節一次函數的圖形

第八章一次函數

8.2 節一次函數的圖形

前一節我們認識了什麼是函數，本節中我們要進一步把函數圖形描繪在直角座標上。

對於一個函數 ^f ，令^y^ ^f^(x⁾，將 x 的值與其對應的 y 值寫成數對(x,y)，並描繪在直 角座標上，就是函數 ^f 的圖形。

例如 8.1 節中我們看過月份對應到日數的函數

自變數x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8

應變數y 日數 31 28 31 30 31 30 31 31 表8.2-1

由月份1 對應到日數 31，我們可以寫成 ^f⁽¹⁾^³¹，即數對為(1,31)。同樣地，也可以寫出接下來的數對為(2,28)、(3,31)、(4,30)...等。

我們來將這些數對畫在直角座標平面上：

圖8.2-1

8-22

x

y

除了在直角座標上描出點以外，我們也可以畫出如 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹用代數式表示的函數。

我們來畫畫看 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹的圖形。以前曾學過，^y^{ x}³ ^¹在直角座標上的圖形是一條直線。可想而知，若我們令變數為x 座標，函數值為 y 座標，即^y^ ^f⁽^x⁾^³^x^¹，則此函數圖形也會是一條直線。因此我們只要取兩點做直線，就能得到 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹的圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^¹、 ^f ⁽¹⁾^⁴，我們取(0,1)、(1,4)兩點，並連線，如圖8.2-2。

圖8.2-2

對於函數 ^f^{( x}⁾，若畫出來為直線圖形，可以通稱為線型函數。

線型函數的形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，又可分為一次函數與常數函數。

一次函數：即變數x 最高次數為1，且 x 項係數不為 0。

形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b、a0，畫出來的圖形為斜直線。

常數函數：即沒有變數x，只有常數。不論變數為何，函數值都不會改變。

形式為 ^f⁽^x⁾^^b，畫出來的圖形為水平線。

※ 垂直線圖形因為一個 x 會對應到無數個 y，因此 x 對應到 y 的方式不是函數。

本節我們介紹的重點會放在一次函數

x

y

^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹

例題 8.2-1

(A) ^f⁽^x⁾^²^x (B) ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^² (C)

3 ) 2 (x  f

(D) ^f⁽^x⁾^^x² ^³^x(E)

x x

f 1

)

(  (F) ^f⁽^x⁾^^⁷ 以代號回答下列問題：

(1)一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

詳解：

我們來判斷各代號是什麼樣的函數：

(A) ^f⁽^x⁾^²^x，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

(B) ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

f ，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

(D) ^f⁽^x⁾^^x² ^³^x，x 的最高次數為2，非線型函數。

(E) f x 1x )

(  ，線型函數的形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，

1 的變數x 在分母，所以不是線型函 數。

(F) ^f⁽^x⁾^^⁷，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

根據以上判斷可回答：

(1)一次函數有(A)、(B)。

(2)常數函數有(C)、(F)。

(3)線型函數有(A)、(B)、(C)、(F)。

8-24

例題 8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^x的圖形。

詳解：

x x

f( ) 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^⁰、 ^f⁽¹⁾^¹，可得兩點(0,0)、(1,1)。

^f⁽^x⁾^^x

圖8.2-3

【練習】8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^²^x的圖形。

x y

x

y

例題 8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^³^x^²的圖形。

詳解：

2 3 )

(x  x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^²、 ^f⁽¹⁾^^¹，可得兩點(0,2)、(1,-1)。

^f⁽^x⁾^^³^x^²

圖8.2-4

【練習】8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^⁶^x^⁷的圖形。

8-26

x y

x

y

例題 8.2-4

例題 8.2-5

【練習】8.2-6

(1)由 ^f⁽⁹⁹⁾^³，可得b3，即 ^f⁽^x⁾^³ (2) ^f⁽¹⁰⁰⁾^{ f}⁽¹⁰¹⁾^³^³^⁶

※常數函數不論 x 為多少，函數值都不會改變。

【練習】8.2-8

已知 ^f^(x⁾為常數函數，且 ^f⁽^¹⁹⁹⁾^^²，試求 (1) ^f ⁽^x⁾^^?

(2) ^f⁽^⁹⁹⁾^ ^f⁽⁹⁹⁾^^?

8-30

例題 8.2-9

8-32

x

在前一節中，我們學習了已知 ^f^(x⁾，求 ^f⁽^x^¹⁾與 ^f⁽^x^¹⁾。

如例題8.1-8，已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^¹、求得 ^f⁽^x^¹⁾^²^x^³、 ^f⁽^x^¹⁾^²^x^¹ 令^g⁽^x⁾^{ x}² ^³、^h⁽^x⁾^{ x}² ^¹

我們將^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾這三個函數圖形畫出來，看看他們之間的關係。

圖8.2-9

由圖8.2-9 可知，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^¹⁾的圖形相當於 ^f^(x⁾的圖形往左移動1 單位；

) 1 ( )

(x  f x

h 的圖形相當於 ^f^(x⁾的圖形往右移動1 單位。

同樣地，若有^g^'⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾，我們也可以推得^g^{' x}⁽ ⁾的圖形是 ^f^(x⁾的圖形往左移動5 單位；^h^'⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁴⁾的圖形是 ^f^(x⁾的圖形往右移動4 單位

1 2 )

(x  x h

1 2 )

(x  x f

3 2 )

(x  x g

例題 8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^⁶，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾並在直角座標平面上畫出^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾的圖形。

詳解：

(1)^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾^³⁽^x^⁵⁾^⁶^³^x^⁹ (2)^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾^³⁽^x^³⁾^⁶^³^x^¹⁵

圖8.2-10

【練習】8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁴ ^⁸，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁴⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾ 並畫出圖形。

8-34 6 3 )

(  

 f x x 9 y

3 )

(  

g x x

y yh(x)3x15

8.2 節習題

習題 8.2-1 (A) ^f ^x ^x

3 ) 1

(  (B) ^f⁽^x⁾^{ x}^ ^¹ (C) ^f⁽^x⁾ ^⁴ (D) ^f⁽^x⁾^^x² ^^x (E)

x x

f 2

) 1

(  (F) ^f⁽^x⁾^^⁵ 以代號回答下列問題：

(1) 一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

習題 8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^³^x的圖形。

習題 8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^x^²的圖形。

習題 8.2-4

在直角座標上畫出

4 ) 1 (  

 x

x f

y 的圖形。

習題 8.2-5

圖8.2-11 為一次函數^y^ ^f⁽^x⁾^^ax^⁵的圖形。試求a、b 之值。

圖8.2-11 習題 8.2-6

已知一次函數 ^f⁽^x⁾^^^x^²^m^³的圖形通過原點，試求m 之值。

習題 8.2-7

已知 ^f^(x⁾為一次函數，且 ^f⁽¹⁾^¹、 ^f⁽³⁾ ^¹³，試求 ^f^(x⁾。

習題 8.2-8

已知 ^f^(x⁾為常數函數，且 ^f⁽¹⁰¹⁾ ^⁵，試求 (1) ^f ⁽^x⁾^^?

(2) ^f⁽⁹⁹⁾^{ f}⁽¹⁰⁰⁾^^?

8-36

習題 8.2-9

已知 ^f^(x⁾為線型函數，在座標平面上，其圖形^y^ ^f^(x⁾通過(1,8)、(-1,4)兩點，試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

習題 8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^²，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^²⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾並在直角座標平面上畫出^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾的圖形。

在文檔中代數第八章目錄 (頁 24-40)

節 一次函數的圖形

第八章 一次函數

8.2 節 一次函數的圖形

x

y

x

y

x y

x

y

x y

x

y

x

8.2 節 習題

第八章一次函數

8.2 節一次函數的圖形

8.2 節習題