显然 P(A|B)=P(A)。
这就是说：已知事件B发生，并不影响 事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。
一、两事件的独立性
A={第二次掷出6点}，
B={第一次掷出6点}，
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A)
或
P(B|A) = P(B)更好，它不受P(B)>0或P(A)>0的制约。
P(AB)=P(B)P(A|B)
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立。 两事件独立的定义
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一
张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
可见, P(AB)=P(A)P(B)。
由于 P(A)=4/52=1/13,
说明事件A、B独立。
问事件A、B是否独立？
解：
P(AB)=2/52=1/26。
P(B)=26/52=1/2，
前面我们是根据两事件独立的定义作
出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记
A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立 。
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的 概率，故认为A、B独立 。
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
例如：
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)。
一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品}， i=1,2。
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。
又如：
因为第二次抽取的结果不受 第一次抽取的影响。
若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立。
请问：如图的两个事件是独立的吗？
A B
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥。
而P(A) ≠0, P(B) ≠0。
故 A与B不独立。
我们来计算： P(AB)=0,
P(AB) ≠ P(A)P(B)。
即
问：能否在样本空间
Ω
中找两个事件,它们既相互独立又互斥?
这两个事件就是
Ω
和φ 。
所以， 与
φ Ω
独立且互斥。φ,
φ = 因为 Ω
不难发现， 与任何事件都独立。
φ
Ω P ( Ω φ ) = p ( Ω ) ⋅ P ( φ ) = 0 ,
设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)，
3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
设A、B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)，
3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
再请你做个小练习。
= P(A)- P(AB) P(A )= P(A - A B) B
A、B独立
故A与 独立。 B
= P(A)- P(A) P(B)
证明: 仅证A与 独立。 B
定理：若两事件A、B独立，则 B
A B
A B
A与 , 与 , 与 也相互独立。
=P(A)[1-P(B)]
=P(A)P( ), B
二、多个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)， 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) , 成立, 则称事件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。
请注意多个事件两两独立与事件两两相 互独立的区别与联系
两两独立 相互独立
对n(n>2)个事件
?
对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例2: 三人独立地去破译一份密码，已知各人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
三、独立性概念在计算概率中的应用
所求为 P(A1+A2+A3)。
记 Ai={第i个人破译出密码} ， i=1,2,3。
已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3,
An
例3：下面是一个串并联电路示意图。
P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。
解:
例4 ：
验收100件产品的方案如下，从中任取3 件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为 次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测 试后被断定为次品的概率为0.95,一件正品经 测试后被断定为正品的概率为0.99,并已知这 100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收 的概率。
设 A={此批产品被接收}，
Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}，
i=0,1,2,3。
则
3 。