4.1 資料來源與處理
本文資料數據摘取自 datastream 資料庫，美國紐約商業交易所(NYMEX)天 然氣(NG)現貨價格。資料型態為日資料，研究期間為 2004年 4月 6日至 2007 年 4月 5日。進行實証研究時，遇到假日或當日沒有交易則將當日資料刪除，資 料筆數總計為 783筆日變幅及價格觀測值，天然氣價格走勢如圖 2所示。
圖 2 NYMEX 天然氣價格走勢圖
本文於實證上將 NYMEX 天然氣價格日資料轉換為報酬率形式定義如下:
1
log
t t
t P
R P (25)
天然氣日報酬率如圖 2所示:
圖 3天然氣報酬率走勢圖 4.2 基本統計量與相關檢定
在模型估計前，必須檢查所觀測時間序列資料是否呈現定態才能進行計量模 型之分析。因此本文利用 Augmented Dickey-Fuller(ADF)對報酬率進行單根檢 定，迴歸方程式如下表示，檢定結果如表 1。
(1)不含截距項與時間趨勢
t t
t y
y
1
(2)含截距項
(3)含截距項及趨勢項
t t
t a y bt
y
0 1
表 1 NYMEX 天然氣報酬率單根檢定
ADF 單根檢定 T statistic Critical value (1%) Critical value (5%)
Intercept -28.1327*** -3.438497 -2.865026
Trend and intercept -28.11738*** -3.969845 -3.41558
None -28.14834*** -2.567926 -1.941229
***表顯著拒絕水準達 1%
判定資料為定態序列後計算其日價格及日報酬率基本統計特性如表 2: 表 2:NYMEX 天然氣基本統計特性
平均值 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值 LBQ(20) JB
價格 7.5164 2.0956 1.7456 5.5678 5.378 4.012 12601*** 608.91***
報酬率 0.000348 0.03594 0.9233 7.9149 0.2495 -0.1083 27.8981** 891.34***
註: 1.***表顯著拒絕水準達 1%
2.**表顯著拒絕水準達 5%
3.LBQ 表 Ljung-Box Q-statistic 4.JB 表 Jarque-Bera 常態性檢定
由表二可發現 NYMEX 天然氣之日報酬率偏態係數異於零，且峰態係數大 於 3，呈現厚尾(heavy tail)特性。接著進行 Jarque-Bera 檢定是否資料呈現常態分 配，其檢定過程如下:
0 :
H 報酬為常態分配
1:
H 報酬不為常態分配
檢定統計量為 ( 3) (26) 4
1
. 6 2
T S K B
J
)
經過 Jarque-Bera 常態分配檢定後發現 NYMEX 天然氣價格與日報酬率之檢 定統計量顯著拒絕水準達 1%，表有足夠證據顯示 NYMEX 天然氣價格與日報酬 率不滿足常態分配假設。
本研究在 NYMEX 天然氣日報酬率將以落後期數(P=1,Q=1)模型進行，在估 計模型參數前必須先檢定 NYMEX 天然氣日報酬率模型配適所產生的殘差項是
本研究利用 Matlab 軟體以最大概似估計法對波動度模型進行參數估計，結 果如下所示。
表 3GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、CARR 模型參數估計(N=500)
GARCH EGARCH GJR-GARCH CARR
Ｃ 0.00090066 0.0011405 0.00094859 (0.0013765) (0.001331) (0.0013836)
Ｋ 1.0289e-005** -0.0704** 1.3152e005** 0.00193**
(7.1998e-006) (0.04526) (6.767e-006) (0.00107) G1 0.92491*** 0.9844*** 0.92685*** 0.56262***
(0.014508) (0.00657) (0.01518) (0.10622) A1 0.067926*** 0.13959*** 0.075991*** 0.39494***
(0.011544)*** (0.024109) (0.01271) (0.07946)
L1 0.027365* -0.23722***
(0.018507) (0.022417)
***表顯著拒絕水準達 1% **表顯著拒絕水準達 5%*表顯著拒絕水準達 10%
利用移動視窗的概念，每一次的預測都踢除第一筆資料並加入新的一筆資 料，重新對模型進行估計並對未來一天的風險值進行估計。
圖 4為窗口樣本數 N=500，顯著水準α=0.05時，各模型估計風險值與實際 報酬走勢圖。
歷史模擬法 VaR GARCH 模型 VaR
EGARCH 模型 VaR GJR-GARCH 模型 VaR
CARR 模型 VaR
圖 4N=500，α=0.05，模形估計之 VaR
各模型穿透圖形如下所示：
EGARCH 模型穿透圖 GJR-GARCH 模型穿透圖
CARR 模型穿透圖
圖 5N=500，α=0.05，模型穿透圖
歷史模擬法 VaR GARCH 模型 VaR
EGARCH 模型 VaR GJR 模型 VaR
CARR 模型 VaR
圖 6 N=250，α=0.05，模形估計之 VaR
EGARCH模型穿透圖 GJR模型穿透圖
CARR模型穿透圖
圖 7N=250，α=0.05，模型穿透圖
本研究同時試著將誤差項設定為 t 分配下，對模型參數進行估計並計算風險 值，結果整理如下。
表 4視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.05，共估計 282天
模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.0744 8 0.0285 -0.0814 3.9252 0.4707* 4.3959*
Normal -0.0650 16 0.0567 -0.0745 0.2588* 1.9326* 2.1914*
GARCH
t -0.0680 13 0.0460 -0.0781 0.0926* 1.2617* 1.3543*
Normal -0.0628 15 0.0532 -0.0756 0.0593* 1.6926* 1.7519*
EGARCH
t -0.0673 11 0.0390 -0.0813 0.7736* 0.8962* 1.6698*
Normal -0.0634 16 0.0567 -0.0745 0.2588* 1.9326* 2.1914*
GJR
t -0.0676 13 0.0460 -0.0781 0.0926* 1.2617* 1.3543*
Normal -0.0571 15 0.0532 -0.0763 0.0593* 1.6926* 1.7519*
CARR
t -0.0590 15 0.0532 -0.0763 0.0593* 1.6926* 1.7519*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
表 5視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 282天
模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.0874 5 0.0177 -0.0762 8.0716 0.1819* 8.2535*
Normal -0.0655 16 0.0567 -0.0733 0.2588* 2.9663* 3.2251*
GARCH
t -0.0672 12 0.0426 -0.0820 0.3460* 1.0706* 1.4166*
Normal -0.0613 15 0.0532 -0.0753 0.0593* 1.6512* 1.7105*
EGARCH
t -0.0688 10 0.0355 -0.0757 1.3906* 0.7382* 2.1288*
Normal -0.0639 16 0.0567 -0.0748 0.2588* 2.9663* 3.2251*
GJR
t -0.0680 10 0.0355 -0.0832 1.3906* 0.7382* 2.1288*
Normal -0.0597 17 0.0603 -0.0695 0.5901* 0.8417* 1.4318*
CARR
t -0.0614 13 0.0461 -0.0735 0.0926* 1.2617* 1.3543*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
表 4為視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.05下，各模型所估計之風險值，歷 史模擬法穿透次數上最偏離顯著水準，因此我們推測使用過多的樣本數可能使得 資訊無法及時反應，在常態分配的假設下各模型皆通過 Christoffersen (1998)概 似比檢定，顯示出各模型所估計之風險值與實際報酬的穿透率滿足顯著水準的假
的 RMSE 值最小，代表其最為貼近實際報酬率。而我們同時考慮在 t 分配假設下 風險值模型的表現，結果發現，由於 t 分配的厚尾特性，使得各模型之穿透率明 顯下降，相較於常態分配時的假設，模型穿透率都比顯著水準還低，顯示出較為 低估的風險值，且各模型間的 RMSE 值也較常態分配為高，表示其所估計的風 險值較為偏離實際報酬率。在α=0.01時，歷史模擬法甚至沒有發生任何穿透次 數，顯示出模型合適性相當差，而 CARR 模型在顯著水準低時發生過多的穿透 次數導致其無法通過 LR 檢定，整體表現以 EGARCH 模型最好。若顯著水準越 低，代表風險管理者的風險趨避程度越高，理論上所估計的風險值也會越小，其
RMSE 值也相對越大。表 5為視窗樣本 N=250時，模型估計的結果，由表 4與
表 5可發現，兩種不同視窗長度的估計結果除了歷史模擬法外，其他模型皆能順 利通過 LR統計檢定。表 6和表 7為顯著水準α=0.01下估計結果，歷史模擬法 在沒有發生任何穿透事件，而 CARR模型則發生過多的穿透使得未通過 LR檢定，
其他模型皆順利通過統計檢定。
表 6視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.01，共估計 282天
模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.1281 0 0 0 x x x
Normal -0.0924 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5569*
GARCH
t -0.0959 3 0.0106 -0.1005 0.0113* 0.0648* 0.0761*
Normal -0.0894 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5569*
EGARCH
t -0.0949 2 0.0071 -0.1004 0.2681* 0.0286* 0.2967*
Normal -0.0900 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5856*
GJR
t -0.0952 3 0.0106 -0.1005 0.0113* 0.0648* 0.5569*
Normal -0.0813 7 0.0248 -0.0832 4.4313 0.3577* 4.7890*
CARR
t -0.0831 7 0.0248 -0.0832 4.4313 0.3577* 4.7890*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數
4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
表 7視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 282天
分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.1539 0 0 0 x x x
Normal -0.0923 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763*
GARCH
t -0.0941 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763*
Normal -0.0862 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763*
EGARCH
t -0.0964 1 0.0035 -0.1078 1.5784* 0.0041* 1.5825*
Normal -0.0899 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763*
GJR
t -0.0953 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763*
Normal -0.0842 4 0.0142 -0.0953 0.4415* 0.1155* 0.5570*
CARR
t -0.0858 4 0.0142 -0.0953 0.4415* 0.1155* 0.5570*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
表 8視窗樣本 N=500之 RMSE 值
顯著水準α 0.05 0.01
分配 Normal t Normal t
HS 0.0848 0.0848 0.1319 0.1319
GARCH 0.0787 0.0810 0.1040 0.1068
EGARCH 0.0761 0.0798 0.1002 0.1052
GJR-GARCH 0.0770 0.0807 0.1013 0.1063
CARR 0.0717 0.0732 0.0933 0.0950
表 9視窗樣本 N=250之 RMSE 值
顯著水準α 0.05 0.01
分配 Normal t Normal t
HS 0.0979 0.0979 0.1649 0.1649
GARCH 0.0788 0.0795 0.1033 0.1038
EGARCH 0.0746 0.0807 0.0969 0.1059
GJR-GARCH 0.0768 0.0719 0.1001 0.1062
CARR 0.0690 0.0745 0.0904 0.0965
註 HS 為歷史模擬法
表 8和表 9為不同樣本下的 RMSE值，比較兩種不同視窗長度下的 RMSE 值，
我們發現在各種波動度模型中，小樣本時的 RMSE 值無論在何種分配的假設下，
普遍比大樣本來的低，利用大樣本估計並沒有顯著的優勢，而 CARR模型在兩種 樣本估計下都有最小的 RMSE值，若模型通過統計檢定且具有較小的 RMSE值，則 我們可以認定模型同時具有正確預測風險值和資金使用效率兩種優勢。
表 10視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 532天
模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.0680 27 0.0501 -0.0591 0.0079* 3.8615 3.8694*
Normal -0.0588 26 0.0489 -0.0715 0.0143* 0.3973* 0.4116*
GARCH
t -0.0613 20 0.0376 -0.0780 1.8787* 0.0797* 1.9584*
Normal -0.0560 23 0.0432 -0.0729 0.5364* 2.0834* 2.6198*
EGARCH
t -0.0684 17 0.0319 -0.0757 4.1595 1.1247* 5.2842*
Normal -0.0574 28 0.0526 -0.0705 0.0763* 0.1883* 0.2646*
GJR
t -0.0612 19 0.0357 -0.0777 2.5278* 0.1429* 2.6707*
Normal -0.0563 31 0.0583 -0.0695 0.7291* 0.4790* 1.2081*
CARR
t -0.0581 26 0.0488 -0.0735 0.0143* 0.0669* 0.0812*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數
4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
表 11視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 532天
分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.1214 6 0.0113 -0.0757 0.0869* 3.8257* 3.9126*
Normal -0.0833 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214*
GARCH
t -0.0861 6 0.0113 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214*
Normal -0.0792 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214*
EGARCH
t -0.0961 3 0.0056 -0.0899 1.2130* 0.0341* 1.2471*
Normal -0.0812 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214*
GJR
t -0.0859 6 0.0113 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214*
Normal -0.0798 9 0.0169 -0.0886 2.1293* 0.3104* 2.4397*
CARR
t -0.0816 9 0.0169 -0.0916 2.1293* 0.3086* 2.4379*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法
接著在 N=250時，我們將估計天數拉長為 532天，由表 10可發現歷史模擬 法的穿透率最為接近顯著水準值，當樣本數由 500降為 250使得歷史模擬法估計 正確性提升，顯示出此模型可能較適用於樣本數資料量較少時的情況，而由於穿 透有連續發生的情況，歷史模擬法無法通過 Christoffersen (1998)獨立性檢定，
其他模型在常態分配假設下皆通過 LR 檢定，我們由表 12比較各模型 RMSE值後 發現以 EGARCH 模型表現最好。
表 12視窗樣本 N=250之 RMSE 值
顯著水準α 0.05 0.01
分配 Normal t Normal t
HS 0.0815 0.0815 0.1380 0.1380
GARCH 0.0711 0.0715 0.0936 0.0952
EGARCH 0.0682 0.0693 0.0892 0.0908
GJR-GARCH 0.0694 0.0719 0.0911 0.0960
CARR 0.0690 0.0701 0.0904 0.0919
註 HS 為歷史模擬法
在 2005年美國天然氣價格由於颶風侵襲墨西哥灣地區影響，造成價格大幅 上揚，我們嘗試利用風險值模型特別針對 2005年 6月到 2006年 6月共一年期間 進行風險值估計。看看這價格變化劇烈的期間，風險值模型是否仍能具有良好的 表現。結果如表 13所示:
表 13 N=250樣本期間 2005/6 ~ 2006/6
模型 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc
HS -0.0600 21 0.07447 -0.0553 3.8623 4.1681 8.0304
GARCH -0.0554 12 0.0425 -0.0661 0.3460* 2.8333* 3.1793*
EGARCH -0.0536 11 0.0390 -0.0687 0.7736* 0.8962* 1.6698*
GJR -0.0539 14 0.0496 -0.0662 0.3325* 1.8790* 2.2115*
CARR -0.0540 15 0.0532 -0.0601 0.3218* 2.0561* 2.3779*
註 1.*表通過統計檢定
2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值
6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法