節 認識多項式

讓我們來認識多項式各組成要素的名稱：

元： 在多項式中，變數的數量。

第一章我們學過一元一次式如7x1，變數只有1 個 x，可稱為一元多項式。

第三章學過二元一次式如7x y4 1，變數有x 和 y 共2 個，可稱為二元多項式

次數： 在多項式中，變數的最高次數就是這多項式的次數。

例：多項式5x³3x² 2x1，x 的最高次數是3，這個多項式稱為三次多項式。

多項式4x²  x9 1，x 的最高次數是2，這個多項式也可以簡稱為二次式。

若是多元多項式如2x³y²  xy9 1，2 yx^{3 2}中x 的次數是3，y 的次數是 2，

合起來是5，則這個多項式為五次多項式。

項： 在多項式中，加減號分開的每一部分，連同它前面的符號，稱為一個項。

例：多項式x²  x3 1，有三個項，分別為x 、² 3x、₁。

係數： 一個多項式中，未知數以外的部分，連同其前面的符號叫做係數。

例：2x是2跟x 的乘積，2是x 的係數。

常數項： 在多項式中，如某一個項只是一個數字，而不包含任何的未知數，

稱為常數項。例：x²  x3 1這個多項式中，1 為這個多項式的常數項。

常數多項式： 多項式只含有常數項，稱為常數多項式。

常數多項式又可細分為零次多項式與零多項式：

零次多項式： 次數為 0 且常數項不為 0 的多項式，例：2 2x⁰為零次多項式，

5, 8,π 也都是零次多項式。

零多項式： 若此多項式為0，即為零多項式。

例題 5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)3x²  x7 5 (2) ^{2x2  x5 3} (3) 9x (4)

1 2

2 

x (5) 2 (6)3y1 (7) x²  x2 1 (8) 9^x (9) x²  y1 (10) ^xy 詳解：

(1)是。 (2)不是，因為 x 在絕對值內。

(3)是。 (4)不是，因為 x 不能在分母。

(5)是。 (6)是。

(7)不是，因為 x 不能在根號內。 (8)不是，因為 x 不能在指數內。

(9)是。 (10)是。

【練習】5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)2x1 (2) x⁴ 4 (3) 5x (4) 7z1 (5) 3

(6) x

2 (7) ^{3x3 1} (8) 9^x1 (9) ^xyz (10) 0

例題 5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)4x³ x7 5 (2) x7 (3) 19 (4)x²y x1 詳解：

(1)最高次項4x 的次數為 3，是三次多項式。³

(3) 19 的次數為 0，是零次多項式。(19 也可以想成是19x )⁰

(4) 最高次項x²y，x 的次數為2，y 的次數為 1，合起來是 3，是三次多項式。

【練習】5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)2x⁶  x3 1 (2) 4x7 (3) 50 (4)x⁷y xy² 1

例題 5.1.1-3

請寫出多項式4x³  x2 ²1各項的係數：

(1)x 項的係數為？³ (2)x 項的係數為？²

(3)^x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

詳解：

(1)x 項為³ 4x ，係數為 4。³ (2)x 項為² 2x²，係數為－2。

(3)沒有^x項，係數為0。(可以想成是 x0 ) (4)常數項為 1，係數為 1。

【練習】5.1.1-3

請寫出多項式5x³3x4各項的係數：

(1)x 項的係數為？³ (2) x 項的係數為？² (3) ^x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

例題 5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 13x6是（　　　　　　　） (2) x² 4是（　　　　　　　） (3) 6 是（　　　　　　　） (4) 0 是（　　　　　　　） 詳解：

(1)13x6最高次數為1，為一次多項式，也是一元一次式，填入(B)、(F)。

(2)x² 4最高次數為2，為二次多項式，填入(A)。

(3) 6 的次數為 0，為常數多項式，常數項不為 0，也是零次多項式，填入(C)、

(D)。

(4)0 為常數多項式，也是零多項式，填入(C)、(E)。

【練習】5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 52 是（　　　　　　 　 ） (2) x²  x2 4是（　　　　　　 ） (3) 0 是（　　　　　　　 ） (4) x7是（　　　　　　　 ）

降冪排列與升冪排列：

一個多項式，將未知數的次數由高而低，由左而右的順序排列，稱為降冪排列。

反之，將未知數的次數由低而高，由左而右的順序排列，稱為升冪排列。

例如：

4 5

7xx²  x³ 是不規則的排列 4

7

5x³ x²  x 為降冪排列

3

2 5

7

4 xx  x

 為升冪排列

習慣上我們都會將整理完的多項式寫成降冪排列。

例題 5.1.1-5

多項式A＝x² 39x3x³ (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列 詳解：

(1)3x³ x² 9x3 (2)39xx² 3x³

【練習】5.1.1-5

多項式B＝7x3x² 515x³ (1)將多項式 B 按降冪排列 (2)將多項式 B 按升冪排列