第四章 等力管圖之分析
第二節 等力管圖信賴水準
推論至此，無法藉由求得的樣本共變異矩陣進行檢定，所以本研究欲將(4-17)式的 假設進行轉換。
等力管圖之評定標準為管長與管徑之倍比l :d數值大於8.5，則量器之精度能被接 受；反之，則為量器精度不能被接受，此判定準則是用工業界標準σPRT :σRPT =6:1去推 算出來的。
繪製等力管圖時，需先從穩定的製程中隨機抽取30樣產品進行前後測檢驗，檢驗的 產品是相同的，因此前後測的數值應該相同，量測中雖然為同一個測手同一量器測量，
仍然會有誤差產生，造成前後兩測數值不一致。
雖然前後數值不一致，但因是相同產品，所以前後數值並不會有太大差距，因此相 關係數會接近1，但是不會等於1，前後兩測數據高度相關。利用此特性，藉由fisher z進 行轉換，轉換公式為(4-21)式。
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= +
x z x
1 ln 1 2
' 1 (4-21)
在上一節中，兩測數值相關係數為ρxy =σPRT2 /(σPRT2 +σRPT2 )，相對產品標準差而言，
量測標準差的數值越小，則相關係數會越趨近1。令η代表精度倍比(precision ratio)，
RPT PRT σ σ
η= : ，前後兩測之間的相關係數如(4-22)式。
) 1 /( 2
2 +
=η η
ρxy (4-22)
若σPRT :σRPT =6:1，則η =6，兩測的相關係數為ρxy =36/37=0.973。若η =10， 則前後兩測的相關係數則可高達ρxy =100/101=0.990。
因此，我們可以利用前後兩測數值之相關係數，針對量器精度是否充分進行檢定。
假設真實的相關係數為ρ0，本研究所關切的議題為兩測管圖的信賴水準。現在，本研究 建構右尾檢定的兩項統計假說，如(4-23)式所示。
H0：ρxy ≤ρ0 v.s H1：ρxy >ρ0 (4-23)
為了檢定(4-23)式的假設，我們需要針對樣本相關係數r先進行Fisher z轉換，如(4-24) (4-24)式，便可得到新的轉換式為(4-25)式，以致可以逕按(4-25)計算Fisher值z 。例如，h' 當樣本精度倍比h=6時，Fisher值為z6' =ln(73)/2=2.145。
半 的 機 會 被 判 過 ； 如 果 精 度 倍 比σPRT :σRPT 達 到 十 倍 ， 則 判 過 信 賴 水 準 就 會 高 達
( )
[
27ln 201/73 /2]
=99.6%Φ 。
等力管圖中的長軸χ22
( )
α 2σPRT2 +σRPT2 與短軸χ22( )
α σRPT比值會將χ22( )
α 部分給約 分掉，但並不代表χ22( )
α 不存在，因此在此推導出等力管圖之信賴水準(1-α)%，圖4.1 與圖4.2分別為等力管圖兩測數值之95%橢圓信賴區域與99%橢圓信賴區域。圖4.1 兩測數值的95%橢圓信賴區域
圖4.2 兩測數值的99%橢圓信賴區域
本研究建立了精度倍比與等力管圖之判過機率的關係，如表4.1所示。譬如，以精度
倍比為5.5的量器而言，等力管圖判過之機率僅有3.28%；但是，對於精度倍比達到九倍 的量器而言，等力管圖判過之機率會高達98.2%。圖4.3中，一旦當精度倍比達到9.43之 水準時，等力管圖給量器判過機率正好為99%。
表4.1 已知精度倍比η之量器的判過機率P α
倍比 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 判過機率 0.1757 0.3280 0.5000 0.6593 0.7857 0.8742 0.9305
8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 0.9634 0.9816 0.9910 0.9957 0.9980 0.9991 0.9996 0.9998
9.43 0.99
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 判
過 機 率
σPRT:σRPT
圖4.3量器於等力管圖的判過機率
假如，情況為相反，判過機率P 已經設定，我們便有檢索所需精度倍比之量器需要。α 例如，要求等力管圖判過機率要達到95%，則應該領用精度倍比至少為8.26倍的量器。
利用(4-27)式反求，獲得(4-28)式。換言之，已知等力管圖判過機率P 時，所需量器的精α 度倍比至少必須達到(4-28)式的η0的水準。
[ ]
2
1 exp
73 27 1
2
0
1
= −
−
− Φ− α
η
p
(4-28)
若要求99.5%的等力管圖判過機率，則量器精度倍比至少必須達到9.89倍，參見表 4.2。
表4.2 已知判過機率之量器的精度倍比η
1-α 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 倍比 5.7104 6.0000 6.3039 6.6456 7.0685
1-α 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 倍比 7.699 8.2611 9.4268 9.893 10.927
貳、信賴水準之應用實例
延續上節中所使用的案例，在假設Xpart ~ N(100,36)，量測值標準差σRPT為1.2，利 用所假設之資料，造出2組30筆資料，第一測為變數x 與第二測為變數y ， x 與
y~ N(100,37.44)。
這兩組資料所形成雙變數常態分配為(4-15)式，進行轉軸之後，便得到新的雙變數 常態分配機率密度函數(4-16)式。
在上節中，介紹過雙變數常態分配之指數項部分為一維隨機變數，呈現雙變數自由 度之卡方分配χ22。
) ( 44 '
. 1 0
0 44 .
73 2
2 α
χ
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ U
U (4-29) 給定α之後，便能得到橢圓之信賴區間，圖4.4為95%之信賴區間，圖上的所描繪的 點為第二章所提及之判過的等力管圖圖點。
圖4.4 模擬兩測數值之95%信賴區間
除了可以將信賴區間給繪製出來之外，亦可得知製程的倍比為何，進而得知量器之 判過機率為多少。依此例子而言，在假設母體時，產品標準差σPRT為6.0，量測值標準 差σRPT為1.2，其精度倍比為6/1.2=5，根據本研究中所提供的表4.1可得知，在精度倍 比為5的時候，量器被判過的機率為0.1757。