第五章 多項式
5.5 節 多項式與乘法公式的應用題與綜合題
例題 5.5-2
有兩多項式A、 B，已知Ax2 2x1 ，B x2 bx1 ，若AB ，求 b 之值。
詳解：
若有兩多項式相等，則代表各項係數都會相等，也就是同類項係數相等。
因此由 x 項係數相等，可得b2
例題 5.5-5
有兩多項式A、 B，已知Aax2 5xc ，B 2x2 bx7 ，若AB ，求 a 、 b 、 c 之值。
詳解：
若有兩多項式相等，則代表各項係數都會相等，也就是同類項係數相等。
由 x2項係數相等，可得a2
由 x 項係數相等，可得 b5 b5 由常數項係數相等，可得c7 。
即a2 、b5 、c7 例題 5.5-6
求(2x2 3x7)(12x24x5) 展開式中 x3項的係數。
詳解：
本題只有求x3項的係數，因此不需要將此展開式計算出來，只要計算展開後會成 為 x3的項即可。
3
2 ( 4 ) 8
2x x x
3
2 36
12
3x x x
3 3
3 36 28
8x x x
得 x3項係數為 28 。
例題 5.5-7
整除表示餘式為 0
x2 x
x 1 x 1
0 得B x1
例題 5.5-10
已知 A為一多項式。若 A除以x3 x2 x1所得之商式為x2 4x ，餘式為 1
3
x ，求多項式A。
詳解：
5.2節我們曾經學過：
在一個多項式除法中，被除式為 A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R。 (B 不為 0)
可以將這些多項式關係式寫成ABQR 。
因此本題的 A ＝(x3x2 x1)(x2 4x)(3x1)
＝(x3x2 x1)x2 (x3x2 x1)4x(3x1)
＝x5 x4 x3x2 4x4 4x3 4x2 4x3x1
＝x5 x4 4x4 x34x3x2 4x2 4x3x1
＝x5 3x4 3x3 5x2 x1 得 A＝x5 3x4 3x3 5x2 x1
例題 5.5-11
若(2x1)(xa) 展開可得2x2 xb ，試求 b 之值。
詳解：
對照2x2 xb 的 x 項係數，可知 a2 11，解得a1。
對照常數項係數，可知ab ，代入a1，解得b1。 因此 b 之值為 1。
例題 5.5-12
若876.52 8762 A ，則 A 之值為何？
詳解：
利用乘法公式(x y)2 x2 2xy y2 52
.
876 ＝ (8760.5)2
＝ (876)2 2(876)(0.5)(0.5)2
＝ 8762 8760.25
＝ 8762 876.25 對照876.52 8762 A 可知A876.25
例題 5.5-13
化簡下列各式：
(1) (2x3y)2 (2x3y)2 (2)
b a
b a
2
2 (a b0 )
詳解：
(1) 利用乘法公式x2 y2 (xy)(x y)
2
2 (2 3 )
) 3 2
( x y x y
＝ [(2x3y)(2x3y)][(2x3y)(2x3y)]
＝ [2x3y2x3y][2x3y2x3y]
＝ [4x][6y]
＝ 24xy
(2) 利用乘法公式x2 y2 (xy)(x y)
b
＝ 2 ) 35 85 (
) 35 85 )(
35 85 (
＝ 2
120 50 120
＝ 120 50
＝ 12 5
例題 5.5-15
＝ (44 1)(44 1)(48 1)
＝ ((44)2(1)2)(481)
＝ (48 1)(48 1)
＝ (48)2 (1)2
＝ 416 1
＝ (22)16 1 (422 )
＝ 232 1
＝ 2m1 可知 m＝ 32
例題 5.5-16
如圖 5.5-1 ，為一大等腰直角三角形，內部包一小等腰直角三角形。大等腰直 角三角形的腰長為 76 公分，小等腰直角三角形的腰長為 24 公分，則著色部 份的面積為何？
圖 5.5-1
詳解：
著色部份面積 ＝大等腰直角三角形面積－小等腰直角三角形面積
＝ 2
24 1 2 24
76 1
76
＝ 2
) 1 24 76
( 2 2
＝ 2
) 1 24 76 )(
24 76
( (x2 y2 (x y)(x y) )
＝ 2
) 1 52 )(
100
(
＝2600
著色部份面積為 2600平方公分。
例題 5.5-17
如圖 5.5-2 ，為一大圓內部再包一小圓。大圓半徑為 64 公分，小圓半徑為 36 公分，則著色部份的面積為何？ ( 答案以 π 表示 )
圖 5.5-2
詳解：
圓面積＝ πr2 (r為半徑 )
著色部份面積 ＝大圓面積－小圓面積
＝ 642 362
＝ (642 362)
＝ (6436)(6436) (x2 y2 (x y)(x y) )
＝ (100)(28)
＝2800
著色部份面積為 2800π 平方公分。
例題 5.5-18
將下列各式化為最簡根式：
(1) 52 6 (2) 32 2 詳解：
像這種有雙重根號的題目，為了消去根號，我們可以試著利用乘法公式，將根 號內的部份化為完全平方數。
(1) 52 6
＝ 32 62 ( 設法利用乘法公式x2 2xy y2 (xy)2 )
＝ ( 3)2 2 3 2 ( 2)2
＝ ( 3 2)2
＝ 3 2
(2) 32 2
＝ 22 21 ( 設法利用乘法公式x2 2xy y2 (xy)2 )
＝ ( 2)2 2 21(1)2
＝ ( 21)2
＝ 2 1
例題 5.5-19 化簡下列各式 (1) 49
47 1 (2)
225 223 1
詳解：
與前一例題類似，我們利用乘法公式，設法消去根號。
(1) 49
47 1
＝ 49
) 1 2 49 (
＝ 2 2
7 2 1 7
＝ 2 )2
7 (1 7 7 1 2
7
＝ )2 7 7 1
( ( 利用乘法公式x2 2xy y2 (xy)2 )
＝ 7
71
＝ 6 6
(2) 225 223 1
＝ 225
) 1 2 225 (
＝ 2 2
15 2 1 15
＝ 2 )2
15 ( 1 15 15 1 2
15
＝ )2
15 15 1
( ( 利用乘法公式x2 2xy y2 (xy)2 )
＝ 15 15 1
＝ 15 1414
例題 5.5-20
若x 3 2 ，y 3 2 ，求x2 y2 ? 詳解：
根據乘法公式x2 2xy y2 (x y)2 ，可以推得x2 y2 (xy)2 2xy
2
2 y
x ＝(x y)2 2xy
＝(( 3 2)( 3 2))2 2( 3 2)( 3 2)
＝(2 3)2 2(32) ((x y)(x y) x2 y2 )
＝122
＝10
5.5節 習題
習題 5.5-1
(1) 設 A為一個多項式，且(x2x1)Ax33x26x5 ，求多項式A。
(2) 設 B為一個多項式，且(x2 5x2)B x3 x1 ，求多項式B。
習題 5.5-2
已知多項式(a5)x2 (ab)x(abc) 為零多項式，求 a 、 b 、 c 之值。
習題 5.5-3
有兩多項式A、 B，已知AB x32x2 4x7 ，ABx34x22x3 ， 回答下列問題。
(1) 求多項式 A、 B。
(2) 求A 2 B 之值。
習題 5.5-4
有兩多項式A、 B，已知A3x2 2x5 ，B ax2 2x5 ，若AB ，求 a 之值。
習題 5.5-5
有兩多項式A、 B，已知A7x2 5xc ，B ax2 bx5 ，若AB ，求 a 、 b 、 c 之值。
習題 5.5-6
求(x2 5x1)(3x24x2) 展開式中 x3項的係數。
習題 5.5-7
若(2x2 ax2)(x2 4x4) 展開式中各項係數的總和是27 ，求 a 之值。
習題 5.5-8
已知3x3 14x2 ax6 能被x2 4xb 整除，求 a 、 b 之值。
習題 5.5-9
已知 B為一多項式 ( 非零多項式 ) ，且
x B B
x
x 5
17 3
2 7
，求多項式B。
習題 5.5-10
已知 A為一多項式。若 A除以x32x2 x3 所得之商式為x2 3，餘式為 1
2x ，求多項式A。
習題 5.5-11
若(3x5)(2xa) 展開可得6x2 7xb ，試求 b 之值。
習題 5.5-12
若567.52 5672 A ，則 A 之值為何？
習題 5.5-13 化簡下列各式：
(1) (5x2y)2 (5x2y)2 (2)
n m
n m
2
2 (m n0 )
習題 5.5-14
求下列各式之值：
(1) 22 22 132 268
32 168
(2) 2 2 2 2
25 50 75 75
25 75
習題 5.5-15
(1) 若(21)(21)(22 1)(241)2n 1 ，則 n ＝？
(2) 若(91)(91)(92 1)(941)(981)3m1 ，則 m＝？
習題 5.5-16
如圖 5.5-3 ，為一大等腰直角三角形，內部包一小等腰直角三角形。大等腰直 角三角形的腰長為 85 公分，小等腰直角三角形的腰長為 25 公分，則著色部 份的面積為何？
圖 5.5-3
習題 5.5-17
如圖 5.5-4 ，為一大圓內部再包一小圓。大圓半徑為 36 公分，小圓半徑為 16 公分，則著色部份的面積為何？ ( 答案以 π 表示 )
圖 5.5-4
習題 5.5-18
將下列各式化為最簡根式：
(1) 72 10 (2) 132 30
習題 5.5-19 化簡下列各式 (1) 25
23 1 (2)
196 194 1
習題 5.5-20
若x 5 3，y 5 3，求x2 y2 ?