天然氣價格風險值衡量

國 立 交 通 大 學

財 務 金 融 研 究 所

碩 士 論 文

天然氣價格風險值衡量

Estimating Value-at-Risk of Natural Gas Price

研 究 生:許博涵

指導教授:鍾惠民 博士

天然氣價格風險值衡量

Estimating Value-at-Risk of Natural Gas Price

研 究 生:

許博涵

Student: Po-Han Hsu

指導教授:

鍾惠民

Advisor: Huimin Chung

國立交通大學

財務金融研究所

碩士論文

A Thesis

Submitted to Graduate Institute of Finance College of Management

National Chiao Tung University In partial Fulfillment of Requirements

For the Degree of Master

Of

Science in Finance

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

天然氣價格風險值衡量

研究生：許博涵

指導教授：鍾惠民

國立交通大學財務金融研究所

摘要

本文使用歷史模擬法、GARCH、EGARCH、GJR-GARCH 與 CARR 模型針 對紐約商業交易所(New York Mercantile Exchange,NYMEX)天然氣商品(Natural Gas,NG)為研究對象，在誤差項分別假設為常態分配與 t 分配下計算其風險值，

本文嘗試比較不同窗口長度和顯著水準下之模型特性；在模型評估方面，本文利 用回朔測試，計算失敗次數、失敗比率，並以 Christoffersen (1998)發展之

Likelihood Ratio test 分別檢定未受條件限制下與受條件限制下之檢定統計量，衡

量各模型績效。經過實証分析後發現，誤差項設定以常態分配較能準確評估天然 氣期貨資產特性，失敗比率上五種模型都有不錯的表現，隨著顯著水準的降低， 模型將趨於穩定，在 LR test 中以 CARR 與 EGARCH 模型表現較佳。

Estimating Value-at-Risk of Natural Gas Price

Student: Po-Han Hsu

Advisor: Huimin Chung

Institute of Finance

National Chiao Tung University

Abstract

This paper use historical simulation approach, GARCH model, EGARCH model, GJR-GARCH model and CARR model, under different error term distribution hypothesis to estimate the Value at Risk of NYMEX Natural Gas price.

We use different number of days and significant level to test our model and observe their performance. To value our model, we use back test, calculate failure frequency, failure ratio, and use Christoffersen’s Likelihood Ratio Test to test unconditional and conditional test statistic. According to our analysis, error term should be suppose to normal distribution, that can fit the NYMEX Natural Gas property. The model have good performance in failure ratio, as the significant level goes down, the model will be more stable, CARR and EGARCH model have better performance in LR Test.

致 謝

兩年的研究生涯很快就畫上句點，學習過程中充滿了種種歡笑跟失落，一切 的一切會是我生命中最寶貴跟美好的回憶。 此篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授鍾惠民老師，不論在課業上，論 文上，生活上，老師都會適時的關心我們並給予鼓勵，讓我在生活與學習上獲得 很多啟發。也感謝林建榮老師，林淑惠老師，許英麟老師在口試過程中所給我的 建議跟指導，使這篇論文更加完善。 一路走來，很開心能認識交大財金所的各位夥伴，課業上、生活上有了你們 更是多彩多姿，希望在未來能夠繼續跟大家攜手並進。 最後要感謝我的家人，總是默默的在背後關心我、支持我、鼓勵我，讓我能 無後顧之憂的專心於課業，謹將這篇論文獻給我最愛的父母。 許博涵 謹誌於 國立交通大學財務金融研究所 中華民國九十六年六月

目錄

第壹章、緒論………1

1.1 研究動機………1 1.2 研究目的………1 1.3 研究架構………2

第貳章、文獻回顧………3

2.1 風險值定義………3 2.2 風險值估計方法………3 2.3 模型檢定………6

第参章、研究方法………7

3.1 風險值計算………7 3.2 風險值模型………8 3.2.1 歷史模擬法………8 3.2.2 GARCH Model ………9 3.2.3 GJR-GARCH Model ………11 3.2.4 EGARCH Model ………12 3.2.5 CARR Model ………13 3.3 風險值模型檢定 ………14 3.3.1 回朔測試 ………14 3.3.2 失敗比率 ………15 3.3.3 概似比率法 ………15 3.3.4 RMSE ………17

第肆章、實證分析 ………1

9

4.1 資料來源與處理………19 4.2 基本統計量與相關檢定………20 4.3 風險值估計………22

第伍章、結論………3

4

參考文獻 ………3

5

附錄一 天然氣價格直方圖………3

7

附錄二

N=500，t-distribution，P&L 和風險值走勢圖………3

8

附錄三

N=250，t-distribution，P&L 和風險值走勢圖………4

0

附錄四

N=500，Normal distribution，風險值穿透圖………4

2

附錄五 N=500，波動度圖形預測圖………43

附錄六 N=500，t-distribution 參數估計………45

圖目錄

圖 1風險值圖形…………..………3 圖 2 NYMEX 天然氣價格走勢圖………...19 圖 3 NYMEX 天然氣報酬率走勢圖...20 圖 4 N=500，α=0.05，模形估計之 VaR………..……24 圖 5 N=500，α=0.05，模型穿透圖……….…25 圖 6 N=250，α=0.05，模形估計之 VaR………..…26 圖 7 N=250，α=0.05，模型穿透 ……… 27

表目錄

表 1 NYMEX 天然氣報酬率單根檢定………...21 表 2 NYMEX 天然氣基本統計特性………..21 表 3 GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、CARR 模型參數估計(N=500)………23 表 4 視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.05，共估計 282 天………27 表 5 視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 282 天………28 表 6 視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.01，共估計 282 天………29 表 7 視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 282 天………30 表 8視窗樣本 N=500之 RMSE………30 表 9視窗樣本 N=250之 RMSE ………31 表 10 視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 532 天………31 表 11 視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 532 天………32 表 12視窗樣本 N=250之 RMSE ………33 表 13N=250樣本期間 2005/6 ~2006/6………33

第壹章、緒論

1.1 研究動機 近年來能源需求不斷升高，而產油國如中東的政治情勢紛擾加上天然災害如 美國的颶風侵襲，都造成能源類商品價格節節攀升，面對國際價格大幅波動，國 內本土的石化、運輸等產業也都十分敏感，中國石油公司並打破先例在今年決定 採用浮動油價的方式每週調整油價將價格風險轉嫁給大眾消費者。 風險管理人員面對這種高度波動的能源商品處理要非常謹慎，而眾多風險管 理理論模型中，風險值(Value at Risk)模型能清楚的提供風險管理者在某特定期 間跟顯著水準下，資產的可能損失程度。在風險值的計算中，資產的波動性則扮 演著非常重要的腳色，因此我們將考慮多種波動性模型與傳統方法做比較，探討 何者才是適合能源性資產的風險值模型。因此本文將以能源類商品中天然氣價格 為研究標的，使用風險值模型搭配多種波動度模型以衡量其風險值。 1.2 研究目的

本研究目的是針對紐約商業交易所(NYMEX)的天然氣(Natural Gas)現貨價 格為研究對象，採用歷史模擬法，GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、CARR 模型，由於金融資產的厚尾(heavy tail)特性，我們比較在誤差項設定為 t 分配時

是否較常態分配為佳?在波動性模型中除了 GARCH族外，另外加入了以變幅為考

量的 CARR 模型，看看是否在風險值的衡量上一樣有較 GARCH 精確的結果， 並考量在不同視窗長度下計算天然氣價格變動報酬率之風險值，最後藉由失敗穿 透次數、失敗穿透率、概似比率檢定(Likelihood Ratio Test, LR Test)、均方誤差

是否滿足特定顯著水準α，找出適合天然氣價格的風險值模型。 1.3 研究架構 本研究架構共分為五章:第壹章為緒論，說明研究動機，研究目的及研究架 構；第貳章為文獻回顧，介紹風險值模型，國內外相關風險值模型文獻的探討； 第参章為研究方法，定義風險值的計算方式和本研究的五種模型評估方法，模型 績效的衡量指標；第肆章為實證研究，說明實證步驟和五種模型的實證結果比 較；第伍章為結論。

第貳章、文獻回顧

2.1 風險值定義 風險值將所有金融資產組合所面對的各種風險，簡化為單一數值呈現，針對 以下敘述(Hull&White,1998):”未來的 N天裡，我們有(1-α)%信心相信公司的 損失將不會超過 X元。”變數 X代表此投資組合之風險值，參數為時間區間 N， 和顯著水準α。通常銀行的主管機關要求 N=10，α=0.01，即主管機構要求銀行 只有 1%的機會在未來 10天裡損失超過風險值，且銀行所提列的準備金至少是風 險值的 3倍，理論上，風險值有兩個參數值，N，表未來時間長度；α，表信賴 水準，通常 N=1而α=0.05或α=0.01，若要記算 N 天期風險值，則我們將 1天 期風險值乘以 N 。若r 表資產在未來 N天的損失金額，在顯著水準α下的 V_N aR 可表示為 P(rN VaR) 圖 1風險值圖形 2.2 風險值估計方法 一般常用的風險值估計方法有兩種，歷史模擬法(Historical Simulation

approach)、變異數-共變異數法(Variance-Covariance approach)。

一.歷史模擬法(Historical Simulation approach)

史資料反應，若考慮一個由 n 種資產所構成之投資組合，t時點的報酬率可 表示為 1



  n i i t i p t WR R p t R 表投資組合 p在第 t期的報酬率，W 表資產 i 所佔投資組合權重，_i i t R 表第 t期時資產 i 的報酬率。在計算風險值時，先將個別資產酬率算出， 並計算樣本期間每一時點 t 之投資組合報酬率，將投資組合報酬率由小而大排序 獲得投資組合的機率分配，找出所對應的顯著水準α百分位數，乘以期初投資即 可獲得估計風險值。歷史模擬法的優點是計算簡單，可由觀察資料直接計算，由 於不需考慮母體分配的假設，可減少模型假設錯誤的風險，歷史模擬法的缺點在 於當樣本數偏低或資料量不足時，由於小樣本下極端事件數量較少，或當市場發 生結構轉變現象，所估計的風險值可能無法充分反應未來情況，因此主觀視窗長 度的選取會有不同的影響。 二.變異數-共變異數法(Variance-Covariance approach) 變異數-共變異數法假設資產的報酬率為常態分配，線性組合的投資組合也 服從常態分配，重點在於變異數和共變異數的估計，因此我們可以透過個別資產 報酬率的平均數和標準差，計算各別資產間共變異數搭配各資產權重進而計算出 投資組合變異數，最後將所計算的投資組合標準差乘上常態分配下給定顯著水準 α所對應Z 值，即求得風險值。_ 若有 n 種資產，個別權重為W ，個別資產報酬率_i r ，i ri ~ N(i,i)， ij j i r r, ) cov( ，投資組合報酬率和變異數為:

2 1 1 2 2 2 1







       n i j i ij j i n i i i p n i i i p W W W W      則在顯著水準α下，風險值可表示為： VaR=p pZ_ 三.GARCH 系列模型 當我們使用變異數共變異數法估計風險值時，資產報酬的變異數和共變異數 是我們估計的重點，而財務時間序列資料往往具有條件變異數不齊一等現象，指 的是條件變異數會隨時間變化而改變，Engle (1982)提出自我回歸條件異質變異

模型(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, ARCH)處理了條件變異數不

齊一的問題。Bollerslev (1986)發展的一般化自我迴歸條件異質變異數模型

(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, GARCH)則為一般化

ARCH 模型，ARCH 模型將 MA (moving average) 模型概念用在估計條件變異數

之上，而 GARCH 模型則同時將 AR (autoregressive) 和 MA 觀念應用於估計條件 變異數之中。Alexander & Leigh (1997)以均等加權移動平均法、指數加權移動平 均法和 GARCH 模型估計風險值，結果發現 GARCH 模型表現較佳。Goorbergh &

Vlaar (1999)以歷史模擬法、變異數-共變異數法、等 GARCH 系列模型估計荷蘭

道瓊工業指數之風險值，結果發現以考慮條件變異數不齊一的 GARCH 族模型表 現較佳。

而時間序列模型中，對於資產波動性的估計除了 GARCH 模型外，還有利用

波動性的衡量方法，使用變幅來預測股價的波動性，會比只有使用收盤價資訊來 進行波動性預測的表現為佳，Chou (2002)也將變幅概念融合 GARCH 模型提出 自我迴歸條件變幅（Conditional Autoregressive Range, CARR）， 同時 Chou (2002) 並利用 S&P500股價指數資料發現 CARR 模型比 GARCH 模型更能獲得較為精 確的波動性估計值。 由上述研究結果發現，當標的資產具有厚尾、波動群聚等條件變異數不齊一 現象時，以 GARCH 相關模型衡量確實有提升估計風險值之精確性，而 CARR 模型在波動性的估計上較 GARCH 模型準確，是否代表其在風險值的估計也將有 更好的結果呢?因此本文將以歷史模擬法、GARCH、EGARCH、GJR-GARCH 與 CARR 模型在不同窗口長度和顯著水準下，分別假設誤差項為常態分配與 t 分配，計算 NYMEX 天然氣價格之風險值。 2.3 風險值模型檢定 在風險值模型的檢定上，Hendricks(1996)認為不同的風險值模型所做的估 計會有所差異， Kupiec (1995)提出概似比檢定(Likelihood Ratio

Test, LR test)，檢定模型所估計之風險值與實際報酬率之穿透比率是否與顯著水 準相同。Christoffersen (1998)提出 3個 LR檢定統計量分別檢定未受條件限制下、 獨立性與受條件限制下之模型風險估計值效率。Jorion (2000)提出回朔測試 (back test)，比較一段時間內，模型所估計之風險值與真實報酬率之穿透次數， 計算穿透比率是否與顯著水準一致。 本研究將採用回朔測試，並結合 Christoffersen (1998)提出 3個 LR 檢定統 計量比較各模型估計之精確性。

第参章 研究方法

3.1 風險值計算 Jorion (2000)提出所謂風險值為『在特定信賴水準 100(1-α)%下，衡量某 一特定時間 t 內，因市場變動所造成未來可能發生的最大損失金額』 以數學式說明風險值如下: 若假設報酬服從常態分配 ) 1 , 0 ( ~ ND t t R      

(1)







               Z R W dZ ) Z ( dR ) R ( dW ) W ( 1 f f

(2)

) ( * 0 t Z t W Risk at Value    _   

(3)

* R

：

該投資組合之報酬率 ) (R E   ：該投資組合之預期報酬率 t  ：持有期間長度 0 W ：投資組合之期初價值  Z :常態分配下顯著水準α所對應 Z 統計量 由風險值的定義可發現，除了顯著水準α和時間長度 t 外，最重要的兩個 參數σ和期望報酬μ則是我們所關心的，本研究在條件期望值 的估計上，使_t 用以下的均數方程式:

t t t t t z C y 2       t z 來自相同分配且互相獨立，本研究假設服從常態及 t分配。 在條件波動性 的估計上，則考慮 GARCH、EGARCH、GJR-GARCH 和t CARR 模型，分別估計風險值。 3.2 風險值模型 3.2.1歷史模擬法 歷史模擬法為利用過去歷史價格資料的變動來預測未來價格變動的機率分 配，由於不需要任何統計分配的假設，屬於無母數方法之ㄧ。我們假設未來價格 變動的機率分配會跟樣本內資料的價格變動相同，除了可避免估計參數的模型風 險外，對於線性和其他非線性投資組合(ex.選擇權商品投資組合)等計算較為簡 單。惟資料量不足時，投資組合報酬真正分配可能會有所偏誤，樣本內主觀資料 數(N)的選擇也有所影響，若資料數太少，則所估計之 VaR 不準確，若資料量太 多，可能無法反映當時市場狀況。本研究將採用 N=250和 N=500兩種窗口長度 以移動視窗法對未來價格變動作估計，過程如下: 當 N=250時，我們選取前 251筆資料S₁,S₂...Sn_1，估算每日價格變動 1 1     S_i S_i S_i ，共得 n 筆價格變動資料S₁,S₂,...S_n，若將本期價格S 加上變₀ 動價格S_i共可得出 250筆下一期資料:

250 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 ) 250 ( . . ) ( . . ) 2 ( ) 1 ( S S S S S i S S S S S S S i             將上述資料予以排序，給定顯著水準α後，找出相對應的百分位數左尾臨界 值即為此投資組合之風險值。在 N=200，α=0.01的情況下，排序後價格資料預 期會有 2筆超出 VaR 值，歷史模擬法下所估計的 VaR 值會落在第 3筆資料上。 最後將S₁剔除，加入S ，計算下一期的 VaR 估計值，並依此步驟以一天的₀ 移動視窗重複計算至最後一期的 VaR。歷史模擬法計算簡單且可避免模型設定風 險，在使用歷史模擬法時需考慮樣本期間內資料量是否夠足以涵蓋未來價格變化 特徵，本研究將使用 N=500和 N=250兩種視窗長度進行風險值估計。 3.2.2GARCH(P,Q) 過去的許多研究文獻上，對於有關經濟和財務的時間序列資料都有厚尾相較 於常態分配和波動群聚等現象，這跟一般樣本報酬假設為常態分配和報酬間獨立 的關係有所不同，實務上也發現股價指數本身的波動性會受前期波動所影響， Bollerslev (1986)發展一般化自我迴歸條件異質變異數模型，其為 ARCH 的一般

式，GARCH 是將 AR (autoregressive)和 MA (moving average)的觀念用在估計條 件變異數之中，GARCH(P,Q)數學式表示如下:

(5) ) 1 , 0 ( ~ 1 2 1 2 2 2





          Q i i t i P i i t i t t t t t t t A G k N z z C y       : Gi GARCH effect : j A ARCH effect 參數的限制式為: Q 1,2..., j , 0 A P 1,2..., i , 0 G 0 k (6) 1 A G j P 1 i Q 1 j j i       





  i 限制式Gi 0, Aj 0確保 2 t  恆正。 GARCH(P,Q)模型的非條件變異數 表示如下:2 (7) 1 1 1 2





     _P i Q j j i A G k  條件變異數 2 t  的下一期預測值 2 1 ˆ_t  表示如下: (8) ˆ_t2₁ k G₁_t2 A₁_t2  _   

2

ˆ

 並計算下一期所估計之風險值，利用移動視窗的概念，每做完一次預測即剔

除第一筆資料，加入新的一筆資料，繼續預測下一期風險值。

3.2.3GJR(P,Q)

Glosten, Jagannathan 和 Runkle (1993)對 GARCH 模型提出修正，其特點為

市場消息衝擊下，可描述正向及負向的報酬對於條件變異數的影響之不對稱效 果，模型如下: (9) 1 2 1 1 2 2 2







            P i j t Q j j t j Q j j t j i t i t k G A L S   Where effect asymmetry : L effect ARCH : A effect GARCH : G otherwise 0 0 1 j i i j -t         j t S 參數限制式如下: 1,2...Q j 0 L A 1,2...Q j 0 A 1,2...P i 0 0 (10) 1 2 1 j j j 1 1 1           







   i P i Q j j Q j j i G k L A G 若L >_j 0，表示存在不對稱性。 GJR-GARCH(P,Q)模型的非條件變異數表示如下:

(11) 2 1 1 1 1 1 2







       _Q j j Q j j P i i A L G k  條件變異數 2 t  的下一期預測值 2 1 ˆ_t  表示如下: (12) ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1     t  t  t t t k G A  L S  3.2.4EGARCH(P,Q)

Nelson (1991)提出含不對稱效果之模型稱為 Exponential GARCH

(EGARCH)，他認為一般 GARCH 模型有以下缺失需要改進: 1.無法說明現在的報酬率與未來報酬的波動度呈現負相關(leverage effect)。 2.無法解釋前期的衝擊對當期條件變異數的影響。 3.條件變異數的參數限制式中，必須恆為正數的假設破壞了條件變異數的動態 過程。 其數學模型表示如下:







                                Q 1 j t-j j -t j P 1 Q 1 t-j j -t j -t j -t 2 2 L E -A og G og         i j j i t i t k l l (13) Where

 

2 t s Student' 2 -Gaussian 2 E Z E j -t j -t j -t                        這各過程的共變異數穩定條件為：



  P i i G 1 1 EGARCH(P,Q)模型的非條件變異數表示如下: (14) ) 1 exp( 1 2



   _p i i G k  條件變異數 2 t  的下一期預測值 2 1 ˆ_t  表示如下： ) 2 ( L ) g( (15) )] ( exp[ ] ) 1 exp[( ˆ 1 1 1 -t 1 -t 1 2 2 1 1                  t t G t t L g k G 3.2.5CARR(P,Q) GARCH 模型的優點在於改善了變異數隨時間而變動的方式，而 Parkinson (1980)則認為變幅是波動性的有效估計值，Chou (2002)考量 GARCH 模型的優 勢結合變幅(range)的特性提出 CARR 模型。相較於 GARCH 模型是以報酬平方

衡量波動性，CARR 模型則利用變幅為變數，變幅為特定區間內，資產價格的最 高價與最低價差，本研究將時間區間設定為一天，因此我們採用交易當天的最高 價與最低價差為日變幅，CARR模型的條件期望值 的估計設定與 GARCH模型相_t 同，而波動性的估計上則利用變幅取代，其數學模型表示如下: (16) exp(1) ~ 1 1 t





        Q j j t j i t P i i t t t t R A G k R      t

R =logP_tHigh logP_tLow t

此處我們假設 服從平均數和變異數為一的指數分配。_t 參數限制式為: Q 1,2..., j , 0 P 1,2..., i , 0 (17) 1 j P 1 i Q 1 j j i      





  A G A G i CARR(P,Q)模型的非條件變異數和 GARCH(P,Q)模型相同，表示如下: (18) 1 1 1 t





     _P i Q j j i A G k  條件變異數 的下一期預測值_t ˆ_t1表示如下: (19) ) ( ˆ 1 1 1 t t k G A  _    3.3 風險值模型檢定 使用不同的模型在風險值的估計上會有所差異，因此在模型的績效驗證上， 我們採用以下幾種方法: 3.3.1回朔測試(Back Test) 回朔測試為檢驗模型合適度最簡單的一種方式，我們衡量過去一段時間的部 位資料檢測投資組合真實損失超過風險值的次數，假設 N=250天，我們衡量一 天期 95%的風險值，若發現真實報酬超過風險值次數為 13次左右，則我們對此 風險值深具信心，若超過次數遠低於或遠高於 13次，則我們所使用的方法就值 得懷疑了，巴塞爾監理委員會也提出回朔檢定的方式，其規定衡量過去一年的部

下，若 250天的觀測樣本中，損失超過 VaR 的天數在 4日以內，稱為綠燈區， 表風險值模型值得確信，若為 5至 9日則稱黃燈，表風險值模型有正確的疑慮，

若超過 10天，則為紅燈，表模形嚴重錯誤。獲綠燈銀行之資本提存為 VaR 的 3

倍，黃燈為 3.4至 3.85倍，紅燈則不為 BIS 所接受。

3.3.2失敗比率(Uncovered Loss Ratio, ULR)

失敗比率為將上述回朔測試所觀察到的違反次數除以該段期間內風險值的 估計次數，失敗比率越接近顯著水準α，代表模型估計越準確，越偏離α則模型 越不適當。

3.3.3概似比率法(Likelihood Ratio Test, LR Test)

Kupiec (1995)提出 Proportion of Failure Test(PF-Test)對所估計的結果進行檢

定，其目的在檢定報酬超過風險值的實際比率ˆ 是否與風險值模型所假設的α相 同，虛無假設H₀ :ˆ  檢定統計量為: ˆ : H ˆ : H (20) (1) ~ ) ˆ -(1 ˆ p) -(1 p -2log LR 1 0 2 n n n n 0 1 0 1                 P:風險值模型之顯著水準 : ˆ  實際報酬率超過所估計風險值的比率 : 0 n 實際報酬率未穿過所估計風險值的次數 : 1 n 實際報酬率穿過所估計風險值次數 Christoffersen (1998)利用區間預測的概念將 Kupiec 之 LR 統計量延伸為 3 個 LR的檢定:

                ˆ : H ˆ : H (21) (1) ~ ) ˆ -(1 ˆ p) -(1 p -2log LR 1 0 2 n n n n uc 0 1 0 1 P:風險值模型之顯著水準 : ˆ  實際報酬率超過所估計風險值的比率 : 0 n 實際報酬率未穿過所估計風險值的次數 : 1 n 實際報酬率穿過所估計風險值次數 2.檢定獨立性(independence)，檢定統計量為: (22) (1) ~ ˆ ) ˆ 1 ( ˆ ) ˆ 1 ( ˆ ) ˆ 1 ( log 2 2 11 11 01 ) ( ) ( 11 10 01 00 11 01 10 00                     _n n_n n n _nn _n ind LR : 0 H 失敗過程為獨立 : 1 H 失敗過程不為獨立 : ˆ  實際報酬率超過所估計風險值的比率 : 0 n 實際報酬率未穿過所估計風險值的次數 : 1 n 實際報酬率穿過所估計風險值次數 : 00 n 前期沒發生穿透事件，本期也沒發生穿透事件 : 01 n 前期沒發生穿透事件，本期發生穿透事件 : 10 n 前期發生穿透事件，本期沒發生穿透事件 : 11 n 前期發生穿透事件，本期也發生穿透事件

11 10 11 11 01 00 01 01 11 10 01 00 11 01 n n n ˆ n n n ˆ n n n n n n ˆ            

3.檢定受限制收歛之正確度(correct conditional coverage)，檢定統計量為:

(23) (2) ~ ˆ ) ˆ 1 ( ˆ ) ˆ 1 ( ) 1 ( log 2 2 11 11 01 11 10 01 00 1 0      _           _{n n} n n _{n n} cc p p LR P:風險值模型之顯著水準 : ˆ  實際報酬率超過所估計風險值的比率 : 0 n 實際報酬率未穿過所估計風險值的次數 : 1 n 實際報酬率穿過所估計風險值次數 11 10 11 11 01 00 01 01 n n n ˆ n n n ˆ       其中 Christoffersen (1998)的LR 檢定統計量相當於 Kupiec _uc (1995)的 LR 檢 定統計量，LR_ind檢定統計量則是檢定風險值模型失敗發生之隨機過程是否滿足 獨立性，檢測穿透的發生是否有連續的特性，而LR 檢定統計量則是同時考慮失_cc 敗過程之隨機特性及失敗機率，可視為LR_cc LR_uc LR_ind。

3.3.4Root Mean Square Error (RMSE)

若風險值模型的檢定結果均符合 LR檢定，則表示模型的失敗率與信賴水準

酬率與風險值的貼近程度。 (24) ) ( 1 2 n VaR r RMSE n i i i



   : i r 第 i期的實際報酬率 : i VaR 第 i期所估計之風險值 RMSE 越小表示實際報酬率與模型所估計之風險值越接近，若所比較之模型 均通過 LR 檢定，則計算 RMSE 並選取 RMSE 最小者為最佳模型。 本文在模型估計完成後，先進行回朔測試計算各模型失敗次數，失敗比率， 並透過 Christoffersen (1998)提出之檢定方法進行統計檢定，並將通過失敗率檢 定之模型進一步計算其 RMSE 以選取較佳之模型。

第肆章 實證分析

4.1 資料來源與處理 本文資料數據摘取自 datastream 資料庫，美國紐約商業交易所(NYMEX)天 然氣(NG)現貨價格。資料型態為日資料，研究期間為 2004年 4月 6日至 2007 年 4月 5日。進行實証研究時，遇到假日或當日沒有交易則將當日資料刪除，資 料筆數總計為 783筆日變幅及價格觀測值，天然氣價格走勢如圖 2所示。 圖 2 NYMEX 天然氣價格走勢圖 本文於實證上將 NYMEX 天然氣價格日資料轉換為報酬率形式定義如下:

       1 log t t t P P R (25) 天然氣日報酬率如圖 2所示: 圖 3天然氣報酬率走勢圖 4.2 基本統計量與相關檢定 在模型估計前，必須檢查所觀測時間序列資料是否呈現定態才能進行計量模 型之分析。因此本文利用 Augmented Dickey-Fuller(ADF)對報酬率進行單根檢 定，迴歸方程式如下表示，檢定結果如表 1。 (1)不含截距項與時間趨勢 t t t y y    _1 (2)含截距項

(3)含截距項及趨勢項 t t t a y bt y      0 _1 表 1 NYMEX 天然氣報酬率單根檢定

ADF 單根檢定 T statistic Critical value (1%) Critical value (5%)

Intercept -28.1327*** -3.438497 -2.865026

Trend and intercept -28.11738*** -3.969845 -3.41558

None -28.14834*** -2.567926 -1.941229 ***表顯著拒絕水準達 1% 判定資料為定態序列後計算其日價格及日報酬率基本統計特性如表 2: 表 2:NYMEX 天然氣基本統計特性 平均值 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值 LBQ(20) JB 價格 7.5164 2.0956 1.7456 5.5678 5.378 4.012 12601*** 608.91*** 報酬率 0.000348 0.03594 0.9233 7.9149 0.2495 -0.1083 27.8981** 891.34*** 註: 1.***表顯著拒絕水準達 1% 2.**表顯著拒絕水準達 5% 3.LBQ 表 Ljung-Box Q-statistic 4.JB 表 Jarque-Bera 常態性檢定 由表二可發現 NYMEX 天然氣之日報酬率偏態係數異於零，且峰態係數大 於 3，呈現厚尾(heavy tail)特性。接著進行 Jarque-Bera 檢定是否資料呈現常態分 配，其檢定過程如下: : 0 H 報酬為常態分配 : 1 H 報酬不為常態分配 檢定統計量為 ( 3) (26) 4 1 6 .BT _S K  2_ J

) ( 1 ) ( 1 4 1 4 3 1 3  





      T i i T i i x x T K x x T S 其中 T 為總樣本數， x 為樣本平均數，σ為樣本標準差。 經過 Jarque-Bera 常態分配檢定後發現 NYMEX 天然氣價格與日報酬率之檢 定統計量顯著拒絕水準達 1%，表有足夠證據顯示 NYMEX 天然氣價格與日報酬 率不滿足常態分配假設。 本研究在 NYMEX 天然氣日報酬率將以落後期數(P=1,Q=1)模型進行，在估 計模型參數前必須先檢定 NYMEX 天然氣日報酬率模型配適所產生的殘差項是 否具有 ARCH 現象。若模型具有 ARCH 現象但仍使用傳統計量模型進行分析， 其結果將產生誤差，因為若迴歸的殘差條件變異不一致，估計出來的參數會不具 有效性，因此本研究以 ARCH-LM 檢定對 NYMEX 天然氣日報酬率進行 ARCH 效果檢定，檢定統計量值為 3.9403其顯著拒絕水準達 5%，因此我們有足夠信心 拒絕單根的存在，表資料為定態，且存在異質變異的 ARCH 特性。 4.3 風險值估計 1.歷史模擬法: 利用移動視窗的概念，以前 N 筆價格變化估算下一期的風險值，再給定顯 著水準α下，估算前 N 筆價格變化之左尾α百分位數，加上本期之價格即可推 得下一期之風險值預估值，本研究將分別計算 N=250，N=500及α=0.01，α=0.05 情形下所求得之風險值，並與其他模型作比較。

本研究利用 Matlab 軟體以最大概似估計法對波動度模型進行參數估計，結 果如下所示。

表 3GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、CARR 模型參數估計(N=500)

GARCH EGARCH GJR-GARCH CARR

Ｃ 0.00090066 0.0011405 0.00094859 (0.0013765) (0.001331) (0.0013836) Ｋ 1.0289e-005** -0.0704** 1.3152e005** 0.00193** (7.1998e-006) (0.04526) (6.767e-006) (0.00107) 1 G 0.92491*** 0.9844*** 0.92685*** 0.56262*** (0.014508) (0.00657) (0.01518) (0.10622) 1 A 0.067926*** 0.13959*** 0.075991*** 0.39494*** (0.011544)*** (0.024109) (0.01271) (0.07946) 1 L 0.027365* -0.23722*** (0.018507) (0.022417) ***表顯著拒絕水準達 1% **表顯著拒絕水準達 5%*表顯著拒絕水準達 10% 利用移動視窗的概念，每一次的預測都踢除第一筆資料並加入新的一筆資 料，重新對模型進行估計並對未來一天的風險值進行估計。 圖 4為窗口樣本數 N=500，顯著水準α=0.05時，各模型估計風險值與實際 報酬走勢圖。

EGARCH 模型 VaR GJR-GARCH 模型 VaR

CARR 模型 VaR

圖 4N=500，α=0.05，模形估計之 VaR

EGARCH 模型穿透圖 GJR-GARCH 模型穿透圖

CARR 模型穿透圖

圖 5N=500，α=0.05，模型穿透圖

EGARCH 模型 VaR GJR 模型 VaR

CARR 模型 VaR

EGARCH模型穿透圖 GJR模型穿透圖 CARR模型穿透圖 圖 7N=250，α=0.05，模型穿透圖 本研究同時試著將誤差項設定為 t 分配下，對模型參數進行估計並計算風險 值，結果整理如下。 表 4視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.05，共估計 282天 模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.0744 8 0.0285 -0.0814 3.9252 0.4707* 4.3959* Normal -0.0650 16 0.0567 -0.0745 0.2588* 1.9326* 2.1914* GARCH t -0.0680 13 0.0460 -0.0781 0.0926* 1.2617* 1.3543* Normal -0.0628 15 0.0532 -0.0756 0.0593* 1.6926* 1.7519* EGARCH t -0.0673 11 0.0390 -0.0813 0.7736* 0.8962* 1.6698* Normal -0.0634 16 0.0567 -0.0745 0.2588* 1.9326* 2.1914* GJR t -0.0676 13 0.0460 -0.0781 0.0926* 1.2617* 1.3543* Normal -0.0571 15 0.0532 -0.0763 0.0593* 1.6926* 1.7519* CARR t -0.0590 15 0.0532 -0.0763 0.0593* 1.6926* 1.7519*

註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 表 5視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 282天 模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.0874 5 0.0177 -0.0762 8.0716 0.1819* 8.2535* Normal -0.0655 16 0.0567 -0.0733 0.2588* 2.9663* 3.2251* GARCH t -0.0672 12 0.0426 -0.0820 0.3460* 1.0706* 1.4166* Normal -0.0613 15 0.0532 -0.0753 0.0593* 1.6512* 1.7105* EGARCH t -0.0688 10 0.0355 -0.0757 1.3906* 0.7382* 2.1288* Normal -0.0639 16 0.0567 -0.0748 0.2588* 2.9663* 3.2251* GJR t -0.0680 10 0.0355 -0.0832 1.3906* 0.7382* 2.1288* Normal -0.0597 17 0.0603 -0.0695 0.5901* 0.8417* 1.4318* CARR t -0.0614 13 0.0461 -0.0735 0.0926* 1.2617* 1.3543* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 表 4為視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.05下，各模型所估計之風險值，歷 史模擬法穿透次數上最偏離顯著水準，因此我們推測使用過多的樣本數可能使得 資訊無法及時反應，在常態分配的假設下各模型皆通過 Christoffersen (1998)概 似比檢定，顯示出各模型所估計之風險值與實際報酬的穿透率滿足顯著水準的假

的 RMSE 值最小，代表其最為貼近實際報酬率。而我們同時考慮在 t 分配假設下 風險值模型的表現，結果發現，由於 t 分配的厚尾特性，使得各模型之穿透率明 顯下降，相較於常態分配時的假設，模型穿透率都比顯著水準還低，顯示出較為 低估的風險值，且各模型間的 RMSE 值也較常態分配為高，表示其所估計的風 險值較為偏離實際報酬率。在α=0.01時，歷史模擬法甚至沒有發生任何穿透次 數，顯示出模型合適性相當差，而 CARR 模型在顯著水準低時發生過多的穿透 次數導致其無法通過 LR 檢定，整體表現以 EGARCH 模型最好。若顯著水準越 低，代表風險管理者的風險趨避程度越高，理論上所估計的風險值也會越小，其 RMSE 值也相對越大。表 5為視窗樣本 N=250時，模型估計的結果，由表 4與 表 5可發現，兩種不同視窗長度的估計結果除了歷史模擬法外，其他模型皆能順 利通過 LR統計檢定。表 6和表 7為顯著水準α=0.01下估計結果，歷史模擬法 在沒有發生任何穿透事件，而 CARR模型則發生過多的穿透使得未通過 LR檢定， 其他模型皆順利通過統計檢定。 表 6視窗樣本 N=500，顯著水準α=0.01，共估計 282天 模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.1281 0 0 0 x x x Normal -0.0924 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5569* GARCH t -0.0959 3 0.0106 -0.1005 0.0113* 0.0648* 0.0761* Normal -0.0894 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5569* EGARCH t -0.0949 2 0.0071 -0.1004 0.2681* 0.0286* 0.2967* Normal -0.0900 4 0.0142 -0.0959 0.4414* 0.1155* 0.5856* GJR t -0.0952 3 0.0106 -0.1005 0.0113* 0.0648* 0.5569* Normal -0.0813 7 0.0248 -0.0832 4.4313 0.3577* 4.7890* CARR t -0.0831 7 0.0248 -0.0832 4.4313 0.3577* 4.7890* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數

4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 表 7視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 282天 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.1539 0 0 0 x x x Normal -0.0923 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763* GARCH t -0.0941 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763* Normal -0.0862 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763* EGARCH t -0.0964 1 0.0035 -0.1078 1.5784* 0.0041* 1.5825* Normal -0.0899 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763* GJR t -0.0953 3 0.0106 -0.1005 0.0114* 0.0649* 0.0763* Normal -0.0842 4 0.0142 -0.0953 0.4415* 0.1155* 0.5570* CARR t -0.0858 4 0.0142 -0.0953 0.4415* 0.1155* 0.5570* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 表 8視窗樣本 N=500之 RMSE 值 顯著水準α 0.05 0.01 分配 Normal t Normal t HS 0.0848 0.0848 0.1319 0.1319 GARCH 0.0787 0.0810 0.1040 0.1068 EGARCH 0.0761 0.0798 0.1002 0.1052 GJR-GARCH 0.0770 0.0807 0.1013 0.1063 CARR 0.0717 0.0732 0.0933 0.0950

表 9視窗樣本 N=250之 RMSE 值 顯著水準α 0.05 0.01 分配 Normal t Normal t HS 0.0979 0.0979 0.1649 0.1649 GARCH 0.0788 0.0795 0.1033 0.1038 EGARCH 0.0746 0.0807 0.0969 0.1059 GJR-GARCH 0.0768 0.0719 0.1001 0.1062 CARR 0.0690 0.0745 0.0904 0.0965 註 HS 為歷史模擬法 表 8和表 9為不同樣本下的 RMSE值，比較兩種不同視窗長度下的 RMSE 值， 我們發現在各種波動度模型中，小樣本時的 RMSE 值無論在何種分配的假設下， 普遍比大樣本來的低，利用大樣本估計並沒有顯著的優勢，而 CARR模型在兩種 樣本估計下都有最小的 RMSE值，若模型通過統計檢定且具有較小的 RMSE值，則 我們可以認定模型同時具有正確預測風險值和資金使用效率兩種優勢。 表 10視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.05，共估計 532天 模型 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.0680 27 0.0501 -0.0591 0.0079* 3.8615 3.8694* Normal -0.0588 26 0.0489 -0.0715 0.0143* 0.3973* 0.4116* GARCH t -0.0613 20 0.0376 -0.0780 1.8787* 0.0797* 1.9584* Normal -0.0560 23 0.0432 -0.0729 0.5364* 2.0834* 2.6198* EGARCH t -0.0684 17 0.0319 -0.0757 4.1595 1.1247* 5.2842* Normal -0.0574 28 0.0526 -0.0705 0.0763* 0.1883* 0.2646* GJR t -0.0612 19 0.0357 -0.0777 2.5278* 0.1429* 2.6707* Normal -0.0563 31 0.0583 -0.0695 0.7291* 0.4790* 1.2081* CARR t -0.0581 26 0.0488 -0.0735 0.0143* 0.0669* 0.0812* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數

4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 表 11視窗樣本 N=250，顯著水準α=0.01，共估計 532天 分配 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 LRuc LRind LRcc HS -0.1214 6 0.0113 -0.0757 0.0869* 3.8257* 3.9126* Normal -0.0833 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214* GARCH t -0.0861 6 0.0113 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214* Normal -0.0792 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214* EGARCH t -0.0961 3 0.0056 -0.0899 1.2130* 0.0341* 1.2471* Normal -0.0812 6 0.0112 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214* GJR t -0.0859 6 0.0113 -0.0938 0.0843* 0.1371* 0.2214* Normal -0.0798 9 0.0169 -0.0886 2.1293* 0.3104* 2.4397* CARR t -0.0816 9 0.0169 -0.0916 2.1293* 0.3086* 2.4379* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法 接著在 N=250時，我們將估計天數拉長為 532天，由表 10可發現歷史模擬 法的穿透率最為接近顯著水準值，當樣本數由 500降為 250使得歷史模擬法估計 正確性提升，顯示出此模型可能較適用於樣本數資料量較少時的情況，而由於穿 透有連續發生的情況，歷史模擬法無法通過 Christoffersen (1998)獨立性檢定， 其他模型在常態分配假設下皆通過 LR 檢定，我們由表 12比較各模型 RMSE值後 發現以 EGARCH 模型表現最好。

表 12視窗樣本 N=250之 RMSE 值 顯著水準α 0.05 0.01 分配 Normal t Normal t HS 0.0815 0.0815 0.1380 0.1380 GARCH 0.0711 0.0715 0.0936 0.0952 EGARCH 0.0682 0.0693 0.0892 0.0908 GJR-GARCH 0.0694 0.0719 0.0911 0.0960 CARR 0.0690 0.0701 0.0904 0.0919 註 HS 為歷史模擬法 在 2005年美國天然氣價格由於颶風侵襲墨西哥灣地區影響，造成價格大幅 上揚，我們嘗試利用風險值模型特別針對 2005年 6月到 2006年 6月共一年期間 進行風險值估計。看看這價格變化劇烈的期間，風險值模型是否仍能具有良好的 表現。結果如表 13所示: 表 13 N=250樣本期間 2005/6 ~ 2006/6

模型 平均 VaR 穿透數 穿透率 穿透平均 _{LRuc LRind LRcc}

HS -0.0600 21 0.07447 -0.0553 3.8623 4.1681 8.0304 GARCH -0.0554 12 0.0425 -0.0661 0.3460* 2.8333* 3.1793* EGARCH -0.0536 11 0.0390 -0.0687 0.7736* 0.8962* 1.6698* GJR -0.0539 14 0.0496 -0.0662 0.3325* 1.8790* 2.2115* CARR -0.0540 15 0.0532 -0.0601 0.3218* 2.0561* 2.3779* 註 1.*表通過統計檢定 2.平均 VaR 表模型估計 VaR 之平均值 3.穿透數表實際報酬穿過 VaR 次數 4.穿透率為穿透數除以估計樣本數 5.穿透平均表實際報酬穿透 VaR 之平均值 6.LRuc 表(21)式，LRind 表(22)式，LRcc 表(23)式 7.HS 為歷史模擬法

第伍章 結論

許多實證研究發現，很多金融性資產的時間序列資料都具有厚尾和波動群聚 的現象，本研究以 NYMEX 的天然氣價格為標的，針對能源性金融資產作研究， 發現到其具有條件變異數不齊一之現象，而在風險值的估計上若能正確衡量資產 報酬分配型態和各時點的波動性，將能更有效估計風險值。 在資產報酬分配上，我們嘗試比較常態分配和 t分配兩種不同型態，除了歷 史模擬法外，其他模型皆能有效估計風險值並通過 Christoffersen (1998)的統計 檢定，而常態分配的假設使得各模型比 t 分配有更低的 RMSE 值，若站在銀行角 度觀點能有更好的資金運用效率。 在不同的窗口長度上，歷史模擬法有著顯著差異，大樣本估計時，歷史模擬 法相較於其他模型表現最差，穿透率也明顯偏離顯著水準，但在小樣本時，歷史 模擬法的穿透率甚至最為接近顯著水準，顯示大樣本下資訊未能及時反應，其他 模型上在小樣本估計時依然有不錯的表現，RMSE 值在小樣本時也比大樣本低， 且模型皆能通過 Christoffersen (1998)統計檢定，顯示窗口長度的大小在波動度 模型上沒有太大的差異。 而相較於 GARCH 模型採用每日收盤價資訊，CARR 選擇利用當天的高低價 差來對波動性做預測，在波動度行為上，CARR 可能會有較好的表現，經過本文 研究發現，無論在大樣本和小樣本下的風險值衡量也確實比 GARCH 模型為佳。

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附錄一 天然氣價格直方圖

附錄二 P&L 和風險值走勢圖(t distribution) (N=500)

GARCH 模型 EGARCH 模型

GJR-GARCH 模型 CARR 模型

附錄三 P&L 和風險值走勢圖(t distribution) (N=250)

GARCH 模型 VaR EGARCH 模型 VaR

GJR 模型 VaR CARR 模型 VaR

風險值穿透圖如下表示:

附錄四 P&L 和風險值走勢圖(Normal distribution) (N=250)

歷史模擬法 GARCH 模型

附錄五 波動度模型預測圖 (N=500)

GARCH 模型波動度

EGARCH 模型波動度

附錄六 N=500 ，t 分配參數估計

GARCH EGARCH GJR-GARCH

Ｃ -0.0008249 -0.0008114 -0.0008304 (0.00125) (0.00153) (0.00119) Ｋ 1.8511e-005* -0.083812 1.8558e-005* (1.4557e-005) (0.08103) (1.5104e-005) 1 G 0.93615*** 0.98738*** 0.93581*** (0.02782) (0.01192) (0.02989) 1 A 0.055969*** 0.12198*** 0.0546*** (0.023708) (0.045691) (0.024243) 1 L 0.12154 0.004486 (0.02882) (0.040263) DoF 3.9418*** 4.1128*** 3.9374*** (0.9203) (1.0142) (0.9206) ***表顯著拒絕水準達 1% **表顯著拒絕水準達 5%*表顯著拒絕水準達 10%