第二章 文獻探討
2.4 兩物種競爭模型
2.4.2 系統動態
此矩陣具有四個特徵值(eigenvalues)分別是
λ = λ =-
λ = λ = . 如果 ＞ 且 ＜1 時， =(0, ,0,0)穩定，反之則不穩定。
(3)同理如果 ＞ 且 ＜ 時， =(0,0,0, )穩定，反之則不穩定。
[表 2.4]系統(2.4.2)的平衡點存在性與穩定性(本表來自於[3])。
以[表 2.4]為基礎，[3]更進一步得到一些關於系統(2.4.2)的動態結果如下述定 理。
定理 2.4.1 系統(2.4.2)存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 時， 。
定理 2.4.2 令 ＜ 且(a) ≦1 或(b) ＞1， ＞0 其中一個成立時，存 在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 時， 。如[圖 2.4.a] ,[圖 2.4.b]。
[圖 2.4.a] [圖 2.4.b]
定理 2.4.3 如果 ＞ ， ＞1， ＞0 時可以得到
(1)存在一個解 x(t)=(0, ,0, )在 時， 。 (2)存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 時， 。如[圖 2.4.c]。
[圖 2.4.c]
定理 2.4.4 如果 ＞ ， ＜ ， ＞1 時，存在一個ε＞0 使得任意 解 x(t)在 和 或 其中一個成立時，
。如[圖 2.4.d]。
[圖 2.4.d]
定理 2.4.5 如果 ＜ ， ＜ ， ＞1 時，存在一個ε＞0 使得任意 解 x(t)在 和 或 其中一個成立時，
。如[圖 2.4.e]。
[圖 2.4.e]
定理 2.4.6 設 ＞ ， ＞1， ＞0 和(a) ＜ 或 (b) ＞ ， ＞1 且 ＞0 其中一個成立時，存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 和 或 其中一個成立時， 。 如[圖 2.4.f] ,[圖 2.4.g]。
[圖 2.4.f] [圖 2.4.g]
定理 2.4.7 如果 ＞ ， ＜ ， ＞1， ＞0 和(1) ＜1 或(2) ＞ 1 且 ＞0 其中一個成立時，存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 和 或 其中一個成立時，
。如[圖 2.4.h],[圖 2.4.i]。
[圖 2.4.h] [圖 2.4.i]
定理 2.4.8 如果 ＜ ， ＜ ， ＞1 且滿足下列四個條件的其中一 個：(1) ＜1， ＜1；(2) ＞1， ＜1， ＞0；(3) ＜1， ＞1， ＞0；
(4) ＞1， ＞1， ＞0， ＞0 時，存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 和 或 其中一個成立時，
。如[圖 2.4.j],[圖 2.4.k],[圖 2.4.l],[圖 2.4.m]。
14
[圖 2.4.j] [圖 2.4.k]
[圖 2.4.l] [圖 2.4.m]
定理 2.4.9 如果 ＞ ， ＞ ， ＞1 ， ＞1， ＞1， ＞0， ＞0 時，存在一個ε＞0 使得任意解 x(t)在 和 或 其中一個成立時， 。如[圖 2.4.n]。
[圖 2.4.n]
兩物種競爭模型由上述定理所得到的圖形可以觀察到模型解的範圍會在 所在 的平面和 所在的平面之間， 和 向量可以得到四個平衡點 ，其 中 一定存在且不穩定， 在大部分的情況下會不穩定。
2.5 雙穩定的疾病模型
[圖 2.5.b]
[圖 2.5.c]
[圖 2.5.d]
此節在研究疾病蔓延模型(2.5.1)中受感染物種無遷徙力(2.5.2)時，調整易感物 種遷徙率所得到的動態變化。當 =8 時可以得到兩個平衡點，接下來假設 , i=1,2，當 k=0 時有兩個平衡點，一個節點，一個鞍點；當 k 增加到 k=0.004 時 有三個平衡點，兩個節點，一個鞍點；最後當 k=1 時只有一個平衡點且是漸進穩 定的。
第三章 研究主題及方法
. (3.1.2)
3.3 研究方法
本章節使用的模型(3.1.1)，(3.1.2)是高度複雜且不易理論論證系統的收斂 性。我們以數值計算平衡解的存在及分佈狀況，方法有以下四點
1. 用 Maxima 程式語言編寫程式觀察平衡解的分佈狀況，探究平衡解個數的變化，
以便了解調整型遷徙對常態解分佈的影響。
2. 用 MatCont 程式語言編寫程式觀察模型的分歧現象。
3. 用 Matlab 程式語言模擬模型的動態現象。
4. 用 Matlab 程式語言模擬模型因延遲性疾病表癥所產生的動態變化。
第四章 數值模擬及觀察
4.1 調整型遷徙的動態影響
這一節主要是在研究線性系統(3.1.1)和非線性系統(3.1.2)中當參數固定，
調整 , 時動態的變化情形。先觀察 ，i=1,2。(L-1)假設
=8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, =0, =0,
=4, =8, , ， ，i=1,2 時可以得到[圖 4.1.a]，
可以發現有三個平衡點。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.1.a]
(L-2)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6,
=0, =0, =4, =8, , ， ，i=1,2 時可以得到[圖 4.1.b]，可以發現只有一個平衡點，而且是唯一穩定。
[圖 4.1.b]
(L-3)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.
6, =0, =0, =4, =8, , ， ，i=1,2 時可以得到 [圖 4.1.c]，可以發現有三個平衡點。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.1.c]
(L-4)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.
6, =0, =0, =4, =8, , ， ，i=1,2 時可以得到 [圖 4.1.d]，可以發現只有一個平衡點，而且是唯一穩定。
[圖 4.1.d]
接下來觀察 = ，i=1,2。(N-1)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, =0, =0, =4, =8, ,
， = ，i=1,2 時所得到的圖形會跟假設 時的圖 形相同[圖 4.1.a]，因 , 所得到的聯立方程式的解都相同，所以接下 來只觀察 , 不等於 0 的圖形。
(N-2)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.
6, =0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.1.e]，圖形中可以發現平衡點有三個。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.1.e]
(N-3)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.
6, =0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.1.f]，可以發現只有一個平衡點，而且是唯一穩定。
[圖 4.1.f]
(N-4)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.
6, =0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.1.g]，可以發現有三個平衡點。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.1.g]
從以上的圖型可以觀察到 的值不同，線性系統(3.1.1)和非線性系統(3.1.2) 所產生的平衡點數量也不同。當 , 時線性系統[圖 4.1.b]只有一個平 衡點，非線性系統[圖 4.1.e]有三個平衡點；當 , 時線性系統[圖 4.1.c]有三個平衡點，非線性系統[圖 4.1.f]只有一個平衡點；當 , 時線性系統[圖 4.1.d]只有一個平衡點，非線性系統[圖 4.1.g]有三個平衡點。
4.2 調整型遷徙對感染數量的影響
在(3.1.2)中我們把除了調整型遷徙之外的參數固定，將常態解方程式中的 做調整，利用物種數量的變化遷徙率來觀察調整型遷徙對疾病模型會 有什麼影響。
當 =0, =0 時系統(3.1.2)可以得到一個流行病平衡點( )，其中
假設 ， ， ，
， 。
(1)假設 ，也就是把易感染物種遷徙率固定， ，當 時 可以得到[圖 4.2.a]。此圖形代表增加其中一感染物種的遷徙率調整強度( ) 時，其中一種物種( )的感染數目增加，另一種( )則減少。
[圖 4.2.a]
接下來把 ，也就是物種易感染數目考慮進去可以得到[圖 4.2.b]。物 種易感染數目是定值不變的，所以增加其中一感染物種的遷徙率調整強度( ) 時，物種的感染數目不受影響。
[圖 4.2.b]
(2)假設 ， ，也就是把兩感染物種的遷徙率固定相同 時可以得到[圖 4.2.c]。此圖形代表當兩棲息地的遷徙率調整強度相同時，
增加感染物種的遷徙率調整強度不會改變兩物種的感染數目。
[圖 4.2.c]
4.3 非線性調整的影響
在此節中我們固定參數後，調整 來觀察平衡點變化情形。假設 ， ， ， ， ， ， =0, =0， ， ， = ，i
=1,2 時可以得到[圖 4.3.a]，圖形中可以發現平衡點只有一個。
[圖 4.3.a]
假設 ， ， ，
， ， ， =0, =0， ， ，
= ，i=1,2 時可以得到[圖 4.3.b]，圖形中可以發現平衡點只有一個。
[圖 4.3.b]
假設 ， ， ，
， ， ， =0, =0， ， ，
= ，i=1,2 時可以得到[圖 4.3.c]，圖形中可以發現平衡點只有一個。
[圖 4.3.c]
將參數固定相同後調整 時，我們發現平衡點都只有一個，所以接下來就把參數 調整成別的數字，在(N-2)假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3,
=0.4, =0.5, =0.6, =0, =0, =4, =8, , ， =
，i=1,2 時平衡點有兩個，根據這個結果我們就利用上面的參數來調整 。
假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, = 0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.3.d]，
圖形中可以發現平衡點有三個。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.3.d]
假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, = 0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.3.e]，
圖形中可以發現平衡點從三個變成一個。
[圖 4.3.e]
假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, = 0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.3.f]，
圖形中可以發現平衡點有三個。其中兩個穩定，一個不穩定。
[圖 4.3.f]
假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, = 0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2 時得到[圖 4.3.g]，
圖形中可以發現平衡點從三個變成一個。
[圖 4.3.g]
觀察固定 =1，調整 的 二維圖形。
(1)當 =1， =3 時的 二維圖形 (2)當 =1， =4 時的 二維圖形
從以上觀察可知當 變大使得 變小且趨近於 0，代表 對同棲息地中
[圖 4.3.h]
透過 [圖 4.3.h]可以觀察到 =0 時，平衡點有三個；接下來調整 的值從 0 開始慢慢增加時，兩個正平衡點會慢慢靠近然後合成一個平衡點最後消失，圖 形中的紅點 LP 是極限點，也就是當 的值在 LP 的位置上時，平衡點會有 2 個。
所以平衡點個數會從三個平衡點變成只剩一個平衡點。
4.4 延遲性調整的影響
接下來考慮有延遲性的疾病模型。模型(3.1.2)加入有延遲性的參數 可以得 到模型(4.3.1)
. (4.3.1)
假設 =8, =6, =2, =6, =2, =3, =0.3, =0.4, =0.5, =0.6, = 0, =0, =4, =8, , ， = ，i=1,2。當 =0 時，得到[圖 4.3.d]；當 =0.01 時，可以得到[圖 4.3.i]，我們發現 值較小時，解的收斂狀 況不會有太大變化，依然跟[圖 4.3.d]相同；當 =10 時，可以得到[圖 4.3.j]，
我們發現起始點(甲) 軌跡會從收斂到平衡點 B 變成收斂到另一 平衡點 A；當 =45 時可以得到[圖 4.3.k]及[圖 4.3.l]，我們發現有四條軌跡收 斂到平衡點 B。以上觀察(4.3.1)的解動態，我們可以發現調整型遷徙的延遲反 應時間大小會影響兩個穩定平衡點的各別吸引盆(basins of attraction)的大 小。
[圖 4.3.i]
[圖 4.3.j]
[圖 4.3.k]
[圖 4.3.l]
第五章 結論
參考文獻
[1]Chitnis, Einfuhrung in die Mathematische Epidemiologie：Introduction to Mathematical Epidemiology：Deterministic Compartmental Models, Autumn Semester (2011) 1-6.
[2]Yali Yang, Jianhong Wu, Jianquan Li, Zhien Ma, Global dynamics convergence to equilibria of epidemic patch models with immigration, Mathematical and Computer Modelling 51 (2010) 329-337.
[3]Litao Hana, Andrea Pugliese, Epidemics in two competing species, Nonlinear Analysis：Real World Applications 10 (2009) 723-744.
[4]Yu Jin, Wendi Wang, The effect of population dispersal on the spread of a disease, Journal of Mathematical Analysis and Applications. 308 (2005) 343-364.