第一章第一节 基本概念 第一章第一节 基本概念

第一章第一节

基本概念

一、 随机试验与事件 I. 随机试验

注：以后所提到的试验均指随机试验。

随机试验举例：

E₁: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几；

E₂: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数；

E₃: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命；

E₄: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小 于200小时。

对于随机试验,尽管在每次试验之 前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结 果所组成的集合却是已知的。

若以Ωⁱ表示试验Eⁱ的样本空间, i^=1,2,3,4, 则 ^◆ E¹: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，

Ω¹ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；

称试验所有可能 结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。

2. 样本空间

样本空 间的元素, 即随机试验的单个结果称为样本点。

E₂: 观察某城市某个月内交通事故发生次数，

Ω₂={0,1,2,…}；

E₃: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命，

Ω₃={t,t≥0}；

E₄: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否 小于200小时，

Ω₄={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。

II. 随机事件

写出试验E

的样本空间

Ω₁={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么 事件？指出哪些是基本事件。

A₁={1},A₂={2},…,A₆={6} ━━ 分别表示掷

的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件；

B={2,4,6} ━━ 表示掷的结果为“偶数 点”，非基本事件；

C={1,3,5} ━━ 表示“掷的结果为奇数 点”，非基本事件；

D={4,5,6} ━━ 表示“掷的结果为四点或 四点以上”，非基本事件。

例 1：

当结果 ω∈A时, 称事件A发生。

注意：

(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是 Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总 是发生。因此, 称Ω必然事件。

(2).空集Φ不包含任何样本点，但它也是样本空

间Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称Φ为不可能事件。

注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样

本空间Ω中就会有一个点(样本点 ω)出现。

二、事件的关系与运算 I. 集合与事件

回忆: 做试验E时,若∈A,则称事件A发生。

集合A包含于集 合B：若对∀ω∈

A, 总有ω∈B，

则称集合A包含 于集合B，记成 A⊂B。

事件A包含于事件 B:若事件A发生必 有事件B发生，则 称事件A包含于事 件B,记成A⊂B。

集合A与B的并或和：

若ω∈ C, 当且仅当ω

∈A或ω∈B,则称集合 C为集合A与B的并或和, 记成A∪B 或 A+B。

事件A与B的并 或和：若事件 C发生，当且 仅当事件A或B 发生，则称事 件C为事件A与 B的并或和，

记成A∪B 或 A+B。

若A⊂B,且B⊂A，则称事件A与B相等，记成A=B。

无穷多个事件A

,A

,

的和 n个事件A

,A

,…,A

的和

C发生就是A

,A

,

A

中 至少一个事件发生。

C发生就是A

,A

中至 少一个发生。



i

Ai

C

=1

=



=

=

1 i

Ai

C

集合A与集合B 的交或积：若 ω∈ C，当且仅 当ω ∈A且ω∈B, 则称集合C为集 合A与B的交或 积, 记成A∩B或 AB。

事件A与B的积或交：

若事件C发生，当且仅 当事件A与B同时发生，

则称事件C为事件A与B 的积或交, 记成 A∩B或 AB。

特别地 ,当AB=Ø时, 称A与B为互斥事件 (或互不相容事件), 简称A与B互斥。也 就是说事件A与B不 能同时发生。

例 1(续)

A

={1}, A

={2},于是A

A

=Ø。故A

与 A

互斥；

B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø,故

B与C也互斥。

无穷多个事件A

,A

,

的积 n个事件A

,A

,…,A

的积

C发生就是A

,A

,

A

都发生。

C发生就是A

,A

,

都发生。



i

Ai

C

=1

=



=

=

1 i

A

C

集合A与集合B的差：

若ω∈ C当且仅当ω ∈A 且 ，则称集合C为 集合A与B的差，记成 A- B。

事件A与B的差：

若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。

∉ B

ω

特别地，称Ω-A为A 的对立事件(或A的

逆事件、补事件)等, 记成A 。

例1(续) A

={1}, B={2,4,6},于是 A就是A不发生。

} 5 , 3 , 1 { }

6 , 5 , 4 , 3 , 2

1

= { B =

A

 交换律: A∪B=B∪A AB=BA

 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A(BC)=(AB)C

 分配律: A(B∪C)=AB∪AC

A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)

 对偶律:

II. 事件的运算法则

(与集合运算法则相同)

B A

AB B

A B

A  = = 

B A AB

A B

A B

A − = = 

还有常用

不是A,B中至少 有一个发生

A,B都不发生

对于多个随机事件,上述运算规则也成立 A(A

∪A

∪…∪A

)

=(AA

)∪(AA

)∪…∪(AA

)

n n

n n

A A

A A

A A

A A

A A

A A





















2 1

2 1

2 1

2 1

=

=

小结

本节首先介绍了随机试验、样本

空间的基本概念，然后给出了随机

事件的各种运算及运算法则。

第一章第二节

事 件 的 概 率

 频率

一、频率与频率稳定性

设A是一个事件在相同的条件下

进行n次试验,在这n次试验中,事件A

发生了m次。则称m为事件A在n次试

验中发生的频数或频次,称m与n的比

值m/n为事件A在n次试验中发生的频

率,记为f

(A)。

当试验次数充分大时，事件的频率 总在一个定值附近摆动，而且，试验次 数越多，一般说来摆动的幅度越小。这 一性质称频率的稳定性。

频率在一定程度上反映了事件在一次 试验中发生的可能性大小。尽管每进行一 连串（n次）试验，所得到的频率可能各 不相同，但只要 n足当大，频率就会非常 接近一个固定值——概率。

因此，概率是可以通过频率来“度量”

的。频率是概率的近似。

考虑在相同条件下进行的S 轮试验

第二轮 试验

试验次数n₂ 事件A出现

m₂次

第S轮 试验

试验次数n_s 事件A出现

m_s 次 试验次数n₁

事件A出现 m₁次 第一轮

试验

事件A在各轮试验中的频率形成一个数列

下面我们来说明频率稳定性的含义

…

…

…

,

1 1

n

m ,

2 2

n m

s s

n , m

…

指的是：各轮试验次数n₁, n₂, …, n_s 充分大时，在各轮试验中事件A 出现的频率之间、或者它们与某固定的数 值相差甚微 。

1 1

n

m 

s s

n m

2 2

n

频率 m



稳定在概率 p 附近 频率稳定性

这种稳定性为用统计方法求概率开拓 了道路。

在实际中，当概率不易求出时，人们常

用试验次数很大时事件的频率作为概率的 估计值，并称此概率为统计概率。

这种确定概率的方法为频率法。

例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在相同条件下大量 的射击情况进行观察、并记录。

假设他射击n次, 中靶m次, 当n很大时, 可用频率m/n作为其 中靶概率之估计。

1 ⋅ 0≤ f

( A) ≤1；

2 ⋅ f

(Ω)=1, f

(Ø)=0；

3. 若事件A

,A

,…,A

两两互斥, 则:

 性质

二、 事件概率

I. 概率的定义

∑

=

=

 =



 



 ^k

i

i n

k

i

i

n A f A

f

1 1

)



下面介绍用公理给出的概率定义

1933年，前苏联数学家

柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)

给出了概率的公理化定义 。

概率的公理化定义

公理2

P(Ω)=1

这里事件个数可以是有限或无限的 。







 ) = ( ) + ( ) +

(A₁ A₂ P A₁ P A₂

P

设E是随机试验，

Ω

对于 中的每一个事件A，赋予一个实数，

记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函 数 P(^· ) 满足下述三条公理:

Ω

; 1 )

(

0 ≤ A P ≤

公理1 (1)

公理1说明，任一事件的概率介于0与1间；

公理2说明，必然事件的概率等于1；

公理3说明，对于任何两两互不相容(互斥) 的事件序列，这些序列事件并的概率等于 各事件概率之和。

II、概率的性质

1.P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零；

2.若事件A

,A,

A

两两互斥,则有:

P(A

∪A

…∪A

)=P(A

)+…+P(A

), 即互斥事件之并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性);

4.对两个事件A和B,若A ⊂B, 则有:

P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。

);

( 1

)

(A P A

P = −

3. 对任一事件A,均有

B _AB A

Ω

证明：

性质5 对任意两个事件A、B，有

因

得，

再由

AB ⊂ B

),

(B AB

A B

A  =  −

), (

) (

)) (

( )

(

AB B

P A

P

AB B

A P B

A P

− +

=

−

= 



 说明

n个事件并的公式

特别地，n=3时

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

3 2 1

3 2 3

1 2

1 3

2 1

3 2

1

A A A P

A A P A

A P A

A P A

P A

P A

P

A A

A P +

−

−

− +

+

=





∑ ∑

= ≤ ≤ ≤ ≤

+

=

 = −



 





k i i i n

i i

i k

l n

l

k

A

A A

P A

P

1 1 ...

1 1

2 1

2

1

... )

( )

1

 (

小结

本节首先介绍了频率的概念，指出在 试验次数充分大条件下，频率接近于概 率结论；然后给出了概率的公理化定义 及概率的主要性质。

第一章第三节

古典概率模型

I. 什么是古典概率模型 如果试验E满足

(1) 试验结果只有有限种，

(2) 每种结果发生的可能性相同。

则称这样的试验模型为等可能概率模型

或古典概率模型，简称为等可能概型或

古典概型。

II. 古典概率模型中事件概率求法

因试验E的结果只有有限种,即样本点是有 限个: ω₁,ω₂ ,…,ω_n ，其中

Ω={ω₁}∪{ω₂ }∪…∪{ω_n}，

{ω_i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。

于是，有

1=P(Ω)=P({ω₁}∪{ω₂ }∪…∪{ω_n})

=P({ω₁})+P({ω₂ })+…+P({ω_n}) =nP({ω_i}), i=1,2,…n。

从而，P({ ω

})= 1/n，i=1,2,…n。

因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k ×(1/n)=k/n。

III. 古典概模型的例题 例1：

设:A表示所掷结果为“四点或五点”；

B表示所掷结果为“偶数点”。

求:P(A)和P(B)。

解： 由n=6，k

=2,得P(A)=2/6=1/3；

再由k

=3，得P(B)=3/6=1/2。

例2：

解:

货架上有外观相同的商品15件，其中12 件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。

从15件商品中取出2商品,共有C²₁₅ =105种 取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。

令 A={两件商品都来自产地甲},k_A= C²₁₂=66, B={两件商品都来自产地乙},k_B= C²₃ =3，

而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与 B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。

故，所求概率=69/105=23/35。

例3 ：

(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样);

(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。

设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 到两只不同类三极管}。

求：P(A),P(B),P(C),P(D)。

解:

注意:

乘法原理

因每个基本事件发生的可能性相同,第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。

所以,取两只甲类三极管共有 4×4=16 种可能 的取法, 即k_A=16。故

P(A)=16/36=4/9；

令E={抽到两只乙类三极管},k_E=2×2=4。故 P(E)=4/36=1/9;

因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9；

因B= A∪E ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；

D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。

(2).

由乘法原理，知取两只三极管共有n=6×5=30 种可能的取法。

由乘法原理,得 k_A=4×3=12, P(A)=12/30=2/5;

k_E=2×1=2，P(E)=2/30=1/15;

由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15；

由B=A∪E,且A与E互斥,得

P(B)=P(A)+P(E)=7/15；

由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。

解:

例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”

的概率。

因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放

入N个盒子中共有Nⁿ种不同的放法。

每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 原理得): N(N-1)…(N-n+1)=A_Nⁿ 种。

故，

P(A)= A

/N

。

A₃₆₅ⁿ/365ⁿ。

于是, n个人中至少有两人生日相同的概率 为 1- A₃₆₅ⁿ/365ⁿ。

许多问题和上例有相同的数学模型。

例如(生日问题):

某人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？

把n个物品分成k组,使第一组有n

个, 第二组有n

个, …,第k组有n

个,且

n= n

+ n

+…+n

。

则:不同的分组方法有

 公式

!

!

!

!

2

1 n nk

n

n



种。

解:

例5: 某公司生产的15件品中,有12件是正品,3 件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每 箱装5件，设:A={每箱中恰有一件次品},

B={三件次品都在同一箱中}。

求: P(A)和P(B)。

15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有

种等可能的装法。 故, 基本事件总数有

)

! 5

! 5

! 5 /(

! 15

)

! 5

! 5

! 5 /(

!

个。

15

续:

个基本事件。

, )

! 4

! 4

! 4 /(

!

12 种装法

再由乘法原理,可知装箱总方法数有 种。

) /(4!4!4!

3!12!

即A包含

91。 25

! 5

! 5

! 5

! 15

! 4

! 4

! 4

!

! 12 3 )

(A = ÷ =

P

) /(4!4!4!

3!12!

从而，

续:

把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这 样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有

个基本事件。故，

种装法。

)

! 5

! 5

! 2 /(

! 12

由乘法原理，知装箱方法共有 种。

)

! 5

! 5

! 2 /(

! 12 3 ×

即B包含

91。 6

! 5

! 5

! 5

! 15

! 5

! 5

! 2

! 3 12

)

(B = × ÷ =

P

)

! 5

! 5

! 2 /(

! 12 3 ×

当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于 取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑 共有C_n^k种情况。

解:

例6：

求:事件A={所取的n件产品中恰有k件次品}

的概率,k=0,1,2,…,n。

续:

n k

N K N

N C K

N

K N

K C

A P

k n k

k n

n

k n k

k n

, ,

2 , 1 , 0

) (

) (

= 



 



 −



 



= 

= −

−

−

小结

本节首先给出古典概型的定义；然后 讨论了古典概型中事件概率求法：

若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k×(1/n)=k/n；

最后，给出了几个古典概型中求随机事件

概率的应用实例。

第一章第四节

条件概率

在解决许多概率问题时，往往需要求

在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。

一、条件概率

1. 条件概率的概念

通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概 率为P(A|B)。

一般情况下， P(A|B) ≠P(A)

。

第一章第四节 条件概率

P(A)=1/6，

例如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}， P(A|B)=？

已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B。

于是，P(A|B)= 1/3。

B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。

容易看到：

) 。 (

) (

6 3

6 1 3

1

B P

AB

= P

=

= P(A|B)

P(A)=3/10，

又如：10件产品中有7件正品，3件次品;

7件正品中有3件一等品, 4件二等品。现从 这10件中任取一件，记

B={取到正品}，

A={取到一等品}，

P(A|B) 。

) (

) (

10 7

10 3

7 3

B P

AB

= P

=

=

P(A )=3/10，

B={取到正品}，

P(A|B)=3/7。

本例中，计算P(A)时，依 据前提条件是10件产品中一等 品的比例。

A={取到一等品}，

计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件。

这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。

^若事件B已发生,则为使 A也 发生 ,试验结果必须是既在 B 中 又在A中的样本点 , 即此点必属 于AB。由于我们已经知道B已发 生, 故B就变成了新的样本空间 , 于是 就有(1)。

设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 (1)

) (

) ) (

|

( P B

AB B P

A

P =

Ω

B _ABA

2. 条件概率的定义

为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。

3. 条件概率的性质

设B是一事件，且P(B)>0,则

1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;

2.

P(Ω|B)=1；

3. 设A₁,…,A_n ,…互不相容，则

P[(A₁+…+A_n +…)| B] = P(A₁|B)+ …+P(A_n|B)+…

而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。

例如：对任意事件A₁和A₂ ,有

P(A₁∪A₂|B)=P(A₁|B)+P(A₂|B)- (A₁A₂|B)等。

其他性质请同学们自行写出。

2)从加入条件后改变了的情况去算

4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:

) , (

) ) (

|

( P B

AB B P

A

P = P(B)>0。

掷骰子

例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点}，

P(A|B）=

3 1

B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数

在缩减样本空间 中A所含样本点 个数

例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

解法1:

) (

) ) (

|

( P B

AB B P

A

P =

解法2: 。 2

1 6

) 3

|

(A B = =

P

解: 设A={掷出点数之和不小于10}，

B={第一颗掷出6点}。 ^应用定义

在B发生后的 缩减样本空间 中计算

2。 1 36

6

36

3 =

=

例2: 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问 现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的 概率是多少？

解:设A={能活20年以上}, B={能活25年以上}，

依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，

所求为P(B|A) 。

) (

) ) (

|

( P A

AB A P

B

P = 0.5。

8 . 0

4 . 0 )

(

)

( = =

= P A B P

条件概率P(A|B)与P(A)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行

的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小。

P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加

“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，

即P(A|B)仍是概率。

由条件概率的定义：

即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2) ) ,

(

) ) (

|

( P B

AB B P

A

P =

而 P(AB)=P(BA)，

二、 乘法公式

在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。

将A、_{B的位置对调，有}

故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3) 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ，

例3: 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？

甲、乙共生产

1000 个

189个是 标准件

300个

乙厂生产

所求为P(AB) 。

设B={零件是乙厂生产}，

A={是标准件}，

若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”

求的是 P(A|B) 。 B发生, 在P(AB)中作为结 果; 在P(A|B)中作为条件。

甲、乙共生产

1000 个

189个是 标准件

300个

乙厂生产

当P(A₁A₂…A_n-1)>0时，有 P (A₁A₂…A_n）

=P(A₁)P(A₂|A₁) …P(A_n| A₁A₂…A_n-1)。

推广到多个事件的乘法公式:

解:

例 4:

A={第三次才取到正品}。 则:

。 故，

0083 .

98 0 90 99

9 100

10

)

| (

)

| (

) (

) (

) (

,

2 1

3 1

2 1

3 2

1 3

2 1

≈

=

=

=

=

A A

A P

A A

P A

P

A A

A P

A P

A A

A A

解:

例5:

设A_i={第i次取到红球}, i=1,2,3, 则:

)。 (

) (

) (

) (

)

| (

)

| (

) (

) (

) (

,

2 1

3 1

2 1

3 2

1 3 2

1

c r

c b

c r

c r

b

b r

b r

A A

A P

A A

P A

P

A A

A P

B P

A A

A B

+ +

+

⋅ + +

⋅ +

= +

=

=

=

一场精彩的足球赛将要举行, 但5个球迷只 搞到一张球票，但大家都想去。没办法，只好 用抽签的方法来确定球票的归属。

球票

五张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，

其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，

让五个人依次抽取。

先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？

后抽的人比先抽的人吃亏吗？

请回答：

到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场券”的概率到底 有多大?

“大家不必争，你们一个一个按次序来，

谁抽到‘入场券’的机会都一样大。”

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”

我们用A_i表示“第i个人抽到入场券”，

i＝1,2,3,4,5。

显然，P(A₁)=1/5，P( )＝4/5， ^A₁

第1个人抽到入场券的概率是1/5。

也就是说，

Ai

则 表示“第i个人未抽到入场券”，

因为若第2个人抽到 入场券时，第1个人 肯定没抽到。

也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，

),

| (

) (

)

( A₂ P A₁ P A₂ A₁ P =

2 ,

1

2 A A

A = 由于

由乘法公式， 得

计算得： P(A₂)= (4/5)(1/4)= 1/5。

)

| (

)

| (

) (

) (

)

(A₃ P A₁A₂A₃ P A₁ P A₂ A₁ P A₃ A₁A₂

P = =

这就是有关抽签顺序问题的正确解答———

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到。因此，

=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，

继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券”

的概率都是1/5。

抽签不必争先恐后。

全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用。

综合运用

加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B) A、_B互斥

乘法公式

P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0

三、全概率公式和贝叶斯公式

例6: 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率。

解：记 A_i={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}。

即 B= A₁B+A₂B+A₃B，

且 A₁B、_A2B、_{A3B两两互斥。}

B发生总是伴随着A₁，_A2，_{A3 之一同时发生，}

P(B)=P( A₁B)+P(A₂B)+P(A₃B)

运用加法公式得

1 2 3

将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式。

对求和中的每一项 运用乘法公式得

P(B)=P( A₁B)+P(A₂B)+P(A₃B)

, ) (

) (

3

∑

=

=

i

i

i P B A

A

P ｜

代入数据计算得：P(B)=8/15。

设 A₁,A₂,…,A_n是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(A_i)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总是与 A₁, A₂, … ,A_n之一同时发生，则

∑

= ⁿ

i

i

i P B A

A P

B P

1

) (

) (

)

( ｜

全概率公式:

设S为随机试验的样本空间，A₁,A₂,…,A_n是 两两互斥的事件，且有P(A_i)>0，i =1,2,…,n,

。

∑

=

= ⁿ

i

i

i P B A

A P

B P

1

) (

) (

) (

称满足上述条件的A₁,A₂,…,A_n为完备事件组。

,

1

Ω

=



Ai 则对任一事件B，有

在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：

在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但 总可以适当地构造一组两两互斥的A_{i ，}使B 伴随着某个A_i的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有 之和计算P(B)。

∑

= ⁿ

i

i

i P B A

A P

B P

1

) (

) (

)

( ｜

由上式不难看出:

“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率 之和。

它的理论和实用意义在于:

) ( BA P _i

) ( BA P _i

) ( BA P _i

某一事件B的发生有各种可能的原因Aⁱ (i=1,2,…,n)，如果B是由原因A_i所引起，则 B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。

P(BA_i)=P(A_i)P(B |A_i)

全概率公式。

我们还可以从另一个角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成是

“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关。全概 率公式表达了因果之间的关系 。

A₁

A₂

A₃

A₄

A₅

A₆ A₇ A₈

B

诸A_i是原因 B是结果

例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三 人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一 人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落 的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。

设B={飞机被击落}，

A_i={飞机被i人击中}, i=1,2,3。

由全概率公式， 得

P(B)=P(A₁)P(B |A₁)+P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B |A₃)

则 B=A₁B+A₂B+A₃B， 解:

依题意，

P(B|A₁)=0.2, P(B|A₂)=0.6, P(B|A₃)=1。

为求P(A_i ) ,设 H_i={飞机被第i人击中}, i=1,2,3

可求得

), (

)

(A₁ P H₁H ₂ H ₃ H₁H ₂ H ₃ H₁H ₂ H ₃

P = + +

), (

)

(A₂ P H₁H ₂ H ₃ H₁H ₂ H₃ H₁H ₂ H ₃

P = + +

。 ) (

)

( A₃ P H₁H ₂ H ₃

P =

本例需要用到事件的独立性 将数据代入计算，得

P(A₁)=0.36; P(A₂)=0.41; P(A₃)=0.14。