1
球体积∶ 方盖体积 π ∶ 。 8 = 4
第二，从立方体的 割出一倒立的阳马，应用勾股定理证得三外棋等 1 8
高处截面积的和跟阳马同高处的截面积相等。
第三，再应用祖暅原理，知三外棋体积的和跟阳马体积相等。
由阳马的体积公式，就可从上述三步得球体积公式。
按牟合方盖是刘徽所引入的，第一步的结果实质上也已经为刘徽所求 得。事实上，在《刘注》中，他已经多次应用了祖暅原理来求曲面围成立 体的体积，例如从方堡壔（ 长方体） 求圆堡壔（ 圆柱） ，从方锥求圆锥，从方 亭（ 正方台） 求圆亭（ 圆台） ，都已经使用这方法。祖暅的功绩，不仅在于具 体求出了牟合方盖因而求出球的体积，更在于把实际上已知并且已经广泛 应用的实践经验总结提高到一般原理的形式。是否应该把祖暅原理改称为 刘祖原理，是可以商讨的。
从祖暅原理可以立即得出前面讲到的刘徽原理，因而多面体的体积理 论也可以建立在出入相补原理和祖暅原理这两个浅显易明的基本原理之 上。在欧洲，直到希耳伯特的《几何基础》问世以后，二十世纪初年，才 有人（ 例如绪思） 考虑依卡瓦列里原理以建立体积理论的问题。
其 他
《九章》中有丰富的几何学内容，即使局限于出入相补原理，除了已 经见于前面各节的以外，也还有一些成果为我国数学以后发展的重要出发 点。例如所谓勾股容圆问题，在李冶的《测圆海镜》中已经有了很大的发 展。又如前面提到过的所谓方城问题，在秦九韶、李冶等的著作中已经把 方城改成了圆城，就是旧有方法所不能解的。为此宋元时期创立了所谓天 元术一类新的理论和方法，不仅可以用来解决许多新问题，对老的问题（ 所 谓古问） 也提供了新的有力工具，和老的方法（ 所谓古法） 相比可以“ 省功数 倍” 。这些新理论新方法的实质在于几何的代数化，乃是解析几何的前奏，
也是近代代数学的前驱。
总 结
出入相补、刘徽、祖暅等一般原理的建立，说明我国古代学者具有高 度的抽象概括能力，善于在深入广泛的实践基础上往高里提。这些原理之 简单易明正可和它们应用之广互相辉映。这是我国古代数学的一种独特风 格，着重在问题的解决以及解决的一般方法和一般原理原则，同样的风格 也可见之于几何的代数化、位值制记数法等等。这和西方数学之偏重于概 念和概念之间的相互逻辑关系，是异其旨趣的。
我国数学经典著作散佚的多而保存的少，就像祖暅原理，也只靠李淳 风一注才得以留传下来。像这一类重要成果而失传无从查考的，当不在少 数。尽管如此，只从留传至今的典籍看来，我国数学的生产实践方面的渊 源和发展演变的线索，仍旧很分明，参见下页两个附表。
表 一
割圆术和圆周率
自然科学史研究所 何绍庚 刘徽割圆术
在解决求圆周长、圆面积、球体积等类问题的时候，经常要用到圆周 率π 。圆周率π 可以表示成无限不循环小数
３．１４１５９２６５３５… … 。
近代数学已经证明，圆周率π 是一个不能用有限次加减乘除和开各次 方等代数运算求出来的数，就是所谓“ 超越数” 。
中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“ 周三径一” ，也就是π ＝３。
很明显，这个数值非常粗糙，用它进行计算会造成很大的误差。随着生产 和科学的发展，“ 周三径一” 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，
人们开始探索比较精确的圆周率。例如，据么元一世纪初制造的律嘉量斛
（ 一种圆柱形标准量器） 推算，它所取的圆周率是 ３． １５４７。公元二世纪初，
东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用 ≈ ，又在球体积公式中取用
≈ 。三国时期吴人王蕃 － 在浑仪论说中取 ≈ 。 730
232
10 142
45 3.1466
3.1622 (228 266) 3.1556 上述这些圆周率近似值，比起古率“ 周三径一” ，精确度有所提高，其中
圆周率值 10还是世界上最早的记录。但是这些数值大多是经验结果，还缺 乏坚实的理论基础。因此，研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的 工作。
魏晋之际的杰出数学家刘徽，在计算圆周率方面，作出了非常突出的 贡献。他在为古代数学名著《九章算术》作注的时候，正确地指出，“ 周 三径一” 不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值。用 古法计算圆面积的结果，不是圆面积，而是圆内接正十二边形面积。经过 深入研究，刘徽发现圆内接正多边形边数无限增加的时候，多边形周长无 限逼近圆周长，从而创立割圆术，为计算圆周率和圆面积建立起相当严密 的理论和完善的算法。
刘徽割圆术的主要内容和根据是：
第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。
第二，根据勾股定理，从圆内接正 ｎ 边形每边的长，可以求出圆内接 正 ２ｎ 边形每边的长。
第三，从圆内接正 ｎ 边形每边的长，可以直接求出圆内接正 ２ｎ 边形面 积。如右图，四边形 ＯＡＤＢ 的面积等于半径 ＯＤ和正 ｎ 边形边长 ＡＢ 乘积的 一半。
第四，圆面积 Ｓ 满足不等式
Ｓ２ｎ＜Ｓ＜Ｓ２ｎ＋（ Ｓ２ｎ－Ｓｎ） 。
如右图，四边形 ＯＡＤＢ的面积和△ ＯＡＢ的面积的差等于以 ＡＤ和 ＤＢ为弦 的两个直角三角形面积，而 ＯＡＤＢ 的面积再加上这样两个直角三角形的面 积，就有一部分超出圆周了。
第五，刘徽指出：“ 割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣。” （ 《九章算术》方田章圆田术刘徽注） 这就是 说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，
它的面积的极限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正 十二边形，正二十四边形，… … 以至于正九十六边形每边的长，并且求出 正一百九十二边形的面积 ＝ ． 。这相当于求得π 。 他在实际计算中，采用了π 。不仅这样，刘徽还继续求到圆
S 3 14 64
625 = 3.141024
= 3.14 =157 50
192
内接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的 圆周率值
π ＝ 3927 ＝ 。 1250 3.1416
刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数 学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进 的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古 希腊数学家阿基米德（ 前 ２８７－前 ２１２） 用圆内接和外切正多边形计算，在程 序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，
刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古 代，也是非常难能可贵的。
祖冲之圆周率
在刘徽之后，南北朝时期杰出数学家祖冲之，把圆周率推算到更加精 确的程度，取得了极其光辉的成就。据《隋书・律历志》记载，祖冲之确 定了圆周率的不足近似值是 ３． １４１５９２６，过剩近似值是 ３． １４１５９２７，真值在 这两个近似值之间，就是
３． １４１５９２６＜π ＜３． １４１５９２７。
同时，祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：
约率π = 22 ≈ ，密率π ≈ 。 7 3.14 = 355
113 3.1415929
祖冲之圆周率的不足近似值 ３． １４１５９２６ 和过剩近似值 ３． １４１５９２７，准 确到小数点后七位，这在当时世界上非常先进，直到一千年以后，十五世 纪阿拉伯数学家阿尔・卡西（ ？－１４３６） 和十六世纪法国数学家韦达（ １５４０
－１６０３） 才打破了祖冲之的记录。
此外，在十进小数概念未充分发展以前，中国古代数学家和天文学家 往往用分数表示常量的近似值。祖冲之提出的约率π ，前人已经用 到过，密率 ，是他所发现的。密率是分子分母都在 以内的分数
= 22 7
= 355
113 1000
π
形式的圆周率最佳近似值。用这两个近似值计算，可以满足一定精度的要
求，并且非常简便。祖冲之提出的密率也是一千年后才由德国人奥托（ 约