第三章 電路模擬演算法與實際電路演算法
3.1 子系統之電路模擬演算法
使用前述Huang et al. (2007)演算法之概念，將該演算法分別說明如後。現在沿用 前章的符號定義，並將ia與va分別設為路段a的電流與電壓值，Ra為路段a之電阻值，
圖3.3 雙曲線逼近成本函數示意圖 資料來源：(鄭兆哲，2009)
3.2 子系統之實際電路演算法(PCA-Sub)
根據前述演算法，我們發展出一套子系統之實際電路演算法。先前的演算法在演 算時，沒有考慮到電阻值「量化誤差」的問題，因為在做電腦模擬時，數值都相當的 精確，但實際電路製作時，需要考慮量化的誤差，沒有辦法設定成理論的電阻值一定 等於實際的電阻值，這是因為元件本身的限制使然，無法做到百分之百的精確是必然 的。
另外，除了量化的影響之外，我們可能會碰到遞迴過程中，運算時的電阻值R 超an 過實體電阻最大值Rmax的限制，現在令演算法每次迴圈計算時其最大電阻值為R ，On 即ROn =max(Ran ,∀a)，我們必須將所有電阻值作等比例的轉換，亦即同乘以Rmax/ROn， 讓所有電阻值都不超過Rmax。基於以上各點，我們所發展出的實作電路演算法步驟如 下：
步驟0： 將子路網之各起點 r 模擬成直流電流源I ，電流值設為該起點至訖點之rs 流量，各起點電流值之比會等於實際各路段流量q 之比(亦即rs k
I q
rs
rs = ，
且對每一個子路網，皆用同一個比值k)；另外，將路網訖點模擬成接地
自己的起訖點，但是電流本身是無法分別起訖點的。所以，前述方法在改良以後，學 性成本函數，取代線性成本函數，以尋找最短路徑的解法，類似於 Regularized Frank-Wolfe Algorithm (Migdalas, 1984)，主要可避免 Frank-Wolfe 演算法找尋可行解方 向時會找到邊界解(boundary solutions)的缺點。
3.4 系統實際電路演算法(PCA-Sys)
第四章 實作的誤差與影響
4.1 量化誤差的定義
一般我們所採用的數字系統皆為十進位系統(decimal system)，也就是以 0、1、
2、…、9 等十個數字作為計數的基底；但是想要控制數位電阻之電阻值，僅能以二進 位系統(binary system)的訊號輸出來控制，也就是以 0、1 兩個數字為計數之基底，換 言之，任何的十進位數字都須用0 或 1 來表示，以八位元的二進位系統為例，十進位 的1 代表二進位的 00000001；十進位的 2 代表二進位的 00000010，以此類推。故我 們想要控制數位電阻的值，就必須以此二進位的訊號來控制它。表3.1 顯示電阻的階 數變化所顯示的各階電阻值。
表4.1 數位電阻階數與實際阻值間的關係(以最大值為10KΩ為例) 階數(十進位) 階數(二進位) 實際電阻值
0 00000000 0.0000Ω 1 00000001 39.2157Ω 2 00000010 78.4314Ω 3 00000011 117.6471Ω
… … …
254 11111110 9960.7843Ω 255 11111111 10000.0000Ω
資料來源：本研究整理
3.2 小節中說明，先前演算法在演算時，沒有考慮到電阻值「量化誤差」的問題。
何謂量化誤差？量化誤差就是量化的結果與未量化前實際值之間的差值。由於數位可 變電阻的特性限制，造成並非想要什麼電阻值都可以得到。舉一個最大值為10KΩ(即
Ω
10000 )，且為 8 位元共 256 階變化的電阻為例，其電阻值僅有 256 階的變化而已。
所以，當我們在計算時，得出某次遞迴之實際阻值為50Ω，但我們卻沒有辦法實際將 阻值調整至50Ω，僅能以39.0625Ω或78.125Ω來顯示，這就是量化的誤差。
顯然地，在一個範圍值內的量化階數越多，量化的誤差會越小。故我們在電路製 作時，一定要將量化誤差考慮進去。原先的數位可變電阻之電阻值為R ，而各電阻an 值分別經過量化後，阻值將會轉變成Q 。 an
4.2 電阻值量化的影響
實作電路演算法是根據前述的電路模擬演算法所推衍出來的，因為在實際電路 中，所使用的元件有著許多限制，在3.2 節中已提及，電阻本身存在著量化的誤差，
量化誤差對於電路的實作可能會造成影響。
受限於軟硬體的限制，以及操作上的便利性等等，因此我們選擇256 階的數位可 變電阻來做本實作。事實上，我們發現量化的階數對於目標值的影響而言，並不會太 過於劇烈，詳細情況將在後面說明。
在電路模擬演算法與實作電路演算法這兩個演算法中，後者新增新的演算步驟。
除了前述最大阻值的限制外，步驟2 將阻值量化，得到一個新的量化電阻值 Qan，此 處就有量化的誤差。也因為這樣，後面的電流與電壓計算，也都有造成一定程度的不 精確。
儘管因為量化之故，造成了演算法會提早收斂，但是，所求得的解與理論值之間，
差異可說是非常的微小，這顯示利用本演算法，量化所造成的誤差對於最佳解而言，
影響並不明顯。但在電阻有256 階的情況下是如此，那麼，我們現在想要探討的是，
量化的階數大小，對於答案的精確度是否影響很大呢？以常理判斷之，當電阻的量化 階數越少的時候，答案應該會更加的不精確，因為量化後所得之電阻值，離實際的阻 值應該會相差的更多，所以，我們現在使用電腦模擬的方式，並以圖4.1 的範例為例 題，此小型範例可以模擬成圖 4.2 的路網，並套入 3.2 節的演算法做電腦的模擬，用 以探討量化階數的變化對於實際阻值以及目標值的影響大小，結果如表4.2：
圖4.1 電腦模擬測試路網圖 資料來源：(Huang，2007)
圖4.2 電腦模擬測試電路圖 資料來源：本研究整理
表4.2 量化階數不同對於目標值之影響
階數 遞迴次數 x1 x2 目標值 目標值誤差
11.540 8.460 1231.331 256 *19 11.511 8.489 1231.353 0.00182%
128 *18 11.575 8.425 1231.357 0.00200%
64 13 11.513 8.487 1231.351 0.00165%
32 11 11.494 8.506 1231.389 0.00473%
16 7 11.635 8.365 1231.588 0.02091%
資料來源：本研究整理
註：*號表示該次運算結果，會發生如同 3.2 節所述之收斂值不唯一的現象。在 256 階的實驗中，第 20 次遞迴之 解為(11.562, 8.438)，目標值 1231.345，誤差為 0.00117%；在 128 階的實驗中，第 19 次遞迴之解為(11.524, 8.476)，
目標值1231.337，誤差為 0.00050%
令人驚異的發現，儘管阻值是經過量化之後的電阻值，但是其對於各路段之流量 解的影響卻是相當的有限，因為對於解的影響不大，使得各目標值也與理論目標值之 間差距甚微；而隨著階數的減少，目標值的誤差雖然越來越大，但是影響幅度有限。
4.3 元件的誤差
電阻除了量化的誤差之外，本身還存在有其他的誤差。以市售的一般型電阻為 例，每一顆電阻都只有一個固定的電阻值，即所謂「定值電阻」，但其理論電阻值與 實際電阻值之間往往存在著誤差，這是因為現實的電阻器本身除電阻外，還擁有著微 量的電感或電容，使其阻值與理想的電阻器有所差異。一般電阻的誤差約在5%左右，
這也就是說電阻的最大值不固定，即所謂的元件誤差。
電子元件的各種標示值與實際值之間常常存在著誤差。同樣地，我們所使用的數 位可變電阻也有著類似的誤差，因為每一顆元件的最大值都不一樣，甚至是實驗當時 的溫度、溼度等變化，對於元件的精準度都有影響。以理論最大值為10KΩ的數位可 變電阻來說，據實際量測的結果，此型數位可變電阻的最大值約在9.5KΩ~10.5KΩ之
間，而最大值與其量化後每一階的距離有關係，電阻最大值較大，電阻每階的間距也
表 4.3 三十個數位可變電阻之設定電阻值與實際表示阻值
表4.4 量化誤差與元件誤差合併考慮之影響
階數 遞迴次數 x1 x2 目標值 目標值誤差
11.540 8.460 1231.331 256 *24 11.628 8.372 1231.553 0.0180%
128 *16 11.678 8.322 1231.872 0.0439%
64 14 11.664 8.336 1231.774 0.0360%
32 *8 11.975 8.025 1236.693 0.4354%
16 *4 12.242 7.758 1245.280 1.1329%
資料來源：本研究整理
註：*號表示該次運算結果，會發生如同 3.2 節所述之收斂值不唯一的現象。在 256 階的實驗中，第 25 次遞迴之 解為(11.653, 8.347)，目標值 1231.695，誤差為 0.0296%；在 128 階的實驗中，第 17 次遞迴之解為(11.628, 8.372)，
目標值1231.553，誤差為 0.0180%；在 32 階的實驗中，第 9 次遞迴之解為(11.357, 8.643)，目標值
1232.282，誤差為 0.0773%；在 16 階的實驗中，第 5 次遞迴之解為(10.973, 9.027)，目標值 1240.513，誤差為 0.7457%。
只要各路段的電流下降比例一致，我們就可以利用演算法將之修正回來。
除此之外，元件本身所能通過的電流也不能太大。文獻中指出，數位可變電阻所 能通過之電流不能超過5mA，故這對演算法也會有一些限制存在，不過無論電流通過 多寡，其各電阻之間通過電流的比例也會一樣的，故我們所發展出的演算法也要針對 此作處理。
第五章 微處理機系統之電子電路實作
公司所生產的P89V51RD2 這種 MCS-51(MCS：Micro Computer System)單晶片來做處 理架構的核心，這也是目前世界上非常普遍的一種單晶片微電腦。P89V51RD2 單晶 片之說明，如附錄一所示。在本微處理器中，共有32 個輸入/輸出腳位，我們將會使 用P0.0~P0.7 這八個腳位當做數位電壓值的輸入，而微處理器內部可以將此數位訊號 換算成類比訊號值，作為演算法運算之用。運算結束後，所得之電阻值再經由輸入/輸出腳位傳至數位可變電阻(digital potentiometer，簡稱 digipot)，以更改電阻值。
又由於電阻值必須不斷地變動，數位可變電阻的使用是必須的。我們選用Analog Devices 公司所生產，型號為 AD8400 的數位可變電阻來實作電路。本元件的最大電 阻值為10KΩ，共有 256 階，也就是說，將電阻值10KΩ平均分配 256 階，理論上每 處理器的步驟，這時就需要使用類比/數位轉換器(A/D Converters，簡稱 ADC)，它可 以將類比的電壓值轉變成為數位訊號值，因為微處理器的輸入以及輸出，都是使用數 位信號，故將類比電壓值轉成數位訊號有其必要性。我們所使用的是 ADC0804 這個 型號的 ADC，它能把輸入的類比電壓值，轉換成 256 階的數位電壓值作輸出。較詳
細的ADC0804 腳位說明如附錄三所示。
因為需要利用微處理器控制的元件數較多，但 P89V51RD2 中也只有 32 個輸入/
輸出埠而已，我們將會面臨到腳位不夠的問題，這時就需要利用74164 這個 IC。這是 一個八位元的移位暫存器，我們主要是利用它來控制各個元件的 CS(chip select)腳 位，該腳位可以控制元件為啟動或是關閉。一般而言，當CS 為低電位，也就是 CS=0 (P89V51RD2)可以輸出阻值，再藉由 74164 控制數位電阻，使數位電阻顯示相對應之 電阻值。而流經數位電阻的電流造成了壓降，其壓降就由類比/數位轉換器(ADC0804)
來負責測量。各個 ADC0804 所得之電壓資料，傳送至微處理器，讓微處理器可以藉 由演算法，求出下一次遞迴時，需要輸出至數位電阻之電阻值。
在電路演算的過程中，運算是藉由微處理機的控制達成的，欲得知計算時各變數 的值，可將電路與個人電腦，每當微處理機計算出某變數之值，便可將其傳送至電腦 上顯示。個人電腦端的接收平台是利用Windows 內建的超級終端機完成，圖 5.1 為超
在電路演算的過程中，運算是藉由微處理機的控制達成的，欲得知計算時各變數 的值，可將電路與個人電腦，每當微處理機計算出某變數之值，便可將其傳送至電腦 上顯示。個人電腦端的接收平台是利用Windows 內建的超級終端機完成，圖 5.1 為超