代數第八章目錄

(1)

代數第八章

第八章一次函數...1

學習目標...1

8.1

節變數與函數...2

8.1

節習題...19

8.2

節一次函數的圖形...23

8.2

節習題...36

8.3

節一次函數的應用...39

8.3

節習題...51

第八章綜合習題...54

基測與會考試題...60

習題解答...64

(2)

第八章一次函數

在本章中，我們將開始接觸函數。函數可以想像成一部機器，將原料投入，就會有產品被製造出來。熟悉了函數以後，我們將可利用函數處理許多常見的應用問題。

學習目標

1.瞭解什麼是函數。

2.能在直角座標上畫出函數圖形。

3.能處理簡單的函數應用題。

8-0

(3)

8.1 節變數與函數

在日常生活中，我們常常可以發現幾組數字之間有對應的關係存在。例如陳先生25 歲時體重是75 公斤；26 歲時是 76 公斤…30 歲時體重是 94 公斤，如表 8.1-1。

年齡(歲) 25 26 27 28 29 30 31 32 體重(公斤) 75 76 80 85 89 94 94 92

表8.1-1

從表8.1-1 中，我們只要知道陳先生的年齡，就可以得知他的體重。但是反過來說，

知道體重未必能知道年齡，例如體重是94 公斤，年齡會有 30 歲與 31 歲兩種可能。

再看一個例子，平年時，1 月有 31 天，2 月有 28 天，3 月有 31 天…我們將月份與日數的關係列出來，如表8.1-2。

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31

表8.1-2

從表8.1-2 中，我們只要知道月份，就能知道日數。但是知道日數，卻不能決定一個月份，例如日數是30，則月份有可能是 4 月或 6 月。

以上的例子，都各有兩組資料(簡稱為 A、B)，如果給定一個 A 組的資料，就能決定出 B 組的一個資料，則我們稱這樣的對應關係是函數。

(4)

表8.1-1 中，體重是年齡的函數，因為知道年齡就能決定體重。但是年齡不是體重的函數，因為知道體重未必能得到年齡。

表8.1-2 中，日數是月份的函數，因為知道月份就能決定日數。但是月份不是日數的函數，因為知道日數未必能得到月份。

在繼續介紹函數前，我們先介紹一個名詞「變數」。

一個可以任意決定或是改變的數，稱為「變數」。變數又分為自變數跟應變數。

可依不同條件給予不同的數值，稱為「自變數」。

會隨著不同的自變數而變化，稱為「應變數」。

例如某雜貨店1 瓶礦泉水 15 元，我們可選擇買 1 瓶、2 瓶、3 瓶…等，購買的瓶數為自變數。決定了瓶數後，則總價也會跟著決定，如 1 瓶總價為 15 元、2 瓶總價為 30 元、3 瓶總價為 45 元…，此時總價為應變數，如表 8.1-3。

自變數數量(瓶) 1 2 3 4 5 6 7

應變數總價(元) 15 30 45 60 75 90 105 表8.1-3

對於函數，我們還可以再舉出許多例子。例如想像成一把尺，只要給一個物品，就能量出此物品長度是幾公分。即自變數是物品，應變數是長度。

原子筆長度 → 15 公分鉛筆長度 → 18 公分寶特瓶高度 → 23 公分數學課本厚度 → 2 公分手機長度 → 15 公分筆記本長度 → 22 公分

8-2

(5)

用圖表示

圖8.1-1

由圖8.1-1 可知，每個物品(自變數)經過直尺測量後，只會有一個長度(應變數)，不會有一枝鉛筆量出兩種長度的情形。另外，有可能會有兩種物品量得的長度是一樣的，

如鉛筆和手機。

看完這些例子後，藉由自變數與應變數，我們可以給函數一個更明確的定義：

對於給定的一個x 值，經過某一對應方式後得到「唯一」的 y 值，這種對應方式我們稱 為函數，其中x 是自變數，y 是應變數。

而在表8.1-3 中，每個自變數都對應到一個不同的應變數，可稱為一對一函數。

圖8.1-1 中，有多個自變數對應到同一個應變數，可稱為多對一函數。

當然，若是一對多的情形，根據定義，就不是函數了。

(6)

例題 8.1-1

八年一班的某次數學段考，其座號與分數如表8.1-4：

座號 1 2 3 4 5 6 7 8

分數 100 95 80 95 90 80 85 75 表8.1-4

試回答下列問題。

(1)座號 1 的同學多少分？座號 4 的同學多少分？

(2)分數為 95 分的同學是幾號？

(3)分數對應到座號的方式是否為函數？座號對應到分數的方式是否為函數？

詳解：

(1) 由表可知，座號 1 的同學為 100 分；座號 4 的同學為 95 分。

(2) 由表可知，95 分的同學有 2 號與 4 號。

(3) 給定任一 x 後，必須對應到「唯一」的 y，這種對應方式稱為函數

分數對應到座號的方式不是函數，因為當分數為95 時，座號會對應到 2 與 4，無法對應到唯一一個座號。

座號對應到分數的方式是函數，因為每個座號都可對應到唯一一個分數。

【練習】8.1-1

小王的身高和年齡關係如表8.1-5，請問身高對應到年齡的方式是否為函數？年齡對應到身高的方式是否為^函數？

身高(公分) 159 166 169 170 171 171 172 172 年齡(歲) 13 14 15 16 17 18 19 20

表8.1-5

8-4

(7)

例題 8.1-2

某長方形，已知其寬為5 公分，長為 x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題 (1) 列出 x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 長方形面積等於長乘以寬。列式：

^y ^ ⁵ ^x

(2) 因為 x、y 的關係式為

^y ^ ⁵ ^x

，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應到 y 的方式是函數。

【練習】8.1-2

某三角形，已知其底為4 公分，高為 x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題 (1) 列出 x、y 的關係式。

例題 8.1-3

便利商店1 盒豆漿賣 20 元，若買 x 盒，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出 x、y 的關係式。

詳解：

(1) 單價 20 元，總價等於盒數乘以單價。列式：

^y ^ ²⁰ ^x

(2) 因為 x、y 的關係式為

^y ^ ²⁰ ^x

，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

(8)

【練習】8.1-3

水果店1 斤西瓜賣 30 元，若買 x 斤，總價為 y 元，試回答下列問題。

(2)x 對應到 y 的方式是否為函數？

接下來讓我們更深入地討論函數。

習慣上我們會使用f、g 等字母來表示函數，連結自變數 x 及應變數 y，例如

^y ^ ^f ^(x ⁾

或

) (x g

y 

。以例題8.1-3 為例，自變數 x 為盒數，應變數 y 為總價(元)。以函數

^f

來表示，

則可列出

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ²⁰

、

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁴⁰

、

^f ⁽ ³ ⁾ ^ ⁶⁰

…等。由關係式

^y ^ ²⁰ ^x

，我們也可以寫出

x x

f ( )  20

。

當x 時，其對應值 f(a) 稱為函數a

^f

在x 的函數值。a 例題 8.1-4

已知一個正整數與其正因數的個數是函數關係。x 表示正整數，

^f ^(x ⁾

表示x 的正因 數個數，如4 的正因數有 1、2、4，共 3 個，得

^f ⁽ ⁴ ⁾ ^ ³

。試求f(5)、f(6)、f(9)、f(17)之 值。

詳解：

5 的正因數有 1、5，共 2 個，得

^f ⁽ ⁵ ⁾ ^ ²

6 的正因數有 1、2、3、6，共 4 個，得

^f ⁽ ⁶ ⁾ ^ ⁴

9 的正因數有 1、3、9，共 3 個，得

^f ⁽ ⁹ ⁾ ^ ³

17 的正因數有 1、17，共 2 個，得

^f ⁽ ¹⁷ ⁾ ^ ²

【練習】8.1-4

某旅館住宿1 天需 900 元。我們以 x 表示住宿天數，

^f ^(x ⁾

表示總價，如住宿2 天需要

900  2  1800

元，得

^f ⁽ ² ⁾ ^ ¹⁸⁰⁰

。試求f(3)、f(4)、f(6)之值。

函數也可以跟之前學過的代數式結合。例如1 盒餅乾30 元，我們以 x 表示盒數，

^f ^(x ⁾

表示總價，我們可以寫出餅乾總價的函數為

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³⁰ ^x

，以此計算f(3)、f(4)、f(6)之值。

90 3 30 ) 3

(   

f

、

^f ⁽ ⁴ ⁾ ^ ³⁰ ^ ⁴ ^ ¹²⁰

、

^f ⁽ ⁶ ⁾ ^ ³⁰ ^ ⁶ ^ ¹⁸⁰

例題 8.1-5

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

，試求f(1)、f(2)、f(5)、f(10)、f(50)之值。

8-6

(9)

詳解：

5 2 ) 1 ( 3 ) 1

(     f

8 2 ) 2 ( 3 ) 2

(    

f

17 2 ) 5 ( 3 ) 5

(    

f

32 2 ) 10 ( 3 ) 10

(    

f

152 2 ) 50 ( 3 ) 50

(    

f

【練習】8.1-5

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ¹

，試求f(1)、f(2)、f(8)、f(20)、f(50)之值。

(10)

例題 8.1-6

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁶

，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a 詳解：

依題意

^f ⁽ ^a ⁾ ^ ² ^ ⁽ ^a ⁾ ^ ⁶ ^ ⁰

0 6 2 a  

 3

 a

【練習】8.1-6

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ³

，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a

例題 8.1-7

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，若

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ⁵

，

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁷

，試求

^f ^(x ⁾

。詳解：

依題意

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

、

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ^a ^ ^b ^ ⁵

、

^f ⁽ ² ⁾ ^ ² ^a ^ ^b ^ ⁷

寫成聯立方程式

 









 7 2

5 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

( 

得

^a ^ ²

，代入(1)得

^b ^ ³

得

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ³

驗算：

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ² ^ ¹ ^ ³ ^ ⁵

、

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ² ^ ² ^ ³ ^ ⁷

【練習】8.1-7

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，若

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ^ ⁴

，

^f ⁽ ² ⁾ ^ ^ ¹

，試求

^f ^(x ⁾

。

8-8

(11)

函數變數的代換

若有一個函數

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ³

，我們已經知道當變數x 時，函數值a

^f ⁽ ^a ⁾ ^{ a} ^ ³

。當變數

^x ^{ a} ^ ¹

時，

^f ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ â ^ ⁴

我們也可以再將 a 換成 x，得到

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ ^x ^ ⁴

同樣的方法可以得到，

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ ^x ^ ²

例題 8.1-8

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

，試求：

(1)

^f ^{( y} ⁾

(2)

^f ^(a ⁾

(3)

^f ⁽ ^y ^ ¹ ⁾

(4)

^f ⁽ ^a ^ ¹ ⁾

詳解：

(1)

^f ⁽ ^y ⁾ ^ ³ ⁽ ^y ⁾ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ¹

(2)

^f ⁽ â ⁾ ^ ³ ⁽ â ⁾ ^ ¹ ^ ³ â ^ ¹

(3)

^f ⁽ ^y ^ ¹ ⁾ ^ ³ ⁽ ^y ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ³ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ²

(4)

^f ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ³ ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ³ â ^ ³ ^ ¹ ^ ³ â ^ ⁴

【練習】8.1-8

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ^ ⁶

，試求：

(1)

^f ^(b ⁾

(2)

^f ^(z ⁾

(3)

^f ⁽ ^b ^ ¹ ⁾

(4)

^f ⁽ ^z ^ ² ⁾

(12)

例題 8.1-9

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ¹

，試求：

(1)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

(2)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

(3)

^f ^{( x} ² ⁾

(4)

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾

詳解：

(1)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ² ^x ^ ² ^ ¹ ^ ² ^x ^ ³

(2)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ² ^x ^ ² ^ ¹ ^ ² ^x ^ ¹

(3)

^f ⁽ ² ^x ⁾ ^ ² ⁽ ² ^x ⁾ ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ¹

(4)

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ² ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ³

【練習】8.1-9

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

，試求：

(1)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

(2)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

(3)

^f ^{( x} ² ⁾

(4)

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾

8-10

(13)

合成函數

熟悉了一個函數之後，接下來介紹由兩個函數合起來的合成函數。

我們先回顧前面看過的範例，用尺量物品的長度是幾公分。

圖8.1-1

如果今天我們想知道鉛筆長度是幾公釐，則需要將量出來的 15 公分再轉換為 150 公釐，用圖表示：

圖8.1-2

這裡可以想成有兩個函數，第一個函數將物品轉換為長度(公分)，第二個函數將長度 (公分)轉換為長度(公釐)。

(14)

當然，我們也可以將兩張圖畫在一起：

圖8.1-3

從圖8.1-3 中，可以清楚地看到，物品轉換為公分，再轉換為公釐的過程。

這時可能也會有同學想，能不能一開始就拿刻度為公釐的尺來量，如此就不需要經過兩次轉換，如圖8.1-4

圖8.1-4

拿刻度為公釐的尺來量，相當於將兩個函數合併為一個函數。像這樣將兩個函數，合成為一個函數，就是合成函數的概念。

8-12

(15)

我們從代數式來看合成函數：

有兩個函數

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³ ^x

與

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ¹

，我們想知道

x  ²

代入

^f ^(x ⁾

所得到的函數值，再代入

^g ^(x ⁾

會有什麼結果。

首先將

^x ^ ²

代入

^f ^(x ⁾

，得

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁶

，再將

^x ^ ⁶

代入

^g ^(x ⁾

，得到

^g ⁽ ⁶ ⁾ ^ ¹³

。這樣的過程，相當於求

^g ^{( f} ⁽ ² ⁾⁾

的值。

我們也可以將兩函數合起來寫成合成函數

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

，亦可用

g  ^f ^{( x} ⁾

表示：

)) ( ( f x

g  g ( x 3 ) 1 ) 3 (

2 

 x

1 6 

 x

我們可以直接從

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

找出

^g ^{( f} ⁽ ² ⁾⁾

的值，即

^g ⁽ ^f ⁽ ² ⁾⁾ ^ ⁶ ^ ⁽ ² ⁾ ^ ¹ ^ ¹³

。

既然可以找出

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

，那麼當然也能找出

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

，要注意的是，

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

與

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

未必是相同的。

)) ( ( g x

f  f ( 2 x  1 ) ) 1 2 (

3 

 x

3 6 

 x

(16)

例題 8.1-10

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^ ⁷ ^x

，試回答下列問題。

(1)若

^f ⁽ ² ⁾ ^ ^a

，則a 之值為何？

(2)承(1)，

^g ⁽ ^a ⁾ ^ ^?

(3)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^?

(4)利用(3)的結果，求

^g ^{( f} ⁽ ² ⁾⁾

之值。

詳解：

(1)

^a ^{ f} ⁽ ² ⁾ ^ ³ ^ ⁽ ² ⁾ ^ ¹ ^ ⁶ ^ ¹ ^ ⁵

，

a  5

(2)

^g ⁽ ^a ⁾ ^{ g} ⁽ ⁵ ⁾ ^ ⁷ ^ ⁽ ⁵ ⁾ ^ ³⁵

(3)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^g ⁽ ³ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ⁷ ⁽ ³ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ²¹ ^x ^ ⁷

(4)

^g ⁽ ^f ⁽ ² ⁾⁾ ^ ²¹ ^ ² ^ ⁷ ^ ³⁵

【練習】8.1-10

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³ ^x

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ³

(1)若

^f ⁽ ² ⁾ ^ ^a

(2)承(1)，

^g ⁽ ^a ⁾ ^ ^?

(3)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^?

^g ^{( f} ⁽ ² ⁾⁾

之值。

8-14

(17)

例題 8.1-11

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁵

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ³

。試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

詳解：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^g ⁽ ² ^x ^ ⁵ ⁾

3 ) 5 2

(  

 x 2 2 

 x

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^f ⁽ ^x ^ ³ ⁾

5 ) 3 (

2  

 x 5 6 2  

 x 1 2 

 x

【練習】8.1-11

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ¹

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ²

。試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

例題 8.1-12

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁴

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ⁸

。試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

詳解：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^g ⁽ ² ^x ^ ⁴ ⁾

8 ) 4 2 (

3  

 x

20 6 

 x

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^f ⁽ ³ ^x ^ ⁸ ⁾

4 ) 8 3 (

2  

 x

20 6 

 x

【練習】8.1-12

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ¹

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ¹

試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

例題 8.1-13

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ 4} ^x ^ ^a

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁵ ^ ²

，若

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

，試求a 之值。

(18)

a x x

f ( )  4 

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁵ ^ ²

)) ( ( f x

g  g ( 4 x  a ) 2 ) 4 (

5  

 x a

2 5 20  

 x a

)) ( ( g x

f  f ( 5 x  2 ) a x  

 4 ( 5 2 ) a x  

 20 8 )) ( ( )) (

( f x f g x

g 

a x a

x  5  2  20  8  20

a a  2  8  5

2 8 5 a  a  

6 4 a 

2  3 a

同學可以自行驗算，在

2  3

a

時，

2 20 19 )) ( ( )) (

( f x  f g x  x  g

8-16

(19)

【練習】8.1-13

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁵ ^ ¹

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ 2} ^x ^ ^a

，若

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

例題 8.1-14

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

，試求

^f ^{( f} ⁽ ² ⁾⁾

之值。

詳解：

作法一：先求出

^f ⁽ ² ⁾

，再代入

^f ^(x ⁾

。

7 1 ) 2 ( 3 ) 2

(     f

22 1 ) 7 ( 3 ) 7 ( )) 2 (

( f  f     f

得

^f ⁽ ^f ⁽ ² ⁾⁾ ^ ²²

作法二：找出

^f ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

，再將

x  2

代入。

4 9 1 ) 1 3 ( 3 ) 1 3 ( )) (

( f x  f x   x    x  f

22 4 ) 2 ( 9 )) 2 (

( f     f

得

^f ⁽ ^f ⁽ ² ⁾⁾ ^ ²²

【練習】8.1-14

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁶

，試求

^f ^{( f} ⁽ ³ ⁾⁾

之值。

(20)

8.1 節習題

習題 8.1-1

平年時，月份與日數的關係如下表：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31 試回答下列問題。

(1)4 月份有幾天？8 月份有幾天？

(2)日數 28 天的是幾月？

(3)月份是否為日數的函數？日數是否為月份的函數？

習題 8.1-2

某正方形，已知其邊長為x 公分，周長為 y 公分，試回答下列問題。

習題 8.1-3

便利商店1 瓶果汁賣 35 元，若買 x 瓶，總價為 y 元，試回答下列問題。

8-18

(21)

習題 8.1-4

已知1 瓶果汁賣 35 元，若 x 表示購買瓶數，

^f ^(x ⁾

表示為總價。如買1 瓶時，總價

35 ) 1 ( 

f

；買2 瓶時，總價

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁷⁰

。試求

^f ⁽ ³ ⁾

、

^f ⁽ ⁴ ⁾

之值。

習題 8.1-5

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁵ ^ ³

，試求

^f ⁽ ¹ ⁾

、

^f ⁽ ⁴ ⁾

、

^f ⁽ ⁵ ⁾

、

^f ⁽ ¹⁰ ⁾

、

^f ⁽ ¹⁰⁰ ⁾

之值。

習題 8.1-6

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ^ ¹

，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a

習題 8.1-7

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，若

^f ⁽ ² ⁾ ^ ³

，

^f ⁽ ⁰ ⁾ ^ ^ ¹

，試求

^f ^(x ⁾

。

習題 8.1-8

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ⁵

，試求：

(1)

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

(2)

^f ^{( x} ² ⁾

(3)

^f ⁽ ^x ^ ⁶ ⁾

(4)

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾

(22)

習題 8.1-9

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁵ ^ ¹

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^ ² ^x

(1)若

^f ⁽ ³ ⁾ ^ ^a

(2)承(1)，

^g ^(a ⁾ ^

？ (3)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^

？

^g ^{( f} ⁽ ³ ⁾⁾

之值。

習題 8.1-10

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ³

。試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

習題 8.1-11

已知

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ⁴

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ¹

。試求：

(1)

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾

(2)

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

8-20

(23)

習題 8.1-12

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ 3} ^x ^ ^a

，

^g ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ¹

，若

^g ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾⁾ ^ ^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾

習題 8.1-13

設

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ¹

，試求

^f ^{( f} ⁽ ⁴ ⁾⁾

之值。

(24)

8.2 節一次函數的圖形

前一節我們認識了什麼是函數，本節中我們要進一步把函數圖形描繪在直角座標上。

對於一個函數

^f

，令

^y ^ ^f ^(x ⁾

，將 x 的值與其對應的 y 值寫成數對(x,y)，並描繪在直 角座標上，就是函數

^f

的圖形。

例如 8.1 節中我們看過月份對應到日數的函數

自變數x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8

應變數y 日數 31 28 31 30 31 30 31 31 表8.2-1

由月份1 對應到日數 31，我們可以寫成

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ³ ¹

，即數對為(1,31)。同樣地，也可以寫出接下來的數對為(2,28)、(3,31)、(4,30)...等。

我們來將這些數對畫在直角座標平面上：

圖8.2-1

8-22

x

y

(25)

除了在直角座標上描出點以外，我們也可以畫出如

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

用代數式表示的函數。

我們來畫畫看

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

的圖形。以前曾學過，

^y ^{ x} ³ ^ ¹

在直角座標上的圖形是一條直線。可想而知，若我們令變數為x 座標，函數值為 y 座標，即

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³ ^x ^ ¹

，則此函數圖形也會是一條直線。因此我們只要取兩點做直線，就能得到

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

的圖形。

由

^f ⁽ ⁰ ⁾ ^ ¹

、

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ⁴

，我們取(0,1)、(1,4)兩點，並連線，如圖8.2-2。

圖8.2-2

對於函數

^f ^{( x} ⁾

，若畫出來為直線圖形，可以通稱為線型函數。

線型函數的形式為

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，又可分為一次函數與常數函數。

一次函數：即變數x 最高次數為1，且 x 項係數不為 0。

形式為

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

、

a  0

，畫出來的圖形為斜直線。

常數函數：即沒有變數x，只有常數。不論變數為何，函數值都不會改變。

形式為

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^b

，畫出來的圖形為水平線。

※ 垂直線圖形因為一個 x 會對應到無數個 y，因此 x 對應到 y 的方式不是函數。

本節我們介紹的重點會放在一次函數

x

y ^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

(26)

例題 8.2-1

(A)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ² ^x

(B)

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

(C)

3 ) 2 ( x  f

(D)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^x

²

^ ³ ^x

(E)

x x

f 1

)

( 

(F)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ ⁷

以代號回答下列問題：

(1)一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

詳解：

我們來判斷各代號是什麼樣的函數：

(A)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ² ^x

，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

(B)

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

(C)

3 ) 2 ( x 

f

，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

(D)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^x

²

^ ³ ^x

，x 的最高次數為2，非線型函數。

(E)

f x 1 x )

( 

，線型函數的形式為

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，

x

1

的變數x 在分母，所以不是線型函 數。

(F)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ ⁷

，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

根據以上判斷可回答：

(1)一次函數有(A)、(B)。

(2)常數函數有(C)、(F)。

(3)線型函數有(A)、(B)、(C)、(F)。

8-24

(27)

例題 8.2-2

在直角座標上畫出

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^x

的圖形。

詳解：

x x

f ( ) 

為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由

^f ⁽ ⁰ ⁾ ^ ⁰

、

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ¹

，可得兩點(0,0)、(1,1)。

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^x

圖8.2-3

【練習】8.2-2

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ ² ^x

的圖形。

x y

x

y

(28)

例題 8.2-3

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ ³ ^x ^ ²

的圖形。

詳解：

2 3 )

( x   x 

f

由

^f ⁽ ⁰ ⁾ ^ ²

、

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ^ ¹

，可得兩點(0,2)、(1,-1)。

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ ³ ^x ^ ²

圖8.2-4

【練習】8.2-3

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ⁶ ^x ^ ⁷

的圖形。

8-26

x y

x

y

(29)

例題 8.2-4

2 1 ) 3

(  

 x

x f

y

的圖形。

詳解：

2 1 ) 3

(  x  x

f

由

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ²

、

^f ⁽ ^ ¹ ⁾ ^ ^ ¹

，可得兩點(1,2)、(-1,-1)。

2 1 ) 3

(  x  x

f

圖8.2-5

【練習】8.2-4

3 ) 3

(   

 x

x f

y

的圖形。

x y

x

y

(30)

例題 8.2-5

圖8.2-9 為一次函數

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ⁴

的圖形。

試求a、b 之值。

詳解：

由圖8.2-6 可知，

^( ¹ ^, ² ⁾

在此函數圖形上，

即

^f ⁽ ^ ¹ ⁾ ^ ²

，代入

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ ax} ^ ⁴

2 4 ) 1 (   



a

，解得

a  2

得此函數為

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁴

) , 3

(  b

在函數圖形上，

即

^f ⁽ ^{ )} ³ ^ ^b

，代入

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁴

圖8.2-6

 b





 ( 3 ) 4

2

，解得

^b ^ ^ ²

 2

a

、

b   2

【練習】8.2-5

圖8.2-7 為一次函數

^y ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ³

的圖形。

試求a、b 之值。

圖8.2-7 例題 8.2-6

已知一次函數

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ⁷ ^x ^ ^m ^ ⁴

的圖形通過原點，試求m 之值。

詳解：

一次函數的圖形通過原點，表示

^x ^ ⁰

時，函數值為0，即

^f ⁽ ⁰ ⁾ ^ ⁰

。

0 4 4

0 7 ) 0

(    m   m   f

得

^m ^ ⁴

8-28

x x y

x

y

(31)

【練習】8.2-6

已知一次函數

²

3 ) 1

( x   x  m 

f

的圖形通過原點，試求m 之值。

例題 8.2-7

已知

^f ^(x ⁾

為一次函數，且

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁸

、

^f ⁽ ^ ¹ ⁾ ^ ^ ¹

，試求

^f ^(x ⁾

。詳解：

因為

^f ^(x ⁾

是一次函數，我們可以設

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

，

^a ^ ⁰

。由

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁸

，可得

^a ^ ² ^ ^b ^ ⁸

8 2 a  b 

由

^f ⁽ ^ ¹ ⁾ ^ ^ ¹

，可得

^a ^ ⁽ ^ ¹ ⁾ ^ ^b ^ ^ ¹

 1





 a b

寫成聯立方程式

 













 1 8 2

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由

⁽ ¹ ⁾ ^ ⁽ ² ⁾

得

³ ^a ^ ⁹

，

^a ^ ³

將

^a ^ ³

代入

⁽ ¹ ⁾

得

^b ^ ²

即一次函數

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

驗算：

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

，我們算算看

^f ⁽ ² ⁾

與

^f ^( ¹ ⁾

之值。

8 2 6 2 2 3 ) 2

(       f

1 2 ) 3 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1

(           f

與題目條件相同，可驗證答案正確。

【練習】8.2-7

已知

^f ^(x ⁾

為一次函數，且

^f ⁽ ³ ⁾ ^ ²¹

、

^f ⁽ ^ ² ⁾ ^ ^ ¹⁹

，試求

^f ^(x ⁾

。

例題 8.2-8

已知

^f ^(x ⁾

為常數函數，且

^f ⁽ ⁹⁹ ⁾ ^ ³

，試求 (1)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^?

(2)

^f ⁽ ¹⁰⁰ ⁾ ^{ f} ⁽ ¹⁰¹ ⁾ ^ ^?

詳解：

(32)

(1)由

^f ⁽ ⁹⁹ ⁾ ^ ³

，可得

b  3

，即

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³

(2)

^f ⁽ ¹⁰⁰ ⁾ ^{ f} ⁽ ¹⁰¹ ⁾ ^ ³ ^ ³ ^ ⁶

※常數函數不論 x 為多少，函數值都不會改變。

【練習】8.2-8

已知

^f ^(x ⁾

為常數函數，且

^f ⁽ ^ ¹⁹⁹ ⁾ ^ ^ ²

，試求 (1)

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^?

(2)

^f ⁽ ^ ⁹⁹ ⁾ ^ ^f ⁽ ⁹⁹ ⁾ ^ ^?

8-30

代數第八章 目錄

8.1

8.1

8.2

8.2

8.3

8.3

第八章 一次函數

8-0

8-2

8-4

y  5 x

y  5 x

y  20 x

y  20 x

y  f (x )

) (x g

y 

f

f ( 1 )  20

f ( 2 )  40

f ( 3 )  60

y  20 x

x x

f ( )  20

f

f (x )

f ( 4 )  3

f ( 5 )  2

f ( 6 )  4

f ( 9 )  3

f ( 17 )  2

f (x )

900  2  1800

f ( 2 )  1800

f (x )

f ( x )  30 x

90 3 30 ) 3

(   

f

f ( 4 )  30  4  120

f ( 6 )  30  6  180

f ( x )  x 3  2

8-6

5 2 ) 1 ( 3 ) 1

(     f

8 2 ) 2 ( 3 ) 2

(    

f

17 2 ) 5 ( 3 ) 5

(    

f

32 2 ) 10 ( 3 ) 10

(    

f

152 2 ) 50 ( 3 ) 50

(    

f

f ( x )  x 4  1

f ( x )  x 2  6

f ( a )  2  ( a )  6  0

0 6 2 a  

 3

 a

f ( x )  x 3  3

f ( x )  ax  b

f ( 1 )  5

f ( 2 )  7

f (x )

f ( x )  ax  b

f ( 1 )  a  b  5

f ( 2 )  2 a  b  7

 









 7 2

5 b a

b a

代數第八章目錄

第八章一次函數

^y ^ ⁵ ^x

^y ^ ⁵ ^x

^y ^ ²⁰ ^x

^y ^ ²⁰ ^x

^y ^ ^f ^(x ⁾

^f

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ²⁰

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁴⁰

^f ⁽ ³ ⁾ ^ ⁶⁰

^y ^ ²⁰ ^x

^f

^f ^(x ⁾

^f ⁽ ⁴ ⁾ ^ ³

^f ⁽ ⁵ ⁾ ^ ²

^f ⁽ ⁶ ⁾ ^ ⁴

^f ⁽ ⁹ ⁾ ^ ³

^f ⁽ ¹⁷ ⁾ ^ ²

^f ^(x ⁾

^f ⁽ ² ⁾ ^ ¹⁸⁰⁰

^f ^(x ⁾

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ³⁰ ^x

^f ⁽ ⁴ ⁾ ^ ³⁰ ^ ⁴ ^ ¹²⁰

^f ⁽ ⁶ ⁾ ^ ³⁰ ^ ⁶ ^ ¹⁸⁰

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ⁴ ^ ¹

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ⁶

^f ⁽ ^a ⁾ ^ ² ^ ⁽ ^a ⁾ ^ ⁶ ^ ⁰

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ³

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ⁵

^f ⁽ ² ⁾ ^ ⁷

^f ^(x ⁾

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ^a ^ ^b ^ ⁵

^f ⁽ ² ⁾ ^ ² ^a ^ ^b ^ ⁷

^a ^ ²

^b ^ ³

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ³

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ² ^ ¹ ^ ³ ^ ⁵

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ² ^ ² ^ ³ ^ ⁷

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^ax ^ ^b

^f ⁽ ¹ ⁾ ^ ^ ⁴

^f ⁽ ² ⁾ ^ ^ ¹

^f ^(x ⁾

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ³

^f ⁽ ^a ⁾ ^{ a} ^ ³

^x ^{ a} ^ ¹

^f ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ â ^ ⁴

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ ^x ^ ⁴

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ³ ^ ^x ^ ²

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ¹

^f ^{( y} ⁾

^f ^(a ⁾

^f ⁽ ^y ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^a ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^y ⁾ ^ ³ ⁽ ^y ⁾ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ¹

^f ⁽ â ⁾ ^ ³ ⁽ â ⁾ ^ ¹ ^ ³ â ^ ¹

^f ⁽ ^y ^ ¹ ⁾ ^ ³ ⁽ ^y ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ³ ^ ¹ ^ ³ ^y ^ ²

^f ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ³ ⁽ â ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ³ â ^ ³ ^ ¹ ^ ³ â ^ ⁴

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ^ ^ ⁶

^f ^(b ⁾

^f ^(z ⁾

^f ⁽ ^b ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^z ^ ² ⁾

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ² ^ ¹

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

^f ^{( x} ² ⁾

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ² ^x ^ ² ^ ¹ ^ ² ^x ^ ³

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ² ^x ^ ² ^ ¹ ^ ² ^x ^ ¹

^f ⁽ ² ^x ⁾ ^ ² ⁽ ² ^x ⁾ ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ¹

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾ ^ ² ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾ ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ² ^ ¹ ^ ⁴ ^x ^ ³

^f ⁽ ^x ⁾ ^{ x} ³ ^ ²

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

^f ⁽ ^x ^ ¹ ⁾

^f ^{( x} ² ⁾

^f ⁽ ² ^x ^ ¹ ⁾