在點 A 外連接。 ₂ 圖 7-58 B A E D C l R 圖 7-59 C O B A 圖 7-60 C B 1 R 2 R 1 O A O₂ C B 1 R 2 R 1 O O₂ A 甲 乙

分析： 要作 AC 與 AB 外連接，就是要作 AC 與 AB 所 在的圓在點 A 外切。因此 AC 所在的圓之圓心O 一定在₂ O A 的延長線上，並且₁ O O_{1 2} = R₁ +R₂ 。 作法： 1. 連結O A，並延長到₁ O ，使₂ O O_{1 2} = R₁ + 。 R₂ 2. 以O 為圓心，₂ R 為半徑作 AC ，使 AC ₂ 與 AB 在O O 的兩側。 _{1 2} AC 就是所求的弧。 證明： 略。 【ּ 2】 用圓弧連接，畫橢圓的近似圖形。 作法： 1. 任作一線段 EF。以 EF 為公共邊作等邊三 角形 CEF 與 DEF(圖 7-62)。 2. 作△CEF 的中線 EK、FL，相交於點O 。 ₁ 3. 作△DEF 的中線 EN、FM，相交於點O 。 ₂ 4. 分別以O 、₁ O 為圓心，以₂ O K 為半徑作 ₁ KAL 、MA N′ 。 5. 分別以 E、F 為圓心，以 EK 為半徑作 NB K′ 、 MBL 。 四條弧連接組成的圖形就是橢圓的近似圖形。 圖 7-61 C B A 1 O O2 1 R 2 R 圖 7-62 C B A 1 O 2 O A′ B′ F E D K L M N

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1. 說明近似橢圓的四條弧為什麼是連接的。 2. 按 4：1 的比例尺，作出下面的圖樣：

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1. 定圓 O 的半徑是 4 cm，動圓 P 的半徑是 1 cm。 (1) 設 P 與 O 相外切。那麼點 P 與點 O 的距離是多少？ 點 P 可以在什麼樣的線上移動呢？ (2) 設 P 與 O 相內切呢？ 2. 分別以 2 cm、2.5 cm、4 cm 為半徑作圓，使它們兩兩外切。 3. 經過相交兩圓的一個交點，作兩圓的公共弦之垂線。求證： 這條直線上被兩圓所截得的線段等於圓心距的二倍。 4. 已知： O 與₁ O 相交於點 A 與 B，經過點 A 的直線分別交₂ 兩圓於點 C 與 D，經過點 B 的直線分別交兩圓於點 E 與 F， 且CD// EF 。求證： (1) CD = EF ； (2) CE = DF 。

5. 已知： O 與 O′ 外切於點 A，經過點 A 作直線 BC 與 DE，

BC 交 O 於點 B、 O′ 於點 C，DE 交 O 於點 D、 O′ 於點

E。求證：BD CE 。 // (第 2 題) R 7.8 R 4 12.7 O 4 φ